Об устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с собственными напряжениями при растяжении и сжатии Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3 Б01 10.18522/0321-3005-2016-2-54-60

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО ЦИЛИНДРА С СОБСТВЕННЫМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ*

© 2016 г М.И. Карякин, Н.Ю. Шубчинская

Карякин Михаил Игоревич - доктор физико-математических наук, доцент, кафедра теории упругости, директор Института математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090; Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: [email protected]

Шубчинская Наталия Юрьевна - кандидат физико-математических наук, инженер-проектировщик 1-й категории, кафедра теории упругости, Институт математики, механики и компьютерных наук им. И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов-на-Дону, 344090, e-mail: [email protected]

Karyakin Mikhail Igorevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of the Elasticity Theory, Head of Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8а, Rostov-on-Don, 344090, Russia; Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, Russia, e-mail: [email protected]

Shubchinskaya Nataliya Yurievna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Engineer-Designer of the First Category, Department of the Elasticity Theory, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Science of the Southern Federal University, Milchakov St., 8а, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: [email protected]

Рассмотрена задача об устойчивости нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями, источником которых является клиновая дисклинация. На основе модифицированного полуобратного представления нелинейной теории упругости получены уравнения нейтрального равновесия для двух моделей материалов: полулинейного и Блейтца и Ко общего вида. На основе бифуркационного подхода изучено существование решений линеаризованных краевых задач. Получены критические значения кратности удлинения/укорочения цилиндра от параметра дефекта при растяжении и сжатии.

Ключевые слова: дисклинация, устойчивость, дислокации Вольтерра, растяжение, сжатие, собственные напряжения.

The stability problem of nonlinearly elastic cylinder with internal stresses the cause of which is a wedge disclination was introduced. On the basis of the modified semi-inverse representation of the nonlinear elasticity theory, the equations of neutral equilibrium were derived for the two models of materials: harmonic and Blatz-Ko models. On the basis of the bifurcation approach the existence of the solution of linearized boundary value problems was studied. The critical values of ratio in length changes of the cylinder depending on parameter of the defect under tension and compression were obtained.

Keywords: disclination, stability, Volterra dislocation, extension, compression, internal stresses.

Понятие линейного дефекта как источника собственных деформаций и, следовательно, напряжений в рамках классической теории упругости дано В. Вольтерра [1] в начале XX в. Подробный анализ и классификация таких дефектов - дисторсий Вольтерра - осуществлены А. Лявом [2]. Определение поворотных дефектов как дисклинаций рассмотрено в [3-5]. Изучению задач механики с использованием дислокаций посвящено много зарубежных и отечественных работ. Для дисклинаци-онных дефектов результаты решения граничных задач изложены в монографии [6]. Дисклинацион-ный подход, применяемый к дефектам в структурах нанокристаллических твердых частиц и малых частиц, описан в [7]. Исследованию влияния клиновых дисклинаций на напряженно-деформированное состояние как пластин и оболочек, так и упругих тел посвящены работы [8-12]. Результаты обобщения

теории упругих дислокаций и дисклинаций на нелинейный случай приведены в монографии [13].

В настоящей работе проанализировано влияние неоднородного поля напряжений, вызванного изолированной клиновой дисклинацией, на устойчивость растягиваемого и сжимаемого нелинейно-упругого цилиндра. Анализ устойчивости проводился на основе бифуркационного подхода [14, 15], в рамках которого исследовалось существование нетривиальных решений линеаризованной краевой задачи. Изучено влияние геометрических и материальных параметров на бифуркационные кривые.

Клиновая дисклинация в полом цилиндре

Определяющее соотношение изотропного сжимаемого упругого тела имеет вид [15]

D = 2 ÖW©. с , G = C • CT . ÖG

(1)

* Работа выполнена при частичной поддержке проекта «Математическое моделирование неоднородных и многофазных структур» (в рамках программы фундаментальных исследований по стратегическим направлениям развития науки Президиума РАН № 1 «Фундаментальные проблемы математического моделирования»).

Здесь Б - тензор напряжений Пиолы; с - мера деформации Коши - Грина; С - градиент деформации. Для модели полулинейного материала [15] удельная потенциальная энергия

W = я1 Ii (U - Е)+М [(U - E)2

(2)

W = M1 (1 -ß) 121- +1 (l3a-1)

(1За-1)-3

+ м 2 ß

+ - (i 3-a-1)-3 а

(3)

В выражении (3) а, / - материальные параметры, первый из которых в случае малых деформаций связан с коэффициентом Пуассона соотно-

шением а = ■

а второй характеризует чисто

5 - ß = 1; Q0 =

в_

3

М Г

öo

7

где 1к,к = 1,2,3 - главные инварианты; и = (О)2 -левый тензор искажения; X , / - материальные параметры; Е - единичный тензор. Удельная потенциальная энергия для модели материала Блейтца и Ко

1 - 2^

нелинейные свойства среды.

Деформация растяжения (сжатия) полого кругового цилиндра с образованием в нем клиновой дис-клинации задается полуобратным представлением [8, 16]

Я = Р(г); Ф = шф г = у 2. (4)

Здесь {Я, Ф, \г,ф, - цилиндрические координаты текущей и отсчетной конфигураций соответственно; Р(г) - функция радиального смещения точек цилиндра; ш - параметр дисклинации, зависящий от угла раствора клина; у - параметр изменения длины цилиндра. Выражения необходимых деформационных характеристик и инвариантов находятся по полуобратному представлению (4). Подставив их в (1) и учтя (2), (3), получим тензор напряжений Пиолы.

Описанный выше подход был использован в [17], где приведены уравнения равновесия и граничные условия, т.е. нелинейные краевые задачи для функции Р(г), а также результаты их численного и асимптотического анализа. Там же подробно описано влияние образования дисклинации на изменение длины ненагруженного цилиндра. Диаграмма нагружения (зависимость растягивающей силы от удлинения цилиндра) в случае материала Блейтца и Ко приведена на рис. 1.

Здесь а = 0,5; толщина стенки - 0,5; линия 1 соответствует значению параметра / = 0; линия 2 -/ = 0,2; линия 3 - / = 0,5; линия 4 - / = 0,7; линия

[17].

Рис. 1. Зависимость растягивающей силы от удлинения цилиндра

Для материала Блейтца и Ко известно, что для малых значений параметра в на диаграмме нагру-жения существует точка максимума, за ней следует падающий участок [18], который может свидетельствовать о потере устойчивости цилиндра при растяжении.

В случае полулинейного материала диаграмма нагружения - монотонно возрастающая функция; значение параметра дисклинации влияет только на величину силы, а не на характер самой зависимости.

Уравнения нейтрального равновесия

Для изучения устойчивости цилиндра с изолированной дисклинацией модифицируется полуобратное представление (4) Я = Р(г) + еи (г,ф, 2);

Ф = шф + еУ (г,ф, 2), (5)

2 = у + е\¥ (г,ф, 2).

Здесь и(г,ф, 2), У(г,ф, 2), !У(г,ф, 2) - новые неизвестные функции; е - малый параметр. Градиент деформации, соответствующий преобразованию (5), может быть записан в виде

С = С0 + е С, (6)

где С0 - градиент деформации, соответствующий основному решению, устойчивость которого исследуется, а тензор С линейно зависит от функций и(г,ф, 2), У(г,ф, 2), !У(г,ф, 2). Аналогичным обра-

+

Y

v

зом линеаризуются остальные геометрические характеристики деформации. Общая форма процесса

• а ( •

линеаризации имеет вид р = р С +еС

Уравнения нейтрального равновесия запишутся в следующем виде:

div D = 0,

(7)

где Б - линеаризованный тензор напряжений Пио-лы. В компонентах этого тензора система уравнений (7) имеет вид

• • • • •

д БтК БтК д Буп хОоф д Бп

■ +-+-----— +-= 0,

dr r тдф r dz • • • • •

d Do Dro D' дБф d DzO

■ +-+ -

dr r r rd' • • • •

d DrZ Drz d Dvz d DzZ

+

- +-+ -

dz = 0.

= 0,

(8)

дт т тдф д;

Граничные условия для (8), означающие, что боковые поверхности цилиндра свободны от напряжений, выписываются через компоненты линеаризованного тензора напряжений Пиолы

rR

rO

D

rZ

= 0,

= 0,

= 0.

(9)

D ro = V' (2ß + A) +

(3A + 2ß)(u; - - rv; )

v

P' r + Px

AxP + rrin + Vx) ^P' V - PU'-yU'

+ А-;-ч--- A-

r(P 'r+ Px)

P 'r+ Px

Drz = (A + - AUz + (3А + 2ß)(uz - W)

r (P ' + r)

Dr =(2ß + a)

P 'rU' -P'rxV + xU'P'-x2PV

;(p ' r+ Px)

+

(3A + 2M)v;r + xv - U')

P'r + Px

+

+ A

Vr'(ry + P 'r + Px)+ r(xv - U')

P ' r+ Px

Dvo = - (A + 2ß)(Ux + VV)+ A(xU; + W' ), r

•vz =A+2ß W' - (w; - к)+

r Px + yr

+ А

W;(P'-r)-V'(rP' + Px)

Px + yr

DzR UZ - Uz - W')-

-A

P + r z p + r

W'(rP' + Px)- xPU'z

r(P ' + r)

D zO=A+lß V' + (WV

xP + yr xP + rr v

+ А

P 'r2 V' - W (rP' + Px + rr) r(xP + у)

• АI \

=Ар'г + их + Г')+(А + . т

Компоненты линеаризованного тензора напряжений Пиолы для материала Блейтца и Ко определяются выражениями

Отп = ~^(Р- !)А2 (р'2 С1" 2а)и'т - Р'32аА4)-- зит ) + д(а1Р'2 (2а +1) + и'тР'4 + А3Р'3 2аА4 )),

Линеаризованная краевая задача (8), (9) состоит из трех дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных относительно функций и(т,ф, Е) , V(т,р, 2), ЖЕ) .

Компоненты линеаризованного тензора напряжений Пиолы для полулинейного материала выписываются в виде

О тп =1 ((А + 2^)ти'г + А(иш + vу+ тж; ))

D ro ((l-ßtA2 P'2 P 2x2 (VxP + U'v) +

P P x

+ Uv(x2 P 2 + r 2 P'2 )- Vx3 P3 + V'r 2xP 2 P')+ + ßP'2 P 2x2 (a3 (VxP + U'v)+ P'Px(P' V + PV' ))),

Drz =■

3^3 (ß- ipAr2 P'2 - W'P' r-

r P

- Ur (p'2 +r2 ))+ß(A3y2P'2U[ + W'y3P'3 )),

DvR ((l-ß)(A2P'3P2x2r2Vr +

P P x r

+ A3P'2 P3x3r2r2 V ' - V' Pr2 (r 2 P'2 + P2x2 )-

- r 2 P' (Vr 2 P'2 + PxUV))-ß(A3P'3 P 2x2r 2V -

- P'3P3x3 (PVx - UV))),

ß- (ß - l)(pxW; 2a + 3r4 (PVV - Ux)+

Dvo = ■

rx4p4

+ Ar 2x2 P 2 (2a- -V'VP + Ux))-

Ф

r=r ,r

r=r ,r

r=r

0

+

-ß(2 A3aP' P 2 r 2x2U' ;+x4 P 4 (PVp+ Ux)-

- 2A2ar2x3P3P '-1Ur - 2aW'zxP +

+ AP 2 r 2ж2 (ux + PV; ))),

((1 -ß)(A2r

М

r2 P 2x3r

2P2x2r2V' -

r2 (p 2x2vz' + V'2 r2 r2 +rxw;))

ß(A3 P 2x2 r 2 + P 2w;x3r3)), М

DzR =

r3 P 3x3

((ß- 1)(A2r2 p Vw; -

<p

- p 2w; - p ' u'r2 - w; r)+ßr2 p V a3w;)

D'ф = ~3МТТ ((ß- 1)(A2X3pVw;-w;r2r x P r

- p v xrr2 - p 2w;x2)+ ßa3x2 p 2r2w;\

D zZ =-M(ßAlr2 (2aÄ4r-(2a + 1)W2 )-

r

- 2r2 (ß - 1)A2 (W + 2a(rA4 - W))), где использовались обозначения:

A = p ' 1а p -2а r 2а r _2а x-2а

A2 = p ' 1а p 2а r -2а r 2а x 2а

A3 = P'-2аР~2ar2ar-2ax-2a , a4 = + w + U

u = С,и, + С2и2 + С3и3, v = Qvj + С2У2 + С3У3 ,

u1(r0) = 1 v1(r0)= 0 w1(r0) = 0:

u2(r0)= 0 v2(r0) = 1 w2(r0)= 0

(12)

u3(r0) = 0 v3(r0) = 0 w3(r0)= 1

а для производных и'к (г0 ), у'к (г0 ), и>'к (г0 ) получаются выражением последних из равенств (9) в точке г = г0 с учетом (12). В случае полулинейного материала эти условия определяются выражениями

'А (;о ) = -1

4 (;о ) =

xr

,(2+ 2м) '

- п(а5Л- 2Мо)

;о (245 + 2м(Р ' (ro >0 + рГ )x - r,))

W (r )= -ш(а52- 2М0)

lV 07 Щ + 2м(Р '(r, )r, + P(r, )x - r, )'

4 (ro ) = -

4 (;o ) =

2n

ro (2 + 2М)'

-x(A52- 2мо )

(13)

2 (r0 )= 0 u3 (r0 )=-

r0 (245 + 2м(Р ' (r >0 + P(r0 )x - ^ ))'

v3 (r ) = 0, W (r )= 0

v; w U — + — + — .

x r P Система (8), (9) допускает решения вида U (r,;, z) = и (r )cos (n^)cos (ет z), V (r,;, z) = v(r )sin(n^)cos(^z), (10)

w (r,;, z)= w(r )cos (n^)sin (rnz~), где w = m^/l, m,n eZ, l - длина цилиндра.

Анализ существования нетривиальных решений системы (8), (9) с учетом (10) проводился по схеме, аналогичной использованной в работах [13, 14]. Общее решение искалось в виде

0 = 0 и3\'0 = - , , *3\'0 =0 п3\'0

X + 2/

где Л5 = Р'(г0 )г0 + Р(г0 )ш + У0 - 3г0 •

При рассмотрении материала Блейтца и Ко начальные условия для производных функций имеют вид

и,(г ) = 2аР '(г,,)((/- 1)Л6 - /г04аР'2(г0)) 1(0) Р(г0 )((/-1)ЛШ + Р '2 (Г0 )/„) '

,(г "((/- 1)(Л13 - Р'2 (Г0 )г02 )+/Л9 ) П (г0 ) = . ,

Л12

и (г )= а(ш2 (3- 1)(Л8-У2 - Р'2 (Г0 ))+У2/Л9 ) 1 (0 ) = ^ '

'2 (о ) = ■

'0

2паР'3 (г0 )(A6 (ß -1)- ßr04^P 2 r ))

U2 (r0 )= xP 4 (r0 )((ß- 1)A10 + P ' 2(r0 ßA,,)'

v2 (r0 ) = -

(ß - 1)p('0)A13 +ßP(/-0)A14

(14)

V2 (r0 )= 0,

12

2ааР'3 (r0 )((ß- l)A6 -ßr04")

' ^ _ ' . - - - - 6 - - . , U3(r°)=- r((ß-1)4,0 + P '2(r0)ßA„) v3(r0) = 0, w3(r0)= 0 ,

(11)

и = С1и1 + С2и2 + С3и3, где ик, ук, ик, к = 1,2,3 - линейно-независимые наборы функций, представляющие собой решения задач Коши для (7), у которых начальные условия для функций имеют вид

где

4а 4а

x ,

Аб = Р' 4а+2 (r0 )Р 4а+2 (r0 )r

А7 = Р'2tt(r0)P2tt(r0У"^;^ , А8 = Р ' 2а+2 (r0 )Р 2а+2 (r0 )r2ax2a+2r0-2a, А9 = Р '-2а+2 (r0 )Р-2а+2 (r0 У2а x-2a+2 r02a, А,0 = Аб (1 - 2а)- 3А7 , А,, =(l + 2a)r04"+ А7 Р'2 (r0), А12 =ßP'3(r0)Р3(r0)x3 -Р'(r0)Р2(r0)xr02(ß-1), А13 = А8 - x2Р2 (r0), Ai4 = А9 - x2Р2 (r0 )Р '4 (r0)

Таким образом, линейная независимость обусловлена условиями (12), а вторая часть условий (13), (14) обеспечивает выполнение краевых условий (9) в точке г = г0 . Удовлетворение краевым условиям (9) в точке г = г1 приводит к линейной системе уравнений относительно неизвестных констант интегрирования Ск,к = 1,2,3. Критические значения параметра изменения длины ци-*

линдра у находятся из характеристического

уравнения - равенства нулю определителя системы для нахождения неизвестных констант С к.

Численный анализ устойчивости цилиндра с дисклинацией при растяжении и сжатии

Численное исследование существования нетривиальных решений системы (8), (9) показало наличие критических значений деформационной харак-

*

теристики у в зависимости от параметра дисклина-ции (рис. 2).

7t

Рис. 2. Бифуркационные кривые

б

а

в

г

На рис. 2а изображены бифуркационные кривые - множество точек, при которых возникают новые формы равновесия цилиндра при сжатии в зависимости от параметра изолированной дискли-нации х . В случае полулинейного материала для различных значений материальных параметров при толщине И = 0,99 и длине I = 20 получены следующие бифуркационные кривые: линия 1 - V = 0,45; 2 - V = 0,4; 3 - V = 0,35; 4 - V = 0,3; 5 - V = 0,25.

Все эти значения критического параметра у* представлены для мод с номерами т=1, п=1 по (10), так как численно проверено, что именно они являются наименьшими среди значений с другими номерами мод. Из графиков ясно, что наличие дисклинации оказывает существенное влияние на потерю устойчивости цилиндра при сжатии, причем кривые практически симметричны относительно случая х = 1 - отсутствия дисклинации. В зоне больших дисклинаций существенное влияние на критическое значение у* оказывает значение коэффициента V . Положение кривых при значении х = 1 (отсутствие дисклинации) соответствует стержневой потери устойчивости по Эйлеру [19].

На рис. 2б приведены бифуркационные кривые цилиндра при сжатии в зависимости от параметра дисклинации х в случае материала Блейтца и Ко при толщине стенки цилиндра И = 0,5; а = 0,5 и длине I = 20: линия 1 - р = 1; 2 - р = 0,8; 3 -Р = 0,5; 4 - р = 0,2 ; 5 - р = 0. Как и в предыдущем случае, представлены значения для мод с номерами т=1, п=1. Наличие дисклинации оказывает существенное влияние на потерю устойчивости цилиндра при сжатии (как и значение параметра в модели материала (3): чем выше значение параметра модели в, тем устойчивее цилиндр при сжатии).

На рис. 2в изображены точки бифуркации для первых мод т=1, п=1 цилиндра при сжатии в зависимости от параметра дисклинации х в случае так называемого гипотетического варианта [15] материала Блейтца и Ко (р = 1) для различных значений коэффициента а при толщине И = 0,5 и длине I = 20 : линия 1 - а = 2; 2 - а = 1,16; 3 - а = 0,75; 4 - а = 0,5. Из графиков заметно, что изменение коэффициента а оказывает существенное влияние на значение точек бифуркации. Все бифуркационные кривые симметричны относительно х = 1 (случая отсутствия дисклинации).

На рис. 2г изображены бифуркационные кривые для сжимаемого цилиндра длины I = 20 с дискли-нацией из материала Блейтца и Ко упрощенного вида с номерами мод т=1, п=1. Линия 1 соответствует толщине 0,4; 2 - толщине 0,5; 3 - толщине 0,6;

4 - толщине 0,7. Чем толще цилиндр, тем ниже находится бифуркационная кривая (кроме значений, соответствующих малому изменению параметра

дисклинации). При отсутствии дисклинации (ж = 1)

*

чем толще цилиндр, тем выше значение у .

У цилиндра из полулинейного материала при растяжении нет потери устойчивости, так как его диаграмма нагружения — монотонно возрастающая [18]. При растяжении цилиндра с дисклинацией из модели материала Блейтца и Ко оказалось, что точки бифуркации существуют лишь для некоторых значений параметра ¡3. Установлено, что наличие дисклинации практически не влияет на потерю устойчивости процесса растяжения (изменение в значении критического удлинения составляет доли процента), в то время как влияние материального параметра а заметно сильнее. При а = 0,5 точки бифуркации располагаются в окрестности значений 2,05 [15], при а = 0,75 — 2,172, при увеличении а до 1,16 (коэффициент Пуассона v = 0,35) величина критического удлинения возрастает до 2,347.

Литература

1. Volterra V. Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes // Annales de l'Ecole Norm. Sup. 1907. Vol. 24, № 3. P. 401-517.

2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л., 1935. 674 с.

3. Frank F.C. On the theory of liquid crystals // Trans. Faraday SOC. 1958. Vol. 25. P. 19 — 28.

4. De Wit R. Theory of Disclinations: IV. Straight Disclinations // J. of Research of the Notional Bureau of Standards-A. Physics and Chemistry. 1973. Vol. 77A, № 5. P. 607 — 658.

5. Clayton J.D., McDowell D.L., Bammann D.J. Modeling dislocations and disclinations with finite micropolar elastoplasticity // Int. J. of Plasticity. 2006. Vol. 22. P. 210 — 256.

6. Luo J., Xiao Z.M., Zhou K. Stress analysis on a Zener crack nucleation from an eccentric wedge disclination in a cylinder // Int. J. of Engineering Science. 2009. Vol. 47. P. 811 — 820.

7. Romanov A.E., Kolesnikova A.L. Application of disclinations concept to solid structures // Progress in Material Science. 2009. Vol. 54. P. 740 — 769.

8. Карякин М.И. Равновесие и устойчивость нелинейно-упругой пластинки с клиновой дисклинацией // ПМТФ. 1992. № 3. С. 157 - 163.

9. Zubov L.M. The linear theory of dislocations and disclinations in elastic shells // J. of Applied Mathematics and Mechanics. 2010. Vol. 74. P. 663 — 672.

10. Lee X., Baldo M., Duan Y. Torsion structure in Riemann-Cartan manifold and dislocation // Gen. Relativ. Gravit. 2002. Vol. 34 (10). P. 1569 — 1577.

11. Zhang P., Duan Y., Zhang H. Knotlike x disclinations in the cholesteric liquid crystals // Physica A. 2006. Vol. 370. P. 245 - 250.

12. Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Berlin; Heidelberg; New York, 1997. 205 p.

13. Karyakin M., Kalashnikov V., Shubchinskaya N. Nonlinear effects in a plane problem of the pure bending of an elastic rectangular panel // Int. J. of Engineering Science. 2014. Vol. 80. P. 90 - 105.

14. Карякин М.И., Сухов Д.Ю., Шубчинская Н.Ю. Об особенностях чистого изгиба панели при больших деформациях // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2012. № 4. С. 69 - 75.

15. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980. 512 с.

16. Зубов Л.М. Изолированная дисклинация в нелинейно-упругом сжимаемом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 69 - 73.

17. Карякин М.И., Поздняков И.В., Пустовалова О.Г., Шубчинская Н.Ю. О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2013. № 6. С. 46 - 51.

18. Карякин М.И. Об особенностях растяжения нелинейно-упругих образцов // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. 2007. № 4. С. 43 - 48.

19. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М., 1999. 592 с.

References

1. Volterra V. Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes. Annales de I'Ecole Norm. Sup., 1907, vol. 24, no 3, pp. 401-517.

2. Lyav A. Matematicheskaya teoriya uprugosti [Mathematical theory of elasticity]. Moscow; Leningrad, 1935, 674 p.

3. Frank F.C. On the theory of liquid crystals. Trans. Faraday SOC, 1958, vol. 25, pp. 19-28.

4. De Wit R. Theory of Disclinations: IV. Straight Disclinations. J. of Research of the Notional Bureau of Standards-A. Physics and Chemistry, 1973, vol. 77A, no 5, pp. 607-658.

5. Clayton J.D., McDowell D.L., Bammann D.J. Modeling dislocations and disclinations with finite micropolar elastoplasticity. Int. J. of Plasticity, 2006, vol. 22, pp. 210-256.

Поступила в редакцию

6. Luo J., Xiao Z.M., Zhou K. Stress analysis on a Zener crack nucleation from an eccentric wedge disclination in a cylinder. International J. of Engineering Science, 2009, vol. 47, pp. 811-820.

7. Romanov A.E., Kolesnikova A.L. Application of disclinations concept to solid structures. Progress in Material Science, 2009, vol. 54, pp. 740-769.

8. Karyakin M.I. Ravnovesie i ustoichivost' nelineino-uprugoi plastinki s klinovoi disklinatsiei [Equilibrium and stability of nonlinear elastic plate with a wedge disclination]. PMTF, 1992, no 3, pp. 157-163.

9. Zubov L.M. The linear theory of dislocations and disclinations in elastic shells. J. of Applied Mathematics and Mechanics, 2010, vol. 74, pp. 663-672.

10. Lee X., Baldo M., Duan Y. Torsion structure in Riemann-Cartan manifold and dislocation. Gen. Relativ. Gravit., 2002, vol. 34 (10), pp. 1569-1577.

11. Zhang P., Duan Y., Zhang H. Knotlike x disclinations in the cholesteric liquid crystals. Physica A., 2006, vol. 370, pp. 245-250.

12. Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Berlin; Heidelberg; New York, 1997, 205 p.

13. Karyakin M., Kalashnikov V., Shubchinskaya N. Nonlinear effects in a plane problem of the pure bending of an elastic rectangular panel. Int. J. of Engineering Science, 2014, vol. 80, pp. 90-105.

14. Karyakin M.I., Sukhov D.Yu., Shubchinskaya N.Yu. Ob osobennostyakh chistogo izgiba paneli pri bol'shikh deformatsiyakh [On peculiarities of pure bending panels for large deformations]. Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES, 2012, no 4, pp. 69-75.

15. Lur'e A.I. Nelineinaya teoriya uprugosti [Nonlinear theory of elasticity]. Moscow, 1980, 512 p.

16. Zubov L.M. Izolirovannaya disklinatsiya v nelineino-uprugom szhimaemom tele [Isolated disclination in nonlinear elastic compressible body]. Izv. AN SSSR. MTT, 1986, no 1, pp. 69-73.

17. Karyakin M.I., Pozdnyakov I.V., Pustovalova O.G., Shubchinskaya N.Yu. O deformirovannom sostoyanii nelineino-uprugogo tsilindra s vnutrennimi napryazheniyami [On the strained state of nonlinear elastic cylinder with internal stresses]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Estestv. nauki, 2013, no 6, pp. 46-51.

18. Karyakin M.I. Ob osobennostyakh rastyazheniya nelineino-uprugikh obraztsov [On peculiarities of nonlinear elastic strain samples]. Ekol. vestn. nauch. tsentrov ChES, 2007, no 4, pp. 43-48.

19. Feodos'ev V.I. Soprotivlenie materialov [Strength of materials]. Moscow, 1999, 592 p.

4 марта 2016 г.