CC BY
5
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES
Научная статья УДК 539.3
doi: 10.18522/1026-2237-2023-2-4-14
ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГИХ МАТЕРИАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЭВОЛЮЦИОННЫХ АЛГОРИТМОВ
Михаил Игорьевич Карякинш, София Андреевна Егорова2
2 Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия 1 Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Республика Северная Осетия - Алания, Россия 'кагуаЫп @sfedu. ги я 2sofegorova@sfedu.ru
Аннотация. Изучена возможность восстановления параметров определяющих соотношений упругих материалов на основании экспериментов по одноосному растяжению нелинейно-упругого образца призматической формы и раздуванию полого цилиндра. Моделирование экспериментов осуществляется с использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости. Для описания механических свойств исследуемых объектов материала использованы потенциалы сжимаемых нелинейно-упругих сред - материал Блейтца и Ко и материал Мурнагана. На первом этапе решен ряд прямых задач. Для задачи о растяжении используются аналитические выражения зависимости приложенной нагрузки от кратности удлинения. Трехмерная задача о раздувании цилиндра сведена к нелинейной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для функции радиального смещения точек цилиндра. Во всех случаях построены диаграммы нагружения по заданным параметрам нелинейно-упругих моделей, которые в дальнейшем рассматриваются как исходные данные для обратной задачи, состоящей в восстановлении параметров. Задача сведена к нахождению минимума целевой функции, введенной по методу наименьших квадратов. В качестве средства анализа использованы два эволюционных алгоритма: Squirrel search algorithm (SSA), основанный на модели пищевого поведения популяции белок-летяг, и алгоритм дифференциальной эволюции (ДЭ) библиотеки SciPy. Показано надежное определение материальных параметров моделей с помощью эволюционных алгоритмов на основе диаграмм нагружения образцов, в том числе в условиях искусственного зашумления «экспериментальных» данных.
Ключевые слова: нелинейная упругость, большие деформации, полуобратный метод, материал Блейтца и Ко, материал Мурнагана, обратные задачи, эволюционный алгоритм
Для цитирования: Карякин М.И., Егорова СА. Вычисление коэффициентов определяющих соотношений нелинейно-упругих материалов с использованием эволюционных алгоритмов // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2023. № 2. С. 4-14.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
© Карякин М.И., Егорова С.A., 2023
Original article
PARAMETER IDENTIFICATION FOR CONSTITUTIVE RELATIONS OF A NONLINEAR-ELASTIC MATERIALS USING EVOLUTIONARY ALGORITHMS
Mikhail I. KaryakinSofia A. Egorova2
'•2Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia
'Southern Mathematical Institute - Branch of Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, Russia 'karyakin @sfedu. ru я 2sofegorova@sfedu.ru
Abstract. The possibility ofparameter identification for constitutive relations of materials based on uniaxial stretching of a nonlinear-elastic prismatic sample and on inflating a hollow cylinder has been studied. The experiments are modeled using the semi-inverse method of nonlinear theory of elasticity. To describe the mechanical properties of the studied objects, the potentials of compressible nonlinearly elastic media - Blatz and Ко material, and Murnaghan model are used. In the first stage, a series of direct problems are solved. Analytical expressions for the load-elongation dependence are used for the stretching problem. The three-dimensional problem of a cylinder inflation is reduced to a nonlinear boundary value problem for an ordinary second-order differential equation for the function of the radial displacement of cylinder points. In all cases, load diagrams are constructed based on the specified parameters of the nonlinearly elastic models, which are subsequently considered as initial data for the inverse problem of parameter identification. The problem is reduced to finding the minimum of the objective function which is defined as a least squares function. Two evolutionary algorithms were used for analysis: the Squirrel search algorithm (SSA), based on the model of the foraging behaviour of southern flying squirrel population, and the differential evolution algorithm (DE) from the SciPy library. Reliable identification of material parameters of models was shown using evolutionary algorithms based on load diagrams of samples, including condition of artificial noise of "experimental" data.
Keywords: nonlinear elasticity, large strains, semi-inverse method, Blatz and Ко material, Murnaghan material, inverse problems, evolutional algorithm
For citation: Karyakin M.I., Egorova S.A. Parameter Identification for Constitutive Relations of a Nonlinear-Elastic Materials Using Evolutionary Algorithms. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(2):4-14. (InRuss.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
Определение материальных характеристик упругих тел и материалов является одной из классических задач механики. Тем не менее она до сих пор не потеряла своей актуальности, что связано прежде всего с постоянным появлением новых типов изучаемых материалов, как конструкционных, так и биологических, а также используемых для их описания математических моделей. Настоящая работа посвящена решению задач определения материальных параметров моделей, используемых для описания нелинейно-упругих свойств. Материалы, способные претерпевать большие упругие деформации, находят сегодня широкое применение в машиностроении, медицине и многих других областях.
Задача идентификации материальных параметров моделей нелинейно-упругих материалов относится к большому классу коэффициентных обратных задач [1]. Их исследованию в целом, в том числе задачам определения механических свойств материалов, посвящено множество работ. В качестве экспериментальных методов для определения параметров моделей используются одноосное растяжение [2], двухосное растяжение [3], индентирование [4, 5]. В работе [6] восстановление параметров высокоэластичных материалов проведено на основе данных о раздувании мембраны, в [7] в качестве источника информации для восстановления коэффициентов использовано решение задачи о плоском кручении полого цилиндра. В настоящей работе задача вычисления коэффициентов определяющего соотношения нелинейно-упругого материала решается на
основе моделирования экспериментов по одноосному растяжению образца в форме прямоугольной призмы и раздуванию полого кругового цилиндра.
Одним из перспективных методов решения задачи определения механических свойств материалов и конструкций является применение эволюционных алгоритмов. В [8] показано надежное восстановление параметров моделей высокоэластичных материалов с использованием генетического алгоритма в сравнении с результатами регрессионного анализа средствами конечно-элементных комплексов ABAQUS и ANSYS. С использованием эволюционных алгоритмов в [9] решена задача идентификации локализованных эффектов в композитной слоистой пленке, в [10] - задача идентификации трещины в консольной балке Эйлера -Бернулли. В работе [11] реализован оригинальный генетический алгоритм идентификации механических свойств изотропных и анизотропных материалов по информации о волновом поле смещений на свободном участке границы тела.
В настоящей работе для определения материальных параметров нелинейно-упругого материала использованы алгоритм дифференциальной эволюции из пакета SciPy [12] и алгоритм беличьего поиска Squirrel search algorithm [13], предложенный исследователями из Делийского технологического института им. Нетаджи Субхаса в 2017 г.
Математические модели механических экспериментов
Одноосное растяжение образца. В отсчетной (недеформированной) и текущей (деформированной) конфигурациях исследуемый образец имеет форму прямоугольной призмы, боковые грани которой параллельны плоскостям декартовых координат. В ходе эксперимента реализуется одноосное напряженно-деформированное состояние за счет приложения к верхней и нижней граням образца равномерно распределенной нагрузки q; боковые грани образца остаются свободными. Процесс растяжения описывается следующим преобразованием:
X1 — йх^, Х2 — — кхз, (1)
где х1; х2, х3 и Хъ Х2, Х3 - декартовы координаты в отсчетной и текущей конфигурациях; а и к - продольная и поперечная кратности удлинения.
Градиент деформации С и мера деформации Коши - Грина G = С • Ст, соответствующие преобразованию (1), являются постоянными величинами и имеют вид
С = мг1г + ai2i2 + ki3i3, G = а21г1г + a2i2i2 + k2i3i3, где ¿1; i2, i3 - орты декартовой системы координат.
Раздувание цилиндра. Исследуемый образец представляет собой полый круговой цилиндр с внутренним и внешним радиусами г0 и гг. Деформация образца происходит за счет давления р, приложенного к его внутренней боковой поверхности и действующего по нормали к этой поверхности; верхний и нижний торцы цилиндра считаем свободными от нагрузки. Процесс раздувания описывается следующим полуобратным представлением:
R = /(г), Ф = <р, Z = z, (2)
где г, ср, z и R, Ф, Z - цилиндрические координаты в отсчетной и текущей конфигурациях соответственно; /(г) - функция радиального смещения точек цилиндра.
Геометрические характеристики деформации (2) имеют вид
С = f'(r)ereR +^р-е(реф + ezez, G = (f'(r))2erer + ^е^е,, + ezez,
где er, в(р, ez и eR, еф, ez - базисные векторы цилиндрических координат в отсчетной и текущей конфигурациях соответственно, штрихом обозначено дифференцирование по переменной г.
Для описания свойств материала образцов ограничимся рассмотрением изотропных гиперупругих моделей, свойства которых полностью описываются функцией удельной потенциальной энергии деформации W, задаваемой как функция главных инвариантов Ik = Ik{G) (к = 1, 2, 3) меры деформации Коши - Грина = trG, /2 = ^ (tr2G — trG2), /3 = detG.
Определяющее соотношение для тензора напряжений Пиолы D сжимаемого материала имеет в этом случае вид
D = Щс = Щс С . (3)
Производная WG находится по формуле
dW„ , dW , dW . ...
^ = + \ (4)
В настоящей работе будут использованы два варианта функции удельной потенциальной энергии.
Для материала Блейтца и Ко эта функция имеет вид [14, 15]
W = \fi ( ß [i, + ± (Z3-a - 1) - з] + (1 - ß) [/2/3-1 + i (/« - 1) - з]), (5)
где а, ß - безразмерные константы материала, а > 0, 0 < ß < 1. При малых деформациях параметр fi имеет смысл модуля сдвига, а параметр а связан с коэффициентом Пуассона v соотно-
V
шением а =-.
1-2V
Тензор напряжений Пиолы для этой модели с учетом (3) и (4) записывается как D = ц [ß(E - I^G'1) + ly- (Е 1г -G+ - /2)G-1)] • С, где Е - единичный тензор.
Вычисление компонент обезразмеренного тензора Пиолы D/fi требует знания двух материальных параметров: а и ß.
В модели Мурнагана [16] функция удельной потенциальной энергии представляет собой полином по степеням главных инвариантов меры деформации Коши - Грина
W = - [(—ЗА - 2ц + -1 + -) 1г + - (Я + 2ц - 31 - 2т) ¡1 +
4 2 2 2
+ (~2ц + Зт -1) /2 - т1г12 + ~6(l + 2m)l\ +1 (/3 - 1)], (6)
где Ä, ц - параметры Ляме; 1,т,п- константы Мурнагана.
2v -
Для обезразмеривания сделаем замены: L = —; т = —; п = -; А = - = ^ далее тильду будем опускать. Тогда выражение тензора Пиолы для модели Мурнагана примет вид
-D = - [ /хЕ (——--3Z + 771 — - + + Е (——--2 +-/ + -) +
ß 2 L 1 Vi —2v 2 1 2/ V 1 —2v 2 2/
+ G (2 - Зт +1) + /jGm - I2Em + hG'1^] ■ C.
Вычисление безразмерных напряжений в этом случае требует задания четырех параметров материала: v, I, т, п.
Далее будем считать, что внешние воздействия (растягивающая распределенная нагрузка q и внутреннее давление р) тоже обезразмерены делением на модуль сдвига материала fi.
Решение прямых задач
Одноосное растяжение. Задача об одноосном растяжении образца для обеих рассматриваемых моделей может быть решена аналитически. Поскольку тензор Пиолы в данном случае постоянен и, следовательно, автоматически удовлетворяет уравнениям равновесия
divD = 0, (7)
то определению подлежат лишь параметры а и к полуобратного представления (1). Связь между ними находится из условия отсутствия напряжений на боковой поверхности DX1 = D22 = 0.
Далее из краевого условия на торцах, состоящего в равенстве компоненты D33 величине растягивающей осевой нагрузки, определяется связь этой нагрузки с коэффициентом удлинения к.
Для модели Блейтца и Ко (5) условие отсутствия напряжений на боковой поверхности имеет
вид ß(a2 — а~4 ак~2 а) + (1 — /?)(а4 ак2 а — а~2) = 0, откуда а = к"5^1.
Из краевого условия на торцах получаем
/ 4а+1ч / 1 ч
q=ß[k-k га+1) + (l-ß) [к 2cc+i - k~3J. (8)
В случае использования модели Мурнагана для нахождения параметра а из граничных условий на боковой поверхности получаем биквадратное уравнение Аа4 + Ва2 + С = 0, коэффициенты которого имеют вид
А = —2(—1 + 2v)(21 + ттг),
В = [(1 - 2v)(41 -2ттг + ri)]k2 + 2v(121 + 2т + п) - 121 - 2т - п + 4,
С = (-2lv + 1)к4 + (2v (6/ - 2т + п + 2) - 61 + 2т - п)к2 + 2v(-91 - п - 2) +
+9/ + л - 4.
Из двух его вещественных корней выбирается тот, который для значения параметра k = 1, т.е. при отсутствии растяжения, обращается в единицу, что соответствует отсутствию расширения образца
а = /-J_[3Z-A + 2 + 2 + fc2p_ü_Z)_i+iV4,
yj 2 т+П L 2 2 V 2 2 / 2 J
где Х = к4 [m(m - п - 61) + п Q + 2/)] +
+к2 [m(-2m + 12/ - 8Ä + 2п - 4) + п + 2Ä - 4/ + 2) + 8/] +
+т(т + 8Ä - 61 - п + 4) + п Q + 21 - 2Ä - 2) + 4(Ä2 + 2Ä-21 + 1).
Из краевого условия на торцах получаем
fc(4i-2m+n) ( k(2lki+2Ä-el+2т-п)
64(21+т)2 V ^ 8(2i+m) v
Г = 12/ - 4Ä - 4 + 2т + п + к2(-Ы + 2т- п),
Z = 4m(8A — 6Z + m — п + 4) + п(8/ - 8 + п) + 8Я(2Я + 4 - п) + 16(1 -
-2/) + /с2[8т(-4А - 2 + 6/-m + n) + 2п(4А + 4 - 8/ - п) +
+32/] + к4[4т(—61 + т-п) + п(8/ + п)].
На рис. 1 в качестве примера приведены диаграммы растяжения, построенные при использовании упрощенного варианта модели материала Блейтца и Ко (а = ß = 0) и трех наборов материальных констант модели Мурнагана, соответствующих таким материалам [14], как сталь Rex 535: V = 0,269, / = -1,103, т = -8,064, п = -9,333, медь: v = 0,346, / = -2,264, т = -13,082, п = —33,375 и вольфрам: v = 0,272, / = —3,449, т = —5,781, п = —7,796.
0.200 0.175 0.150 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025
0.000
1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10
Рис. 1. Диаграмма растяжения образца модели Мурнагана из стали Rex 535 (штриховая линия), меди (сплошная линия), вольфрама (штрихпунктирная линия), а также для упрощенной модели Блейтца и Ко (пунктирная линия) / Fig. 1. The line patterns represent the stress-strain diagram for Murnaghan material with copper (solid line), tungsten (dash-dotted line) and steel Rex 535 (dashed line), parameters and also for simplified version of the Blatz and Ко material respectively (dotted line)
Раздувание цилиндрической трубки. Тензор напряжений Пиолы, соответствующий преобразованию (2), имеет следующую структуру: D = DrR(r)ereR + 0(рф(г)е(реф + Dzz(r)ezez.
Векторное уравнение равновесия (7) сводится к скалярному дифференциальному уравнению второго порядка относительно функции /(г)
dDrR(r) | Ргк(г)-Руф(г) = 0 dr г
Граничное условие на внутренней поверхности цилиндра, находящейся под действием гидростатического давления р, принимает вид [17] п ■ D = —р detC п ■ С~т.
Введем безразмерные величины f = r/rl5 f0 = г0/гъ f = f /гъ D = D/fi. Далее тильду будем опускать. Граничные условия для уравнения (9) перепишем в безразмерном виде
DrR = \ V г <Г-Г°< (10)
l 0, г = 1.
С помощью полуобратного метода трехмерная задача о раздувании цилиндра сведена к нелинейной краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка для функции радиального смещения точек цилиндра. В частности, для упрощенной модели Блейтца и Ко, когда а = /? = 0, краевая задача (9), (10) приводится к виду
= ( )3 |-p(/'(r))3/(r),r = Г0,
зг(/(г)) ' v J) t 0, г = 1.
Для модели Мурнагана краевая задача (9), (10) приводится к виду
Г = (-*■/' +Яр (11)
где iV = Xf=i Ni, D = г2 Zy=i Dj,
= r4(f '4 (Z + 2m) + 2/'2(-2Z + Я - 2m + 2) + 4/ - 41 + 2m - 4), N2 = 2r3ff (f'2(2l + m) - Al + 2Л - 2m + 2),
N3 = 2r2f2(f'2(l + m)-2l + À-2m + 2), N4 = 2r/'/3(2Z + m), N5 = /4(Z + 2m),
= r4(5/'4(Z + 2m) + 6/'2(—2/ + Я - 2m + 2) + 4/ - 41 + 2m - 4), D2 = 2r2/2(3//'2 - 2/ + A), D3 = /4Z,
m + iV6 + D3) = f-4Pr3/'r = ro, (12)
l 0, r = 1.
JV6 = 2r2/2(/'2Z — 21 + À).
Для численного решения подобных краевых задач использовался пакет SciPy [12]. На рис. 2 представлены диаграммы раздувания цилиндра - соотношение между приложенным безразмерным давлением р и радиусом деформированного цилиндра R(r0) при — = 0,9 для упрощенного
ri
варианта модели материала Блейтца и Ко и трех наборов материальных констант модели Мурнагана, соответствующих стали Rex 535, меди и вольфраму.
0.014 0.012 0.010 ^ 0.008
0.006 -0.004 0.002 -0.000
..-с-- >
* r-*"* —_____
,-ï" >
s? ■С'
A
0.90 0.91 0.92 0.93 0.94 0.95 0.96
R{r0)
Рис. 2. Диаграмма раздувания образца модели Мурнагана из стали Rex 535 (штриховая линия), из меди (сплошная линия), из вольфрама (штрихпунктирная линия), а также для упрощенной модели Блейтца и Ко (пунктирная линия) / Fig. 2. The line patterns represent the inflation diagram for Murnaghan material with copper (solid line), tungsten (dash-dotted line) and steel Rex 535 (dashed line), parameters and also for simplified version of the Blatz and Ко material respectively (dotted line)
Обратные задачи
Методы решения обратных задач. Цель дальнейшего исследования состоит в восстановлении параметров рассматриваемых нелинейно-упругих моделей на основе известных диаграмм нагружения. В настоящей работе вместо реальных экспериментальных данных будут использованы результаты решения прямых задач.
Задача восстановления параметров сводится к задаче нахождения минимума функции отклонения расчетных теоретических данных от экспериментальных с использованием метода наименьших квадратов. Входными данными являются точки диаграмм нагружения образцов: массив значений нагрузки yt и соответствующие этим значениям величины деформационного параметра /q (г = 1,..., М, М - число точек на диаграмме нагружения). В случае одноосного растяжения kt - это кратности удлинения образца, в случае раздувания - значения внутреннего радиуса деформированного цилиндра. Считая, что модель материала описывается параметрами х1,х2, —,хп, для каждого набора этих параметров можем вычислить теоретические значения нагрузки yl по известным значениям /с£. Тогда задача восстановления параметров Xj сводится к задаче нахождения минимума функции
F = ir=i(yi-yD2- (13)
В качестве средства численной минимизации в настоящей работе использованы алгоритм дифференциальной эволюции и алгоритм беличьего поиска.
Метод дифференциальной эволюции. Дифференциальная эволюция (ДЭ) - широко распространенный эффективный алгоритм многомерной математической оптимизации, относящийся к классу стохастических алгоритмов. Он был предложен Р. Сторном и К. Прайсом в 1995 г. и развит в их более поздних работах [18]. Алгоритм ДЭ использует некоторые идеи генетических алгоритмов, однако в отличие от последних полагается на мутацию, а не на кроссовер. Он является прямым, т. е. не требующим вычисления производных целевой функции, предназначен для нахождения глобального оптимума недифференцируемых, нелинейных, многоэкстремальных функций многих вещественных переменных. В настоящей работе используется его версия, реализованная в пакете SciPy языка Python [12].
Алгоритм беличьего поиска. Squirrel search algorithm (SSA) - алгоритм оптимизации, предложенный исследователями М. Jain, V. Singh и А. Rani в 2017 г. для решения неограниченных задач численной оптимизации [13]. Алгоритм имитирует пищевое поведение белок-летяг, обитающих в Европе и Южной Азии. Исходный алгоритм и различные его модификации успешно применялись при решении различных инженерных задач многоцелевой оптимизации в динамических системах [19], например для поиска оптимального потока мощности для конденсаторных устройств с тиристорным управлением [20].
Для алгоритма SSA размер популяции выбирался равным 50, для ДЭ - 15. Для обоих алгоритмов условием остановки являлось достижение задаваемого максимального числа итераций.
Восстановление параметров материала Блейтца и Ко. Для большой области значений параметров а, ß этой модели на диаграмме растяжения существует точка максимума, за которой следует падающий участок, где приложенная нагрузка убывает с возрастанием деформации, т.е. наблюдается потеря устойчивости образца [21]. Далее полагаем, что эксперименты моделируют устойчивое нагружение образцов, т.е. предельная величина нагрузки существенно меньше расчетной максимальной.
Обозначим через а*, ß* параметры материала, для которых решена прямая задача, т.е. по этим параметрам сгенерированы данные диаграммы нагружения, считающиеся «экспериментальными». Диапазон поиска материальных параметров а, ß, считающихся неизвестными, зададим соотношениями а е [—0,5а*; 1,5а*],/? е [0; 1].
Оба эволюционных алгоритма позволяют на основе информации о диаграмме растяжения образца за десять итераций практически точно восстановить значения параметров а* = ß* = 0, соответствующих упрощенной модели Блейтца и Ко: восстановленное значение а находится в диапазоне [0,499-0,5001], значение ß не превосходит 3 ■ Ю-4. На первый взгляд, такая высокая точность при решении обратной задачи связана исключительно с существованием простой аналитической формулы (8), описывающей растяжение. Представляется, что не менее важным об-
стоятельством является наличие небольшого количества (только двух) восстанавливаемых параметров в определяющем соотношении (5). Действительно, при рассмотрении обратной задачи нахождения этих параметров по диаграмме раздувания трубки, когда прямая задача не имеет аналитического решения, за те же десять итераций параметры а* и /?* восстанавливаются вполне удовлетворительно: в худшем случае вместо 0,5 получаем 0,498, а вместо нуля - 0,0013. Отметим также, что использование модели Блейтца и Ко не позволило сделать заключение о предпочтительности одного из двух эволюционных алгоритмов: для задачи о растяжении в среднем быстрее и точнее работал алгоритм ДЭ, а для задачи о раздувании - алгоритм SSA.
Восстановление параметров материала Мурнагана. В качестве примера решения обратных задач для этой модели ограничимся набором значений, соответствующих стали Rex535 [14]: v = 0,269, I = -1,103, m = -8,064, п = -9,333.
При проведении расчетов будем считать, что параметры Ляме, или модули упругости первого порядка, известны, т.е. коэффициент v задан, а искомыми являются только модули упругости второго порядка, или параметры Мурнагана: I, т, п. Вопрос области поиска параметров по известной диаграмме не является тривиальным, поскольку и в этом случае возможны как явления потери устойчивости при растягивающих нагрузках, так и целый ряд других особенностей этой модели, делающей ее механически некорректной при некоторых значениях коэффициентов или величины деформационной характеристики [22]. Для указанных выше параметров в качестве области поиска был выбран диапазон ±50 % от известного значения для каждой константы, позволяющий в ходе расчетов не выходить за пределы корректности задачи.
В таблице представлены средние по пяти прогонам алгоритмов SSA и ДЭ найденные значения параметров I, т, п; количество итераций алгоритмов равно 100.
Определение параметров Мурнагана с помощью алгоритмов ДЭ и SSA / Murnaghan parameters identification using DE and SSA
Алгоритм Параметры Мурнагана Целевая функция F(l,m, п)
1 m п
-1,103 -8,064 -9,333
Одноосное растяжение ДЭ -1,103 -8,064 -9,333 1,15е-21
SSA -0,982 -8,086 -9,224 1,69е-11
Раздувание ДЭ -1,052 -8,072 -8,966 1,67е—10
SSA -1,101 -8,064 -14,000 1,55е-13
Следует обратить внимание, что метод дифференциальной эволюции и для этой модели оказался предпочтительнее в случае одноосного растяжения. В случае же раздувания трубки ситуация менее однозначна. Она усугубляется тем, что, как показали расчеты, диаграмма нагружения в этом случае гораздо менее чувствительна к параметру п: ошибка в его определении на 50 % не влияет на итоговое значение целевой функции (13); более важными для ее минимизации являются параметры I и т. Вопрос чувствительности решения прямой задачи к материальным параметрам требует отдельного исследования.
Учет возможной зашумленности данных. Аналитические формулы, описывающие диаграмму нагружения, позволяют достаточно быстро осуществить первичный анализ влияния шума в исходных данных на качество восстановления материальных параметров. Для моделирования шума решение прямой задачи искажалось добавлением ко всем значениям растягивающей нагрузки случайных значений, которые считались равномерно распределенными в диапазоне [—0,05утах> 0,05ушах], где ушах - максимальное значение нагрузки на исследуемой диаграмме нагружения. В случае модели Блейтца и Ко, описывающей высокоэластичные тела, это максимальное значение соответствовало деформации образца на 100 %, а в случае модели Мурнагана - деформации на 8 %.
На рис. 3 результаты восстановления параметров модели Блейтца и Ко и Мурнагана при использовании пятисот итераций алгоритма 88А представлены в графическом виде. Что касается количественных характеристик этого восстановления в случае материала Блейтца и Ко
ISSN 1026-2237В ULLEHN OF HIGHER ED UCA TIONAL INSTITUTIONS. NORTH CA UCASUS REGION. NA TUR4L SCIENCE. 2023. No. 2
(а* = /?* = 0), найденные значения параметра а находились в диапазоне[0,485-0,488], а значение параметра /? не превосходило 0,001. Для материала Мурнагана при указанном способе моделирования зашумленности исходных данных параметры I и п определялись с погрешностью до 50 %, а вот параметр т восстанавливался достаточно надежно: погрешность его определения не превосходила 5 %, т.е. не превосходила ошибку в исходных данных.
1Z
1Ü
00
Рис. 3. Определение параметров моделей: а - Блейтца и Ко; б - Мурнагана. Сплошная линия -зашумленная диаграмма растяжения; штриховая линия - результат работы алгоритма SSA / Fig. 3. Parameter identification of models: a - for Blatz and Ко; b - Murnaghan material. Solid line - experimental stress-strain diagram; dashed line - result of using SSA
Заключение
В работе смоделированы эксперименты по одноосному растяжению образца призматической формы и по раздуванию полой круговой цилиндрической трубки. Для описания механических свойств исследуемых объектов использованы употребительные модели сжимаемых нелинейно-упругих тел - материал Блейтца и Ко и материал Мурнагана. Диаграмма нагружения, т.е. зависимость между приложенной нагрузкой и деформационным параметром, в задаче о растяжении бруса строится на основании аналитических формул, в задаче о раздувании - путем решения нелинейной краевой задачи для дифференциального уравнения второго порядка. Построенные решения прямых задач используются далее в качестве входных данных для анализа модельных обратных задач о восстановлении параметров функции энергии нелинейно-упругого материала по данным о его диаграмме нагружения. Возникающие в ходе этого анализа задачи минимизации функций решались с использованием двух эволюционных алгоритмов. Полученные результаты восстановления параметров материала, в том числе для зашумленных входных данных, позволяют говорить об эффективности и перспективности применения рассмотренных эволюционных алгоритмов к решению задач идентификации параметров математических моделей. Среди важных направлений будущих исследований следует выделить расширение круга моделируемых экспериментов, в том числе с использованием конечно-элементных схем, анализ чувствительности данных экспериментов различного типа к материальным параметрам - коэффициентам моделей, а главное - использование в расчетах данных, полученных в реальных экспериментах.
Список источников
1. Всипульян А.О. Обратные задачи в механике деформируемого твердого тела. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2007. 224 с.
2. Brunei П., Ambard D., Dufour П., Roche Р.Н., Costalat V., Jourdan F. Rupture limit evaluation of human cerebral aneurysms wall: Experimental study// J. of Biomechanics. 2018. Vol. 77. P. 76-82.
3. Evin M., Sudres P., WeberP., Godio Raboutet Y., Amoux P.-J., Wagnac E., Petit Y., TiUier Y. Experimental Bi-axial tensile tests of spinal meningeal tissues and constitutive models comparison // Acta Biomaterialia. 2022. Vol. 140. P. 446-456.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONS INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
4. Haddad S.M.H., Dhaliwal S.S., Rotenberg B. W., Ladak H.M., Samani A. Estimation of the hyperelastic parameters of fresh human oropharyngeal soft tissues using indentation testing // J. of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. 2020. Vol. 108. P. 103798.
5. Suzuki R., Ito K., Lee Т., Ogihara N. Parameter identification of hyperelastic material properties of the heel pad based on an analytical contact mechanics model of a spherical indentation // J. of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. 2017. Vol. 65. P. 753-760.
6. Zhou L., Wang S., Li L., Fu Y. An evaluation of the Gent and Gent-Gent material models using inflation of a plane membrane // International J. of Mechanical Sciences. 2018. Vol. 146-147. P. 39-48.
7. Ватульян А. О., Сухое Д.Ю. Об одном методе определения параметров упругих потенциалов // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2012. № 4. С. 27-32.
8. López-Campos J.A., Segade A., Casarejos Е., Fernández J.R., Días G.R. Hyperelastic characterization oriented to finite element applications using genetic algorithms // Advances in Engineering Software. 2019. Vol. 133. P. 52-59.
9. Gomes G.F., de Almeida FA. Tuning metaheuristic algorithms using mixture design: Application of sunflower optimization for structural damage identification // Advances in Engineering Software. 2020. Vol. 149. P. 102877.
10.Moezi S.A., Zakeri E., Zare A. A generally modified cuckoo optimization algorithm for crack detection in cantilever Euler-Bernoulli beams // Precision Engineering. 2018. Vol. 52. P. 227-241.
11 .Баранов И.В., Ватульян A.O., Соловьев A.H. Об одном генетическом алгоритме и его применении в обратных задачах идентификации упругих сред // Вычислительные технологии. 2006. № 3. С. 14-25.
12. SciPy. Fundamental algorithms for scientific computing in Python. URL: https://scipy.org/ (дата обращения: 15.11.2022).
13 .Mohit J., Singh V., Rani A. A novel nature-inspired algorithm for optimization: Squirrel search algorithm // Swarm and Evolutionary Computation. 2019. Vol. 44. P. 148-175.
14.Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
15 .BlatzP.J., Ко W.L. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials // Transactions of the Society of Rheology. 1962. Vol. 6. P. 223-251.
16. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Wiley, 1951. 140 p.
17. Зубов JI.M. Методы нелинейной теории упругости в теории оболочек. Ростов н/Д.: Изд-во Рост, унта, 1982. 144 с.
18. Storn R., Price К. Differential Evolution - a simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces // J. of Global Optimization. 1997. Vol. 11. P. 341-359.
19. Wang Y., Du Т., Liu Т., Zhang L. Dynamic Multiobjective Squirrel Search Algorithm Based on Decomposition With Evolutionary Direction Prediction and Bidirectional Memory Populations // IEEE Access. 2019. Vol. 7. P. 115997-116013.
20. Harikal M., Balasubbareddy M. A Novel Squirrel Search Optimization Algorithm for Solving Optimal Power Flow Problem with TCSC Device // J. of Interdisciplinary Cycle Research. 2020. Vol. XII, is. VII. P. 13041310.
21 .Корякин М.И. Равновесие и устойчивость растягиваемого нелинейно-упругого стержня // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 4. С. 22-27.
22. Корякин М.И., Обрезков Л.П. Устойчивость цилиндра из материала Мурнагана при растяжении, сжатии и раздувании // Проблемы прочности и пластичности. 2019. Т. 81, № 1. С. 30-39.
References
1. Vatulyan А.О. Inverse problems in the mechanics of a deformable solid. Moscow: FIZMATLIT Publ.; 2007. 224 p. (In Russ.).
2. Brunei H., Ambard D., Dufour H., Roche P.H., Costalat V., Jourdan F. Rupture limit evaluation of human cerebral aneurysms wall: Experimental study. Journal of Biomechanics. 2018;77:76-82.
3. Evin M., Sudres P., Weber P., Godio Raboutet Y., Arnoux P.-J., Wagnac E., Petit Y., Tillier Y. Experimental Bi-axial tensile tests of spinal meningeal tissues and constitutive models comparison. Acta Biomaterialia. 2022;140:446-456.
4. Haddad S.M.H., Dhaliwal S.S., Rotenberg B.W., Ladak H.M., Samani A. Estimation of the hyperelastic parameters of fresh human oropharyngeal soft tissues using indentation testing. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Materials. 2020;108:103798.
5. Suzuki R., Ito K., Lee Т., Ogihara N. Parameter identification of hyperelastic material properties of the heel pad based on an analytical contact mechanics model of a spherical indentation. Journal of the Mechanical Behavior of Biomedical Ma teria Is. 2017;65:753-760.
6. Zhou L., Wang S., Li L., Fu Y. An evaluation of the Gent and Gent-Gent material models using inflation of a plane membrane. International Journal of Mechanical Sciences. 2018; 146-147:39-48.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 2
I. Vatulyan A.O., Sukhov D.Yu. On a method for determining the parameters of elastic potentials. Ekologicheskii vestnik nauchnykh tsentrov ChES = Ecological Bulletin of Research Centers of the Black Sea Economic Cooperation. 2012;(4):27-32. (InRuss.).
8. López-Campos J.A., Segade A., Casarejos E., Fernández J.R., Días G.R. Hyperelastic characterization oriented to finite element applications using genetic algorithms. Advances in Engineering Software. 2019;133:52-59.
9. Gomes G.F., de Almeida F.A. Tuning metaheuristic algorithms using mixture design: Application of sunflower optimization for structural damage identification. Advances in Engineering Software. 2020; 149:102877.
10. Moezi S.A., Zakeri E., Zare A. A generally modified cuckoo optimization algorithm for crack detection in cantilever Euler-Bernoulli beams. Precision Engineering. 2018;52:227-241.
II. Baranov I.V., Vatulyan A.O., Solov'ev A.N. On a genetic algorithm and its application in inverse problems of identification of elastic media. Vychislitel'nye tekhnologii = Computational Technologies. 2006;(3): 14-25. (In Russ.).
12.SciPy. Fundamental algorithms for scientific computing in Python. Available from: https://scipy.org/ [Accessed 15th November 2022].
13. Mohit J., Singh V., Rani A. A novel nature-inspired algorithm for optimization: Squirrel search algorithm. Swarm and Evolutionary Computation. 2019;44:148-175.
14. Lur'e A.I. Nonlinear theory of elasticity. Moscow: Nauka Publ.; 1980. 512 p. (In Russ.).
15. Blatz P.J., Ко W.L. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials. Transactions of the Society ofRheology. 1962;6:223-251.
16. Murnaghan F.D. Finite deformation of an elastic solid. New York: Wiley Publ.; 1951. 140 p.
17.Zubov L.M. Methods of nonlinear elasticity theory in shell theory. Rostov-on-Don: Rostov University Press; 1982. 144p. (InRuss.).
18. Storn R., Price K. Differential Evolution - A simple and efficient adaptive scheme for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization. 1997; 11:341-359.
19. Wang Y, Du Т., Liu Т., Zhang L. Dynamic Multiobjective Squirrel Search Algorithm Based on Decomposition With Evolutionary Direction Prediction and Bidirectional Memory Populations. IEEE Access. 2019;7:115997-116013.
20. Harikal M., Balasubbareddy M. A Novel Squirrel Search Optimization Algorithm for Solving Optimal Power Flow Problem with TCSC Device. Journal of Interdisciplinary Cycle Research. 2020;XII(VII): 1304-1310.
21.Karyakin M.I. Equilibrium and stability of the stretching nonlinearly elastic rod. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki = Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2007;(4):22-27. (InRuss.).
22. Karyakin M.I., Obrezkov L.P. Stability of a cylinder from Murnaghan material under stretching, compression and inflation. Problemy prochnosti i plastichnosti = Problems of Strength and Plasticity. 2019;81(l):30-39. (In Russ.).
Информация об авторах
М.И. Карякин - доктор физико-математических наук, доцент, директор Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет; старший научный сотрудник, отдел дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН.
С.А. Егорова - магистрант, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича.
Information about the authors
M.I Karyakin - Doctor of Science (Physics and Matematics), Associate Professor, Department of Elasticity Theory, Director of Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University; Senior Researcher, Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences.
S.A. Egorova - Master, Department of Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University.
Статья поступила в редакцию 22.12.2022; одобрена после рецензирования 16.01.2023; принята к публикации 19.05.2023. The article was submitted 22.12.2022; approved after reviewing 16.01.2023; accepted for publication 19.05.2023.
