CC BY
16
УДК 539.9
ВЛИЯНИЕ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ДИСЛОКАЦИЙ НА НЕЛИНЕЙНЫЙ ИЗГИБ И КРУЧЕНИЕ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ВНУТРЕННИМ ДАВЛЕНИЕМ
© 2013 г. Л.М. Зубов, Д.А. Минченко
Зубов Леонид Михайлович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: zubovl@yandex.ru.
Минченко Дмитрий Андреевич - аспирант, кафедра теории упругости, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: minchenko.dman@mail.ru
Zubov Leonid Michailovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of the Elasticity Theory, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: zubovl@yandex.ru. Minchenko Dmitriy Andreevich - Post-Graduate Student, Department of the Elasticity Theory, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, Russia, 344090, e-mail: minchenko.dman@mail.ru.
Предложена нелинейная теория упругих оболочек типа Кирхгофа-Лява с непрерывно распределенными дислокациями. За основные неизвестные в системе разрешающих уравнений приняты компоненты тензора дисторсии деформирующейся поверхности. Система уравнений включает уравнения несовместности, в которых плотность дислокаций считается заданной функцией координат на поверхности, и уравнения равновесия с заданной плотностью внешней нагрузки. Рассмотрены задачи кручения и изгиба круговой цилиндрической оболочки с дислокациями. Эти задачи сведены либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, либо к алгебраическим уравнениям. Полученные уравнения решены численно при помощи встроенных пакетов математической среды Maple.
Ключевые слова: уравнения несовместности, тензор дисторсии, вектор дислокации Бюргерса, плотность распределения дислокаций.
The nonlinear theory of Kirchhoff-Lave type elastic shells with continuously distributed dislocations is suggested. For the main variables in the system ofgoverning equations adopted the components of the distortion tensor of deformable surface. The system includes the inconsistency equations in which the dislocation density is a given function of position on the surface and the equilibrium equation with the given density of external load. The problem of torsion and bending of circular cylindrical shell with dislocations is considered. These problems are reduced either to ordinary differential equations, or to algebraic equations. The resulting equations are solved numerically using the built-in packages of mathematical medium Maple.
Keywords: inconsistent equations, distortion tensor, Burger's vector of dislocation, dislocation density.
Предложена нелинейная теория упругих оболочек типа Кирхгофа-Лява с непрерывно распределенными дислокациями.
Плотность дислокаций в оболочках
Пусть ст - поверхность упругой оболочки, рассматриваемой как двумерный материальный континуум, в отсчетной конфигурации, т. е. в недеформи-
рованном состоянии. Радиус-вектор точки на ст обозначим г, гауссовы координаты - qа (а =1,2). Введем векторы основного га и взаимного базисов г^ , а также оператор градиента на ст
, ГР' Га=8р , Г?-П = 0 , = гР ° .
дда Р ддР
Здесь п - единичный вектор нормали к поверхности ст . Радиус-вектор деформированной поверхности Е , отнесенной к тем же криволинейным координатам
да, обозначим Я , а векторы основного базиса, взаимного базиса и единичной нормали на Е — Яа,
, N. Считая тензор дисторсии [1, 2]
F = ^ Я = га® (1)
однозначной и непрерывно дифференцируемой функци-
^ а
ей координат д , рассмотрим задачу определения поля перемещений оболочки и = Я - г по заданному полю тензора F(gа). Очевидно, это эквивалентно определению векторного поля Я.(да). На основании (1) имеем
г
к(г)=/ йг - F + Я(го), (2)
Го
где го — вектор положения некоторой фиксированной точки на поверхности ст . Предположим, что некоторый участок поверхности оболочки представляет собой многосвязную область, гомеоморфную кругу с круговыми отверстиями, а функция F(r) однозначна в этой многосвязной области. Согласно (2) поле перемещений в этом случае будет, вообще говоря, обладать неоднозначностью, состоящей в том, что при обходе замкнутого контура, охватывающего одно из отверстий, вектор Я , как и вектор и, получает приращение, равное вектору Бюргерса
В =*йг - F . (3)
у *
Вектор В * не зависит от выбора контура У * при условии, что контур охватывает только одно 8-е отверстие. Отличие от нуля векторов В * (8=1,2,..) означает существование в оболочке трансляционных дислокаций Вольтерра или изолированных дислокаций. При помощи выражения (3) найдем суммарный вектор Бюргерса для системы дислокационных дефектов, расположенных на участке сто поверхности ст
В = Е В * йг - F . (4)
* * у *
В силу известных свойств криволинейных интегралов и однозначности поля дисторсии F(r) сумму интегралов в (4) можно заменить одним интегралом по замкнутому контуру у о, охватывающему все отверстия в области сто
В* ={ йг - F . (5)
у*
Перейдем, следуя методу [3], от дискретного набора дислокаций к их непрерывному распределению. Для этого диаметры отверстий устремляем к нулю, а контурный интеграл (5) преобразуем в поверхностный интеграл по области сто, ограниченной контуром у о :
B = jjjadCT , a = div(e • F), e = -E x n.
(6)
Здесь е — дискриминантный тензор на поверхности ст [2]; Е — трехмерный единичный тензор; Шу — оператор дивергенции на поверхности ст .
Поскольку В — суммарный вектор Бюргерса всех дислокаций, содержащихся в области ст о , векторную величину ст в силу (6) следует назвать плотностью дислокаций. При заданной плотности дислокаций
а(д\ д2) для определения тензорного поля дисторсии получаем векторное уравнение
Шу(е - F) = а . (7)
При а = о (7) переходит в уравнение совместности [1] для тензора дисторсии. Если аФ о, то поле перемещений и для оболочки не существует, поэтому при а Ф о (7) называется уравнением несовместности.
Система уравнений равновесия нелинейно-упругой оболочки с распределенными дислокациями
В рамках двумерной модели Кирхгофа—Лява уравнения равновесия в усилиях и моментах можно представить [4] в форме векторного уравнения относительно тензоров усилий Б и моментов Н типа Пиолы <Иу[б + (<уН)- (<3га<1г)ч|+ f = о. (8)
Тензоры Б и Н выражаются через тензор дисторсии F при помощи уравнений состояния
дF
D =
H
-- — , W = w(f • FT, K • FT)
Ж V '
(9)
и геометрических соотношении
K = gradN = -(Gradr)- (gradF)- N,
[gtr(F • FT )-F • FT J,
Grad r = J ~2FT
JN ® n = F2 - FtrF +1 E(tr2F - trF2),
(10)
tr2 (f • FT )- tr(F • FT )2
j2
В (8)-(10) f - вектор приведенной внешней нагрузки, действующей на единицу площади поверхности ст ; W - удельная (на единицу площади поверхности ст) энергия деформации оболочки; Grad r - обратный тензор дисторсии; g - первый фундаментальный тензор
поверхности ст ; (J -1) - локальное относительное изменение площади поверхности при деформации. При помощи (9), (10) все величины, стоящие в квадратных скобках уравнения (8), выражаются через тензор дисторсии F . Присоединив к (8) уравнение несовместности (7), получим полную систему уравнений относительно тензора дисторсии.
Если толщина оболочки весьма мала, ее изгибной жесткостью можно пренебречь и использовать нелинейную мембранную (безмоментную) теорию оболочек. В случае мембранной теории удельная энергия W не зависит от тензора K , тензор моментов H равен нулю, а уравнение равновесия (8) принимает вид
divD + f = 0 , D = dw(F • FT )/dF . (11)
Если материал оболочки изотропен, то удельная энергия W будет функцией инвариантов деформации
J и tr(F • FT). В частности, уравнения состояния
ст
0
мембраны из неогуковского [5] материала записываются [6] :
W =1 uh 2
D = uhJ
(f • FT )+ J"2 - з], J4 -tr(F• FT)]F + F• FT • f|
Faß = const.
Daß = const.
где h - толщина оболочки; ц - модуль сдвига.
Предположим, что граница оболочки 9а состоит из двух связных участков: 9а = у1 U у11; наиболее распространенные краевые условия мембранной теории оболочек - из дисторсионных [1] условий на у^ и
силовых условий на у^ соответственно: t • F = V(s), m • D = x(s).
Здесь m - единичный вектор нормали к контуру 9а (m • n = 0 ); t - единичный вектор касательной к 9а ; s - текущая длина дуги на 9а ; V(s) и i(s) -заданные вектор-функции.
Кручение, растяжение и раздувание цилиндрической трубки с дислокациями
Пусть xi, Х2 , Х3 - декартовы координаты в пространстве; ij, i 2, Í3 - соответствующие орты. Уравнение поверхности цилиндрической оболочки зададим в виде xj = го cos ф, Х2 = го sinp, Х3 = z ; в каче-
1 2
стве гауссовых координат примем q = ф, q = z. Введем единичные векторы (у = const):
ег = ii cos ф + Í2 sin ф , вф = -ij sin ф + Í2 cos ф , eR = ег cos yz + еф sin yz , еф = -ег sin yz + еф cos yz
и зададим тензорное поле дисторсии в виде, описывающем кручение цилиндра с углом закручивания у .
Оно сопровождается раздуванием и осевым растяжением-сжатием
F = F1^ ® еф + F2ii3 ® еф + ^3 ® i3 >
(12)
Предположим, что в оболочке распределены винтовые дислокации с плотностью а = аоеr, ао = const, и она нагружена внутренним равномерным гидростатическим давлением p, так что вектор f имеет вид
f = pJ^t R .
Если материал оболочки изотропен, то тензор усилий Пиолы, согласно (12), имеет представление D = А^ф ® еф + D^ ® i3 + ^2ii3 ® еф + D22i3 ® i3,
(13)
В силу (12), (13) уравнения несовместности (7) и равновесия (11) сводятся к алгебраическим соотношениям:
r0yF11 - F21 = г0а0 > D21 + r0yD21 = r0F11F22Р (14)
Здесь предполагается, что напряжения Dap выражены через компоненты дисторсии при помощи уравнений состояния. Считая заданными осевую силу
P = 2гоо£>22 и крутящий момент M = 2nr0FnD2\, действующие в сечении оболочки z = const, получим в дополнение к (14) еще два соотношения для определения постоянных Fu, F21, F22 , у . При отсутствии внешних нагрузок, согласно (14), в оболочке реализуется изометрическая деформация, когда Fu = 1, F22 = 1, F21 = 0, Dap = 0, а тензор дисторсии выражается через собственно ортогональный тензор Ai :
F = g • Ai, Ai = еф® еф+ ¡3 ® ¡3 + er ® ед.
При изометрической деформации из (14) следует, что у = ao. Это означает, что трубка закручивается, не оказывая кручению никакого сопротивления, а угол закручивания равен плотности винтовых дислокаций.
Если оболочка подвержена действию внешних нагрузок, то ее деформация не будет изометрической. Численное решение уравнения (14) показывает, что в условиях неизометрической деформации наличие в трубке винтовых дислокаций влияет на ее способность сопротивляться действию внешних нагрузок (рис. 1). На графике зависимости крутящего момента от угла закручивания видно, что положительная плотность дислокаций уменьшает сопротивление трубки кручению, а отрицательная плотность - увеличивает. Влияние дислокаций на сопротивление трубки раздуванию внутренним давлением проиллюстрировано на рис. 2. Также было исследовано влияние дислокаций на эффект Пойнтинга при кручении цилиндрической трубки без гидростатической нагрузки. Установлено, что при неизменном угле закручивания удлинение оболочки в продольном направлении будет тем меньше, чем больше положительная плотность дислокаций.
Рис. 1. Зависимость крутящего момента от угла закручивания для разных значений плотности дислокаций:--ао = 0;
... - а0 = 0,3;----а0 = 0,6; -.— а0 = 0,9; —.--а0 = 1,2
Рис. 2. Зависимость окружной компоненты F_11 тензора дисторсии от внутреннего давления р для разных значений плотности дислокаций:--а0 = 0,1; ... - а0 = 1;----а0 = 10
Нелинейный изгиб цилиндрической оболочки с распределенными дислокациями
Введем в рассмотрение единичные векторы
(ю = const)
e2 = i2 cos roz + Í3 sin roz , ез = -i2 sin roz + Í3 cos roz (15) и предположим, что в цилиндрической трубке, нагруженной внутренним гидростатическим давлением p, распределены краевые дислокации с плотностью а = р(ф)ез . Решение задачи о равновесии оболочки будем искать в виде, позволяющем свести исходную двумерную задачу к одномерной, F = ^(ф>ф ® Í! + F12(ф>ф ® е2 + F23(ф)!з ®ез. (16)
Выражение (16) описывает конечную деформацию чистого изгиба трубки, при которой поперечные сечения оболочки поворачиваются на угол raz вокруг орта ij, а также деформируются в своей плоскости. Для изотропной безмоментной оболочки тензор усилий Пиолы, согласно (16), будет иметь представление D = А1(ф>ф ® ii + Dj2 (ф)еф ® е2 + D23 (ф>з ® ез . (17) Подстановка (15)-(17) в уравнения несовместности (7) и равновесия (11) приводит к системе нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений относительно Fjj (ф), FI2 (ф), F23 (ф):
dF23/dф - rQ®Fi2 = гоР(ф), (18)
dDii/ dф + r0F23 F12 p = 0,
dD12¡<^ф - г0ю D23 - r0F23F11 p = 0 .
Для отыскания постоянной ю уравнения (18) надо дополнить соотношением для заданного изгибающего момента G, действующего на торцах цилиндрической оболочки. Под изгибающим моментом понимается следующая величина:
2л
G = -il • í i3 • P x r0err0dф > 0
где P - тензор усилий Кирхгофа, связанный с тензором усилий Пиолы D соотношением P = D • Gradr.
Если внешние нагрузки отсутствуют (p = G = 0), а р(ф) = ^cos ф, b = const, то система (18) имеет решение в виде изометрической деформации, при которой напряжения в безмоментной оболочке равны нулю F = - sin феф ® i1 + cos феф ® е2 + i3 ® е3 = g • A2 ,
A2 = A-T = i1 ® i1 + i2 ® е2 + i3 ® е3, ю = -b0 .
Это решение означает, что трубка с дислокациями изгибается без появления напряжений.
Исследуем влияние распределенных винтовых дислокаций на изгиб трубки при наличии внешних нагрузок в виде внутреннего гидростатического давления и концевых изгибающих моментов. На рис. 3 приведен график зависимости изгибающего момента от кривизны оболочки для различных параметров распределения дислокаций b0 при отличном от нуля значении внутреннего давления (p = 0,01). На графике видно, что чем больше плотность краевых дислокаций, тем сильнее изогнется трубка, и тем меньший момент нужно приложить для достижения заданной кривизны. И наоборот, с ростом плотности дислокаций растет величина момента, необходимого для выпрямления трубки. Те же выводы можно сделать, если зафиксировать трубку в изогнутом состоянии и построить зависимости изгибающего момента от параметра b0 (рис. 4).
Рис. 3. Зависимость изгибающего момента от кривизны оболочки: ... - ro = 0,1;---ro = 0,05;--ro = 0,02
Рис. 4. Зависимость изгибающего момента от плотности дислокаций: ... — 0,5;---0,1; -.- = 0,01;--0,01;---0,5
при различных фиксированных значений кривизны оболочки: го: 0,1, 0,05, 0,02
При отрицательных значениях й0 внутреннее гидростатическое давление создает в оболочке изгибающий момент, быстро возрастающий с ростом давления (рис. 5).
№ «МО 0 Ol J OJJO OOS!
Рис. 5. Зависимость изгибающего момента от внутреннего давления для разных значений плотности дислокаций: ... - Ь = -0,1; -.- - Ь = -0,3;--Ь = -0,5
Поступила в редакцию_
Для проверки точности полученных численных результатов проведено сравнение с решенной ранее [6] задачей о больших деформациях чистого изгиба цилиндрической оболочки с внутренним давлением без учета распределенных дислокаций. Расхождение между величинами относительных удлинений материальных волокон оболочки не превышает 1 %.
Литература
1. Зубов Л.М. Статико-геометрическая аналогия и вариа-
ционные принципы в нелинейной безмоментной теории оболочек // Тр. XII Всесоюз. конф. по теории оболочек и пластин. Т. 2. Ереван, 1980. С. 170-171.
2. Зубов Л.М. Методы нелинейной теории упругости в
теории оболочек. Ростов н/Д, 1982. 143 с.
3. Зубов Л.М. Большие деформации упругих оболочек с
распределенными дислокациями // Докл. РАН. 2012. Т. 444, № 6. С. 620-623.
4. Zubov L.M. Nonlinear Theory of Dislocations and
Disclinations in Elastic Bodies. Berlin, 1997. 205 p.
5. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М., 1980. 512 с.
6. Kolesnikov A.M., Zubov L.M. Large bending deformations
of a cylindrical membrane with internal pressure // ZAMM. 2009. Vol. 89, № 4. P. 288-305.
21 мая 2013 г.
