CC BY
2
• Неплохая устойчивость к повороту и сдвигу распознаваемого изображения
• Обучать данную сеть можно с помощью метода обратного распространения ошибки
Недостатком данной сети является то, что слишком много варьируемых параметров сети. Не всегда понятно, для какой задачи и вычислительной емкости, какие нужны значения
Использованные источники:
1. Галушкин, А. Нейронные сети. Основы теории [Текст]/ A. Галушкин -Горячая линия-Телеком, 2010. - 480 с.
2. Уоссермен, Ф. Нейрокомпьютерная техника: теория и практика [Текст]/ Ф. Уоссермен; ред. Ю.А.Зуева, В.А.Точенова - Мир, 1992. -184 с.
УДК 512.7
Зайналов Б.Р., к.ф.-м.н.
доцент
Узбекистан, г. Самарканд ВЫЧИСЛЕНИЕ СИСТЕМА ОБРАЗУЮЩИХ ДЛЯ ПЕРВОЙ НЕТРИВИАЛЬНОЙ ГРУППЫ ГОМОЛОГИЙ НАД ДЕДЕКИНДОВЫМ КОЛЬЦОМ Аннотация: Работа посвящена доказательству теоремы о порождении стандартными циклами первой нетривиальной группы гомологий симплициальной схемы унимодулярных реперов над дедекиндовым кольцом.
Ключевые слова: стандартные циклы, гомологии, симплициальная схема, унимодулярные реперы, дедекиндовое кольцо.
CALCULATION OF THE SYSTEM OF EDUCATIONAL FOR THE FIRST NONTRIVIAL GROUP OF HOMOLOGIES OVER THE
DEDEKIND RING Abstract: This paper is devoted to the proof of the theorem on generation by standard cycles of the first nontrivial homology group of a simplicial scheme of unimodular frames over a Dedekind ring.
Keywords: standard cycles, homology, simplicial scheme, unimodular frames, Dedekind ring.
Введение. Проблема стабилизации и предстабилизации является одной из классических в алгебраической K -теории. Основы этого направления заложили теоремы Серра [18] о выщеплении свободных прямых слагаемых в проективных модулях, Басса [12] о сокращении, Басса-Васерштейна [1], [2], [3], [4], [5] о стабилизации полной линейной группы.
Для колец арифметического типа с бесконечной группой единиц [13], [8] имеются достаточные основания ожидать, что стабилизация наступает на
один шаг раньше, чем это предсказывает общая теория. Для функтора Ki
этот результат доказан Вассерштейном [6], для К2 - ван дер Калленом [15] и Колстером [17]. Колстер [16] дал также решение проблемы
предстабилизации для К2.
После возникновения высшей К - теории начались попытки доказывать теоремы о стабилизации для высших К - функторов. Наиболее интересными и распространенными нестабильными К - функторами являются функторы Квиллена и Володина. Проблема стабилизации в К -теории Квиллена равносильна проблеме стабилизации для гомологий полной линейной группы. Эти проблемы глубоко изучена и в основном решена работах ван дер Каллена [14] и Суслина [19].
Основой для решения проблемы стабилизации служит изучение некоторых симплициальных множеств, связанных с униимодулярными реперами. Для доказательства теорем о стабилизации необходимо уметь доказывать достаточно сильную ацикличность симплициального множества унимодулярных реперов [14], [19], [9]. Аналогично, если вычислить первую нетривиальную группу гомологий соответствующего симплициального множества, то это даст ответ на проблему предстабилизации [11], [8].
Данная работа целиком посвящена доказательству основной теоремы, которая гласит, что первая нетривиальная группа гомологий симплициальной схемы унимодулярных реперов над дедекиндовым кольцом порождена стандартными циклами. Основной результат статьи доказан в пункте 2, пункты 1 и 3 содержат необходимые вспомогательные результаты.
1. Свойства симплициальных схем унимодулярных реперов над дедекиндовыми кольцами.
Для произвольного множества V обозначим через множество его непустых конечных подмножеств. Симплициальной схемой назовем пару
(V, F), где ^ с причём F вместе с каждым множеством содержит все его
непустые подмножества. Пусть 5_Яр}бр - некоторый симплекс.
Обозначим через ^ множество тех конечных подмножеств ^6 , для которых £05 = 0 и ^и 5 6 ^ является подсхемой схемы ^ [7].
Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей. Обозначим через А<ж свободный левый А - модуль со счетным базисом е1вп'''', через Ап- его подмодуль с базисом е1г'"'6п. Элементы из Ап будем, как правило,
представлять столбцами их координат в базисе е ''6п, тем самым
лп М АЛ) ^ Я Я 6 Ап е-отождествляя А с п 14 . Если 0'"'' к ,то будем отождествлять
(Я я ) М (А)
последовательность v 0''"' к'с соответствующей матрицей из пМ1 .Через
и ит (А ) будем, обозначат симплициальную схему, к - симплексами
{Я Я } Я
которые служат множество 1 к> такие, что 1 - унимодулярный в
совокупности или будем, говорит образует унимодулярный репер. В
частности *(Л" )п и = ит( Л" ) [9].
Предложение 1.1. Пусть Л - произвольная кольцо т - п + ^Л, где з.гА -стабильный ранг кольца и (°0' ''3п)- унимодулярный репер в Лт+1. Прибавляя последнюю координату к первым т , можно добиться, чтобы
лт 3 ,..., 3 )
Л - часть репера 4 0 п> стало унимодулярной.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Если п = 0, то утверждения сразу следует из определения стабильного ранга. Заметим, что
(3 3 )
при доказательстве утверждения мы можем заменить репер 0 п на
(*
а =
^О'...'а3п) для любой матрицы ае °1т+1(Л вида V0 V. Кроме того можно заменить репер (30'...'3) на (3) ' .'3п1 + ^п—3п3) для любых, ^ е Л. Пусть п -1. В силу определению стабильного ранга, прибавив
лт
последнюю координату к первым т можно считать, что Л часть вектора 3 гг ОЬт (Л)
3п - унимодулярна. Поскольку группа тК ' транзитивно действует на
унимодулярных векторах, т.к т — ^^ + п - ^^ +1, то можно считать далее,
о _Л О О 3 3
что 3п =(1 ' 0' ."0' ) . Вычитая теперь из 1 подходящие кратные п, можно
считать, что 3 = (0 ') при 1 = 0 ' ■■■'п— 1, где е Л . Согласно 1.2 с) репер ...' ®,г_1) унимодулярен. По индукционному предположению прибавив (т + 1) - ую координату к координатам с номерами 2 ' т мы можем добиться, чтобы ^ = (а)1' * Г, где ' ""' п—1 >
унимодулярный репер в А 0'''0 1Л
А т—1 ™ лт (3 3 ) *
Л . Теперь Л - часть репера 4 0' ' п' имеет вид 4 0 п—1 у и, значит, унимодулярно [9].
Всюду ниже будем считать, что Л - дедекиндовое кольцо [10]. Из теоремы Басса [1] следует, что стабильный ранг [4] дедекиндового кольца не превышает двух и имеет место:
Следствие 1.2. Если т - п +2 и (30' .'3п) - унимодулярный репер в Лт+1, то, прибавив последнюю координату к первым, можно добиться, что лт - часть репера (30'---'3) стало унимодулярной.
Предложение 1.3. Пусть заданы векторы "<>'■■■'"*еЛт V3'-А—к—1 еЛт. Предположим, что п < т и при любом 1 =0' ■'к векторы
и0'■■■' иг '■■■' ик '3\'-'3п—к—\ унимодулярные в совокупности. Прибавляя
и и 3 3
последнюю координату к оставшимся, можно добиться, чтобы 0'"'' к' 1г"' п—к—1
обладали тем же свойством (где и крышки над и компонентами означает,
что этот компонент выбрасывается и 3 без последней координаты).
Доказательство. Как и выше, можно умножить все векторы на любую
(р
матрицу вида
V0 1J
, где р 6 ^т-1 (Л). Применяя 1.2 к унимодулярному
(и-и, ,А- ..Я,, ) ^ Г1П
реперу к 1 1 и действуя транзитивно [1] видим, что можно
считать
(ио,-''. ик ,31.''' ,$п-1-г ) =
Унимодулярность репера ( ^' ' . '
(п-к-1
, К Л,' ' ' ,0,
1=1
К 1.. .0 0.. .0 >
К 0.. .1 0.. .0
и1 0.. .0 1... 0
ип-к -1 0.. .0 0.. .1
01 0.. .0 0.. .0
0т-„ 0.. .0 0.. .0
0 0.. '0 У1 ...у п-к-1 J
А-Яп- к 1) при 1 = = 1,...,
равносильна
унимодулярности строки строку на верхние строки
последнюю строку, получим
[9]. Прибавим последнюю к+1''.п-к-1 не меняя строк и затем выбросим
к КУ Л
(к и
V 0 1п-к-1 0 0 Л у
. Унимодулярность этого репера без
равносильна
и<0 очевидна, а при * -1 унимодулярность без и унимодулярности строки
( п-к-1 п-к-1
К -Х\ ,01 -01 У V1у1
1=1 1=1
п к 1
Л -0 У и у
' т-п т-п / 1
1=1 J
Из этого предложения следует следующая лемма: Лемма 1.4. Пусть Х,К,-',К Аг-.0, 6 А, причем 5 -1 и при любом * строка (Х,К*,0l,...,0s)- унимодулярна. Прибавив к К и 0 подходящие кратные Х, можно добиться, чтобы при любом * строка (К ,01,~',0°) была унимодулярна.
4 1 4 1 О О Л^
Предложение 1.5 Пусть заданы векторы Ul,,''', ик А,-'А , причем
л к
а) и 6 А .
в) ((Ч1.'''.и,,...,ик,3,''',31) унимодулярный репер для любого * = 1,''',к. Тогда
щ 6 Ак+*
существует 0 такой, что
1) (Uо,Ul,r■■, ^.■■■^.■■■.щ А.-А) - унимодулярный репер для любых * г2
2) (и0.Щ...■ ■.и .■ ■ ■.икЛ.■ ■ • .■ ■ ■ А.)- унимодулярный репер при любых I = 1. ■ ■ ■, к. 1 = 1. ■ ■ ■,.
3) При любом * = 1,',к репер ^ Ul,,''', V", К-.и Л-А ,~А-1-Л) унимодулярен.
Доказательство. Справедливость утверждения, очевидно, не нарушится, если мы заменим векторы и,А на аи,аА, где а6 и
а.Л+1 =Лк+" [9]. в частности, имеем право прибавлять координаты с большими номерами к координатам с меньшими номерами и действовать
матрицами из ^к+1 (Л). В силу 1.3 мы можем считать, что векторы
(и и 9 9) 3 к+з
( 1'." ' к' 1'." ' х) удовлетворяют условию в), где 1 есть Л 1 - часть вектора
3 1. Если мы сумеем подобрать и0, который удовлетворяет требованиям
1) и 2) для и и 3 , то и0 будет удовлетворять этим требованиям и для и
и
3
^ * 3 е Лк+1
Таким образом, можно считать, что 1
Поскольку группа
к+х\ / транзитивно действует на унимодулярные репера [1], то мы можем считать, что репер (и '3) имеет вид, указанный в следующей таблице
А
М
х
1. ■ ■0 0■■■0 А
0. ■■1 0■■■0 Ак—1
0. ..0 1...0 м'
0. ..0 0...1 м'
0. ..0 0■■■0 1
и2 ■ ■■ик и0
Будем искать и 0 в указанном в таблице виде. Условие в) на векторы
и'3 означает, что столбец (А'х)
унимодулярен при любом 1. Кроме того, условия 1) и 2) на вектор и0 в наших обозначениях принимают вид:
1) столбцы
А — А. х
11 г1
А — А ' х
V 12
11
I Ф и
унимодулярны при 1 2
2) столбцы
А—А. х
1 х
1 У
унимодулярны при всех
1 . Можно,
считать, что х Ф 0. Подберем сначала м так, чтобы м 'х Ф 0. Построим
А'
индуктивно так, чтобы выполнялись условия:
0) А — А'х Ф 0,
г А — А, хЛ
1)
А — А ' х
V 12 12
А — А. х
унимодулярна при 11 < 1
1х
1 У
- унимодулярна при всех
2) Vм — м
Требования 1) и 2) означают, что А А х обратим по модулю
ненулевого идеала
I =
П м —м' х)П (\ —а х))
1=1
Поскольку d™ A !1 - 0 и, следовательно, srA !1 ^1, то можно найти Л 1 так, что (Л — Л 'x A +1 - A. Если при этом Л — Л 'x - 0, то A -1, условия 1) и 2)
выполнены при всех Л и достаточно, заменить Л на Л'+1 так, чтобы
выполнялось и условие 0). В обозначениях доказательств 1) и 2) новое
требование принимает вид: 3) при любом 1 столбец
Чм -Ml'x) + ••• + (ms
Л. — Л. ' x
v 11 J унимодулярен.
Если a - поле, то можно подобрать Л так, чтобы Л Л x был обратим при любом 1. Если A не является полем, то A бесконечно и можно
подобрать так, чтобы элементы м ~ m x и их сумма были
отличны от нуля. Затем подбор Л осуществляется, как и выше. Следовательно, из этого следует следующее следствие
Следствие 1.6. Пусть 3,...,3s- унимодулярный репер в A . Тогда
а) Подгруппа стандартных в Hn—s—2(£(A ) ^ }) [9] группа
\и,,..., и ,1 \и,,..., и ,...,3 1
порождена теми L ^ ' s—u, для которых L ^ ' s—n п ' sJ является
стандартным циклом (см. 2п ) U, т. е. при любых 1, J реперы
и,...,U ,...,и ,3 ,...,3 и,...,и ,3 ,...,.3 ,...,3
"n-, .........^ ^ и ^ , n—s, ^ , J, , s - унимодулярны.
в) Если дополнительно s - 2 и 3 е A + &n+1, то подгруппа стандартных
Hn s 1(s(A")nUi3 3}) \и..,и ,1
циклов n—s—14 v 7 . . . порождается теми L ^ ' n—s+u, для которых
^У3] является стандартным циклом в U .
Предложение 1.7. Пусть ^Ul,•••,иn 1 - стандартный цикл в Hn—2^Um(A )) и
A + en+i. Тогда цикл \и1,...,и"] *\3,3'] ^„—МГ u (Г + о nU) является суммой стандартных циклов, где * означает джойн [7],[9].
n
к..., ип ]*\3,3' 1 -±d (К..., ип 1*3,3' ))-±£ (—1)1—1\и1,..., и ,...,3,31 Доказательство. 1-1 есть
сумма стандартных циклов, если все циклы ^-^г,.",3,3'~1 - стандартны, т.е.
1 j 1 / -it 'it Q Q' -j f -j
унимодулярны все реперы 1'"'' b''"' n' ' при 11 ^12 .Отметим, что
и,...,и ,...,и ,...,и ,3—3 ггп
унимодулярность равносильна унимодулярности 1 h h n [9]. Более
к
3—3 - У
m
J ю;е An
общим образом, допустим, что 1=1 , где векторы 1 таковы, что
щ.-'.и .■■■,и .■■■,ип,а _ * * * ^
репер 1 п 1 унимодулярен для любых 1 2. Тогда, согласно
вышеизложенному
\щ,..., ип pa^+m 1+\3+m ,3+m +m 1+...+\3+m +...+mi ,3+m +...+m 1)
есть сумма стандартных циклов. Для любого и обозначим через
Л(и) аддитивную подгруппу Лп, порожденную теми а, для которых
и1'„.'ик'".'и12'". 'ип'а - унимодулярный репер для любых 11 Ф12. Умножая репер и на обратимую матрицу, можем считать, что
(ul''''' ип ) =
хи—1 °'''1 . г а.'0У
В этих обозначениях унимодулярность реперов и1 ''и'''''и означает, что
х1Л + гЛ = Л, при всех 1 =п—1.
1.7.1. Л(и)3Л . действительно, вектор а=А-А—А еЛ(и) при
(х,- —А г)Л + (х,- —А г)Л = Л ■ Ф ■ А А
условии, что « 1 2 12 при 11 Ф12. Если А1'''Ап—1 удовлетворяют
этому условию, то ему удовлетворяют и А +6,А>'''А1 для любого 0 из идеала порожденного (х — Аг)''"'(х"—1 — Ап—1 г). Следовательно
Л(и) 3 (х2 — А2г) ■ ■■■• (хп—1 —Ап—12)Л ■ е1 .
Поскольку Л(и) замкнуто по сложению, то Л(и) 31'е, где I - идеал,
порожденный, всевозможными (х2 —А г) ■ '• (х"—1 —Ап—1 г). Пусть м -максимальный идеал Л , тогда мы можем индуктивно построить элементы
А г х — Аг £ м( х — А г) Л + (х. — А г) Л = Л
1 так, чтобы 1 1 1 1 1 1
при 1 <1. Отметим, что возможность найти А обусловлено тем, что 1.г.(Л/мП(х —Аг)) < 1. Это показывает, что 1 и, следовательно, 1 = Л. Тем
самым Л(и) 3 Л ■ е1 и аналогично, Л(и) 3 Л ■ е2'-'Л■ ^.
1.7.2. Л(и) 31ге". Действительно, подберем А'".'А>—1 такие, что
(х11—А11г)Л+(х12—Л-20г)Л=Л при 11 Ф12, и будем искать в виде а = (А'-А—1'1)Г + ' ■ и1.
„ (и,'.'.'и '.'.'и '...А'©) 2 < 1 Ф1 < п
Тогда все реперы 1 11 12 п , где 2 <11 Ф12 <п, - унимодулярны.
Унимодулярность (и1' "'и ' ■'Ып'а) равносильно, как легко видеть, тому, что (1 + гг)Л + (х, , —А >г)Л = Л ^ /
V у V 1—1 ^ у .Тем самым 1 можно варьировать по модулю
п—1
п (^ — Аг)Л Л(и) 31ге ,
идеала 1 и, следовательно п, где 1 - идеал,
п—1
П ( х — А г)
порожденный всевозможными 1 . Однако, как уже отмечалось
выше, 1 = Л.
Из утверждения 1.7.2 следует, что
1.7.3. Для любого Л(и) 3 Йе1(и) ■Л
1.7.4. Снова выберем А'-'Лп—1 так, что (х — Аг)Л+(х2 —Аг)Л = Л при
г ^i2. Тогда цикл u можно записать в виде суммы стандартных циклов :
'(К
[м15..., ип ] = ^ (-1)'
к u1,..., и,..., uп
V 1
Заметим, что детерминант г - ого слагаемого равен единице при г -1 и
хы К-17 при г >1. Утверждение предложения справедливо, если
к-1
П(х -К7) ■ Ап
лежит в подмодуле . Разлагая в сумму, как в начале
доказательства, видим, что лежит в сумме таких подмодулей.
Осталось еще раз воспользоваться тем, что идеал, порожденный
к-1
П (X -V)
всевозможными г-1 совпадает с А .
2. Стандартные циклы и основная теорема
Предположим, что {^...А+Ле^), причем все собственные грани симплекса Н'-.'^} лежат в Р, т.е. {^<>>...>Д'."А^Ь р при всех г- 0'-.'Р +1.
а (з0,...,Зр+1 )-]Г (-1) (,90,...,Д ,...,3р+!)
г-0
лежит в (р) [7],[9] является, очевидно, циклом. Такие циклы будем называть стандартными Р - мерными циклами симплициальной схемы р и будем обозначать через [$0, • • •, др] .
Основную теорему статьи сформулируем следующим образом. Теорема 2.1 Для произвольного дедекиндова кольца А и любого п Н (ит( Ап))
группа п-2У у " порождается стандартными циклами.
Условимся считать, что группа Н-1 всегда порождается стандартными
Н Н
циклами, то же относится, конечно, и к группам -2' -3'".' которые всегда
ровны нулю. Отметим, кроме того, что группа Н о(Р) порождается стандартными циклами для любой симплициальной схемы F. Таким образом, утверждение теоремы справедливо при всех п - 2.
Для доказательства теоремы проследуем путь теоремы ацикличности [9] и докажем на каждом шаге не только ацикличность соответствующей симплициальной схемы, но и то, что младшая группа гомологий порождается стандартными циклами.
Начнём со следующих уточнений предложений 4.1 и 4.2 работы [9]. Предложение 2.2 Пусть р ^ - симплициальная схема, Х с V и d-натуральное число. Предположим, что
а) £(х)п р - d - ациклична и +1(г(Х) п р) порождается стандартными циклами
в) для любого ^-1)- симплекса таково, что г при
г -1 ^ е(Х)пр» ,,-(а-1) Н^ЩХ))пр
I 1'.. .' л схема у ; ^ > ациклична и а {91'-'9*} порождается
-1
теми стандартными циклами ^Ul,''', и4-з+з\, для которых \-и\,Л] является
14 у и у \1 Ц (, с. н
стандартным циклом в F, т.е {1'■■ ■. 5. ё-!+3У'■. ■. 5} при любом 1 и
{и,. ' ' ,иА^А,.'' А:,''' А} 6 Б е- Г
1 1 ' "-8+3' 1' ' J' ' ^ при любом 1 .
Тогда симплициальная схема Г-4- ациклична, И+1^К) порождается стандартными циклами.
Замечание 2.2.1 В формулировке условия в) рассмотрим особо случай ё-в+1 = А , т.е 8 = "+2. Условимся считать, что в этом случае
сформулированное условие означает, что для любого симплекса А,-А<1+2} 6 Г
такого, что 3 £ х при 1=1, ', "+2 , найдется и 6 х, для которого +2^
является стандартным циклом Г, т.е . {uАlr''Аlг'',А+1} 6рпри всех *.
Доказательство. Рассмотрим по схеме Г фильтрацию 5 [7], выведенной при доказательстве теоремы ацикличности [9] и покажем
индукцией по 5, что И+1(Г) порождается стандартными циклами. При в = 0
ч К =е(X) п Г _ Н.ЛИ ,)
утверждение следует из условия а), поскольку 0 ^ . Пусть 4+п 5-1'
К К
порождается стандартными циклами. При построении схемы 5 к 5-1
„ „ „ £(х) п иг ) * { (£(Х) п р ) * £ {=А^.'А*} 6 г
"склеевая" джойны 4 ' {' -1 относительно 11 ; ^ по всем
А £ х *=! 5 1 {
таким, что 1 при 1 = 5, где 7 , ■> соответственно означают множество всех граней и собственных граней симплициальной схемы Г . Обозначим через Ф симпли-циальную схему, которая была получена до "склеевания"
(£(х) п ^ *! и рассмотрим точную последовательность Майера- Виеториса[ 7],
[9]. „ „
И4+! (Ф) ^ И4+! (Ф и ((Е(х) п ) * {)) —^ И4 ((е(X) п ) * { ^ И, (Ф) = 0. Предположим, что Н порождается стандартными циклами. Для
Фи((е(Х) пИ,) *{) ~ .
доказательства того, что 1 обладает тем же свойством,
И 4{Ф и {{е{ X) п Г{) * {))
достаточно показать, что подгруппа стандартных циклов в 4 +1 1
сюръективно отображается на И((£(х)п*{)=Н^+1(Е(Х)пПо условию в)
И +х(е(Х)п) [и1,.'.,иё.,]
4-5+1 { порождается стандартными циклами 1 3 такими, что
р ^ является стандартным циклом (в 88). Тогда
Я,_+МХ)пГ,)-^Н((£(Х)пГ{)*{) цикл [и1,''',иа-8+з] переходит в К'..и^,] *[К'.'А].
и [иА = [и]*(3) + (-1)4-5+3(и)*А,'.'А ], , оогспч
Наконец, 1 5 (см. лемму 2.2 [8]), при этом первое
с*((£(х) пг,)*{) аи,) т/г
слагаемое в ^ 4 7 {/ а второе в п 5-1>. И, следовательно,
д([и, 3]) = 4([и] * (Я) = ±[и] * [3]
Предложение 2.3. В обозначениях 2.2 предположим, что
а) е(Х) п Р - й _ ациклична, Н+1(г(Х) п Р) порождается стандартными циклами.
в) Р*РП^(Х), для любой вершины МеРП£(Х) имеет место соотношение
X) п Р сР у.
c) Если М'(у'}е Р -е(х)пР и [м1"'"' и,+з] стандартный цикл в Р, то цикл
[м,,,...,мл+3] * [у, у']
11 й +3 является суммой стандартных.
^ т? V > 2 I=Й,..Д}£Р А* X 1 -1 8
d) Если 5 >2 и ] 11 5, причем 1 при 1 -1, ", 8 , то схема
е( X) п Р{ - (й - 5+1) И,+2(е(Х) п Рг)
4 7 1 4 7 _ ациклична, а группа й-5+2К у у ^ порождается теми
стандартными циклами [Ul,,''',и,-5+4] , для которых [иД] есть стандартный
цикл в Р . Тогда Р -(й +1)- ациклична и Н й+г(Р) порождается стандартными циклами.
Доказательство. Согласно условию в) схема Р1 является джойном
Р0-£(Х) П Р ф
0 4 у и непустого дискретного множества Ф , состоящего из
вершин Р , не лежащих в Х. Поскольку Н (Ф) - 0 при * * 0, то получаем,
чтоя*(Р1)-Н~-1(Р0)®Й0(Ф)(см. лемму 2.1[9] ). Следовательно,Р-(й +1) _
Н„Л Р) [и,,,-., и,+3] * [у, у'] [и,,,-., и,+3]
ациклична и й+2^ ^ порождается циклами 1 1 йи^/ J, где 1 !" й+3-1_
стандартный цикл Р пе(Х) и у * у е Ф. По условию с) заметим, что Н+2(Р порождается стандартными циклами. Далее доказываем индукцией по 5 >1,
что Р5 (й +1) _ ациклична и н-+2(Р) н й 2 ( Б5) порождается стандартными циклами. Это доказывается аналогичными рассуждениями, что и 2.2.
Перейдем к доказательству теоремы. Проведем доказательство индукцией по п. При п - 0,1,2 теорема тривиальна, так, что достаточно совершить индукционный переход. Итак, будем считать, что теорема верна при всех п < N, и покажем, что она справедлива и для н +1
Предложение 2.4 Пусть . Если п-к < N, то Н-2-к (е(Л") п
порождается стандартными циклами.
Доказательство. Проведем индукцию по п. Если п - 2 - к < 0, то доказывать нечего, так, что будем считать, что п > к + 3. При доказательстве
предложения мы можем заменить Д на аД' для любой матрицы а е такой, что аЛ" - Л". И можем тем самым считать, чтом, что п _ая координата А » т . А,.»,&, Д-1Д+Д
к равна единице п.2 [9] . Запишем Дг",Дк-1 в виде Д + Д , где п_ая координата ' равна нулю. Положим (е(Л")пи}) -F, Х -Л" ,й -п-к-3, и
воспользуемся 2.2. Тогда имеем : пГ £(А )п^А--9к!) £(А )п^А,Л) [9]. Эта схема 4 - ациклична в силу теоремы ацикличности и ее следствий [9] , и ее
И
группа 4+1 порождается стандартными циклами либо по индукционному
w'
предположению, если к >1, либо по условию, если к -1. Запишем ' в виде
w - ¡А + w' n w' гр
1 ni к 1, Где н_ая координата 1 равна нулю. Тогда
(s(X) n Fk.w}=s(X) пиш-£(А"А) АЛа] схема (n - к -s - 3)- (d - s) _ ациклична в силу
H
теоремы ацикличности и ее следствий [9], ее группа d -s+1 порождается стандартными циклами по предположению. Наконец, используя 1.6,
H (s(X) П F )
заключаем, что d-s-1 ) ^^ порождается стандартными циклами
[Щuci-s+i] такими, что есть стандартный цикл в U и тем более
[и,w] есть стандартный цикл в Ul>3'-'3k.. Тем самым условию 2.2 в) также
H (F)
выполнено. Согласно 2.2 заключаем, что d+l( ) порождается
стандартными циклами.
Предложение 2.5 Если n - N, то H-i(s(A"u(A"+ en+ù)nU порождается стандартными циклами.
Доказательство. Положим (s(A"u(A"+ en+J)nU -F,X -A",d -n -3 и применим 2.3. Справедливость условий 2.2 а) и в) очевидна, условие с) выполнено
1 -7 и s > 2 Av-As}е F S.i An
согласно 1.7. Наконец, пусть s >2 и 11 s> , при этом 1 при
1 -1,—,s. Тогда симплициальная схема s(A")nFs)-s(A").а-а}-(d-s-1)_ ациклична согласно теоремы ацикличности и ее следствий [8]. Ее группа
H
d-S+2 порождается стандартными циклами в силу 2.4, а согласно 1.6 в) она
порождается теми циклами ud-s+J, для которых цикл \-и>А есть
стандартный цикл в U. Тем самым условие 2.3 d) также выполнено. Из 2.3 H (F )
заключаем, что d+2( ) порождается стандартными циклами.
А А
Предложение 2.6 Пусть 1'""' s унимодулярный репер в Aœ . Тогда
H, .(s( An u ( An + е. )) П U..) подгруппа стандартных циклов в d-s-1^ n+\>> w порождается теми
циклами '■■■'Un-s+1'], для которых цикл \-и>А является стандартным циклом в U .
Замечание 2.6.1. При n -s - 0 утверждение означает, что существует
иеAnu(An + г,) {иХ-А„-А} ( то -n
V n+v такой, что все реперы 1 ' р ' р ' si _ унимодулярны (см. 2.2.1).
Предложение 2.7. Пусть Аг"Ак}eU. Если n -к - N, то группа Hd-i-k (s(A"u (A"+en+i)) "ад порождается стандартными циклами.
Доказательство 2.7 аналогично доказательству 2.4, с учетом 1.6.
Предложение 2.8. Группа HN-i(Um(A )) порождается стандартными циклами.
Доказательство. Положим F=Um(AM),J=A" и(A" +e»+i),d="-2 и воспользуемся 2.2. Условие 2.2 а) выполнено в силу 2.5, а условие 2.2 в) в силу 2.7. 3. Доказательство предложения 2.6.
Лемма 3.1 Предположим, что A -бесконечно. Пусть задано конечное число нетривиальных линейных форм от n переменных
fС^-.Тп) = а'0 + a{Ti +... + а'пТп, i =1,..,m.
Тогда существуют элементы 1г",1'п e A такие, что fi1) = 0, при
всех i.
Доказательство. Используем индуктивный метод. При п =1 утверждение вытекает из того, что нетривиальная линейная форма от одной переменной имеет не более одного нуля. Пусть п >1. Будем считать, что
t — п • t
ап = при i < к и ап * 0 при i > к. Применим индукционное предположение к
формам от f 1) * 0 при i =1' -'к и подберем элемент 1 так, чтобы он не обращал в ноль нетривиальные формы от функции одной переменной f(1,..,1,Т), i = к+1, ...,m т-т
i 1 п п .Из этой леммы следует следующие леммы
Лемма 3.2 Пусть A -бесконечно, 1e A -ненулевой идеал, x1,x e A, причем 1 + x1A + xA = A. Тогда найдется 1 e A такой, что 1 + (x1 + 1x)A = A. Если более того, задано конечное число нетривиальных линейных форм от
одной переменной fl = а<0 + аТ,( i = 1,", m), то 1 можно подобрать так, чтобы
fi(1) * 0 i i 1 при всех i .
г
Доказательство. Найти 1 e A такой, что 1 + (x1 + 1x)A = A можно
ввиду того, что s.r.A /1 < dimA /1 +1 <1 [1] . Выберем теперь ненулевой
t
2 2 2 z e I и будем искать 1 в виде 1= 2 + . Поскольку
I + (x1 + A.1x)A =1 + (x1 + A1x)A = A при любом z, то надо лишь подобрать
№ так, чтобы f (1 + №) * 0. Это возможно сделать согласно лемме 3.1,
f
так как линейные формы fi(1 + Tz) fi (21 +Tz)- нетривиальные.
Лемма 3.3 Пусть заданы элементы xx1rx'^ e A и число к (
п
x +Stixi *0 xA + x A = A 1 < к < п) такие, что а)x * 0, i=2 , в) i при i = ^к .Тогда
п
1 e A +2^ = 0 г-2x)A + (x,-1x)A = A
существуют 1 п такие, что в) i=2 и i 1 ' 1 1 7 , если
i *1 и один из индексов 1 не превосходит к.
Доказательство. Предположим сначала, что A -поле. Подберем в этом
я ,...,я г х- —ах ф 0 / — 2 и
случае 2' ' п таким образом, что 1 1 при 1 — п и положим
п
Я——X л
2 . Таким образом, можно ограничиться случаем, когда А не является полем, следовательно, бесконечно. Рассмотрим сначала случай к — 1 и проведем индукцию по п . Согласно условию а) линейная форма
X + (¿2Я2 + ... + ЧЯп )Х + гп (Хп — ЯпХ) — Х1 + гпХп + X ¿М
1—2
х — Я х о
не тривиальна. Заменяя 1 1 при подходящих Я, можем считать в
силу 3.1, что Х1 ^ Ф 0. Найдем, воспользовавшись 3.2, элемент Яп е А
х„ — Я х Ф 0 такой, что п п ,
(х + гпК) + ¿2х2 +... + tn—lхп—1 Ф 0, (х1 + 1пхп)А +(хп — Ях)А — А. Это можно сделать, поскольку соответствующие формы нетривиальны, (х + ¿пхп)А Ф 0 и (х1 + 1пхп)А + хпА + хА з хА + хА — А.
Заметим, что (х1 + ^пх,г)А + (Хп Ях)А — А. Заменив х1 на
х + ^ Я х х х — Я х „ 1 п п , п на п п хп, мы можем тем самым считать, что
п—1
хи Ф 0, х + X ¿х Ф 0, х А + хпА — А
1—2
В силу этих условий элементы хХ^.^хп,¿п—1 удовлетворяют требованиям леммы (к — 1). Применив к ним индукционное
предположение, найдем ^1,..., ¡п—1 такие, что
п—1
¡¡1+ХК — 0, (х1— ¡х)А +(х,- — ¡х)А — А при 2<у < п — 1. ^ Я — а х 1 — 1,.., п — 1 Я — 0
Теперь достаточно положить 1 ^ при ' ' , п . Будем теперь считать, что ^ — 2 и воспользуемся индукцией по к . /-1 /-ч 1 х,- х> —Ях
Согласно 3.1, заменив 1 на 1 1 при подходящих Я можем считать, что
х, Ф 0, .., х Ф 0, х + ^х Ф 0 т-т Г 1 г
3 ' ' п ' 1 2 2 . Подберем, пользуясь следствием 1.6 мы
найдем элемент Я е А такой, что
(х — Ях)А + (х + ¿2х2)х3 •.. • хпА — А, х2 — Ях ф 0, х + Я¿2х +
+ ¿зхз +.. +1пхп ф 0.
Из приведенных свойств следует, что
(х1 + Я1г1 х) А + (х2 — Ях) А — (х1 + ¿2х) А + (х2 — Я2х) А — А Таким
-у -у I У У- -у -у -у _ } -у
образом, заменив х1 на х1 2^2х и х2 на х2 2х будем впредь считать,
л, Ф 0 х + их +... + их Ф 0 ч хА + хА — А 1 Ф 2 что а) 2 , 1 33 п п ,в) 2 1 при 1Ф 2.
Условия а) и в) показывают, что элементы X2„Xl„Xз,•••,Xn„t ъ,—>^n удовлетворяют требованиям леммы с к, замененными на к — 1. В силу
предположения индукции существуют л,¡3,...,лn такие, что
n
Л + 11 - % ( X — Л\хх2 ) A + ( Xj — л xx2 ) A - A
если 1 и j _ различные индексы, отличные от двойки и один из них не
Ъ- т-г Xn. A + ( X- л ■ xXn, ) A — Xn. A + x ■ A — A j — о
превышает к. Поскольку 2 v 1 27 2 1 при 1 - 2,
X. - ¡л x i i X, - 0 то теперь достаточно положить 1 ^1 при 1 ^ 2, 2 .
Лемма 3.4 Предположим, что 3i,",3h—1 _ унимодулярный репер в An,
причем n _ая координата 3 равна единице. Тогда, прибавив n _ую координату к остальным с подходящими коэффициентами, можно добиться, чтобы An—1 _ часть репера 3 стала унимодулярной.
Доказательство. Согласно теореме Басса 1.3 группа GLn ( A
An
транзитивно действует на унимодулярных реперах в a , то найдется
ае GL (A) аЗ - е., 1 -1,..,n — 1 гпм/л гт
nV j такая, что 1 ^ ' ' [1],[14]. Положив
3 -а~1(е ) З З
n v n', мы получим вектор, дополняющий 1,'"> n—1 до унимодулярного n _репера. Вычтя из 3n подходящее кратное 3l, можно
считать далее , что n -ая координата n равна единице и, следовательно, 3 -. Прибавим n- ую координату к остальным с
коэффициентами Л1. Тогда мы получим (n 1 - репера вектором (0,-,0,1) . Из 1.2 заключаем, что An 1 - часть репера 3 - унимодулярна.
ик+1у..,31,..,3а е A
3
Предложение 3.5. Пусть заданы векторы Ul,.., Uk+1,-.,31,..,3s , причем а) и е Ak+1 + ek+s+1,и е Ak+s u(Ak+s + ek++) при 1 - 2,..,к +1.
\ и,.., и■,...,и 1,3 v
в) ^ ' " ' k+1' - унимодулярный репер при всех 1.
дк+s / дк+s \
Тогда существует Uo е A (A + ек+*+1) такой, что
1) v 0 1 ' ' ^ ' k+1 J - унимодулярный репер при 11 ^ 2.
2) U1''"'иUkl,3ly..,3iy..,3s ) - унимодулярный репер для любых 1 - 1,...,k +1,J - 1,...,s.
Доказательство. Рассуждая как при доказательстве 1.5 видим, что
3 е Ak+s+1 и и 3 3
J Применяя 3.4 к унимодулярному реперу, и..., k, и..., s, видим далее,
что прибавив +s + ^ - ую координату к первым к +s с подходящими коэффициентами, можно считать, что A -часть репера Uk :
унимодулярным. Подставив матрицу из можем считать, что репер
(и имеет вид, указанный в следующей таблице:
1 0... 0 0 ... 0 х Я
0 1....0 0..... 0 х, я
0 0.. .. 1 0 ..... . 0 хк Як
0 0.. .. 0 1 . 0 хк+1 Як+1
0 0.. .. 0 0..... . 1 хк+я Як + я
1 т 2. ■'к ¿к+1 . ... ¿к+я г 1 + я + к+я X лл 1—2
и1 и 2...ик «Я............ик+я и 0
Найдем "0 в виде указанной таблицей. Условие в) в этих обозначениях
принимает вид: хА+хА А при 1 где 1—2 .Требования 1) и 2) на
лк+я . ./ лк+я , \
вектор 0 и условие е А и (А + вк+я+1) налагают следующие ограничения
к+я
на Я; 1) (х —Ях)А +(ху —Ях)А — А, если 1Ф3 и 1 < 1 <к. 2) Я +Х Я = 0 или 1.
к +я
х +Х ¿х Ф 0
Очевидно, можно считать, что х Ф 0. Если 1—2 , то согласно 3.3,
к+я
А +ХА — 0
существует Я удовлетворяющее 1) и равенству 1—2 . Пусть
к+я
х +Х ¿¡х — 0
1—2 . Тогда элементы х, х1 + х X2,..., хк+я, ¿2,..., ^ удовлетворяют требованиям 3.3 и, следовательно, найдутся такие, что х1 +х—x¡x,х2 ¡2x, ',х ~КкХ попарно комаксимальны и комаксимальны с хк1 —¡k+lX,..., хк+я '¡к+*х и, кроме того,
к+я
¡1 + X¡iti — 0 Я——1 + аЯ—а
1—2 . Теперь достаточно положить А ¡, 1 при 1 — 2.
Отсюда имеем
Лемма 3.6. Пусть А - бесконечно и задана (к + 2) х 2 — матрица
а ... ак х I
А - Ьк У ^
Предположим, что хА+гА — уА+¿А —А, при любом 1=1,.",к матрица
/ лт
а х г
к+8
х = г- х —X
1—2
ь у 1у -унимодулярна. Тогда существуют Я1, .,Як, с е А такие, что
(а + Яг)А + (х + сг)А — А 1 Ф у _
1 ' К ' при 1Ф 1 матрица
(а + Я г а + А г х + сг ^
ь + ях ь + я. I у + сг Следствие 3.7. Пусть заданы векторы Ml,...,Мк+1,^1, .,^я е А , причем
-унимодулярна.
т
4 к+s+1
Y U е A
2. При любом 1 векторы U--- 'U1 '... ' Uk+2,33 — унимодулярны в совокупности.
Прибавив координаты с номерами k +s + 2,~. к первым (k +s +1) координатам, можно добиться, обозначив через 3 , Ak+s+1 — часть репера 3, чтобы выполнялось требование:
При 1 ф J векторы (ищ Uj , Uk+2,3) - унимодулярны в совокупности.
Доказательство. Помимо преобразований, указанных в формулировке, мы можем, очевидно, действовать на 14,3 матрицами из
GLk+s+1(A). Согласно 1.3 векторы 31r",3s лежат в Ak+s+2 и в силу 1.2 можно
ik+s+1 и.,...,и> ,3,...,3 — гтч
считать, что a — часть репера v ' k' v ' s унимодулярна. Таким
образом, подействовав на 11,3 матрицей из GLk+s+1(A, можно считать, что
и,3
имеют вид, указанный в следующей таблице:
1.....о о ... о a Ъ
о......1 о ...... о ак Ък
О---- о 1...... о ak+1 bk+1
о---- о о....... 1 ak+s bk+s
о.......о о.........о x y
о........о ^........ts о о
и1 ... Uk 31...... 3s Uk+1 Uk +2
5 5
*=У (л+1. (=У Фк+,
Положим *=1 *=1 . Легко видеть, что требования к векторам
иА в этих обозначениях превращается в требования, приведенные в
формулировке 3.6. Если Кг",К.с, -элементы, существование которых доказано в 3.6, то достаточно прибавить (к +й + 2) - ую координату к первым к
с коэффициентами К и к (к +в + 2) -ой с коэффициентами с.
и 6 Ак+5+1 + е
Следствие 3.8. В условиях 3.7 найдется вектор 0 к+5+2
[ип, и ,■■■, и ,■■■, Щ,') ] - ~ и,т 1 = 1 к + 2
такой, что 0 1 1 к+2 стандартный цикл в А} при 1 = +2.
Доказательство. Если (к +в + 2) - ая координата прибавляется к первым (к + 5 + 1) координатам с коэффициентами К, то надо взять и0 = (К,-,К+5+11 .
Доказательство предложения 2.6. Пусть ^и1''''"'ип-5+^ стандартный
На х 1(£(Ап и(Ап + еп+1) пиш) ъ * и*
цикл в 5-1 п+1 А] . Если хотя бы один из векторов 1 лежит в
Ап + е+1 о* - и 6 Ап и(Ап + г,)
п+1, то воспользовавшись 3.5 найдем 0 4 п+1' такой, что
[и0, Щ,'.., и,..., ип +]Г''А,''Л ] и
р р п-5+р р является стандартным циклом в и при всех
1 — 1, .,п-8-1. Тем самым стандартные циклы ^и0''Ul,''',^^Ып—я+1^ имеют вид, требуемый в 2.6, и утверждение следует из уже использованной ранее
п-5+1
«п-s+J =Z (-1) [«0. ^г... ui,..., «п-s+J u e An
формулы i=1 . Если все i , то можно
1 о - « e An + е. ~ [и0,u],'„,Ul.,'„,ип t+,l воспользоваться 3.8 и найти 0 п+1 такой, что 0 1 i "-s+u являются
стандартными циклами в . Эти циклы являются суммами циклов нужного вида по уже доказанному, и осталось вновь воспользоваться формулой.
Использованные источники:
1. Басс Х. Алгебраическая К-теория.- М.: Мир, 1973.
2. Васерштейн Л.Н. К1-теория и конгруэнц проблема // Мат.заметки. -1968.5. - C. 233 - 244.
3. Васерштейн Л.Н. О стабилизации общей линейной группы над кольцом // Мат. .сб. -1969. - 79, № 3. - C. 405 - 424.
4. Васерштейн Л.Н. Стабильный ранг колец и размерность топологических пространств. // Функцион. анализ и его прил.- 1971.- 5, № 2. - С. 17 - 27.
5. Васерштейн Л.Н. О стабилизации для K 2 -функтора Милнора // Успехи мат. наук.- 1975. - 30, № 1. -С. 224 - 237.
6. Вассерштейн Л.Н. О группе SL2 над дедекиндовыми кольцами арифметического типа //Мат. сб. - 1972, - 89, № 2.-С. 313 - 322.
7. Дольд А. Лекции по алгебраической топологии.- М.: Мир, 1976.
8. Зайналов Б.Р., Суслин А.А. Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа // Украинский мат.ж.. - 2012. -64, №11. - С. 1464 - 1476.
9. Зайналов Б.Р. Предацикличность над кольцами с бесконечными полями вычетов. // Украинский мат.ж.- 2016. - 68, № 2. - С. 202 - 216.
10. Касселс Дж., Фрелих А. Алгебраическая теория чисел. -М.: Мир, 1969.
GL
11. Суслин А.А. Гомологии п, характеристические классы и К-теория Милнора // Труды Мат. ин-та АН СССР. -1984.- 165. -С. 188 - 203.
12. Bass H. K-theory and stable algebra // Pubis math.Inst. hautes e' tudes scient.-1964. - № 22. - Р. 489 - 544.
13. Bass H., Milnot J., Serre J.P. Solution of the congruence subgroup problem SLn (n □ 3) and SP2n (n □ 2) // Pubis math.Inst. hautes e' tudes scient.- 1967,-№33,-P. 421 -499.
14. Van der Kellen W. Homology stability for linear groups. // Invent. Math.- 198. - №3.-Р. 269 - 295.
15. Van der Kallen W. Stability for K2 of Dedekind rings of arithemic type //Lect Notes Math.- 1981. - 854.- Р. 217 - 249.
16. Kolster M. On Injective stability for K2 // Lect . Notes Math.- 198.- 966.-Р. 128 - 169.
17. Kolster M. Improvement of K2 -stabillity under transitive actions of
elementary groups // J.pure and appl.algebra.- 1982.- 24. - № 3.- Р. 277 - 282.
18. Serre J.-P. Modules projectifs et espaces fibres a fibre vectorielle // Semin.P. Dubreil, Fac.Sci. Paris. - 1957-1958.- 23-1-23-18.
19. Suslin A.A. Stability in algebraic К - theory // Lect. Notes Math. - 1982.966. -Р. 304 - 334.
УДК 636.087.; 663.18
Иванникова Е.А. студент
кафедра прикладной биотехнологии Северо-Кавказский Федеральный университет
Россия, г. Ставрополь ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ОБОСНОВАННОСТЬ ПРОИЗВОДСТВА КОРМОВОГО ЛИЗИНА НА ПРЕДПРИЯТИЯХ САХАРНОЙ
ПРОМЫШЛЕННОСТИ Аннотация: в экономическом и биологическом отношениях перспективным препаратом микробиологического лизина является кормовой концентрат лизина, который помимо основного вещества, содержит еще целый комплекс биологически активных соединений. Установлено, что благодаря наличию этих компонентов, концентратная форма лизина по своей эффективности превосходит кристаллическую. Материальный расчет конечного продукта производства лизина.
Ключевые слова: кормовой лизин, биологическая ценность, жидкий концентрат, экономическая обоснованность
Ivannikova E., student Department of applied biotechnology North-Caucasus Federal University, Stavropol ECONOMIC SUBSTANTIATION OF THE PRODUCTION OF FODDER LASIN ON ENTERPRISES OF SUGAR INDUSTRY Abstract: in economic and biological relations, a promising preparation of microbiological lysine is the lysine feed concentrate, which, in addition to the basic substance, also contains a whole complex of biologically active compounds. It was found that due to the presence of these components, the concentrate form of lysine is superior to the crystalline form in its effectiveness. Material calculation of the final product of lysine production.
Keywords: fodder lysine, biological value, liquid concentrate, economic validity
Однако главная область применения синтетических аминокислот — улучшение качества кормовых растительных белков в животноводстве: путем добавления тех или иных недостающих аминокислот их ценность может быть доведена до уровня, соответствующего наиболее ценным белкам животного происхождения. При этом регулирование аминокислотного состава кормовых рационов обеспечивает не только существенное
