ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВЕТРОЭНЕРГЕТИКИ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ ФОРМЕ ДАННЫХ О ФУНКЦИИ V ∞ (T ) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕТРОЭНЕРГЕТИКА

WIND ENERGY

Статья поступила в редакцию 30.09.13. Ред. рег. № 1807

The article has entered in publishing office 30.09.13. Ed. reg. No. 1807

УДК 551.510

ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛОВ ВЕТРОЭНЕРГЕТИКИ ПРИ РАЗЛИЧНОЙ

ФОРМЕ ДАННЫХ О ФУНКЦИИ V» (t)

С.Г. Игнатьев

Заключение совета рецензентов: 09.10.13 Заключение совета экспертов: 10.10.13 Принято к публикации: 11.10.13

ФГУП ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского, Жуковский, Россия Tel.: (495)556-34-31, e-mail: stacgg8@gmail.com МГУ имени М.В. Ломоносова, географический факультет, НИЛ ВИЭ 119991 Москва, Ленинские горы 1, МГУ

Для функции V» (t) исследованы два численных метода вычисления интегралов ветроэнергетики. Один из них -интегрирование полигона, который интерполирует заданные дискретные значения скорости. Второй - алгоритм математической статистики. В результате исследования показано, что при заданном числе точек, которые достоверно представляют функцию V» (t) , величины средней скорости и энергии воздушной струи интегрированием полигона определяются значительно более точно, чем по алгоритму математической статистики.

Ключевые слова: интегралы ветроэнергетики, функция плотности вероятности, предельные формы гистограммы повторяемости, монотонная функция, полигон.

EVALUATION OF WIND ENERGY INTEGRALS AT VARIOUS FORMS OF DATA ON FUNCTION V» (t)

S.G. Ignatyev

Referred 09.10.13 Expertise: 10.10.13 Accepted: 11.10.13

N.E. Zhukovsky Central Aerohydrodynamic Institute (TsAGI) Tel.: (495)556-34-31, e-mail: stacgg8@gmail.com Lomonosov Moscow State University Faculty of Geography, Leninskie Gori, 1, Moscow, 119991, Russia Tel.: +7 (495) 939-42-57

Two numerical methods of the wind energetics integrals evaluation are explored for a function V» (t) . One of them is integration of the polygon, which interpolates the given discrete values of velocity. The second one is the algorithm of mathematical statistics. It is shown as a result of examination that at the set number of points which reliably express function V» (t) the values of the mean velocity and air stream energy define much more precisely by polygon integration than on algorithm of mathematical statistics.

Keywords: integrals of wind energy, probability density function, limiting form of frequency histogram, monotonic function, range.

Станислав Георгиевич Игнатьев

Сведения об авторе: кандидат технических наук, старший научный сотрудник ФГУП «ЦАГИ имени профессора Н.Е. Жуковского», главный конструктор ООО СКБ «Искра». Окончил Харьковский авиационный институт по специальности инженер-механик по самолетостроению.

Область научных интересов: аэродинамика дозвуковых летательных аппаратов, ветроэнергетика.

Публикации: более 30 научных работ в «Трудах ЦАГИ», «Ученые записки ЦАГИ», «Альтернативная энергетика и экология» и др.

1. Введение

В настоящей работе пойдет речь о методах вычисления интегралов, которые возникают при решении теоретических задач ветроэнергетики. В работах [1, 2] показано, что имеют место следующие равенства двух форм интегралов ветроэнергетики

Vp = T J К (0 dt = J К PV) dVm

QT = JW(t)dt = T J WV))dV,

T

0

V

и

0

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

Здесь р (V) - функция, которая характеризует состоявшуюся в течение отрезка времени Т реализацию случайной функции Уш1п < Ую (/) < Утах.

В то же время она обладает всеми свойствами функции плотности вероятности, которая характеризует случайные числа. Поэтому за функцией р У) сохранено название «функция плотности вероятности».

УСр - среднее для функции Ую (/) значение

скорости ветра на отрезке времени Т .

Ж У) - функция, характеризующая изменение мощности по скорости ветра.

QT - произведенная мощностью Ж [Ух (/)] энергия за время Т .

В частном случае, когда Ж у) = 0,5 рУ^ -мощность воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения, за время Т эта воздушная струя будет обладать энергией QT = Э .

Метеорологические станции представляют результаты измерений скорости ветра в нетрадиционной для численных методов математики форме. Вначале измерения скорости ветра на метеостанциях производятся с равномерным шагом по времени. Результат этих измерений выдается как количество измеренных значений скорости ветра, попавших в заданные разряды скорости Ду.. По

этим данным методами математической статистики определяются дискретные значения функции плотности вероятности р. (Ую). Поэтому по данным

метеостанций возможно определение интегралов ветроэнергетики только в вероятностной форме.

Сравнительный анализ численных значений указанных разных форм интегралов ветроэнергетики, равенство которых справедливо при аналитическом задании функций р (Ую), У а (/) и Ж у (/)], позволяет составить суждение о точности вычисления искомых интегралов различными численными методами при различных формах задания исходных данных.

2. Различные формы формул для расчета интегралов ветроэнергетики

2.1. Вывод формул для расчета интегралов ветроэнергетики

По дискретным значениям V.

i = 1,2,..., N,

1 fN 1 N -1

Vn = - j Uv (t) dt = - X (ti+l - ti) T . T i=i

V + v+

ЭП =£r j K(t) dt =B- X (ti+1-ti) 2 t 2 i=1

(Vi + Vi+1)(Vi2 + V+1)

Заметим, что интегрирование первой степени полигона - это интегрирование по правилу трапеций.

Получим формулы для вычисления вероятностной формы интегралов ветроэнергетики.

V,

V.

—■vjt)-----------

\ яг(оК

Vi /У \

• н

t

Рис. 1. Аппроксимация Va (t) полигоном Fig. 1. Approximation Va (t) by a range

Пусть функция у (t) на отрезке времени

T = tK - tH характеризуется функцией плотности

вероятности p (У). При представлении функции

p*(V) в виде гистограммы на каждом разряде

A Vj = Vj - Vj-1 гистограммы p* (У) = const. Это

позволяет для расчета средней скорости и энергии воздушной струи на каждом разряде AVj

осуществить точное интегрирование

V = J VP*V)d¥„ «¿p* j VdV„=Xp;

* Vj - V-1

j=1 Vj-1

j=1

Э =£TT jy3p*(y)dy T¿p j y3dy =

j=1 Vj-1

* IV4 - V-1

однозначной функции У а (/) всегда можно построить

полигон П у (/), как показано на рис. 1. Если полигон

Пу (/) с областью изменения Т = гк - 1Н состоит из

(N -1) участков ПУ1 (/), то искомые величины

средней скорости и энергии определяются следующими интегралами:

= 2 T X pj 2 j=1

Для оценки погрешности вычисления интегралов мы будем определять относительные величины скорости УП = УП / УТ , Ув = Ув / УТ и энергии

ЭП = ЭП / ЭТ, Эв = Эв / ЭТ. Для удобства оценки величины погрешности искомые относительные

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 13 (135) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

0

величины мы будем рассчитывать так, чтобы они были больше единицы. Тогда относительные погрешности скорости и энергии будут выражаться следующим образом

f = V -1

Ь¥П у П 1 >

f = V -1

bVB УВ L

f = Э -1

ЬЭП у П 1 >

езв = ЭВ 1

Для определения точных значений средней скорости ветра УТ и энергии воздушной струи ЭТ мы будем использовать математические модели функции У, ^).

2.2. Математические модели функции Ую ^)

В качестве функций, моделирующих изменение скорости ветра по времени, используем три математические модели в виде функции относительной скорости от относительного времени

ы(Т).

Т = (/-н)/т.

и = V / V

" ' ж ' r max ■

Вид этих аналитических функций подобран таким образом, чтобы они, с одной стороны, отражали свойства реальных функций Ую ^), а с

другой стороны, позволяли определить теоретическую плотность вероятности как функцию времени, так и как функцию скорости.

Таблица 1. Параметры математических моделей Table 1. Parameters of mathematical models

1 отрезок 0 < t < 0,25 2 отрезок 0,25 < t < 0,5 3 отрезок 0,5 < t < 0,75 4 отрезок 0,75 < F < 1,0

ai — и о a2 = (u1 + u2)/2 a3 = (u2 + u3)/2 a4 = u4

bi = (ui -u0) b2 = (u2 -u1)/2 b3 = (u3 - u2) / 2 b4 = (u4 -u3)

0 < р < ж/2 -ж /2 < р < ж /2 -ж/2<р<ж/2 -ж/2 < р <0

р = 2жt р = 2ж(2Т - 0,75) р = 2ж(2Т -1,25) р = 2ж(Т -1)

и 1 = a 1 + b1 sinp1 u2 = a2 + b2 sin р2 u3 = a3 + b3 sin р4 u4 = a4 + b4 sin р4

Первые две математические модели имеют общую структуру и характеризуются следующими свойствами. Вся область изменения функций и (t) координатами граничных точек разбита на четыре одинаковых по времени интервала. На каждом интервале изменение скорости и функции плотности вероятности задается формулой

и1 (7) = а1 + Ь, (7),

Р* (ui) = 1/

- и - a, )2

dt

Коэффициенты а{ и Ь определяются координатами граничных точек. В таблице 1 для каждого отрезка времени приведены формулы для этих коэффициентов и функции щ (t).

Рис. 2. Математические модели u¡{t) Fig. 2. Mathematical models u¡{t)

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

Третья математическая модель и 3 ^) отражает свойства монотонной функции Ум ^), которая получается в результате упорядочения дискретных значений различных функций Ую ^).

Математическая модель и 3 ^) имеет следующий вид

u 3(t) = t (1 -1) +16.

Числовые характеристики Numerical characteristics

Таблица 2 Table 2

u i( (t) u2(t) u3(~t)

Vt 0,602347 0,50007 0,209524

ЭТ /(0,5p) 0,320819 0,27512 0,080121

Графики моделей и ^) и их точные функции плотности вероятности р*(и) показаны на рис. 2. Отметим их характерные особенности. В работе [2] показано, что в точках экстремумов функции Ую ^)

функция плотности вероятности р*(и) имеет особые точки. Здесь она становится бесконечно большой. Математические модели и ^) и и2 ^) отражают

это свойство функции Уа ^). Третья математическая модель - монотонная функция с одной точкой перегиба. Здесь в точке перегиба производная скорости по времени не равна нулю. В работе [2] показано, что в такой точке функция плотности вероятности имеет максимум. На графике функции рТ (и3) показан этот максимум.

Точные значения средней скорости Ут и энергии Эт математических моделей приведены в таблице 2.

3. Исследование влияния числа разрядов Nj , размера разрядов АУj и числа точек N задания функции Ую ^) дискретными данными на точность определения интегралов ветроэнергетики по алгоритму математической статистики

3.1. Особенности изменения гистограмм и интегралов ветроэнергетики при применении алгоритма математической статистики

В работе [2] было показано, что для достоверного определения функции плотности вероятности алгоритмом математической статистики, даже для простых монотонных функций Ух ^), необходимо большое количество дискретных значений скорости

и согласованная с этим количеством подробная градация диапазона изменения скорости. В случае несоответствия количества дискретных значений функции Ух ^) и градации полного диапазона изменения скорости возникают особенности, которые иллюстрируются на рис. 3 на примере модельной функции и 3 (t).

В середине рис. 3 показана функция и3 ^). Два графика ниже иллюстрируют изменение относительных величин средней скорости Ув и энергии Эв при изменении величины разряда АUj .

Для обработки по алгоритму математической статистики функция и 3(t) представлена N = 11

точками на равномерной сетке времени. Слева и справа от этих графиков, на рис. 3а-Н, представлены гистограммы р*(и), рассчитанные при различной градации диапазона изменения скорости 0 < и < 1. Размер разряда связан с числом разрядов Nj соотношением А Uj = 1/ Nj . На гистограммах

толстой линией показана теоретическая функция

* _

плотности вероятности рт (и) = 1 / (с1и / dt).

Рис. 3. Влияние размера разряда Auj

*

на гистограмму Pj (u)

Fig. 3. Influence of rate Auj size

*

on the histogram Pj (u)

Метаморфоза гистограмм на рис. 3 позволяет выделить две области их изменения и определить соответствующие им две предельные формы гистограмм.

Первая область характеризуется тем, что при уменьшении размера разряда A Uj от полочной

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 13 (135) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

формы, как на рис. 3а, гистограмма приближается к теоретической функции плотности вероятности. По гистограммам рис. 3Ъ-с искомую функцию

плотности вероятности р (и) можно представить как монотонную убывающую функцию. Эти гистограммы качественно отличаются от теоретической функции плотности вероятности. Заканчивается первая область гистограммой на рис. 3й, где Д и. = 0,2. Здесь гистограмма

качественно соответствует теоретической функции

плотности вероятности. На ней уже обозначен

*

максимум р. тах=2,38, хотя его величина

*

существенно меньше рттах = 5,33 теоретического

максимума. По этой гистограмме можно представить, что искомая функция плотности вероятности имеет один максимум, который разделяет области монотонного возрастания и убывания функции плотности вероятности.

Выделим в этой области первую предельную форму гистограммы, которая характеризуется тем, что вся область изменения скорости составляет один разряд. Этому предельному состоянию соответствует полочная гистограмма с величиной Ди. =1 (рис. 3а).

Вторая область начинается с гистограммы на рис. 3е. Здесь впервые появляется разряд с нулевым

значением плотности вероятности р . = 0 .

Дальнейшее уменьшение размера разряда приводит к тому, что количество таких разрядов становится все больше. Заканчивается эта область гистограммами,

которые показаны на рис. 3g-h. Здесь во многих

**

разрядах р. = 0 , а все ненулевые значения р. (и)

одинаковы. Это происходит потому, что в разрядах с ненулевыми значениями функции плотности

вероятности содержится одно значение скорости и

*

величина р . определяется формулой

р.* = 1/(И Ди.).

Выделим вторую предельную форму

гистограммы, которая характеризуется тем, что

*

на ней существуют разряды, в которых р. =0, а все

*

ненулевые значения р. (и) одинаковы.

Отметим, что обе предельные формы гистограмм не создают представление о теоретической функции плотности вероятности, которая соответствует изменению скорости ветра по времени.

Сравнительный анализ представленных на рис. 3 гистограмм и зависимостей Ув (Ди.), и энергии

Эв (Ди.) позволяет увидеть соответствие точности расчета искомых интегралов ветроэнергетики и

точности воспроизведения гистограммой

теоретической функции плотности вероятности. Рис. 3 иллюстрирует типичные результаты такого сравнительного анализа, который был проведен для трех видов модельных функций и ). В процессе исследования три модельные функции и ) задавались количеством точек

N = 6,11,21,51,101,201, а диапазон изменения скорости разбивался на число разрядов N. = 1;2;3;5;10;50;100;200. Эти типичные

результаты состоят в следующем.

1. При изменении числа точек N и размера разряда Д и. всегда существует их комбинация, при

которой гистограмма наиболее близка к

теоретической функции плотности вероятности

* *

р. (и) и рт (и). Это такие гистограммы, когда при

наименьшем размере разряда нет значений р* = 0 .

Пример такой гистограммы показан на рис. 3й.

2. При изменении числа точек N и размера разряда Ди . всегда существует их оптимальная

комбинация, при которой величины интегралов ветроэнергетики определяются наиболее точно. При

этом в подавляющем большинстве случаев оптимальное число точек N и размера разряда Ди. для средней скорости и для энергии воздушной

струи различны. Более того, гистограммы при этих оптимальных значениях не являются гистограммами, которые наиболее близки к теоретической функции плотности вероятности.

3.2. Определение интегралов ветроэнергетики для первой предельной формы гистограммы

Определим значения средней скорости Ур и энергии Э для первой предельной формы гистограммы. Если 0 < Ую ) < Утах , то единственный разряд имеет размер Д У = Утах, и в нём располагаются все точки функции Ую ). Тогда N. = 1, п. = N, У.-1 = 0 и У. = Утах. Поэтому

Pi -

1

1

J N А V V- - V- i V

14 ' j ' j-1 r max

Вероятностные формы интегралов позволяют определить

V P* VJ 1 Vmax VB1 - pj---- ——,

D * VJ4 -VJ4 1 o V3

3B1 -°TpJ-J-J-1 -DT-max

B1 2 J 2 2 4

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

Заметим, что при рассматриваемой форме гистограммы значения средней скорости ветра и энергии воздушной струи получаются при любом количестве N > 1 дискретных значений функции

Va (t).

В рассматриваемом случае на всем разряде

*

функция плотности вероятности p (Vx) = const. Напомним, что ей соответствует линейная функция, которую будем обозначать VL (t). Если функция V, (t) изменяется в течение времени 0 < t < T , то удовлетворяющая краевым значениям линейная функция будет:

Vl (t) = Vmaxt / T .

Проиллюстрируем полученные результаты на математической модели u1(t). Такая иллюстрация дана на рис. 4.

Соответствующее полочной гистограмме

*

p. (u) = const изменение относительной скорости обозначим uL (t) = t . Сравним функцию uL (t) с модельной функцией u1(t) и соответствующей ей монотонной функцией uM (t) на рис. 4a-b. Размер разряда A u. = 1 показан здесь горизонтальной пунктирной линией u(t) = 1. Функции u1(t) и uM (t) представлены различным количеством точек. Мелкими черными точками обозначены N = 201 (A t = 0,005) дискретных значений. Белыми большими точками - 11 (A t = 0,1) дискретных значений этих функций.

В работе [3] показано, что интегралы ветроэнергетики, рассчитанные по предельной монотонной функции, равны их значениям, определенным по исходной функции Vm (t). N = 201 точек функции uM (t) показывают такую предельную функцию uM (t) = uMH (t).

Сравнение функций uL (t) и uj(t), которое

показано графике рис. 4a, не позволяет просто (визуально) сравнить количественно величины интегралов ветроэнергетики. Совсем по-другому, значительно более благоприятно для получения сравнительных оценок, выглядят рассматриваемые функций на рис. 4b и рис. 4c. Здесь из графиков видно, что в рассмотренных пределах количество точек задания функции u1(t), а значит и функции uM (t), влияет на величину интегралов ветроэнергетики не так уж и сильно. И, во-вторых, интегралы от функций uL (t) и uM (t) с одной

стороны, и интегралы от функций uL (t) и uM (t) с другой стороны, должны быть близки.

Рис. 4. Математическая модель u1(t ) Fig. 4. Mathematical model ut (t )

3.3. Определение интегралов ветроэнергетики для второй предельной формы гистограммы

Определим теперь искомые величины средней скорости Vp и энергии Э во втором предельном

случае, когда на гистограмме все ненулевые

*

значения pj (u) одинаковы.

Обозначим AV* размер разряда AVj , который

обеспечивает вторую предельную форму гистограммы.

Напомним, что вероятностная форма интегралов ветроэнергетики имеет вид

24

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 13 (135) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

1SM1

V2 - V-

j=i

Эв X p

. (V4 - О

i

Pl'j N Д Vj N (V,

i

Теперь искомые суммы приобретают следующий вид:

Vb _У P,

N V2 - V2 1 N V + V

* r í. J+1 r i. J 1 r i. J+1 T r i

i. j+1 i. j _ 1 i. J+1 i. j

'.J 2 _ NУ 2 :

j=i

Заметим, что если А Уj > А У* , то в этих суммах

число слагаемых равно числу разрядов Nj . Если же

*

А у* < А у* , то число ненулевых слагаемых в

указанных суммах равно числу точек N, в которых задана функция Ую ^). Качественно это свойство показано на рис. 5 для модели и 3 (t). Здесь таких точек шесть.

п N (V4 - V4)

эв _птУp' ^ Vi.j) =

в 2 4

_ П T N (Vi. j+1 +v. j )(V 2j+1+V 2 ) 2 Nу 4 '

Определим предельные значения VB и Э B , бесконечно уменьшая размер разряда AVj .

При внимательном рассмотрении оси абсцисс на рис. 5 можно заметить, что при уменьшении размера разряда u,j+1 - u,j скорости u,j и u,j+1 все более

приближаются к заданному дискретному значению uj. Поэтому для функций V, (t) естественны следующие пределы

V + V

lim -j = V,

lim (V.J+1 + V.j)(V2j+1+V2J) _ v3'

Д^ 4 '

Рис. 5. Вторая предельная форма гистограммы Fig. 5. The second limiting form of the histogram

Обозначим границы разряда, окружающего дискретное значение функции u символами u j и

u;-, j+1. В рассматриваемом случае при любой

*

величине разряда Au j < A Uj точка щ всегда располагается внутри разряда, т.е. u;-,j < ui < u;-,j+1. Для функции u 3(t) при числе её дискретных

значений N = 6 вторая предельная форма гистограммы впервые возникает при разряде A uj = 0,05. При вдвое меньшем разряде A uj =0,025

гистограмма сохраняет вторую предельную форму, и точки щ здесь тоже располагаются внутри разрядов

Au j .

Обозначим значения функции плотности

вероятности в разрядах при второй предельной

*

форме гистограммы pt j . Т.к. в рассматриваемом

случае в каждом разряде располагается только одно значение скорости ветра (nj = 1), то

Тогда

i, j+1

- V. J)

1 N

VB2 _ lim VB _—У V

д^ 0 B Nt0 '

п T N

ЭВ2 _ lim Эв Ук3 '

Д^0 B 2 Ni~0 '

Покажем, что предельные величины Ув2 и Эв2 приблизительно равны значениям интегралов, вычисляемых по правилу прямоугольников.

На рис. 6 показано сравнение графиков функции и ) с графиками полигонов, которые построены

по гистограммам второй предельной формы. Как уже отмечалось, при р* = 0 соответствующий отрезок

полигона превращается в вертикальный отрезок. На рис. 6 показаны полигоны с такими вертикальными отрезками. Горизонтальными пунктирными линиями здесь показан разряд при градации АUj = 0,02 с

граничными значениями Uj — и 0,42 и Uj и 0,44 .

Горизонтальные пунктирные линии распространяют этот размер на графики с градацией АUj = 0,01 и

А и] = 0,005.

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

N

2

и

\ t й 0,2 0,4 о,в од 1 t ü 02 0.4 Ofi os J

Рис. 6. Сравнение функции u3(t) и полигона Пм (t) Fig. 6. Function u3(t) & range Пм (t) comparison

Из графиков видно, что при уменьшении размера разряда угол наклона отрезка полигона между указанными значениями уменьшается, и граничные скорости uj и uj- приближаются к заданному

дискретному значению функции щ = 0,4221.

Такое поведение отрезков полигона, для которых значение p* ф 0 естественно, т.к. в рассматриваемом случае A t = 1/ N , а число N неизменно. Поэтому

dП, 1

lim

j- = lim -1 = lim j j 1

Auj ^0

A t

Ди, ^0 Ди, ^0

= Ит N * Ди = 0.

Ди. ^0

Значит в пределе, при Ди. ^ 0 , трапециевидный

участок полигона превращается в прямоугольник со значением ординаты и{ = и (^). Таким образом, при конечном числе точек N задания скорости Ую (?) на равномерной сетке времени с шагом Д? значения Ув 2 и Эв 2 при второй предельной форме гистограмм связаны со значениями интегралов, вычисляемых по правилу прямоугольников. В пределе, при N ^ю, предельные значения величин Ув2 и Эв2 стремятся к значениям, которые определяются правилом прямоугольников.

и2(Г)

Отметим, что для линейной функции Ую ) вторая предельная форма гистограммы обеспечивает точные значения интегралов ветроэнергетики.

3.4. Численное исследование сходимости вероятностной формы интегралов ветроэнергетики к своим точным значениям при увеличении числа N значений скорости У1 и при уменьшении размера разрядов Д У.

Исследование характера сходимости искомых интегралов к точным значениям проведем для трех модельных функций и ). Эти модельные функции и (?) отличаются тем, что происходящие от них монотонные функции им (?) по-разному соотносятся с линейной функцией ив (?). Выше отмечалось, что вероятностные формулы интегралов, соответствующие первой и второй предельным формам гистограмм, для линейной функции дают точное значение этих интегралов.

Взаимное расположение монотонной функции им (?), которая происходит от функции и ^), с

функцией ив (?) было показано на рис. 4. Такие же графики для монотонной функции и3(?) показаны на рис. 7.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 t 0

Рис. 7. Функция u3(t) Fig. 7. Function u3(t)

На рис. 8 показано взаимное расположение функции u2( t) и порождаемой ею монотонной функции uM (t) с функцией uL (t).

А

u\(t)

I

0.2

0.4

0,6

0,8

-» —

1 t

Рис. 8. Функция u2(t) Fig. 8. Function u2(t)

26

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 13 (135) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

ISJJli

В таблице 3 показаны отношения точных значений интегралов ветроэнергетики

рассматриваемых трех функций u (t) к значениям

этих интегралов для функции uL (t). Отметим, что для функции uL (t) точные значения интегралов ветроэнергетики равны VL = 0,5 и 3L = 0,125р. Из таблицы видно, что наибольшие отклонения точных значений VT и ЭТ от значения интеграла для функции uL (t) имеет функция u3 (t).

Таблица 3

Погрешности

Table 3

Errors

u 1( 7) u2( t) u3( 7)

Vt / Vl 1,2047 1,0001 0,6190

эт / э1 1,2833 1,1005 0,3205

Начнем исследование сходимости интегралов ветроэнергетики для функции и3^). На рис. 9

показаны результаты расчетов интегралов ветроэнергетики для этой функции при различном количеством точек 6 < N < 201 на равномерной сетке времени. Интегралы рассчитаны при

переменном размере разряда А Uj = 1/ Nj , когда Nj = 1;2;3;5;10;20;50; 100;200. Из графиков видно, что отклонение значений средней скорости Ув и энергии Эв при первой предельной форме гистограмм, когда А Uj = 1, от точных значений

велико. Оно мало зависит от числа точек задания функции и3(t). Для средней скорости это отклонение составляет 70%, а для энергии приближенное значение втрое отличается от точного значения (Эв и 3,1). Из графиков видно так же, что существует оптимальная градация, при которой искомые величины наиболее близки к точным значениям. Минимум, соответствующий наиболее точному значению искомых интегралов, наиболее отчетливо проявляется при относительно малом числе точек N < 21. При большем количестве точек 51 < N < 201 этот минимум смещается в область малых размеров разряда А Uj . При N > 101 наиболее

точными оказываются значения искомых интегралов, определенные по формулам для второй предельной формы гистограмм.

0.2 0.4 0.6 0.

А и

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Ли

0.2 0.4 0.В 0.8 1

Аи

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Дм

0.2 0.4 OR 0.8 1

Л U

0.2 0.4 0.6 0.6

Ли

Рис. 9. Влияние числа точек N и размера разряда A uj на точность расчета величин VB и Эв для функции u3(t) Fig. 9. Influence of points number N and discharge size A u on calculation accuracy of VB and Эв for the function u3(7)

На рис. 10 показано изменение относительных величин средней скорости Ув и энергии воздушной струи Эв для модельной функции и1(t). Напомним, что точные значения интегралов ветроэнергетики для функции и1(t) близки к значениям, которые рассчитаны при первой предельной форме гистограммы. Это сразу сказалось на области изменения относительных величин Ув и Эв при рассмотренном уменьшении разряда А и у. Здесь

величины относительной скорости изменяются в пределах 1 < Ур < 1,3, а относительной энергии -

1 < Эр < 1,7. Вместе с этим отметим, что для функции и1 (t) уменьшение величины разряда приводит к нерегулярному изменению точности расчета искомых интегралов. Устойчивое повышение точности расчета средней скорости ветра и энергии воздушной струи происходит только при Nj > 5^ 10 (Аи, = 0,2^0,1).

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

О 02 0-4 0.6 0.8 1 0 0-2 04 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 02 0.4 06 08 1 0 0.2 0.4 0.6 0.S 1 0 0.2 04 0.6 0.8 1

Аи А и Аи Аи Au An

Рис. 10. Влияние числа точек N и размера разряда Au. на точность расчета величин VB и Эв для функции u 1(t ) Fig. 10. Influence of points number N and discharge size Au .■ on calculation accuracy of VB and Эв for the function u 1(t )

Нерегулярный характер стремления величин Ув и Эв к своим точным значениям еще более ярко проявляется для функции и2 ), что видно на рис. 11. Напомним, что точное значение средней скорости Ув для функции и2 ) по исходному свойству этой функции равно средней скорости Уь при полочной гистограмме. Для этой функции уменьшение размера разряда относительно значения Ди. = 1 приводит к увеличению погрешности

расчета величин Ув и Эв . При малом числе точек N = 6 ^11 и Ди. ^ 0, что соответствует второй

предельной форме гистограммы, ошибка в определении искомых величин по алгоритму математической статистики достигает 10-20%. Однако при большом числе точек N > 50 задания функций и2 (?) искомые интегралы при Ди. ^ 0 монотонно уточняются.

N = 201

0,2 0,4 0,6 0.6 1

Д и Д и А и А и А и Ди

Рис. 11. Влияние числа точек N и размера разряда Au. на точность расчета величин VB и Эв функции u2(t) Fig. 11. Influence of points number N and discharge size Au .■ on calculation accuracy of VB and Эв for the function u2(t)

Обобщая представленные на рис. 9-11 результаты отметим следующее.

1. Характер стремления к точным значениям величин интегралов ветроэнергетики Ув и Эв зависит от взаимного расположения монотонной

функции Ум ), которая происходит от функции

Ую ), с линейной функцией У1 ), которая

соответствует первой предельной форме гистограммы (полочной гистограмме).

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 13 (135) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

2. При конечном числе N дискретных значений функции Ую ^) и бесконечном уменьшении размера

разрядов АУ* с соответствующим увеличением их

числа N * алгоритм математической статистики не

обеспечивает получение точных значений искомых интегралов. Величины искомых интегралов ветроэнергетики в этих условиях соответствуют второй предельной форме гистограмм (правилу прямоугольников).

3. Точные значения интегралов ветроэнергетики получаются при бесконечном увеличении числа N дискретных значений функции Ую ^) и бесконечном

увеличении числа разрядов N * с соответствующим

уменьшением его размера АУ* .

4. Сравнительный анализ различных алгоритмов вычисления интегралов ветроэнергетики

Если функция Ую ^) задана представительными дискретными значениями у, то вычисление средней скорости УСр и энергии Э можно произвести тремя способами.

1. Посредством применения алгоритма математической статистики. Тогда при представлении функции плотности вероятности гистограммой интегралы ветроэнергетики вычисляются точно по следующим формулам.

V, =Y p*

V - V-J

j=1

Р^ V4 - VU\

Эв = 2 Т Y p.

j=1

N

N Vг 1=1

УВ 2

2 1

i=1

3. Посредством точного интегрирования полигона Пу ^), построенного на заданных дискретных значениях у функции Ух (t).

1 N -1

Vn = Т Y (t+1 - ti )

V + V+

Ti-1

эп=Рр Y (t,+1-tt)

2 i=1

(V + V+1)(V2 + V+1)

На рис. 12-14 показаны результаты расчетов относительных величин средней скорости УСр и

энергии Э воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения как функции шага Аt = 1/^ -1) дискретных значений трех математических моделей и (^), рассчитанные по представленным выше алгоритмам. Графики функций Уср (Аt) и Э(Аt) показаны в рамках в

середине рисунков. Относительные величины рассчитаны так, что они больше единицы. Величины относительной погрешности определяется как разности

AVCp = AV / Vt = VCp -1,

АЭ = АЭ / Эт = Э -1.

Справа и слева от этих графиков показано сравнение гистограмм с теоретическими функциями

плотности вероятности р* (и) при различных значениях числа точек N и варьируемых размерах Аи* = 1/ Nj. Теоретические функции плотности вероятности показаны толстыми линиями.

В этом разделе мы будем использовать значения средней скорости Ув и энергии Эв , которые определены при таких значениях параметров N и которые обеспечивают наиболее полное

j

заполнение гистограммы.

2. Посредством вычисления вторых предельных значений

, N „ N

Vb 2 =1Yv, Эв 2 =рт YV3.

Рис. 12. Точности вычисления интегралов Vb и Эв от

функции uj(t) Fig. 12. Accuracy of integrals evaluation of Vb и Эв from function u j(t )

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013

Рис. 13. Точности вычисления интегралов Vß и 3ß от функции u2( t) Fig. 13. Accuracy of the integrals evaluation of Vß и 3ß from function u2( t)

Из рассмотрения представленных графиков вытекает следующий основной результат. В подавляющем большинстве случаев при фиксированном числе N точек задания всех рассмотренных функций u (tt) расчет искомых средней скорости Vß и энергии 3ß по вероятностной

форме интегралов ветроэнергетики с наиболее полным заполнением гистограмм оказывается менее точным, чем величины Vß 2 и 3ß 2, рассчитанные по

формулам, которые соответствуют второй предельной форме гистограмм. При увеличении числа дискретных значений функций u (ti) величины

Vß и 3ß , а так же величины Vß 2 и 3ß 2 стремятся к единице не быстрее, чем величины, рассчитанные по правилу прямоугольников.

Из графиков видно так же, что при рассмотренных значениях числа точек N и размерах разрядов Au. соотношение гистограмм и

теоретических функций плотности вероятности для рассмотренных трех функций изменяется практически одинаково. В частности, качественное согласование гистограмм и теоретических функций плотности вероятности просматривается при числе точек N > 21 + 51 и разряде Au. < 0,2. Результаты

проведенных расчетов показывают, что достоверное представление о функциях плотности вероятности рассмотренных функций и (t), когда на гистограмме обозначаются их особенности, получается только при Ди <0,05^0,02 .

Рис. 14. Точности вычисления интегралов Vß и 3ß от функции u3( t) Fig. 14. Accuracy of the integrals evaluation of Vß и 3ß from function u3(t)

Обращает на себя внимание, что число N дискретных значений функций u (t) для обеспечения таких градаций должно быть значительно больше, чем число разрядов N..

Из графиков на рис.12-14 видно, что при фиксированном числе точек N рассчитанные интегрированием полигона средняя скорость Vn и энергия 3П определяются значительно более точно, чем величины Vß и 3ß, а так же величины Vß2 и

3

иß 2 •

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-08-01076-а.

Список литературы

1. Игнатьев С.Г. Решение теоретических задач ветроэнергетики с позиций теории вероятностей одномерной случайной величины // Альтернативная энергетика и экология. 2011. № 2. С. 14-29.

2. Игнатьев С.Г. Функция плотности вероятности однозначной непрерывной дифференцируемой функции Ут (^ // Альтернативная энергетика и

References

1. Ignat'ev S.G. Resenie teoreticeskih zadac vetroenergetiki s pozicij teorii veroatnostej odnomernoj slucajnoj veliciny // Al'ternativnaa energetika i ekologia. 2011. № 2. S. 14-29.

2. Ignat'ev S.G. Funkcia plotnosti veroatnosti odnoznacnoj nepreryvnoj differenciruemoj funkcii // Al'ternativnaa energetika i ekologia. 2013. № 01/2. S. 6393.

30

International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 13 (135) 2013

© Scientific Technical Centre «TATA», 2013

ISJJli

экология. 2013. № 01/2. С. 63-93.

3. Игнатьев С.Г. Алгоритм математической статистики как метод вычисления несобственных интегралов ветроэнергетики // Альтернативная энергетика и экология. 2014.

3. Ignat'ev S.G. Algoritm matematiceskoj statistiki kak metod vycislenia nesobstvennyh integralov vetroenergetiki // Al'ternativnaa energetika i ekologia. 2014.

Транслитерация по ISO 9:1995

Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология» № 13 (135) 2013 © Научно-технический центр «TATA», 2013