Сильный изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

сильныи изгиб круглой пластинки с непрерывно распределенными дисклинациями

© 2010г. Л.М. Зубов, Т.Х. Фам

Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090

Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090

Исследовано влияние распределенных дисклинаций на прогибы гибкой круглой пластинки, нагруженной поперечным давлением. Решена задача устойчивости пластинки с дисклинациями и с контурной нагрузкой, действующей в плоскости пластинки. Найдены формы равновесия пластинки после потери устойчивости.

Ключевые слова: сильный изгиб, непрерывно распределенные дисклинации, устойчивость пластинки с распределенными дисклинациями, плотность дисклинаций.

The influence of distributed disclinations on deflections of flexible circular plate loaded by transverse pressure is investigated. The problem of stability of the plate with disclinations and contour loads acting in the plane of the plate is solved. Forms equilibrium of the plate after loss of stability are found too.

Keywords: strong deflection, disclination, plate with disclination, continuously distributed disclinations.

Исходные соотношения

Уравнения равновесия гибкой упругой пластинки, содержащей в плоском состоянии непрерывно распределенные дислокации и дисклинации, имеют вид [1]

AAF +1 Eh[(AW)2 - tr(VVW • VVW)] DAA W + tr(VVF • VV W) - AFAW = p

= Eh ц , (1)

(2)

D = -

Eh3

12(l )

m = V• e• a + ß, e = -i3xE.

К - коэффициент теплопроводности; I - температурный коэффициент линейного расширения материала пластинки. Причиной появления плотности Q может быть, например, джоулево тепло, возникающее при прохождении электрического тока через проводящую пластинку.

Тензор мембранных усилий Т в пластинке выражается через функцию напряжений Эри

T = -e • VVF • e,

(3)

Здесь Ш - нормальный прогиб; ^ - функция напряжений Эри; Е - модуль Юнга; И - постоянная толщина пластинки; V - коэффициент Пуассона; Б -цилиндрическая жесткость; V - двумерный набла-оператор; А - двумерный оператор Лапласа; р - распределенное нормальное давление; / - скалярная мера несовместности; а - плоский вектор плотности краевых дислокаций; р - скалярная плотность клиновых дисклинаций; е - дискриминантный тензор; Е - трехмерный единичный тензор; 13 - единичный вектор нормали к пластинке.

Система (1), (2) отличается от известных уравнений Кармана [2 - 4] наличием правой части в (1), обусловленной учетом распределенных дефектов, являющихся источниками собственных (внутренних) напряжений в упругой пластинке.

Важно отметить, что мера несовместности / может быть обусловлена не только дислокациями и дис-клинациями, но и тепловыми деформациями, вызванными равномерно распределенным по толщине пластинки температурным полем. В этом случае, как показано ранее [1], справедлива формула / = ф/К, где Q - плотность распределенных источников тепла;

тензор изгибающих и крутящих моментов M -функцию прогиба M = -D[(l - i/)VV W + vgA W ], g = E - i 3 ® i 3 .

Влияние дисклинаций на прогиб круглой пластинки, нагруженной равномерным давлением

Рассмотрим равновесие круглой пластинки, нагруженной равномерным давлением р, защемленной

или шарнирно опертой по граничному контуру г = а, где г - радиальная координата. Плотность дисклока-ций а предполагается равной нулю, р считается постоянной. Будем отыскивать осесимметричное решение уравнений (1), (2), Ш = Ш (г), F = F(г). Предполагаем, что на границе г = а отсутствуют внешние нагрузки, действующие в плоскости пластинки.

Система уравнений (1), (2) в полярных координатах примет вид

( 1 Л , / 7,,. ~/2т

1 d

r dr

Dd_ r dr

d_ ( 1 d_( dF dr 1 r dr i dr

Eh d2W dW ^ „ +--:--— = Ehß

d ( 1 d ( dW

r — I--1 r-

dr I r dr i dr

r dr2

1 ( Л

dr

d2 F dW__

dr2 dr dr2 dr

(4)

d2W dF

= P ■

Граничные условия при г = а для защемленной пластинки:

dF

F = 0, — = 0 , W = 0. dr

шарнирно опертой -

dF

F = 0, — = 0 , W = 0. dr

dW dr

= 0.

(5)

d2W v dW л _ ■ +--- = 0 . (6)

ёг2 г ёг

Для решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4) условий (5), (6) недостаточно. Необходимы еще граничные условия в центре пластинки г = 0. Их можно сформулировать, используя результаты линейной теории упругих пластинок. Отбрасывая в уравнениях (1) и (2) нелинейные члены, видим, что в линейном приближении задача о равновесии пластинки распадается на 2 независимые: о плоском напряженном состоянии и об изгибе пластины. Как показывают известные [2] точные решения линейной теории осесим-метричного изгиба круглой пластинки, при отсутствии сосредоточенной силы в центре функция прогиба Ж в точке г = 0 подчиняется условиям

dW

=0

d 3W

= 0.

(7)

d

dr d

dr

1 d

r dr

1 d

r dr

dF dr

dW dr

+ -

Eh ( dW 2r

1

dr dF dW

Dr dr dr

Ehßr 2

pr ~ 2D

(9)

X, = rF', X2 = 11 rF 1 r

1

X3 = W , X4 = rW

Х5 = — ^гЖ ^ , вместо системы (9) получим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка

X 0 =

X!

X! = rX 2

Eh

X2 =-

X4 2 +

Ehß

X

(10)

X3 =:

X 4 =rX 5

x;= X1X4+_ pr

ёг ёг3

В линейной теории упругих пластинок существует [5] аналогия, устанавливающая математическую эквивалентность задач изгиба и плоского напряженного состояния. Функции напряжений Е в этой аналогии соответствует прогиб Ж, а плотности дисклинаций Р - нормальное давление р. Отсюда вытекает, что при отсутствии сосредоточенной дисклинации в центре пластинки функция напряжений Эри в точке г = 0 удовлетворяет условиям

ёЕ = о, ^ = 0. (8)

аг ёг

Поскольку при малых р и Р решение нелинейных уравнений (1), (2) не отличается от результатов линейной теории, можно ожидать, что условия (7), (8) в центре круглой пластинки будут корректными и для нелинейной системы уравнений (4).

Условия (7) выполняются в найденном ранее [1] точном решении нелинейной задачи об изгибе весьма тонкой пластинки (мембраны), обусловленном равномерным распределением дисклинаций.

Интегрируя (4), имеем

,2

Бг3 2Б

Здесь штрихом обозначена производная по переменной г .

В векторном виде эта система имеет вид X'= ^Х,г), где X = (Х0,Х1,Х2,Х3,Х4,Х5),

f = (/0, /1, /2, /з, /4, /з). Краевые условия в новых переменных:

Х1 (0) = 0, Х4(0) = 0, Х0(а)= 0, Х5(а)-Ц^Х4(а) = 0. (11)

а

Наряду с граничными условиями (11) для решения системы (10) необходимо поставить еще одно условие. В силу отсутствия компонентов Х 0 (г) и Х 3 (г) в

правой части системы (10) можно принять Х0 (0) и Х3 (0) равными нулю.

Для изложения существа численного метода рассмотрим сначала частный вид краевой задачи:

X'= f (X, г), Х(0) = (0,0, Х2 (0),0,0, В), (12)

где В - заданное значение неизвестной функции Х 5 (0).

Решение задачи (12) будет заключаться в отыскании некоторого значения параметра А, для которого решение задачи Коши

X'= f (X, г), X(0) = (0,0, А,0,0, В) (13)

приводит к удовлетворению условия

X*(а,Л)- VX*(а,Л) = 0 .

(14)

Константы интегрирования в этом случае равны нулю в силу граничных условий (7), (8).

Система (4) относительно функций Е и Ж является нелинейной. Для её решения используем численный метод пристрелки. Вводя новые переменные Х0 = Е,

Здесь звездочкой обозначено найденное решение задачи Коши (13).

Решение алгебраического уравнения (14) можно осуществить методом линейной интерполяции. На каждом из шагов решения уравнения (14) необходимо интегрировать нелинейную задачу Коши (13) конечно-разностным методом. Отрезок [0, а] разбивается на п отрезков, на каждом из которых решение отыскивается методом Рунге-Кутта с контролем погрешности на шаге.

В рассмотренном выше примере решается задача, в которой необходимо определить всего один параметр. Далее рассмотрим случай, когда при переходе к задаче Коши неизвестных параметров 2: X'= f (X, г), X(о) = (0,0, Х 2 (0),0,0, Х 5 (0)).

Решение такой краевой задачи можно свести к предыдущему случаю, т.е. к отысканию значения параметра В , для которого решение краевой задачи

X'= f (X, г), X(0) = (0,0, Х2 (0),0,0, В) (15)

приводит к выполнению равенства

r

2

r

а

X5*(a,б)-1-Ух*(a,Б) = 0 . (16)

a

Уравнение (16) представляет собой нелинейное алгебраическое уравнение, корни которого находятся тем же методом, что и корни уравнения (13). На каждом шаге поиска решения необходимо интегрировать краевую задачу (15).

Численная реализация изложенного метода осуществлялась с помощью пакета С++. При выборе параметров расчета использовались следующие данные: E = 1; у = 0,3 ; a = 1 ; n = 100.

Функция прогиба пластинки представлена на рис. 1. По оси ординат отложены значения прогиба W при различных плотностях дисклинаций. На рис. 1а, б

w

p = 10 4 ; на рис. 1в, г - p = 10 3. Рис. 1 а, в соответствуют опертой пластинке, рис. 1 б, г - защемленной.

При достаточно большой поперечной нагрузке прогиб пластинки увеличивается с увеличением плотности дисклинаций независимо от знака дисклинаций. При малой нагрузке полученные результаты совпадают с аналитическим решением линейной теории пластинок [2].

На рис. 2 представлен прогиб пластинки при отсутствии дисклинаций ( ß = 0 ) и дано сравнение с результатами линейной теории изгиба пластинок (слева p = 10 5 ; справа p = 10 4 ).

Рис. 1. Прогиб пластинки при присутствии нормальных давлений:

Рис. 2. Прогиб опертой пластинки при отсутствии дисклинаций: х линейная теория; - нелинейная

Устойчивость плоского напряженного состояния пластинки с распределенными дисклинациями

Предположим, что поперечная нагрузка p равна нулю, а силы, приложенные к границе пластинки, лежат в ее плоскости. Тогда система уравнений (1), (2) имеет решение W = 0, соответствующее плоскому напряженному состоянию, которое описывается уравнением (1). Уравнение (2) удовлетворяется тождественно.

При некоторых значениях меры несовместности ^ и контурных нагрузок плоское напряженное состояние пластинки может стать неустойчивым и сменяется изогнутой формой равновесия. Для исследования устойчивости плоского напряженного состояния применим статический (бифуркационный) метод, состоящий в построении форм равновесия, близких к докритической, и основанный на линеаризации нелинейной краевой задачи в окрестности основного решения.

Рассмотрим случай, когда докритическое плоское напряженное состояние круглой пластинки обусловлено равномерным распределением клиновых дис-клинаций (л = р = const) и равномерно распределенной по контуру r = a сжимающей нормальной нагрузкой с интенсивностью t на единицу длины. Данное состояние описывается краевой задачей для функции F (r)

( d2 1 d -+--

vdr2 r dr/v

F {a ) = 0, d~F

dr

Vd 2 F

1 dF -+--

dr 2 r dr

= -at,s

\

= Ehß,

Решение краевой задачи (17)

F{r) = Ehß(r2 - a2)2 +1 {a2 - r2)

64

(17)

(18)

Тензор мембранных усилий в силу (3), (18) в до-

критическом состоянии

T = {tr - t0 )erer +{tp - '0

tr = Щ 2 - a 2) r 16 v '

,,= Ehß{3r 2 - a

(19)

d4W 2D d3W D-- +--—

dr4 1 ( D

r dr3

, D Лd 2W

+ 1- 72 - 'r + I +

+ -I

r V r

2 ' 0

dW dr

dW dr

= 0,

d 3W

r=0

dr3

= 0,

= 0,

W = 0 , —

lr=a dr

r=0 = 0.

(20)

(21)

(22)

В случае шарнирно опертой пластинки граничные условия (22) заменяются на

W = 0,

lr=a

( d 2W

dr

_ + v dW_ 2 r dr

= 0 .

Линейная краевая задача (20) - (22) однородна и всегда имеет тривиальное решение Ж = 0. Исследование устойчивости плоского состояния пластинки заключается в отыскании критических значений нагрузки /0, при которых указанная однородная задача имеет нетривиальное решение. Критические значения параметра /0, очевидно, зависят от плотности дисклинаций в.

Для численного решения задачи устойчивости применим конечно-разностный метод [6].

Перейдем от дифференциального уравнения 4-го порядка к системе 4 дифференциальных уравнений 1-го порядка, которая записывается в матричной форме

X'+ А(г^ = 0, X = (Х1,Х2,Х3,Х4), 0 < г < а, (23)

где X - вектор-столбец неизвестных функций; А -матрица неизвестных коэффициентов системы;

Xk =

dkW

~dTr

к = 1,2,3,4.

Систему (23) запишем в конечно-разностной форме: Xг+1 = (Е- А^к^,, Аг = А(гг-), г{ = а + ¡И, ИИ = -а (г = 0,1...М), где И - шаг разностной схемы; Е - единичная матрица. Тогда последовательно находим

^ = В0^Ъ X2 = ВА = В1В0X0

N = ВN-1XN-1 = ВN-1В1В0X0, Вг = Е - АгИ.

(24)

Шаг разностной схемы взят отрицательный, так как матрица коэффициентов А(г) имеет особенность в точке г = 0 .

В качестве неизвестных в системе алгебраических уравнений, определяемой последним равенством (24),

возьмем ^ (0), ^ (0), Ж(а), ^(а). Ж(0), ^ (0),

ёг ёг3 ОГ ёг2

ё2Ж / ч ё3Ж / ч

-(а), -(а) выражаются через них с исполь-

ёг2 ёг3

зованием краевых условий (21) и (22).

Система алгебраических уравнений относительно искомых неизвестных - однородная. Условие обращения в нуль её определителя дает равенство /(0 )= 0, где /(/0) - определитель системы. Решение этого уравнения является критическим значением внешнего давления 10, при котором пластинка потеряет устойчивость.

Для расчета использованы следующие данные: а = 1, N = 200 , Е = 1, И = 0,1, v = 0,3. В табл. 1 дается зависимость минимальных критических значений внешнего давления от плотности дисклинаций в случае защемленной и опертой пластинки.

Рассмотрим случай кусочного распределения дис-

, ч Гр, 0 < г < г1 клинаций Р(г ) = < . При г, = 0,1 получе-

4 ' [0, г1 < г < а

ны следующие результаты (табл. 2).

d 2W,

Здесь е г, е^ - единичные вектора, касательные к

координатным линиям полярных координат; 1г и -

компоненты усилий, обусловленные распределенными дисклинациями.

На основании (1), (2), (18), (19) линеаризованная краевая задача, описывающая осесимметричные из-гибные формы равновесия, мало отличающиеся от плоского состояния, для защемленной пластинки записывается в виде

r=a

r=a

Критическое значение t0*

Таблица 1

ß -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,3161 0,1462

< 0 0,0021 0,0008 0,0017 0,0006 0,0013 0,0003 0,00093 0,0001 0,0005 0,0019 0,00017 0,0015 0

- защемленная пластинка - числитель; опертая - знаменатель.

Таблица 2

Зависимость критических значений t0 от плотности дисклинаций*

ß -0,2 -0,1 0 0,1 0,2

10 0,00138 0,0004 0,00136 0,00039 0,00134 0,00038 0,00133 0,00037 0,00131 0,00036

* - защемленная пластинка - числитель; опертая - знаменатель.

Из полученных результатов вытекает, что критическое значение бокового давления увеличивается при увеличении плотности клиновых дисклинаций.

Как видно из табл. 1, потеря устойчивости пластинки возможна при t0 = 0, т.е. при отсутствии внешних нагрузок только за счет внутренних напряжений, обусловленных распределенными дисклинациями. Форма потери устойчивости изложена на рис. 3.

0,12 0,100,080,060,04 0,02

w

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Опертая

0,9

0,140,12 -0,100,080,060,040,020

w

О 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 Г Защемленная

Рис. 3. Форма потери устойчивости пластинки при /0 = 0

Закритическое поведение пластинки с внутренними напряжениями

Решение линеаризованной однородной задачи позволяет определить критические значения параметров нагружения и форму потери устойчивости, но не амплитуду выпучивания. Для исследования закритиче-ского поведения пластинки необходимо привлечь нелинейные уравнения (1), (2).

Рассмотрим случай, когда круглая пластинка содержит равномерно распределенные дисклинации и свободна как от поперечной, так и боковой нагрузок. Если ß превышает критическое значение, то система (1), (2) имеет не только решение W = 0, но и нетривиальное решение. Для исследования закритического поведения пластинки применим численный метод пристрелки, состоящий в отыскании нетривиальных решений системы (1), (2). На рис. 4 изображен прогиб опертой пластинки после потери устойчивости для различных толщин. При малой толщине результаты соответствует точному решению [1] для мембраны.

Рис. 4. Прогиб опертой пластинки с различными толщинами при ß0=0,002: --h=0,01;---h=0,005;- h=0,001; о - точное решение

При достаточно большой плотности дисклинаций, если изменить начальное приближение в алгоритме пристрелки, можно получить еще другие решения (рис. 5).

Защемленная

Рис. 5. Прогиб пластинки в закритической стадии при Д,=0,1:

- первое решение; - • - второе;--третье;

--четвертое;............. пятое

*

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00459) и в рамках ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России».

Литература

1. Зубов Л.М. Уравнения Кармана для упругой пластинки с дислокациями и дисклинациями // Докл. РАН. 2007. Т. 412, № 3. С. 343-346.

2. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М., 1963. 636 с.

Поступила в редакцию_

3. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М., 1987. 542 с.

4. Сьярле Ф., Рабье П. Уравнения Кармана. М., 1983. 172 с.

5. Зубов Л.М., Столповский А.В. Теория дислокаций и дисклинаций в упругих пластинках // ПММ. 2008. Т. 72, вып. 6. С. 989-1006.

6. Зубов Л.М., Моисеенко С.И. Выпучивание упругого цилиндра при кручении и сжатии // Изв. АН СССР. МТТ. 1981. № 5. С. 78-84.

26 февраля 2010 г.