О деформированном состоянии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

О ДЕФОРМИРОВАННОМ СОСТОЯНИИ НЕЛИНЕЙНО-УПРУГОГО ЦИЛИНДРА

С ВНУТРЕННИМИ НАПРЯЖЕНИЯМИ*

© 2013 г. М.И. Карякин, И.В. Поздняков, О.Г. Пустовалова, Н.Ю. Шубчинская

Карякин Михаил Игоревич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра теории упругости, декан факультета математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: karyakin@math.sfedu.ru.

Поздняков Иван Владимирович - аспирант, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: ivpozdnyakov@ sfedu.ru.

Пустовалова Ольга Геннадиевна - кандидат физико-математических наук, ассистент, кафедра математического моделирования, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: o.g.pustovalova@gmail. com.

Шубчинская Наталия Юрьевна - ассистент, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: nyshubchinskaya@sfedu. ru.

Karyakin Mikhail Igorevich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Elasticity Theory, Dean of the Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, email: karyakin@math.sfedu.ru.

Pozdnyakov Ivan Vladimirovich - Post-Graduate Student, Department of Elasticity Theory, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, email: ivpozdnyakov@ sfedu.ru.

Pustovalova Olga Genadyevna - Candidate of Physical and Mathematical Science, Assistant, Department of Mathematical Modeling, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: o.g.pustovalo va@gmail.com.

Shubchinskaya Nataliya Yurievna - Assistant, Department of Elasticity Theory, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: nyshubchinskaya@sfedu.ru.

Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 - 2013 годы (соглашение 14.А18.21.0389).

Рассмотрена задача о равновесии нелинейно-упругого цилиндра с внутренними напряжениями, источником которых служит изолированный дефект — клиновая дисклинация или винтовая дислокация — на оси цилиндра. С использованием полуобратного метода нелинейной теории упругости проанализировано напряженно-деформированное состояние цилиндра для двух моделей материалов — полулинейного и Блейтца и Ко общего вида. В рамках теории эффектов второго порядка получены аналитические выражения для коэффициента изменения длины цилиндра в зависимости от материальных параметров моделей материалов и характеристик дефектов. Проведено их сравнение с результатами численного решения нелинейных краевых задач.

Ключевые слова: дисклинация, винтовая дислокация, нелинейная упругость, полуобратный метод, эффекты второго порядка.

The problem of equilibrium of nonlinearly elastic cylinder with internal stresses was studied. The internal stresses originate from the isolated defect — wedge disclination or screw dislocation — along the cylinder axis. By using semi-inverse method of nonlinear elasticity theory the stress-strain state of cylinder with the defects was analyzed for two compressible material models — John material and Blatz and Ko material. Within the theory of second order effects the analytical formulae for the length change ratio as a function of material parameters of considering material models and defects' characteristics were obtained. Their comparison with results of numerical solution of nonlinear boundary value problem was conducted.

Keywords: disclination, screw dislocation, nonlinear elasticity, semi-inverse method, second order effects.

Понятие о внутренних напряжениях, т.е. напряжениях, существующих в теле, к которому не приложено никакой внешней нагрузки, впервые возникло в работах В. Вольтерра [1] в начале XX в. Источником таких напряжений являются, в частности, изолированные линейные дефекты, получившие позже, благодаря введенной в работе Лява [2] терминологии, название дислокаций Вольтерра.

Концепция дислокаций как линейных дефектов кристаллической решетки, возникла в физике значительно позже, в 30-е гг. ХХ в. Еще позднее возникла, а потом нашла практическое подтверждение концепция дисклинаций (вращательных дефектов, или поворотных дислокаций), причем не только в кристаллической решетке, но и различных материальных структурах [3, 4].

Моделирование дислокаций в рамках континуальной механики представляет собой достаточно обширный и активно развивающийся раздел современной механики. Существенный вклад в его развитие, в частности, в вопросы, связанные с обобщением теории упругих дислокаций и дисклинаций на нелинейный случай, внесла ростовская школа механики, некоторые итоги работы которой были подведены в монографии [5].

В настоящей работе исследована одна из проблем нелинейной теории изолированных дефектов. Цель исследования состояла в определении характера влияния внутренних напряжений, вызванных изолированным дефектом типа клиновой дисклинации или винтовой дислокации, на деформированное состояние цилиндра, содержащего такой дефект. Подробно изучено отсутствующее в линейной теории упругости явление изменения длины цилиндра при образовании в нем дислокации.

Клиновая дисклинация в сплошном цилиндре

Схема анализа задачи о равновесии цилиндра с дисклинацией хорошо известна [6, 7]: по полуобратному представлению деформации в цилиндрических координатах

R = P(r); Ф = жр; Z = yz. (1)

Находятся геометрические характеристики деформации - градиент деформации С и мера деформации Коши-Грина G , а затем по заданной функции удельной потенциальной энергии W вычисляется тензор

напряжений Пиолы Б, через компоненты которого представляется единственное нетривиальное в данном случае уравнение равновесия

dr

- +

1 (Dr - ж Dqa ) =0,

(2)

служащее для определения функции P(r) в (1). Краевыми условиями для (2) в случае сплошного цилиндра являются отсутствие напряжений на боковой поверхности цилиндра

DrR Г) = 0 (3)

(r - радиус недеформированного цилиндра) и условие сплошности

P(0) = 0 . (4)

Единственное отличие от [6, 7] в данном случае -наличие множителя y в (1), позволяющего учесть (в интегральном смысле) возможность осевого сжатия цилиндра либо, при отсутствии такового, определить зависимость изменения длины цилиндра от параметра дисклинации ж . Для анализа удлинения следует воспользоваться представлением для осевой силы

Q = 2xlDzZP(r)P' (r)dr .

(5)

Несмотря на простоту изложенной выше схемы исследования, в общем случае уравнение (2), выраженное через Р(г), является нелинейным, и его решение не может быть найдено в явном виде. На сегодняшний день известны лишь два исключительных случая этой задачи: для модели полулинейного материала (гармонического материала Джона) это уравнение линейно [6]; для упрощенного варианта модели материала Блейтца и Ко явное решение этого уравнения построено в случае сплошного цилиндра [7]. Рассмотрим сначала именно эти два варианта для анализа изменения длины цилиндра с дис-клинацией.

Полулинейный материал

Определяющее соотношение для тензора напряжений Пиолы Б = (Ая1 - 2/)А + 2¡С ; ^ = 1г(И) - 3,

и = (О)112 - левый тензор искажения; А = и 1 • С -тензор поворота; X , ¡и - материальные параметры.

о

Уравнение равновесия принимает вид

d2 P(r) 1 dP ж2 P(r) (ж — 1)(vl-1 — v) -+----- - , его ре-

dr2 r dr r (1 — v)r

шение с учетом краевых условий (3), (4):

P(r) =

1 +V-ÄV

(1 + ж)(1 -V)

r + (1 - 2v)r

r

V '1 /

приводит к зависимости у от ж

у = 1 +

V(ffi -1)2

(ж -1)2 + 4ж(1 -V2)

(6)

равновесия:

d2P(r) _ 1 dP(r) 1 r2_

dr2

3r dr 3 P (г)ж

dP(r) dr

P(r) = ±fiLr1, ffl = ж2/3| ^/4+Ж7 + 2 -(¡4 + ж2 -2 I.

^жЛа3

Из условия Q = 0 получаем зависимость у от ж:

У

= 5

W = М± (1 -ß)

I2I31 +

1 (1 "-1)-3

+м\ ß

I1 +1 (l 3"-1)

-1)-3

(7)

В выражении (7) а , р - материальные параметры, первый из которых в случае малых деформаций

Здесь V = 1/2(1 + [) - аналог коэффициента Пуассона линейной теории упругости.

Условие отсутствия осевой силы Q = 0 по (5)

В предположении, что -1 < V < 1/2, из (6) следует, что у > 1 при всех значениях ж, т.е. дисклинации любого знака приводят к удлинению цилиндра.

Материал Блейтца и Ко (упрощенный вариант)

Определяющее соотношение для тензора Пиолы

имеет вид п=! /-1(/1Е - с+</|'2 - 1»)С -1)-с, где [ - материальный параметр, имеющий смысл модуля сдвига при малых деформациях. Уравнение

его решение с учетом краевых условий (3), (4):

Можно показать, что в этом случае у < 1 при всех значениях ж, значит, дисклинации любого знака приводят к укорочению цилиндра.

Проведенный анализ показывает, что эффект изменения длины цилиндра при образовании клиновой дисклинации является чисто нелинейным эффектом, причем его знак зависит от так называемых упругих характеристик второго порядка. Анализ задачи точного учета влияния этих характеристик в случае сплошного цилиндра упирается в невозможность использования метода последовательных приближений: решение не является аналитическим по малому параметру ж -1 в окрестности оси цилиндра. В связи с этим ниже задача о влиянии дисклинации на изменение длины будет рассмотрена для полого цилиндра.

Клиновая дисклинация в полом цилиндре

Случай полого цилиндра будет рассмотрен для двух моделей материалов - полулинейного и Блейтца и Ко, только во втором случае вместо упрощенной модели будет изучена полная, выражение упругого потенциала которой имеет вид

связан с коэффициентом Пуассона а =-, а вто-

1 - 2v

рой является чисто нелинейным.

Условие сплошности (4) для уравнения (2) заменим условием незагруженности внутренней поверхности цилиндра, имеющей радиус г0

БгК (Го) = 0. (8)

Для полулинейного материала краевая задача (2), (3), (8) остается линейной. В случае использования модели Блейтца и Ко получаем весьма громоздкую нелинейную краевую задачу. В частности, при а = 12 получаем

Р"Р2г 2ж(эРжу(1 -р) + Р ¡2Г + рв жу))+

+ (5-1)(р3ж2 -Р3 г3)уР + (9)

+ 25жу(Рг -Р)г2РР'2 + ¡уж2(Рг -Рк2)Р3Р'4 = 0,

(р -1)Р'3 Р2ж2у2 + Ржуг) + 5гР' Р '3 Ржу - г) = 0.

Краевые задачи вида (9) решались численно.

На рис. 1 изображена зависимость изменения длины цилиндра с соотношением радиусов г0/г = 0,05 от параметра дисклинации для полулинейного материала - линия 1, и для материала Блейтца и Ко (при а = 12): р = 0,9 - линия 2; р = 0,83 - линия 3; Р = 0,2 - линия 4. Из приведенных графиков видно, что характер изменения длины цилиндра для модели материала Блейтца и Ко существенно зависит от материального параметра р.

1,003

1,002

1,001

0,999

0,8

0,9

1

1,1

1,2

Рис. 1. Зависимость изменения длины цилиндра от параметра дисклинации

Рассмотрим явление изменения длины цилиндра вследствие образования в нем клиновой дисклинации в рамках теории эффектов второго порядка с использованием метода последовательных приближений [8, 9].

+

ж Л

\

/

4

1

Будем разыскивать решение краевой задачи равновесия цилиндра (2), (3), (8) в виде

Р(г) = /0 (г) + 8 /1(г) + 82/2 (г), где 8 = 1 - ж - малый

параметр; Л (^=0, 1, 2) - неизвестные функции. Аналитические выражения для этих функций могут быть получены на основе последовательного рассмотрения краевых задач, соответствующих различным степеням параметра д.

Условие отсутствия осевой силы Q=0 по (5) при а=1/2 приводит к аналитической зависимости у от д, в и к следующего вида:

у = 1 + (5 - 6Д82 (к6-1 + + (3 + 41п2 (к))к2 - к4 ))/45 (к 2-1)3 ,

(10)

где к=г0/г1. Из (9) видно, что цилиндр с дисклинацией

не будет менять длины в случае р = —; будет удли-

6

я 5 _ 5

няться при р > —, а укорачиваться - при р < —.

6 6

Винтовая дислокация

Влияние дислокации на изменение длины цилиндра в рамках нелинейной теории упругости было рассмотрено ранее в [10-12]. С использованием модели неогуковского материала в рамках теории несжимаемого континуума в [10] показано, что распределение винтовых дислокаций приводит к скручиванию цилиндра, при этом его длина уменьшается. Таким образом, эффект Пойнтинга, обусловленный винтовыми дислокациями, имеет обратный знак по сравнению с эффектом Пойнтинга, обусловленным крутящим моментом. В [11] рассмотрен случай изолированной дислокации в сплошном цилиндре с возможностью кавитации на ее оси, при этом получены аналогичные результаты по изменению длины цилиндра. Задача о дислокации в рамках сжимаемого континуума рассмотрена в [12]. При использовании упрощенной модели материала Блейтца и Ко на основе численного исследования краевой задачи равновесия показано, что при достаточно больших значениях параметра дислокации цилиндр не только скручивается, но и укорачивается. В настоящей работе влияние дислокации на изменение длины цилиндра будет рассмотрено более детально для полулинейного материала и модели материала Блейтца и Ко общего вида.

Образование в цилиндре винтовой дислокации с учетом возможности закручивания цилиндра описывается полуобратным представлением вида

Г Я = Р(г)

<! Ф = ф + у 2 . (11)

= у 2 + аф

Здесь у - угол закручивания на единицу длины;

|Ь|

а = —— параметр дислокации; Ь - вектор Бюргерса.

2ж

Краевая задача о равновесии полого цилиндра в терминах компонент тензора напряжений Пиолы по-прежнему состоит из одного уравнения равновесия <Ю

rR

+1 (Dr -DW)-D =0 и

, \ /R . КРаеВЫХ УСЛ0ВИй

dr r

(3), (8). Нужно отметить, что матрица компонент гра-

диента деформации в этом случае не будет диагональной, поэтому все выкладки существенно усложняются. В частности, в случае полулинейного материала краевая задача при V = 14 имеет вид

S1P+S2P+S3P3 + S4P2 + S5P + S6 = 0 ,

3rP'k + P2q + 2rPc2 + c3 - 5rk\

= 0,

r=r0.1 2,

где s1 = 3r2 |p2Cj + 2rPc2 + c3 J, s2 = 3r\P2c1 + 2rPc2 + c3 J, C = a2 + rУ, k = д/P2 + a2 + r2P2y2 + r2y2 + 2Pyr-2Pary , s3 = -3c2, s4 = c1r(7ya-5 -7y) + r2ky2 ,

c1 = 1 + r2y2, c2 = y - ay, s5 = -10r2c2 - 5r2 (y2 + a2y2)2 -

-rk (ay+y)+ 5rkc1 + yyr 2 (4a - 3yy2r 2 )-3a

s6 = 5kr 2c2 -5rc3 -ra3c2 + y2r2(k + ray). Для модели материала Блейтца и Ко при а = 1/2 :

P "c2 |p2P' 4 r 2ß(Pc2 + 2r) + 3P3r 2c2 (l - ß)J+

+ P \>c2P '2 r 2 P(rß + P) - P3 rc2 (l - ß) +

+ P 3 c (r (l - ß) - c 2 P4ß)- C 2rßP3P'4 J = 0,

ß(r 2P y-c2rPP4 ) - (l - ß)c2 (c2P '3 P2 + rP)

= 0.

r=r0.1

Для анализа удлинения потребуется еще одна силовая характеристика - крутящий момент

M = 2^jDzi P(r)P ' (r)dr .

(12)

Рассмотрим сначала частный случай представления (11), положив в нем ^=0. Условие (12) в этом случае не используется для решения задачи; оно лишь позволяет определить post factum величину крутящего момента, который требовалось приложить к цилиндру, чтобы исключить его скручивание. Удлинение цилиндра (параметр у) может быть определено из условия обращения в нуль продольной силы Q (5).

На рис. 2 приведены зависимости изменения длины цилиндра от параметра дислокации: для материала Блейтца и Ко: в = 0 - линия 1; в = 0,3 - линия 2; в = 0,7 - линия 3; в = 1 - линия 4; для полулинейного материала - линия 5; h=0,05, a=1/2.

Из рис. 2 видно, что в случае полулинейного материала цилиндр укорачивается, а в случае материала Блейтца и Ко удлинение или укорочение цилиндра зависит от величины параметра в.

Ограничиваясь изучением эффектов второго порядка, представим решение для функции P(r) в виде ряда по степеням малого параметра a

P(r)= fo (r)+ «/i(r)+ a 2f2 (r). (13)

Как и в задаче о дисклинации, неизвестные функции / (k = 0,1,2) могут быть найдены аналитически, при этом оказывается, например, что для материала Блейтца и Ко аналитическая зависимость параметра изменения длины у от материальных и геометрических параметров имеет вид

1 - a 2ln(h)(ß-l)(a +1) (3а + l)(h2 -l) '

1,04

0

П I

0,1

Л 1

0,2

у = l - a ■

+ a

(ß-l)ln(h)(« + l)(l + h 2 ) (3a + l)(h2 -1) (h2 -l)ß(l + a)-2(l + 2«))

(3a + l)(h2 -1)

Y rl = -

2a h 2 +1'

(15)

Рис. 2. Зависимость изменения длины цилиндра от параметра дислокации при отсутствии кручения

Из (14) следует, что при в = 1 цилиндр не будет менять длины для всех рассмотренных значений параметра дислокации, а с уменьшением р до нуля -будет удлиняться. Данный результат находится в полном соответствии с результатами, представленными на рис. 2.

Отказавшись от условия у = 0 в (11), можно изучить влияние исключительно внутренних напряжений, создаваемых винтовой дислокацией, на удлинение и закручивание цилиндра, если потребовать выполнения условия отсутствия (в интегральном смысле) всех внешних воздействий на упругий цилиндр с дефектом. Это условие состоит в обращении в нуль не только продольной силы Q (5), но и крутящего мо-

е=0

1

0,99 \\ 1

0,98 Ч \ 2

0,97

0,96 \ \ 3

0,95 \ 4

0,94 \

0 0,1 0,2

мента М (12). Из системы уравнений д ха-

рактеристики у и у, описывающие, соответственно, изменение длины и закручивание цилиндра с дислокацией, могут быть найдены как функции материальных параметров а и р , параметра дислокации а и относительной толщины цилиндра, описываемой величиной к .

На рис. 3 изображена зависимость изменения длины цилиндра от параметра дислокации для материала Блейтца и Ко: в = 0 - линия 1; р = 0,2 - линия 2; р = 0,8 - линия 3; для модели гармонического материала - линия 4; к = 0,05 . Цилиндр укорачивается в случае гармонического материала, а в случае материала Блейтца и Ко изменение его длины не монотонно относительно параметра дислокации и зависит от в.

В рамках описанной выше теории эффектов второго порядка приближенные (с точностью до a2) выражения для удлинения и закручивания имеют вид (здесь а= 12)

Рис. 3. Зависимость изменения длины свободного цилиндра от параметра дислокации

В отличие от задачи дисклинации и дислокации при отсутствии закручивания данные выражения не являются эффективными. В частности, они описывают характер поведения у лишь в весьма малом диапазоне изменения параметра дислокации a и неспособны описать немонотонность зависимости удлинения от параметра дислокации. Иллюстрацией сказанного служит рис. 4, где изображено изменение длины цилиндра в зависимости от параметра дислокации для модели материала Блейтца и Ко при ß = 0, h = 0,05 и a = l/2 . Здесь линия 3 - численный результат; линия 1 - решение, построенное по формуле (15).

Рис. 4. Влияние порядка аппроксимации на изменение длины цилиндра

+

Для того чтобы описать эффект немонотонности, в представлении (13) требуется удержать слагаемые более высоких порядков:

Р(г) = /о (г) + а/1 (г) + а 2(г) + а3 / (г) + а 4/ (г). Функции / (г) и /4 (г) могут быть найдены аналитически (установлено, в частности, что / = 0), а выражение для удлинения с учетом удерживаемых слагаемых принимает вид

у = у0 + а 4 (р3 (к2 (1 + к8 )(156 -10441п2 (к))+ + к4 (1 + к4 )870 -12961п2 (к))+ + 1п(к)к2 (1 - к4 )(2304к2 + 648(1 + к4))-

- к6 (5041п2 (к) + 2232))+ р2 (- 420(1 + к12)-

- к4 (1 + к4)(4300 + 57241п2 (к))+ + к2 (1 + к8 )(22891п2 (к)-3161)+

+ к2 (к8 -1)1п(к)2142 + к6 (15762-160261п2(к)))+ + р(к2 (1 + к8 )3294 -14461п2 (к))+ + к4 (1 + к4 )153361п2 (к)-1530)+ + 5178к21п(к)(1 - к8)+ 570(1 + к12)+ + 21756к41п(к)(1 - к4 )+ к6 (225641п2 (к)-4668))+ + (к4 -1)1896к41п(к)-240(к8 -1))+ + (1 + к8)к2(2011п2(к) + 216)- 81361п2(к)к4 (1 + к4)-

- к6 (432 + 170341п2 (к)))/к2 (к12 + 2к10 - к8 -

- 4к6 - к4 + 2к2 +1)), (16)

где у0 определяется выражением (15).

Решение (16) представлено линией 2 на рис. 4. Видно, что это приближение количественно и качественно согласуется с представленным численным решением.

Поступила в редакцию_

Литература

1. Volterra V.Sur l'equilibre des corps elastiques multiplement connexes // Annales de l'Ecole Norm. Sup. 1907. Vol. 24, № 3. P. 401 - 517.

2. Ляв А. Математическая теория упругости. М.; Л., 1935. 674 с.

3. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л., 1986. 224 с.

4. Fried E., Todres R.E. Disclinated states in nematic elastomers // J. Mech. Phys. Solids. 2002. Vol. 50. P. 2691 - 2716.

5. Zubov L.M. Nonlinear theory of dislocations and disclinations in elastic bodies. Berlin; Heidelberg; N.Y., 1997. 205 p.

6. Зубов Л.М. Изолированная дисклинация в нелинейно-упругом сжимаемом теле // Изв. АН СССР. МТТ. 1986. № 1. С. 69 - 73.

7. Карякин М.И. О напряжениях, создаваемых изолированной дисклинацией в нелинейно-упругом теле // Изв. СКНЦ ВШ. Естеств. науки. 1988. № 1. С. 58 - 63.

8. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980. 512 с.

9. Калашников В.В., Карякин М.И. Эффекты второго порядка и принцип Сен-Венана в задаче кручения нелинейно-упругого стержня // ПМТФ. 2006. Т. 47, № 6. С. 879 -885.

10. Зубов Л.М., Губа А.В. Нелинейная теория кручения призматических упругих тел, содержащих винтовые дислокации // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. Спецвыпуск «Нелинейные проблемы механики сплошных сред». С. 212 - 222.

11. Карякин М.И., Пустовалова О.Г. О кавитации на оси винтовой дислокации в нелинейно-упругом цилиндре // Изв. вузов. Сев.-Кав. регион. Естеств. науки. 2010. № 4. С. 33 - 37.

12. Gavrilyachenko T.V., Karyakin M.I., Sukhov D.Y. Designing of the interface for nonlinear boundary value problem solver using Maple // Proceedings of the International Conference on Computational Sciences and its Applications (ICCSA 2008). Los Alamitos; Washington; Tokyo, 2008. P. 284 - 291.

11 ноября 2013 г.