CC BY
9
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
THE PROBLEM OF STABILIZATION AND PRESENTATION IN THE ALGEBRAIC K-THEORY OF RINGS Zainalov B.R. (Republic of Uzbekistan) Email: [email protected]
Zaynalov Bakhodir Rasulovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor,
Pensioner,
SAMARKAND, REPUBLIC OF UZBEKISTAN
Abstract: the problem of stabilization and prebabilization in algebraic K-theory is analyzed in the article. In addition, stabilization and representation in the case of rings of arithmetic type are considered. For rings of arithmetic type with an infinite group of units, there are sufficient grounds for expecting that stabilization occurs one step earlier than the general theory predicts. The acyclicity theorem is proved. Applying the results obtained in homological stabilizations over arithmetic rings, important theorems are obtained. Keywords: algebraic K-theory, acyclicity, homology.
ПРОБЛЕМА СТАБИЛИЗАЦИИ И ПРЕДСТАБИЛИЗАЦИИ В АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ КОЛЕЦ Зайналов Б.Р. (Республика Узбекистан)
Зайналов Баходир Расулович - кандидат физико-математических наук, доцент, пенсионер, г. Самарканд, Республика Узбекистан
Аннотация: в статье анализируется проблема стабилизации и предстабилизации в алгебраической К-теории. Кроме того, рассматриваются стабилизация и предстабилизация в случае колец арифметического типа. Для колец арифметического типа с бесконечной группой единиц имеются достаточные основания ожидать, что стабилизация наступает на один шаг раньше, чем это предсказывает общая теория. Доказана теорема ацикличности. Применяя полученные результаты в гомологических стабилизациях над арифметическими кольцами, получены важные теоремы. Ключевые слова: алгебраическая К-теория, ацикличность, гомологии.
Проблема стабилизации является одной из классических в алгебраических К -теории. Основы этого направления заложили Серр и Басс. Проблема стабилизации для K и
K2 изучалась Бассом, Вассерштейном, Денисом, ван дер Калленом, Суслиным и
Колстером. После возникновения высшей K -теории эта проблема решена ван дер Калленом и Суслиным [1].
Стабилизация для колец арифметического типа наступает на один шаг раньше. Эти проблемы решены Вассерштейном, ван дер Калленом и Колстером. Проблема стабилизации связана с изучением симплициальных множеств, введенных ван дер Калленом и Суслиным, и доказательством теоремы ацикличности симплициального множества унимодулярных реперов. Вычисляя первую нетривиальную группу гомологий соответствующего симплициального множества, получим ответ на проблему предстабилизации [3]. В работе [2] получена достаточно сильная теорема ацикличности:
Теорема 1. Пусть А - ассоциативное кольцо с единицей. Тогда симплициальная схема s(A")fU = Um(A") - (n — r — 1) - ациклична. В частности, если А - дедекиндовое, то
Um( A" ) — (n — 3) - ациклична.
Теорема 2. Для дедекиндова кольца А и V" группа И п2(А") порождается стандартными циклами.
Для колец, имеющих не конечное поле вычетов:
Теорема 3. Симплициальная схема ит (А") - (" - й — 2) ациклична, группа
Н п_а_ 1(Цт( А" )) порождается стандартными циклами, где d - размерность Крулля кольца А.
Эта теорема применима для симплициального множества ван дер Каллена [2]: Теорема 4. Комплекс (иш(А"))— (" — d — 2) ацикличен, группа
2(к {иш{А"))) порождается стандартными циклами, т.е. циклами вида
•о^Л—й—1 ] = й—1), где V -попарно различны и —1 ) —
унимодулярный репер для всех , = 0,...," — d — 1.
Применяя полученные результаты в гомологических стабилизациях над арифметическим кольцами, получим важные теоремы [1]:
Теорема 5. Если А - дедекиндово кольцо арифметического типа с бесконечной группой единиц, то И0 (ОЦ (А), Ип_2 (ит( А"))) = 0, V".
Это теорема равной степени применима стандартным циклам симплициальных множеств ван дер Каллена и Суслина.
Теорема 6. Пусть - А - дедекиндово ^(^>) - кольцо, являющееся целым расширением кольца арифметического типа. Тогда И (ОЦ (А)) ^ И (ОЦ+1 (А)) - эпиморфизм I > р
и изоморфизм I > р +1.
Для рационального поля Q и дедекиндового кольца А арифметического типа получим рациональную гомологическую стабилизацию.
Теорема 7. Ир (ОЦч (А), Q) ^ Ир (ОЦ (А), Q) - эпиморфизм, " > р +1 и изоморфизм,
" > р + 2.
Список литературы /References
1. Зайналов Б.Р., Суслин А.А. Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа // Украинский мат. ж., 2012. 64. № 11. С. 1464-1476.
2. Зайналов Б.Р. Предацикличность над кольцами с бесконечными полями вычетов. // Украинский мат. ж., 2016. 68. № 2. С. 202-216.
3. Зайналов Б.Р. Предацикличность над дедекиндовыми кольцами высшей алгебраической К-теории колец // Вопросы науки и образования. № 8 (9), 2017.
