CC BY
30
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2020. № 2
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
УДК 539.3 DOI 10.18522/1026-2237-2020-2-53-60
РАСТЯЖЕНИЕ И РАЗДУВАНИЕ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО НЕОДНОРОДНОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА
© 2020 г. М.И. Карякин1,2, Л.П. Обрезков3
'Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, Россия, 2Южный математический институт — филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия
3ЛТУ-Университет, Лаппеенранта, Финляндия
STRETCHING AND INFLATING THE NONLINEAR ELASTIC INHOMOGENEOUS HOLLOW CYLINDER
М.1. Karyakin1'2, L.P. Obrezkov3
'Southern Federal University, Rostov-on-Don, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz, Scientific Centre, Russian Academy of Science, Vladikavkaz, Russia
3LUT University, Lappeenranta, Finland
Карякин Михаил Игоревич - доктор физико-математических наук, доцент, кафедра теории упругости, директор Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, Россия; старший научный сотрудник, отдел дифференциальных уравнений, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: karyakin@sfedu.ru
Обрезков Леонид Павлович - научный сотрудник, ЛТУ-Университет, Юлиопистонкату, 34, Лаппеенранта, 53850, Финляндия, e-mail: Leonid.Obrezkov@lut.fi
Mikhail I. Karyakin - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Department of Theory of Elasticity, Director of Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science, Southern Federal University, Milchakova St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Senior Researcher, Department of Differential Equations, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: karyakin@sfedu. ru
Leonid P. Obrezkov - Researcher, LUT University, Yliopis-tonkatu 34, 53850, Lappeenranta, Finland, e-mail: Leonid. Obrezkov@lut.fi
Исследовано влияние неоднородности материальных свойств на процесс трехмерной потери устойчивости полого цилиндра, растягиваемого осевой силой и нагруженного по внешней или внутренней боковой поверхности равномерным давлением. Для описания механических свойств материала цилиндра использованы две общеупотребительные модели нелинейно-упругого поведения сжимаемых материалов - трехконстантная модель Блейтца и Ко и пятиконстантная Мурнагана. Посредством полуобратного метода трехмерная задача о равновесии цилиндра сведена к исследованию нелинейной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Анализ устойчивости проводился на основе линеаризации уравнений равновесия в окрестности построенного решения. Деформационные характеристики, при которых существовали нетривиальные решения однородной краевой задачи для получаемых в процессе линеаризации уравнений нейтрального равновесия, отождествл я-лись с критическими значениями параметров нагружения, т.е. значениями, при которых система теряет устойчивость. В качестве таких параметров использовались, в частности, коэффициенты растяжения радиального расширения цилиндра, а также безразмерная характеристика приложенного давления. На плоскости параметров нагружения определены области устойчивости. Проанализировано влияние неоднородности на размер и форму этих областей.
Ключевые слова: растяжение, неоднородность, устойчивость, потеря устойчивости, полуобратный метод, бифуркация, большие деформации.
The influence of the inhomogeneity of material properties on the process of three-dimensional stability loss of a hollow cylinder stretched by axial force and loaded by uniform pressure on the outer or inner side surface is investigated. We used two standard models describing the compressible nonlinearly elastic material's mechanical properties, namely the three-constant Blatz and Ko model, as well as the five-constant Mournaghan model. Usage of the semi-inverse method allows the reduction of a three-dimensional cylinder equilibrium problem to the study of a nonlinear boundary-value problem for an ordinary second-order differential equation. Stability analysis was carried out based on the linearization of the equilibrium
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
equations in the vicinity of the constructed solution. The value of a deformation characteristic for which there were nontrivial solutions of a homogeneous boundary-value problem for the equations of neutral equilibrium obtained in the linearization process was identified with the critical value of the loading parameter, i.e., the value at which the system loses stability. The coefficients of the cylinder's stretching or radial expansion and the dimensionless characteristic of the applied pressure served as such parameters. On the plane of the loading parameters, stability regions are determined. The influence of heterogeneity on the size and shape of these regions is analyzed.
Keywords: stretching, heterogeneity, stability, buckling, semi-inverse method, bifurcation, finite strains.
Введение
Конструкции в форме цилиндрических оболочек используются практически во всех областях и сферах современной промышленности: в судостроении, самолетостроении, гидротехнике, при возведении промышленных и гражданских объектов, дорожном и подземном строительстве. В большинстве случаев для их расчетов достаточно двумерных теорий, однако в ряде задач существенно важен учет толщины. Интерес представляет исследование поведения толстостенного полого цилиндра как трехмерного тела. Впервые задача упругой деформации такого объекта (полого однородного цилиндра) под действием внутреннего и внешнего давления в рамках линейной теории упругости была решена Г. Ляме еще в 1831 г. Анализу устойчивости цилиндрических конструкций в рамках трехмерной теории уделяется большое внимание с начала XX в. [1]. При этом в большинстве случаев рассматривается деформация при сжимающих напряжениях, хотя потеря устойчивости может возникать и при растягивающих. В этих случаях потеря устойчивости имеет ряд характерных особенностей. Она наступает при больших деформациях, что требует учета как геометрической, так и физической нелинейности в уравнениях теории упругости. Кроме того, она возможна не для всех моделей материалов. Так например, цилиндры из материала Киргхофа -Сен-Венана устойчивы при любых растягивающих напряжениях вдоль радиальной и осевой координаты, а состояние одноосного растяжения - для материала Муни [2].
В большинстве работ анализ устойчивости выполнялся в предположении об однородности материала. Однако однородные конструкции не всегда являются оптимальным решением инженерных задач, особенно в экстремальных условиях [3], например при большом давлении или при взаимодействии с агрессивной коррозионной средой. В таких случаях предпочтение отдается, как правило, неоднородным многослойным объектам. Двухслойные и трехслойные цилиндры часто используются в трубопроводах, газоотводящих трактах и дымовых, вентиляционных трубах и т.д. Поэтому проблема устойчивости многослойных конструк-
ций имеет важное значение с практической точки зрения. Существенную роль при этом может играть и учет возможной неоднородности конструкций, поскольку микроструктура материала может существенно влиять на прочностные характеристики трехмерного объекта [4].
В этой работе будет рассмотрен ряд задач устойчивости неоднородных полых цилиндров из сжимаемых материалов при раздувании и растяжении для трех различных типов неоднородности материала.
Равновесие и устойчивость цилиндра с переменным модулем сдвига
Рассмотрим цилиндр, материальные свойства которого описываются моделью материала Блейтца и Ко [5]. Функция удельной потенциальной энергии определяется формулой
W = \М1 -ß)
+2 &
12 /3"1 + Z (1)-3 1 (IГ-1)-3
rv \ /
(1)
При малых деформациях параметр и имеет смысл модуля сдвига, параметр а связан с коэф-
V
фициентом Пуассона V выражением а — ———-.
Материальный параметр ¡е[0,1] является чисто
нелинейным: он характеризует жесткость материала при сверхбольших деформациях [6]. Величины /^ представляют собой главные инварианты меры деформации Коши О, связанной с градиентом деформации С соотношением О — С • Ст.
Упрощенный вариант этой модели получается, если положить а — 0,5, ¡3 — 0. Тогда выражение (1) запишется в виде
Ж — 1 и[/2/- + 2у[Тъ - 5]. (2)
Будем считать, что материальный параметр и является переменным, причем зависит только от
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
радиальной координаты г в отсчетной конфигурации ¡ = ¡{ г).
Опишем деформацию осевого растяжения полого кругового цилиндра высотой И с внутренним и внешним радиусами г0 и Г полуобратным представлением вида
Я = Р {г), Ф = р, X = щ, (3)
где г, р, г и Я, Ф, X - цилиндрические координаты в отсчетной и текущей конфигурациях соответственно; г — г — г ,0 — г — И, ] -коэффициент удлинения цилиндра; ]] <1 соответствует сжатию цилиндра, ]] >1 - его растяжению. Функция Р { г ) описывает радиус точки цилиндра в
деформированном состоянии.
Для описания напряженного состояния цилиндра будем использовать тензор напряжений Пиолы О, определяющее соотношение для которого имеет вид
D = 2 dW. с. dG
(4)
P" = --
P ' (-м 'rP3 + p '3 p] '-juP3 + p ' v j)
3jurP3
(6)
rxP ' (r )3
= 0,
j(ro -P'(ro)3P(ro)l) _ pP(r )r
(7)
ro P(ro)':
Краевая задача (6), (7) решалась численно. Для ускорения вычислений при построении диаграммы нагружения, т.е. зависимости радиуса деформиро-
ванного цилиндра от приложенного давления, использовался прием замены краевой задачи задачей Коши вида
Р(г) = г + А,
P ' (rj) =
( rP2ri2 )3 Pr
(8)
Тогда уравнения равновесия нелинейно-упругого тела можно записать в отсчетной (неде-формированной) конфигурации
ШуБ = 0. (5)
Полуобратное представление (3) с учетом (4) позволяет свести уравнения (5) к одному обыкновенному дифференциальному уравнению относительно функции Р(г) , принимающему для модели (2) с переменным модулем сдвига вид
где штрихом обозначено дифференцирование по переменной г .
В качестве граничных условий для уравнения (6) выберем условие загруженности внутренней поверхности цилиндра равномерно распределенным давлением р и свободной от напряжений внешней боковой поверхности. В результате получаем ¡{г -Р(г)'3Р(г)г1]
где параметр А представляет собой изменение внешнего радиуса цилиндра после деформации. Величину соответствующей ему нагрузки р можно найти после решения задачи Коши (6), (8) из второго условия в (7).
Диаграмма нагружения на плоскости параметров р и %1 = Р {г ) / г при раздувании внутренним давлением для материала (2) для однородного цилиндра и всех рассмотренных типов неоднородности является немонотонной: она содержит точку максимума, за которой следует падающий участок. Его наличие свидетельствует о неустойчивости процесса нагружения.
Исследование устойчивости проведем на основе бифуркационного подхода методом линеаризации. Для этого модифицируем исходное полуобратное соотношение следующим образом:
Я = Р(г) + £и(г, р, г), !ф = р + £у(г, р, г), (9)
X = + £1г(г ,р, г).
Вычисляя соответствующие (9) геометрические характеристики (градиент деформации, мера деформации Коши, ее инварианты и т. д.) и последовательно их линеаризуя (т.е. удерживая только первые степени параметра £), получаем уравнения нейтрального равновесия - линеаризованный вариант уравнений равновесия (5). Для их исследования использовался метод разделения переменных:
и(г ,р, г ) = и (г )со8(прсо8| гтЖ
v(r, p, z) = V (r ) sin(np) cos
w(r, p, z) = W (r ) cos(np) sin
h J zmn\
J
' zm^
(10)
h
В (10) т и п - натуральные числа, называемые номерами мод потери устойчивости. При таком разделении автоматически выполняются граничные условия на торцах цилиндра, соответствующие так называемому жесткому нагружающему устройству с отсутствием трения [7], когда зафиксировано вертикальное смещение, а предметом анализа становится линейная однородная система обыкновенных
r
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций U(r) , V(r) и W(r)
P'V'n P'3W'a r 2P'AU P'W'a
U ' ' = -
3 3r
U' 4r 2U'P'3
+---;— +
3
- + -
P 4
P' 2Ua2
3r
+
+
P' Un1
3r 3P3 3ri2 3P2
r 2 P ,3V 'n 2r 2P'4Vn PP'4u'Wa
+ —
3P
2
3P
3
rPP' Aß 'Vn rP'y 'U
4
3ßr
+
3ßr
ju'U' 4PrU'P'3ß'
3ßr 3ß
3ßr
TT„ P'2Un P'U'n 3P'2Vn2 V =-— + —— +--— +
+-
P
U'n 7V '
P2
ßV_ +
3ß
P '2 Wan IP'ß'Un P'2Wan
+—+-—^ +
r 2P' 3r
P2 P' 2Va2
2 3
r r
3ßP2
p r
(11)
2PP 'rV 'ß ' 2r1P'V ' P rUß 'n
3rß
3P3
3r ßP
8P 'Un r 2P'Un
+-^ + -
3rP2
3PD
ß'W' PP'Uß'a r2 P ' 4Ua
W = -—-+-— +-— +
+
3ß 3ßr r2rP'2Ua 2rPP'3W'ß'
3rP3 2r2 P W
P3
3 ßr
3P
V2
+
2P'ß'Ua P'U'a rU'a P'2Wn2 +---+-+ --+--— +
3ßr
r
P
P
2
P'2Van r 2rP'2Van 3P'2Wa
+-+ ——,-+-ô—
2 2P'Ua
+
Ж
}} Р2 } 3г}} 3г
Линеаризованные граничные условия для системы (11) примут вид
3и(Го)и' (Го) + ¡(Го) Р(Го)}У (т0)н +
+
P (Го)4
ß(r0)P(r0)W(r0)a , ß(ro)rU(ro)
+
+
r
r
+
о 'о
pp(ro)W (ro)a nrU (ro ) , PP(ro )rV (ro)n
+ -
= 0,
Г
о
r
0
r
0
r02ß(r0)U(ro)n ß(ro)U(ro)n , ß(ro)U(ro)r
P'(ro)P(ro)3 P(ro)3 P(ro)
+ -
■ +
! ro2ß(ro)V' (ro) , PU(ro)nr =0
P(ro)2P(ro) ro '
ß(ro )U(ro )a + ß(ro )U(ro )a ß(ro )U(ro )aP(ro )
p ' (ro )r
p ' (ro )3r
ß(r W (ro ) pU (Го )aP(r ) =0
P'(ro)V Г '
3ßU'(rt) | ßP(rt)rVfa)n +
P(ri)4 Г
, ßP(r)W(r1)a | ßrU(rj) =0
(12)
r1 ßU (r1)n ßU (r1)n
- +
P(r1)P(r1)3 P'fo)3 P(r1) , ßUfc)r | r12ßV' (r,) =0
Г1 P ' (Г1)2 P(r1) ' ßU (r1)a ßU (r1)a
+
Р'^)} Р ' (Г1)3} + и7№Р(г1)+ иЖ ^ (Г1) =0 1 Р' (11 )2}2 ■
Областью устойчивости будем называть область таких значений параметров деформации, для которых краевая задача (1 2) имеет только тривиальное решение.
В качестве примера рассмотрим цилиндр из упрощенного материала Блейтца и Ко со следующими геометрическими характеристиками:
1 ¡1 — 0,5, ^ /1 — 10. Закон, по которому изменяется модуль сдвига, примем в экспоненциальной форме
( 1п (¡0/ ¡1 X1 - 11) ^
ß(r ) =
ß exp
(r1 - ro)
у
где и - значение модуля сдвига на внутренней границе, и - на внешней. Вычисления показали,
что область устойчивости такого цилиндра при раздувании внутренним давлением и осевом растяжении будет полностью определяться кривыми устойчивости для мод (1,0), (1,1), (1,2), (2,2). На рис. 1 дано сравнение областей устойчивости однородного и неоднородного (с экспоненциальной неоднородностью) цилиндров при соотношении и / и — 100; в качестве безразмерных деформационных параметров выбраны коэффициенты растяжения } и расширения ^ — Р(1) /1 цилиндра.
r
0
r
1
r
0
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Рис. 1. Области устойчивости для однородного (полужирные кривые) [8] и неоднородного цилиндров / Fig. 1. Stability domains for a homogeneous (bold curves) [8] and inhomogeneous cylinder
Более толстыми линиями на рис. 1 выделена граница области с постоянным модулем сдвига. Учет неоднородности приводит к смещению области устойчивости вправо при сохранении ее основных черт.
Раздувание и осевое растяжение двухслойного цилиндра
Схема анализа в данном разделе основывается на подходе, представленном в работе [2]. Напряженно-деформированное состояние двухслойного цилиндра (рис. 2) будем также изучать на основе полуобратного метода:
R = P (г), Ф = p, Z = r/z, i = 1,2. (13)
Отличие (13) от (3) состоит в использовании индекса i, определяющего номер слоя. Соотношение толщин слоев в отсчетной конфигурации определяется параметром Гс, а функции Pi (г) соответствуют изменению радиальной координаты точки цилиндра i -го слоя.
Таким образом, в (13) приведены два полуобратных представления. Для каждого слоя вычисление геометрических характеристик деформации и вывод уравнений равновесия должны осуществляться раздельно. Это означает, в частности, что уравнения (4) и (5) должны быть выписаны для каждого слоя.
Рис. 2. Схема двухслойного цилиндра / Fig. 2. Scheme of a two-layer cylinder
На внутренней и внешней боковых поверхностях составного трехмерного тела должны выполняться условия, соответствующие раздуванию цилиндра внутренним давлением интенсивности p. Для задания граничных условий на поверхности раздела слоев Г = Г введем неизвестный пока параметр
Рс, формально играющий роль внешнего давления для внутреннего цилиндра и внутреннего - для внешнего. Таким образом, задача сводится к совместному решению двух дифференциальных уравнений в своей области с согласованными граничными условиями в точке стыковки областей вида div D =0,
er • Г=r0 = ~PJC11 ■ er \r=r0 , er ■ r=r = -PcJCr1 ■ er \r=r ,
c c
divD2 = 0, (14)
er ■ D2Iг=Г = -PJC- ■ er |r=,.,
er ■ D2I г=г = -PJC- ■ er\r=r ,
c c
где J = det C.
Будем считать, что материал обоих слоев цилиндра описывается упрощенной моделью Блейтца и Ко (2). Тогда уравнения равновесия для каждого слоя записываются в виде
- г 3 P )
P " =.
3rP3
(15)
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
Граничные условия для них имеют вид (7) или (8) с учетом корректировки на индекс слоя и наличие
параметра рс.
Для исследования устойчивости снова прибегнем к бифуркационному подходу. Выражение (13) запишем в виде
Я — Р (г) + т1 (г, р, г), < Ф — р + еуг(т,р,г), 2 — Т}г + ^ (г, р, г).
Как и ранее, полагаем, что цилиндр деформируется в жестком нагружающем устройстве. Это приводит к граничным условиям на торцах цилиндра, позволяющим использовать схему разделения переменных (10) для каждого слоя. После разделения переменных будет получена система из шести дифференциальных уравнений относительно функций U¡, V , Ж с двенадцатью краевыми условиями.
В качестве примера рассмотрим цилиндр следующей геометрии: г0 / г — 0,7 ; к /1 — 10. Через
будем обозначать толщину г -го слоя. На рис. 3 приведены диаграммы нагружения, наглядно демонстрирующие наличие падающего участка при различных
типах геометрии цилиндра. Через р1 обозначается отношение внутреннего давления р к и .
Рис. 3. Диаграмма нагружения двухслойного цилиндра при - = 1, =10 / Fig. 3. The two-layer cylinder loading diagram
Анализ устойчивости при растягивающих напряжениях показал, в частности, что для цилиндра с более жестким внешним слоем область устой-
чивости смещается вправо по сравнению с однородным цилиндром; более мягкий внешний слой приводит к смещению этой области в левую сторону.
Использование двух типов определяющих соотношений
Рассмотрим цилиндр, аналогичный приведенному на рис. 2. Будем считать, что материалы двух его слоев описываются различными законами состояния, т.е. им соответствуют различные функции удельной потенциальной энергии деформации. Внутренний слой будет описываться моделью Мурнагана, удельная потенциальная энергия которого имеет вид
Ж —1 (Щ + Щ + Щ ), (16)
Щ1— [- 3Я-2и+91+| +1 (/з -1), Ж —1 (я+и- 31 - 2щ )/2+1 (I+2щ )/3,
W3 =
\
n 1
- 2ß + 3m —1 I2 - m1I1I2 + — (9Я + 6ß - 9l).
2
2
Для описания свойств внешнего слоя используем модель Блейтца и Ко.
Основой исследования опять является полуобратная схема сведения трехмерной задачи к одномерной. Уравнение равновесия в области материала Блейтца и Ко имеет вид (15), а в области, где находится материал Мурнагана, оно запишется следующим образом:
Р'' — - £, (17)
и
где
8
F = IF, G = r2 X G,
i=1 k=1
F = -Pbl - 2Psm - 6P Vr5 + 2P'mr2r5 +2P ' 3lr2r5 + 2P ' Àr2r5 + P ' lrAr5, F = -P\r2r5 - 4P ßr5 + 2P '5mf5 -
-6P '31г5 - 4P ' 3mr ' + 9P ' lr5 - 6P 'Яг5 F = 2P ' 3Яг5 + P ' 5lr5 + 4P ' ßr5 +
+P'nr5 - P' np2r2r3 - 2mr pp'2r4, F = 2lr2 PP ' 2r4 + 2P 'mr2 P2r3 + +nPr2P' 2r4 - 3P ' lP4r - 2P 'mP2r3,
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
F = -2P'r P2r3 - 2PÀr2 + 6P3lr2 --Pnr4 -4P¡r2 + 4P3mr2 + 4P¡r4, F = -9Plr4 + бPАr4 - 6/PP ' 2r4 +
2 4
+3lP'4Pr4 -2PÀr2r4 + бPlr2r4 + Pnnlr F = -2Pmxr2r4 - 2P3lr2r2 --Plr4r4 + 6P'lP2r3 - 2P'ÀP2r3,
F = P\P r3 - n,PP' r4 + 2ÀPP' r4 --2lP '3 P2r3 + 2mPP ' 2r 4 + 2lP3 P ' 2r2, G = 9lr4 - 4¡r4 + nr4 - 6Аг4 + 2r Arf -
у 4i 2 4 2 7 4 4 42
-6г /г + 2r mr + lr r - njr Г ,
4 , O77->2 2 2 , „ r>2 2 2 ~.....2 n2 2
G = lP + 2lP r r2 + nP2r2r - 2mr P r +
+6/P'2r2P2 - 18r4lP'2 - 12r4mP'2, G = 1GmP'4r4 + 2rÀP2 - 6г2lP2 +
+2r- nr2P2 + 6lP'2rV + 6rXP G =12r (P'2 + 5lP ' 4r4.
Краевые условия на границе раздела цилиндров получаются аналогично предыдущему случаю с использованием неизвестной функции давления.
В качестве набора констант выберем комбинацию, соответствующую стали REX 535: Л = 0,818-102 ГПа; X = 1,09-102 ГПа;
l = -0,86 • 102 ГПа; m = -6,29 • 102 ГПа;
n = -7,28-102 ГПа [9]. Особенности поведения однородного цилиндра из материала такого типа рассмотрены ранее в [10, 11]. Второй слой будет описываться моделью Блейтца и Ко (1), причем рассмотрены два варианта этой модели: упрощенный (2) с параметром ( = 0,818 -102 ГПа и полная версия с константами X = 0,66626, ß = 0, Л = 0,818 • 102 ГПа. Третий набор констант обеспечивает «тождественность» моделей (1) и (16) в области малых деформаций.
Несмотря на весьма громоздкий характер уравнения (17), численное решение полученной краевой задачи не представляло принципиальной сложности. Расчеты подтвердили, что диаграммы нагружения для обоих цилиндров с геометрическими характеристиками S1 = S2, r0 /rx =0,7,
h / r =10 имеют падающий участок. Результаты бифуркационного анализа показали, что область
устойчивости однородного цилиндра из материала Мурнагана содержится в области устойчивости цилиндра из материала Блейтца и Ко; область устойчивости составного цилиндра занимает промежуточное положение.
Заключение
В работе проведено исследование равновесия и устойчивости тела в форме полого кругового цилиндра из сжимаемого нелинейно-упругого материала. Рассмотрены два случая неоднородности: непрерывная, когда один из модулей материала является непрерывной функцией радиальной координаты, и разрывная, когда цилиндр считается состоящим из двух частей с различными свойствами, в том числе описываемыми различными определяющими соотношениями. Основным методом построения равновесного состояния являлся полуобратный метод нелинейной теории упругости. Исследование устойчивости осуществлялось в рамках статического бифуркационного подхода.
Проведенный анализ показал, в частности, высокую степень надежности и эффективности использованной вычислительной схемы. Установлено, что неоднородность свойств заметно влияет на положение и размер зон устойчивости в области растягивающих напряжений, причем может оказывать как стабилизирующее влияние, т.е. повышать величину критических деформаций, так и наоборот - приводить к их понижению.
Литература
1. Silvestre N. Buckling behaviour of elliptical cylindrical shells and tubesunder compression // International J. of Solids and Structures. 2008. Vol. 45, № 16. P. 44274447.
2. Шейдаков Д.Н., Михайлова И.Б. Устойчивость нелинейно-упругой трехслойной трубы с основой из пенистого материала // Вестн. ЮНЦ РАН. 2015. Т. 11, № 1. C. 24-29.
3. Rama Satya Sandilya V., Rai P.K., Shekhar S., Mondai K. A novel method for fabricating multilayered steels // Materials Processing Tech. 2018. Vol. 245. P. 38-51.
4. Poddar P., Kamaraj A., Murugesan A.P., Bagui S., Sahoo K.L. Microstructural features of Mg-8 % Sn alloy and its correlation with mechanical properties // J. of Magnesium and Alloys. 2017. Vol. 5. P. 348-354.
5. Blatz P. J., Ko W. L. Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials // Transactions of the Society of Rheology. 1962. Vol. 6. P. 223251.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2020. No. 2
6. Карякин М.И. Равновесие и устойчивость растягиваемого нелинейно-упругого стержня // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2007. № 4. С. 2227.
7. Александрин М.В., Карякин М.И. Об устойчивости растяжения нелинейно-упругого цилиндра // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2010. № 1. С. 7-12.
8. Obrezkov L.P. Equilibrium and stability of nonline-arly elastic cylinder made of Blatz-Ko material // Engineering Transactions. 2016. Vol. 64, № 4. P. 457-463.
9. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980. 512 с.
10. Карякин М.И., Обрезков Л.П. Устойчивость цилиндра из материала Мурнагана при растяжении, сжатии и раздувании // Проблемы прочности и пластичности. 2019. Т. 81, № 1. С. 30-39.
11. Зингерман К.М. Проверка условия сильной эллиптичности для материала Мурнагана при всестороннем растяжении или сжатии // Вестн. ТвГУ. Прикладная математика. 2003. № 1. С. 65-70.
References
1. Silvestre N. (2008). Buckling behaviour of elliptical cylindrical shells and tubesunder compression. International Journal of Solids and Structures, vol. 45, no. 16, pp. 4427-4447.
2. Sheidakov D.N., Mikhailova I.B. (2015). The stability of a nonlinear-elastic three-layer pipe with a foam base. Vestnik Yuzhnogo Nauchnogo Tsentra RAN, vol. 11, no. 1, pp. 24-29. (in Russian).
3. Rama Satya Sandilya V., Rai P.K., Shekhar S., Mondal K. (2018). A novel method for fabricating multi-
layered steels. Materials Processing Tech., vol. 245, pp. 38-51.
4. Poddar P., Kamaraj A., Murugesan A.P., Bagui S., Sahoo K.L. (2017). Microstructural features of Mg-8 % Sn alloy and its correlation with mechanical properties. J. of Magnesium and Alloys, vol. 5, pp. 348-354.
5. Blatz P.J., Ko W.L. (1962). Application of finite elastic theory to the deformation of rubbery materials. Transactions of the Society of Rheology, vol. 6, pp. 223251.
6. Karyakin M.I. (2007). Equilibrium and stability of the stretching nonlinearly elastic rod. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki (Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science), no. 4, pp. 22-27. (in Russian).
7. Aleksandrin M.V., Karyakin M.I. (2010). On the stability of the nonlinearly elastic cylinder at the extension. Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES, no. 1, pp. 7-12. (in Russian).
8. Obrezkov L.P. (2016). Equilibrium and stability of nonlinearly elastic cylinder made of Blatz-Ko material. Engineering Transactions, vol. 64, no. 4, pp. 457-463.
9. Lurie A.I. (1980). Nonlinear theory of elasticity. Moscow, Nauka Publ., 512 p. (in Russian).
10. Karyakin M.I., Obrezkov L.P. (2019). Stability of a cylinder from Murnaghan material under stretching, compression and inflation. Problemy prochnosti i plastichnosti, vol. 81, no. 1, pp. 30-39. (in Russian).
11. Zingerman K.M. (2003). Verification of the condition of strong ellipticity for Murnaghan's nonlinear elastic material undergoing uniform volumetric tension or compression. Vestnik TvGU. Prikladnaya ma-tematika, no. 1, pp. 65-70. (in Russian).
Поступила в редакцию /Received_21 апреля 2020 г. /April 21, 2020
