Предацикличность над дедекиндовыми кольцами высшей алгебраической К-теории колец Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ПРЕДАЦИКЛИЧНОСТЬ НАД ДЕДЕКИНДОВЫМИ КОЛЬЦАМИ ВЫСШЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ К-ТЕОРИИ КОЛЕЦ

Зайналов Б.Р.

Зайналов Баходир Расулович - кандидат физико-математических наук, доцент, пенсионер, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: работа посвящена доказательству теоремы о порождении стандартными циклами первой нетривиальной группы гомологий симплициальной схемы унимодулярных реперов над дедекиндовым кольцом.

Ключевые слова: стандартные циклы, гомологии, симплициальная схема, унимодулярные реперы, дедекиндовое кольцо.

УДК 512.7

Проблема стабилизации и предстабилизации является одной из классических в алгебраической К -теории [1], [6]. После возникновения высшей - теории [5] начались попытки доказывать теоремы о стабилизации для высших К -функторов[2], [3], [4], [7].

1. Свойства симплициальных схем унимодулярных реперов над дедекиндовыми кольцами.

Пусть А - произвольное кольцо т > П + Г.А, где S.r.A -стабильный ранг

кольца и (30,..., 3п ) - унимодулярный репер в Ат+1 [3].

Предложение 1.1. Прибавляя последнюю координату к первым т , можно

добиться, чтобы Ат - часть репера (30,...,3П)стало унимодулярной.

Доказательство. Проведем индукцию по П . Если П = 0 , то утверждения сразу следует из определения стабильного ранга. Заметим, что при доказательстве

утверждения мы можем заменить репер (30,...,3П) на (а$0,...,а$П) для любой

(*

. Кроме того можно заменить репер

матрицы а е ОЬт+1 (А) вида а =

V0 Ъ

(3>,...,3п) на (3 + \3п,-,3п—1 +Л-А,3) для любых, А,, е А. Пусть П > 1. В силу определения стабильного ранга, прибавив последнюю координату к первым

Ат

т можно считать, что А часть вектора 3 - унимодулярна. Поскольку группа

СЬт (А) транзитивно действует на унимодулярных векторах, т.к.

т > 8.Г.А + п > 8.Г.А +1, то можно считать далее, что 3П = (1,0,...0,*)т. Вычитая

теперь из 3 подходящие кратные 3П, можно считать, что 3 = (0, С01 )Т при

г = 0,...,п — 1, где ю, е Ат . Согласно 1.2 с) репер (ю0,...,юи_!) унимодулярен. По индукционному предположению прибавив (т +1) -ю координату

к координатам с номерами 2,...,т мы можем добиться, чтобы СО, = (ю г ,*) , где

(ю0,..., ю п—1 ) унимодулярный репер в А . Теперь А - часть репера

(3,,-Л)

имеет вид

0...0

о-..ю п-1

и, значит, унимодулярно [3]. Будем

считать, что А - дедекиндово кольцо [3].

Следствие 1.2. Если т > п + 2 и (30,...,$„)- унимодулярный репер в Ат+1,

то, прибавив последнюю координату к первым, можно добиться, что Ат - часть репера (30 ,...,3И ) стала унимодулярной.

Предложение 1.3. Пусть заданы векторы щ,...,е Ат-1,31 ,...,3^^ е Ат.

Предположим, что п < т и при любом г = 0,..., к векторы

и0,...,й1 уНИ^10дуЛЯрНЬ1 в совокупности. Прибавляя

последнюю координату к оставшимся, можно добиться, чтобы uо,...,Щ,31,..., 3п-к-1

обладали тем же свойством [3].

Доказательство следует из 1.1 и [4], следовательно, имеет место

Лемма 1.4. Пусть х,\,...,Лк,в,...,в е А, причем 5 > 1 и при любом I строка (х,Х ,в1 ,...,в) - унимодулярна. Прибавив к X ив подходящие кратные X, можно добиться, чтобы при любом I строка (X ,в , . ,в ) была унимодулярна.

Предложение 1.5. Пусть заданы векторы Щ,,...,Щ,3,...,3 е Аш, причем а) ыг е А + .в) (У,,,,,, иик ,\?х,<У') унимодулярный репер для любого

г = 1,..., к. Тогда существует

(и0,и1 й, ,ик,^,...,19,.)

1)

лк+5

Що е А такой, что

унимодулярный репер для любых Ц Ф/2

2) унимодулярный репер при любых

г = 1,...,к, ] = 1,..., 5. 3) При любом г = 1,...,к репер

-¿^...Д.. — -Я) унимодулярен.

Следствие 1.6. Пусть ,..., - унимодулярный репер в А . Тогда а) Подгруппа стандартных в Н^_2(е(А")п[3] группа порождена теми К,,...,М5-1], для которых [м1,,...,Щ5-1,51,...,55] является стандартным циклом Ц , т.е. при любых i,j реперы и

л

Мр.м,^^,^,..., ,..., ■ унимодулярны; в) если дополнительно 5 > 2 и, то подгруппа стандартных циклов Нп-5-1(б(А" ) пЦ^ ,...,$}) порождается теми [щ ,,...,и „__,+! ] , для которых [и, 3] является стандартным циклом в и .

Предложение 1.7. Пусть [щ,...,ми ] - стандартный цикл в Нп_2(ит(Ап )) и

3,3' е Ап + еп+1. Тогда цикл [и1,..., ип ] *[3,3] еНп-1(е(Ап и (Ап + еп+1) п Ц) является суммой стандартных циклов [3].

2. Стандартные циклы и основная теорема

Предположим, что {$о,...,3+1}е s(v), причем все собственные грани симплекса

{30,...,Зр+1} лежат в ¥\ т.е. | Д 1 € Т7 при всех /' = 0,...,р +1.

) — 0 ) лежит в ( ;(/• ) [3] является,

очевидно, циклом. Такие циклы будем называть стандартными р — мерными циклами симплициальной схемы ¥ и будем обозначать через [$0, •••

Теорема 2.1. Для произвольного дедекиндова кольца А и любого п группа

И 2(ит(Л"))

п 24 4 порождается стандартными циклами. Из работы [3] следует:

Предложение 2.2. Пусть ¥ с £(У) - симплициальная схема, X с V и d-натуральное число. Предположим, что: а) е(X) п ¥ - d - ациклична и Ий+1(е(X) п ¥) порождается стандартными циклами; в) для любого ^-1)- симплекса {3,...,3 }е ¥ таково, что X при I = 1,...,5 cхема £(Х)п3} — (й — 1) ацикличга и

И 1 (е (X)) п ¥ порождается теми стандартными циклами \_щ,..., 3 ], для

т.е. и

которых \щ ,3] является стандартным циклом в F, ......при любом /'

{ и, ,...,11^3,^ е Р ПРИ любом /. Тогда симплициальная

схема ¥ — й— ациклична, Н^ порождается стандартными циклами.

Предложение 2.3. В обозначениях 2.2 предположим, что: а) в^) п¥ — й -ацикличга, Иrf+1(£(X)п¥) порождается стандартными циклами;в) ¥Ф¥пе^), для любой вершины {>' | ё Г^I ¿> (X) имеет место соотношение £(Х (п/' С/' ,^ : с) Если {у}{у'}е¥ — 8(X)п¥ и \щ,,...,и^+3] стандартный цикл в ¥, то цикл [У]* является суммой стандартных; d) если .V > 2 и

/ = {3„...,3}е¥, причем 3 £ X при [ = 1,..., 8 , то схема )п¥/■ — (й — 5 + 1) - ацикличнa,

],

У^й—¿+4

a группа Ий ^(е^)п¥/) порождается теми стандартными циклами \щ, для которых \и, 3] есть стандартный цикл в ¥ . Тогда ¥ — (й +1) — ацикличга и И (¥) порождается стандартными циклами.

Предл°жение 2.4. Пусть{31,..., 3к }еП . Если П — к < N, то нп_2_к(е(Л") пи3з}) порождается стандартными циклами.

Доказательство. Проведем индукцию по п . Если п — 2 — к < 0, то доказывать нечего, так, что будем считать, что п > к + 3. При доказательстве предложения мы можем заменить 3 на (x3i для любой матрицы а е СЬ(Л) такой, что аЛп = Лп .

И можем тем самым считать, что п -я координата 3к равна единице п. 2 [3]. Запишем 3,...,3-1 в виде 3{=Л3+3\, где п -я координата 3\ равна нулю. Положим (е(Ап)пи{А л}) = ¥, X = Ап-1,сС = п-к-3, и воспользуемся 2.2. Тогда имеем:

(е(Х) п ^ = е(А-1) п П^ ...д}) = Е(А"-1) п П^

[3]. Эта схема С - ациклична в силу

теоремы ацикличности и ее следствий [3], и ее группа Н порождается стандартными циклами либо по индукционному предположению, если к > 1, либо по условию, если к = 1 . Запишем щ' в виде Щ = + Щ, где п -я координата равна нулю. Тогда

...... , =е(Х)пи<-л =£(А-1)пи,.

схема

(п -к- я - 3)=(С - я) - ациклична в силу теоремы ацикличности и ее следствий [3], ее группа На ^ порождается стандартными циклами по предположению. Наконец, используя 1.6, заключаем, что Н^^(е(Х) П ^}) порождается стандартными циклами

[щ,,...,и^+1] такими, что [щ, щ',3'] есть стандартный цикл в П и тем более [и, щ] есть стандартный цикл в ц Тем самым условие 2.2 в) также

выполнено. Из 2.2 заключаем, что ^ (^) порождается стандартными циклами.

Предложение 2.5. Если п < N, то Н^„_1(б(Ап и(Ап + еп+1))пП) порождается стандартными циклами.

Предложение 2.6. Пусть 31,...,3 унимодулярный репер в Аш. Тогда подгруппа

стандартных циклов в ^(А" + 0п+])) П порождается теми

циклами [щ,,...,м^+1], для которых цикл [и, 3] является стандартным циклом в П .

Предложение 2.7. Пусть {3{,...,3к }еП. Если п - к < N, то группа

(А ^ ( А + )) П и\) порождается стандартными циклами.

Предложение 2.8. Группа г(Пт(А^1)) порождается стандартными

циклами.

Доказательство. Положим ^ = 1/т(Ам+1), X - Ам и (Ам + <?д,+1),с/ = N - 2 и воспользуемся 2.2. Условие 2.2 а) выполнено в силу 2.5, а условие 2.2 в) в силу 2.7. 3. Доказательство предложения 2.6.

Лемма 3.1. Предположим, что А - бесконечно. Пусть задано конечное число нетривиальных линейных форм от п переменных

^(Т1,..,Тп) = а0 + аТ +... + оХ, г = 1,.

Тогда существуют элементы

X,. .,Хп е А такие, что ^(X, ., X ) = 0, при всех г.

Лемма 3.2. Пусть А - бесконечно, I е А - ненулевой идеал, X, X е А, причем I + ХхА + хА = А . Тогда найдется Х1 е А такой, что I + (хх + \х)А = А. Если более того, задано конечное число нетривиальных линейных форм от одной переменной = а'0 + а[Т,(г = 1,..,т), то X можно подобрать так, чтобы (X) Ф 0 при всех г.

т

Лемма 3.3. Пусть заданы элементы x, x1,..., хп, ^,.., £и е Л и число k (1 < k < П)

п

такие, что а)X Ф 0, х Ф 0, в)хЛ + хЛ = Л при I = 1,..,к .Тогда

¡=2

п

существуют Л,...,Яи е Л такие, что в)Л+^Л = 0 и

¡=2

X — Л х) Л + (X — Л ■ х) Л = Л, если / Ф у и один из индексов ¡, у не превосходит к .

Лемма 3.4. Предположим, что 3,.., 3: - унимодулярный репер в Лп, причем п -

я координата 3 равна единице. Тогда, прибавив п -ю координату к остальным с

подходящими коэффициентами, можно добиться, чтобы Л" 1 - часть репера 3 стала унимодулярной.

Предложение 3.5. Пусть заданы векторы и1,..,ик+1,...,31,..,35 е Лш, причем

а) щ е Аш + ек+^,и, е Ак+° и (А+ ек+а+1) при / = 2,..,к +1; в) У] „..„Н, ,3 - унимодулярный репер при всех /'. Тогда существует

и0еАк+!(Ак+! +ек+1+1)такой, что: 1) (и0,М,,,..,й([ 3)

унимодулярный репер при /, Ф/2.; 2) И,3-, ...,3 )

унимодулярный репер для любых i = \,„„к +\, ] =

Лемма 3.6. Пусть Л - бесконечно и задана (к + 2) х 2 — матрица

Предположим, что хА + гк = уА +1А = А, при любом 1 = 1,...,к матрица унимодулярна. Тогда существуют \,...,Лк,с е Л такие,

(а + Л2)Л + (х + С2)Л = Л при / Ф ] матрица

унимодулярна.

Следствие 3.7. Пусть заданы векторы и1,...,ик+1,31,...,35 е Лш, причем

1. //, е Ак >;Л. 2. При любом /' векторы (и^,...,ип...,ик+2,3)— унимодулярны в совокупности. Прибавив координаты с номерами к + 8 + 2,... к первым (к + 8 +1) координатам, можно добиться, обозначив через 3 , Лк+5+: — часть репера 3, чтобы выполнялось требование: при IФ ] векторы

(М|,Ц,,и^,,,,, ик+2 - унимодулярны в совокупности.

Следствие 3.8. В условиях 3.7 найдется вектор и0 е Лк+5+1 + такой, что

! \т а ... ак х 2

Ь1 ... ьк у 1,

( V 'а х 2

Ь у *

[и0,и1,,,,,и1,,,,,и/с+2]~ стандартный цикл в 1/{3} при 1 = 1,...,к + 2.

Доказательство предложения 2.6. Пусть \щ— стандартный цикл в ^(А" и (А" + еп+^ п Уф]). Если хотя бы один из векторов щ лежит в А" + еп+1, то воспользовавшись 3.5 найдем Щ £ Ап и (А" + еи+1) такой, что [ 1/0, Ы1,..., М(-,..., ип_а+1,..., ,..., (9,, ] является стандартным циклом в I/ при всех [ = 1,...,п-8-1. Тем самым стандартные циклы

[ , М], III,[ ] имеют вид, требуемый в 2.6, и утверждение следует

из уже использованной ранее формулы [w1r..,Un s+l] = ^(-1) [m0,и1г

u,..., u,..., M.

J. Если

все Щ £ A", то можно воспользоваться 3.8 и найти щ £ A" + еи+1 такой, что

являются стандартными циклами в . Эти циклы

являются суммами циклов нужного вида по уже доказанному, и осталось вновь воспользоваться формулой.

Список литературы

1. Басс Х. Алгебраическая К-теория. М.: Мир, 1973.

2. Зайналов Б.Р., Суслин А.А. Гомологическая стабилизация для дедекиндовых колец арифметического типа // Украинский мат. ж., 2012. 64. № 11. С. 1464-1476.

3. Зайналов Б.Р. Предацикличность над кольцами с бесконечными полями вычетов. // Украинский мат. ж., 2016. 68. № 2. С. 202-216.

4. Van der Kallen W. Stability for K2 of Dedekind rings of arithemic type // Lect Notes

Math., 1981. 854. Р. 217-249.

5. Kuillen D. Higher algebraic K-theory: I- Lect. Notes Math., 1982/ V. 966. Р. 77-139.

6. Serre J.-P. Modules projectifs et espaces fibres a fibre vectorielle // Semin.P. Dubreil, Fac.Sci. Paris, 1957 - 1958. 23-1-23-18.

7. Suslin A.A. Stability in algebraic К - theory // Lect. Notes Math., 1982. 966. Р. 304-334.

г=1