CC BY
18ВЕТРОЭНЕРГЕТИКА
WIND ENERGY
Статья поступила в редакцию 28.02.11. Ред. рег. № 945 The article has entered in publishing office 28.02.11. Ed. reg. No. 945
УДК 551.510
РЕШЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ВЕТРОЭНЕРГЕТИКИ С ПОЗИЦИЙ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ОДНОМЕРНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ
С. Г. Игнатьев
ООО «Специальное конструкторское бюро «Искра» 123592 Москва, ул. Кулакова, д. 20, офис 517, блок Б Тел.: (495)757-65-10, e-mail: skbiskra@skbiskra.ru
Заключение совета рецензентов: 15.03.11 Заключение совета экспертов: 23.03.11 Принято к публикации: 25.03.11
При проведении ветроэнергетических оценок и расчетов метеорологи, применяя методы математической статистики, не демонстрируют выполнение основных положений теории вероятностей (повторяемость условий при каждой реализации случайной величины и реализация свойства стабилизации частоты). В работе выдвинуто предположение о случайности величины «скорость ветра», и на этом основании с позиции теории вероятностей одномерной случайной величины анализируются результаты традиционной обработки данных метеостанций для решения основных задач ветроэнергетики.
Во второй части работы скорость ветра рассматривается как случайная непрерывная ограниченная функция времени VJt). На основе этого предположения разработана новая методология обработки данных метеостанций, в которой выполняются основные положения теории вероятностей для искомых случайных чисел. Приведены примеры обработки многолетних данных метеостанций.
Ключевые слова: теоретические задачи ветроэнергетики, ветер как случайная величина, производительность ветродвигетеля.
APPROACH TO THE THEORETICAL PROBLEM OF WINDPOWER ENGINEERING FROM THE POSITION OF ONE-DIMENSIONAL RANDOM VARIATE PROBABILITY
THEORY
S.G. Ignatiev
Special design office "Iskra" 20 Kulakov str., office 517/B, Moscow, 123592, Russia Tel.: (495) 757-65-10, e-mail: skbiskra@skbiskra.ru
Referred: 15.03.11 Expertise: 23.03.11 Accepted: 25.03.11
Meteorologists while data handling for wind energetic purposes use the methods of mathematical statistics. But for all that they don't demonstrate the main statements of probability theory validity (resettability of conditions at every stochastic variable implementation, frequency stabilization). The paper suggests the guess about stochastic nature of value "wind speed". On this background from the position of one-dimensional random variate probability theory the results of traditional meteorology data processing methods are analyzed.
At the paper second part wind speed is considered as stochastic continuous bounded function of time VJ(t). On the base of such supposition the new methodology of meteorological data processing is formulated. In addition execution of probability theory underlying principles is achieved in this methodology. Examples of long-term meteorology data processing are given.
Keywords: theoretical problem of windpower engineering, wind speed as stochastic value, wind plant capacity.
Игнатьев Станислав Георгиевич
Сведения об авторе: канд. техн. наук, старший научный сотрудник ФГУП «ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского», главный конструктор ООО СКБ «Искра».
Образование: Харьковский авиационный институт по специальности инженер-механик по самолетостроению.
Область научных интересов: аэродинамика дозвуковых летательных аппаратов, ветроэнергетика. Публикации: 26.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
ЧАСТЬ I 1. Введение
1.1. В работе [1] дан обзор развития в XX веке методов расчета ветроэнергетических ресурсов и производительности ветродвигателей. Во всех работах метеорологов на эту тему применяются методы теории вероятностей и математической статистики. М.Е. Подтягин [2] в 1938 году так характеризует работы предшественников: «Уже в 1889 г. проф. Срезневский [3] поставил вопрос «о повторяемости различных сил ветра» как вопрос об «общем законе распределения сил ветра». ...Этот закон, говоря словами Срезневского, «есть тот закон, по которому метод наименьших квадратов предполагает распределенными ошибки наблюдений», или, по словам академика Гадолина [4], «закон расположения точек попадания артиллерийских снарядов около некоторой средней точки при стрельбе в цель», или, по По-морцеву [5], - «закон случайностей» или «кривая Гаусса». В 1963 году Г.А. Гриневич в обобщающей работе [6] настоятельно требует: «При математическом выражении эмпирических распределений рабочих скоростей ветра, прежде всего, следует рекомендовать общепринятые вполне обоснованные и ставшие уже классическими общие методы подбора кривых распределения, как это излагается в фундаментальных руководствах по математической статистике и теории вероятностей».
Применяя методы теории вероятностей, никто из авторов этих работ не формулирует предположения, что измеренные значения скорости ветра - случайная величина.
В 1 части настоящей работы исследуется решение задач ветроэнергетики на основе этого предположения.
1.2. Введение предположения, что измеренные значения скорости ветра - случайная величина, не только формально позволяет использовать вычислительные методы теории вероятностей и математической статистики, но и накладывает обязательство выполнять основные положения этой теории. Это означает, что каждое измеренное значение скорости ветра является результатом такого случайного явления, как оно понимается в теории вероятностей и математической статистике. В [7] оно характеризуется так: «Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном повторении в сходных условиях каждый раз протекает несколько по-иному. Под словами «в сходных условиях» и «несколько по-иному» предполагается следующее. При проведении опытов или в других изучаемых явлениях всегда есть одна или несколько главных причин, которые определяют основной результат. Сходность условий означает, что главные причины всегда повторяются. В то же время каждый опыт или явление сопровождается влиянием иных причин, количественное воздействие которых существенно меньше и различно.
Влияние неосновных причин и обуславливает разброс результатов, их случайную составляющую.
Результатом случайного явления может быть случайная величина, которая в результате опыта или при наблюдении может принять заранее не известное значение. В теории вероятностей выделяют дискретные и непрерывные случайные величины».
Дискретной является такая случайная величина, которая может принимать только отделенные друг от друга на числовой оси значения. Примером дискретной случайной величины является случайным образом появляющееся целое число или число с ограниченным числом десятичных знаков после запятой, каковым является результат измерения.
С точки зрения теории вероятностей дискретная случайная величина X считается полностью заданной, если каждому ее конкретному значению х = х, указано значение его вероятности P. Вероятность -это число, характеризующее возможность свершения события, что дискретная случайная величина X примет конкретное значение х = х.
Понятие вероятности есть абстракция, опирающаяся на экспериментально выявленное свойство стабилизации относительной частоты, с которой событие встречается в последовательности явлений, происходящих при заданной совокупности сходных условий.
Свойство стабилизации в [8] иллюстрируется на примере исследования некоторого технологического процесса. Если N - количество выпущенных изделий, а среди них n - количество дефектных изделий, то относительная частота появления дефектных изделий рассчитывается как отношение f = n/N. На рис. 1 показан график изменения указанной относительной частоты с увеличением N. Из графика видно, что с ростом N частота f стремится к постоянному значению.
Рис. 1. Пример стабилизации частоты Fig. 1. Frequency stabilization illustration
Свойство относительной частоты приближаться к постоянной величине названо свойством стабилизации частоты. Вероятность Р - это число, к которому стремится относительная частота при бесконечно большом количестве N реализаций случайной величины.
Вероятность, как и относительная частота, изменяется в интервале 0 < Р < 1. Для предопределенных событий вероятность равна единице. Для невозможных событий вероятность равна нулю. В остальных случаях величина вероятности больше нуля и меньше единицы. В примере, показанном на рис. 1, вероятность брака Р = 0,06.
Большую по количеству реализаций совокупность случайной величины (теоретически бесконечно большую), при которой достаточно обозначается свойство стабилизации частоты, в теории вероятностей называют генеральной совокупностью.
1.3. Универсальной характеристикой случайной величины Х (дискретной и непрерывной) является функция распределения ^(х) или ее производная р(х) = ёПёх. Если х - некоторая координата на числовой оси, то функция распределения равна вероятности события, что конкретная реализация х, случайной величины Х окажется левее координаты х: ^(х) = Р(Х < х).
Существование функции распределения выявляется при анализе предела последовательности полигонов накопленных частот. Проиллюстрируем этот предельный переход на примере, заимствованном из [8].
На рис. 2 показан график, иллюстрирующий результат измерений величины X - «диаметр головки заклепки», которая изготавливается методом штамповки. Из графика видно, что результаты измерений хаотически разбросаны около среднего значения. Это позволяет рассматривать эти измерения как совокупность случайных чисел. Из графика видна область изменения дискретной случайной величины 13,13 < X < 13,69.
xi [мм]
N, = 11 «, = 51
Рис. 2. Диаметр головки заклепки Fig. 2. Rivet head diameter
Подвижная граница
13.2
x 13,4
13,6
На рис. 3 показан результат расположения измеренных значений в порядке возрастания. Здесь видно, что точность измерений (е = 0,01 мм) делает рассматриваемые случайные числа дискретными. На этом же рисунке вертикальной линией показано одно из положений подвижной границы х. Накопленной частотой называется отношение числа случайных чисел пх, расположенных левее границы х, к общему числу точек Ы: Рх(х) = пх/Ы.
Если границу х перемещать вправо, то из-за дискретности случайных чисел накопленная частота будет изменяться скачкообразно. При конечном объеме выборки функция ^х(х) представляет собой ступенчатую функцию, которая называется полигоном накопленных частот. На рис. 4 показаны полигоны накопленных частот, построенные при различных выборках из общего числа измерений диаметра заклепки. Из графиков видно, что с увеличением размера выборки N скачки в полигоне накопленных частот уменьшаются. Именно это обстоятельство позволяет предположить, что если бесконечно увеличивать объем выборки непрерывной случайной величины, то ступенчатый полигон накопленных частот Ех(х) превратится в непрерывную дифференцируемую функцию, которая в теории вероятностей определяется как функция распределения Р(х).
Рис. 3. Измерения в порядке возрастания Fig. 3. Results of measurement in ascending order
Рис. 4. Полигоны накопленных частот Fig. 4. Cumulative frequency polygons
1.4. Для правомерного применения методов теории вероятности и математической статистики к рассматриваемой задаче надо, во-первых, следить за повторяемостью условий, в которых реализуется случайная величина, и, во-вторых, показывать, что для случайной величины «скорость ветра» действует закон стабилизации частоты.
При традиционной обработке многолетних измерений скорости ветра на метеостанциях считается, по-видимому, что если ветер есть, то как главные, так и второстепенные причины воспроизводятся.
На метеостанции № 12 о. Сахалин производились измерения скорости ветра в неизменных условиях в течение 29 лет (с 1936 по 1964 год) [9]. При четырех-разовых измерениях в сутки в течение года производится 1460 измерений, а за 29 лет - 42340 измерений. Этот объем данных соответствует статистике, показанной на рис. 1. Проверим на ней реализацию закона стабилизации частоты для измерений скорости ветра на метеорологических станциях.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
Рассмотрим событие, что измеренное значение скорости ветра попадает в заданный разряд ¥м - V. Для проверки свойства стабилизации частоты определяем изменяющуюся по годам частоту:
f = X П / X Nq
j=1
j=1
Здесь / = 1, 2, ..., к - порядковый номер года; п0/ - число попавших в рассматриваемый разряд измерений в /'-ом году; N03 - общее число измерений в /'-ом году.
Результат расчета частоты/ показан на рис. 5. Из графиков видно, что значения частоты /к в разрядах 0-2 и 6-8 в 1960-1964 годах практически одинаковы. Здесь видна стабилизация частоты. В разряде 18-21 стабилизация частоты еще не обозначилась, хотя можно предположить, что с увеличением размера выборки стабилизация частоты состоится.
Рис. 5. Стабилизация частоты по разрядам Fig. 5. Frequency stabilization on category
Приведенные на рис. 5 результаты позволяют предположить, что на многолетних данных метеостанций свойство стабилизации частоты реализуется и поэтому для этих данных существуют функции распределения и функция плотности вероятности. Совокупность измерений за 30-35 лет можно, по-видимому, рассматривать как генеральную совокупность случайной величины «скорость ветра».
2. Определение удельной мощности Щд
2.1. В работах [10-12] ветроэнергетические ресурсы на местности характеризуются величиной Жуд:
Ww =2 J vi pV)dvi.
По-видимому, эта формула написана «эвристически», т.к. ни в одной из этих работ нет ни вывода этой формулы, ни какого-либо другого обоснования ее использования. Определим, чем является величина Жуд с точки зрения теории вероятностей. В рамках этой теории такое определение опирается на следующий теоретический результат.
Пусть задана непрерывная случайная величина X с областью изменения а < х < Ь и ее функция плотности вероятности рх(х). Пусть также у(х) - монотонная непрерывная функция. Тогда определяемая зависимостью у(х) величина У будет тоже непрерывной случайной величиной с областью изменения у(а) < у < у(Ь). Для нее существуют свои функция плотности вероятности ру(у), функция распределения Ру(у), математическое ожидание ту и среднеквадратичное отклонение оу. Функции плотности вероятности рх(х) и ру(у) являются характеристиками генеральных совокупностей случайных величин X и У.
В теории вероятностей [7-8] доказано, что
у
Ру (у) = Рх (х(у))х'(у), р (у) =| Ру (п) ёп ,
у ( а)
где х(у) - функция, обратная функции у(х); х'(у) = = ск1с1у - производная обратной функции.
С позиций теории вероятностей случайная величина У полностью определена.
Определим математическое ожидание ту:
y (b)
y(b)
m,
= J УРу (У) dy = J ypx (x(y)) x'(y) dy =
y (a ) y (a)
b
= J y(x)px (x) dx ; т.к. dx = x'(y)dy.
Таким образом, математическое ожидание случайной величины у(х) может быть определено через функцию плотности вероятности рх(х) аргумента х следующим интегралом:
: J y (x) Px (x) dx .
(1)
Разброс случайной величины У относительно своего математического ожидания ту характеризуется величиной среднеквадратичного отклонения оу, которое определяется через дисперсию Бу:
y(b)
Dy = J y2 Py(y) dy - m
y 4 Dy
(2)
y ( a )
2.2. Рассмотрим в качестве случайной величины X скорость ветра V1 с областью изменения 0 < V^ < Утях и функцией плотности вероятности р(У^), а в качестве функции у(х) - мощность воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения. Если р -плотность воздуха, то искомая мощность определяется формулой [13]
Ж V) = 0,5рК3.
Ж(У^) - монотонная функция с областью определения 0 < Ж < Жтах = 0,5рКп3ах. Тогда, в соответствии с формулой (1), для местности с функцией плотности
вероятности p(V.) математическое ожидание случайной величины W(V.) будет:
= ■2} V3 p (V.) dV. = Ww
Таким образом, используемая в качестве меры ветроэнергетических ресурсов величина 1Ууд является математическим ожиданием случайной величины «мощность воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения».
2.3. Для практической ветроэнергетики важно знать, можно ли ориентироваться на величину ^уд при проектировании ветроэнергетических установок. Для ответа на этот вопрос необходимо оценить, насколько часто случайная величина Ж(У,) оказывается близкой к величине ^уд = т№. Для такой оценки необходимо найти функцию плотности вероятности Ри^Ю, затем вычислить дисперсию и среднеквадратичное отклонение ст^.
Рис. 6. Область изменения параметра k Fig. 6. Parameter k domain of variation
Приведенные в атласе [10] результаты показывают, что эмпирические функции плотности вероятности во многих случаях удовлетворительно аппроксимируются формулой Вейбулла со значениями параметра 0,8 < к < 2,1. Это иллюстрируется на рис. 6.
Найдем функцию плотности вероятности когда функция плотности вероятности р(У^) задана формулой Вейбулла:
p (V.) = A V / A) "exp (-(V. / A))).
Согласно представленному выше теоретическому результату:
PW (W) = P(V. (W)) .
dW
В нашей задаче
V = -
W1
1
(Р / 2)1'
dV.
dW 3(р /2)1/3 W2/3
Поэтому
kW( k-3)/3 Pw (W) = 3A) (р /2))/з eXP
(
_L (_W_
Ak {р/2
k/3 \
Теперь для аппроксимации Вейбулла при к = 1 и к = 2 можно получить следующие формулы:
Для случайной величины «скорость ветра V.»
Экспоненциальный закон k = 1 Закон Релея k = 2
p(V.) = exp(-(V. /A))/A p(V.) = 2V. exp(-(V. /A)2)/A
Vcp = A Vcp = 0,5ч/ЛА
F (V.) = 1 - exp (-(V. / A)) F(V.) = 1 - exp (-(V. / A)2)
VCp = Mv = A Vcp = MV =л/ЛА/2
= A = VCp °V = V^nM-п/Vп = 0,523 Vcp
Для случайной величины «мощность W(V.)»
Pw(W) = exp(-((/(р/2))1/3 /a)/ц W2/3); a = 3 A (р/2)1/3 Pw (W) = 2 exp(-((/ (р/2)) /A2)/(a2 W13); a2 = 3А2 (р/2)2/3
Fw (W) = 1 - exp (-(W / (р/2)f / a) Fw (W) = 1 - exp(-(W/(р/2)f/ A2)
Wcp = mw = ^6 A3 = 6 § Vcp W = m =р A3 = 6 р V3 WcP mw 24 A n 2 %
°W = V19 Wcp = 4,36Wcp °W = J^in^Wcp = 1,548Wcp
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
Полученные формулы охватывают почти всю статистику метеостанций страны. Например, если для какой-либо местности 1 < к < 2, то значения энергетических характеристик этой местности будут находиться внутри диапазона, который ограничен величинами, определяемыми полученными формулами. В частности, Жср(к = 1) < Жуд(1 < к < 2) < Жср(к = 2). Таким образом, полученные формулы позволяют исследовать, какое значение для решения задач проектирования ветроэнергетических установок может иметь величина Жуд на статистике, которая охватывает большую часть территории страны.
2.4. Напомним, что математическое ожидание есть число, которое на числовой оси располагается внутри области изменения случайной величины. В теории вероятностей доказано: вероятность события, что конкретная реализация непрерывной случайной величины окажется равной математическому ожиданию, равна нулю. Поэтому обычно оценивается разброс конкретных реализаций случайной величины вокруг математического ожидания. Этот разброс характеризуется среднеквадратичным отклонением. В связи с этим возникает вопрос, в каких случаях с точки зрения инженерных расчетов, при заранее заданной точности искомых величин (например, 5-10%), мы можем математическое ожидание рассматривать как среднее значение? Есть очевидный случай, когда ответ на поставленный вопрос ясен.
Если искомая случайная величина подчиняется нормальному закону, отождествление ее математического ожидания и математического среднего в инженерных расчетах возможно в том случае, когда величина 3о меньше или равна допустимой с инженерной точки зрения величине погрешности. Но из полученных формул видно, что для случайной величины «скорость ветра» среднеквадратичное отклонение оу соизмеримо с математическим ожиданием, а для случайной величины «мощность» среднеквадратичное отклонение оЖ существенно (в полтора-четыре раза в зависимости от величины параметра к) больше величины Жуд = тЖ. Для инженерных приложений величины математического ожидания случайной величины «мощность» это неестественно большой разброс.
Рассмотрим, насколько часто конкретные реализации случайной величины «мощность» оказываются близкими к величине Жуд = тЖ. Через функцию распределения вероятность события Р, что конкретная реализация мощности Ж, попадет в диапазон Ж < Wi < Ж2, определится разностью Р^ = Р^Ж^) -- РЖ(Ж2). Это значение вероятности и определит искомую достоверность.
С точки зрения теории вероятностей, после применения процедуры выравнивания статистических рядов (в частности, с помощью аппроксимации Вейбулла) функция плотности вероятности становится характеристикой генеральной совокупности. Поэтому все оценки, использующие ее, относятся к генеральной совокупности и к выборкам, приближающимся по размерам к ней.
Произведем оценки для случая, когда функция р(Ю дается формулой Вейбулла. Определим вероятность события, что случайное значение мощности Wi попадет в окрестность Ж = Жуд(1 ± 0,1) для местности со среднегодовой скоростью ветра Кср = 5 м/с. Для этой местности при к = 1 величина тЖ = Жуд = = 459 Вт, а при к = 2 - тЖ = Жуд = 146 Вт. Непосредственный подсчет вероятностей показывает, что для случая к = 1 РЖуд(1 ± 0,1) = 0,019, а для случая к = 2 РЖуд(1 ± 0,1) = 0,048. Это настолько малые вероятности, что рассчитывать на частое появление величин Ж = Жуд(1 ± 0,1) практически невозможно.
Так же легко по указанным формулам оценивается вероятность события, что случайные значения мощности Ж, попадут в диапазон 0 < Ж < 0,5 Жуд. Для случая к = 1 находим Р\ = Р\(230) - Р1(0) = 0,76, а для случая к = 2 Р2 = Р2(73) - Р2(0) = 0,53.
Вероятность - это частота появления события. Полученные оценки вероятностей Р1 и Р2 показывают, что если рассматривается отрезок времени в 10 лет, то велика вероятность того, что при к = 1 в течение 7-8 лет конкретные реализации мощности Ж, будут более чем вдвое меньше среднего значения, а при к = 2 такое событие может произойти в течение 5-6 лет. Т.е. наиболее часты случаи, когда реализация случайной величины «мощность» Ж, вдвое меньше величины Жуд.
Отметим еще раз, что полученные оценки относятся к многолетней статистике. Эта статистика содержит около 20-40 тысяч измерений, которые невозможно изобразить графически. Проиллюстрируем качественно полученные оценки на выборке в 350 значений почасовых измерений скорости ветра. Дискретные значения скорости показаны на рис. 7. У этой выборки средняя скорость Уср = 5,1 м/с. А на рис. 8 показаны дискретные значения мощности воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения, определенные по дискретным значениям показанной скорости ветра. Толщина горизонтальной линии на рис. 8 дает представление о величине Ж = Жср(1 ± 0,1). В рассматриваемом случае в этот диапазон попало 13 значений случайной величины мощности, что составляет 3,7% от общего числа измерений. Это число согласуется с полученной оценкой.
Рис. 7. Скорость ветра Fig. 7. Wind speed
1000 800 600 400 200 0
Wf [Вт] W,= PF//2
•■* ; v » , Wcp = 155,3 Вт
. "4. * ' ' 1. . t ; ь , .... • * ; . \
А» ji-ffi. r' t
50
100
150 200
250
Рис. 8. Удельная мощность Fig. 8. Power density
300 350
ний скорости ветра за время Т = NАt, то из равенства
пА1 1. —
= Р^М вытекает, что Р =—— = — = 1 . ' ' ЫА1 Т '
Таким образом, для данных метеостанций вероятность Р, показывает долю 1 из общего времени Т, в течение которого п, измерений случайной величины ¥i попадают в заданный диапазон ¥\ < ¥i < ¥2. Поэтому время работы ветроэнергетической установки, в течение которого скорость ветра находится внутри этого диапазона скоростей, определится следующим соотношением:
Среднее значение мощности для рассматриваемой выборки Жф = 155,3 Вт. Половина этого значения Жср = 77,6 Вт. В области 0 < Ж< 0,5 Жср находятся 189 измерений, что составляет 54% от объема выборки. Это значение тоже согласуется с полученной выше оценкой.
Таким образом, подавляющее большинство реализаций случайной величины «мощность воздушной струи» далеко от своего математического ожидания и поэтому величина Жуд, характеризуя многолетнюю статистику в целом, не дает никаких ориентиров для выбора мощности рабочей машины ветроэнергетических установок.
= ТР, = Т[ р (V. )dV.= Т [Р(V) - Р(VI)].
V
Здесь Р^.) - функция распределения случайной величины «скорость ветра».
Определим важные в ветроэнергетике времена, если функция плотности вероятности p(УJ случайной величины «скорость ветра» аппроксимируется формулой Вейбулла. При произвольном значении параметра к функция распределения при аппроксимации Вейбулла имеет вид
Р(V.) = 1 -ехр(-(V. /А))
3. Решение задач ветроэнергетики с использованием функции плотности вероятностир(У„) генеральной совокупности случайной величины «скорость ветра»
3.1. Расчет времени работы ветроэнергетической установки Строго говоря, теория вероятностей при известной функции р^.) позволяет определить вероятность Р, события, что конкретная реализация случайной величины VI попадет в заданный разряд, определяемый диапазоном У1 < VI < ¥2. Эта вероятность определяется следующим интегралом:
P=jp (F ) dF
Через вероятность Р, можно найти, что из общего числа N реализаций случайной величины V, количество п, = Р N попадет в диапазон изменения ¥1 < ¥1 < ¥2. При этом число п будет более достоверно, когда число N будет близко к числу реализаций случайной величины в генеральной совокупности.
Теоретически порядок поступления реализаций случайной величины в выборку не регламентируется. Но на метеостанциях измерения скорости ветра осуществляются с равномерным шагом по времени А1. Например, при четырех измерениях в сутки А1 = 6 часов. Если на метеостанции произведено N измере-
Рис. 9. Функции Вейбулла p(V„) и F(V„) Fig. 9. Weibull function p(V„) and F(VJ)
Определим искомые времена для случаев к = 1 и к = 2. На рис. 9 показаны графики функций плотности вероятности р^.) и функции распределения Р^.) для рассматриваемых случаев формулы Вей-булла для местности со средней скоростью ветра Уср = 5 м/с.. Пусть задана также характеристика Ж^.) ветроустановки, показанная на рис. 10.
Решим первую задачу. Определим время затишья т, в течение которого ветроустановка на рассматри-
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
ваемой местности не работает. Во время затишья скорость ветра 0 < < Ут1п. Так как РУ = 0) = 0, то для времени затишья получим: т = Р(Ут1п); т = ТР(Ут1п).
ri! Vp
Рис. 10. Характеристика ветродвигателя Fig. 10. Windmill characteristic
При проектировании современных ветроэнергетических установок прилагаются значительные усилия для уменьшения величины скорости Vmin. В связи с этим важно достоверно оценивать эффект от этих усилий. В табл. 1 представлены результаты расчета величины т. По табличным данным легко определить следующее. Если время T составляет 20 лет, ветроэнергетическая установка с Vmin = 3 м/с на местности с функцией плотности вероятности Вейбул-ла при к = 1 будет простаивать суммарное время т = 0,45-20 = 9 лет, а при к = 2 т = 0,246-20 = 4,92 года. Ветроэнергетическая установка с Vmin = 5 м/с в обоих случаях будет простаивать приблизительно одинаковое время т = 0,65-20 = 13 лет.
Таблица 1
Относительное время затишья
Table 1
Calm time
Полученные оценки показывают, что форма функций р(У^) и Р(У^) (в рассматриваемом случае за счет изменения параметра к) существенно влияет на время затишья. Причем чем меньше величина скорости Утп тем более существенно это влияние.
Решим вторую задачу. Определим время /р, в течение которого скорость ветра попадает в рабочий диапазон Ут1п < У^ < Ут. Принимая У! = Ут1п и У2 = Ут, получим для этого времени:
I = Р(Ут ) - РУтп), = Т [Р(Ут ) - Р^)].
Из графика функции Р(У1) на рис. 9 видно, что при традиционном для современных ветроустановок значении Ут = 25 м/с, можно принять Р(Ут) = 1.
Принимая, как и ранее, время Т = 20 лет, для ветроэнергетической установки с Vmin = 3 м/с на местности с функцией плотности вероятности при к = 1 рабочее время будет tp = (1 - 0,45)-20 = 11 лет, а при к = 2 tp = = (1 - 0,246)-20 = 15 лет. Ветроэнергетическая установка с Vmin = 5 м/с в обоих случаях будет работать приблизительно одинаковое время tp ~ (1 - 0,65)-20 = 7 лет. Приведенные оценки дают естественный результат.
Чем менее у ветродвигателя величина Vmin, тем больше величина рабочего времени.
Решим третью задачу. Определим время tW, в течение которого скорость ветра попадает в диапазон Vp < V< Vm. В это время ветроустановка реализует расчетную мощность. Полагая V1 = Vp и V2 = Vm, получим для искомого времени
W = F (Vm) - F (Vp), tw = T [F(Vm) - F (Vp)].
Примем, как и выше, F(Vm) = 1. Результаты расчетов относительного времени tw для различных
значений расчетной скорости ветра Vp даны в верхней части табл. 2, а в нижней части таблицы дано фактическое время работы ветроустановки с номинальной мощностью в течение Т = 20 лет. Полученные оценки показывают, что на всей территории страны для ветродвигателей характерно весьма незначительное время работы в режиме установленной мощности. При этом чем больше значение расчетной скорости ветра, тем меньше времени ветродвигатель работает с расчетной мощностью.
Таблица 2
Относительное и абсолютное время работы при проектной мощности
Table 2
Absolute and relative time under design capacity
к tw = tw / T при Vp
10 12 14
1 0,135 0,091 0,061
2 0,105 0,067 0,042
tw = tw / T ; T = 20 лет
1 2,7 1,8 1,2
2 2,1 1,3 0,85
Необходимо отметить также, что в силу свойств ветра указанное в таблице время tW не непрерывно, а постоянно прерывается случайным образом.
3.2. Расчет производительности ветроэнергетической установки В работах метеорологов [5, 6, 10-12] приводится без доказательства формула для расчета производительности ветродвигателя за время T:
к T = T / T при Vmin
2 3 4 5
1 0,33 0,45 0,55 0,63
2 0,118 0,246 0,40 0,654
Q = T J W (У ))dy .
Впервые она появилась без вывода в работе М.М. Поморцева [5] в 1894 году, а затем воспроизводится практически во всех работах причастных к ветроэнергетике метеорологов. При этом авторы предлагают эту формулу для прогнозирования производительности разрабатываемых ветродвигателей.
Г.А. Гриневич в работе [6] ставил вопрос о возможных значениях времени Т, если функция р(У„) определена по генеральной совокупности значений скорости ветра. Не имея формального вывода этой формулы, он связывал возможные значения времени Т, по физическим соображениям, с временным масштабом метеорологических явлений. При этом он допускал использование ее для оценок годовой, месячной и даже недельной производительности ветродвигателей.
Ниже дается вывод этой формулы. При этом выводе проясняются вопросы о возможности использования этой формулы в практической ветроэнергетике.
Пусть рассматриваемая местность характеризуется функцией плотности вероятности р(УД Выделим на оси абсцисс зависимости рУ) разряд А У = У+1 - У, как показано на рис. 11. Тогда количество реализаций случайной величины «скорость ветра», которое попадет в этот разряд, будет пг = ЫРг. В соответствии с характеристикой №(У^) разряду АУг будет соответствовать количество пг значений случайной величины «мощность» №ь №2, ..., №к, ..., №п).
При измерениях на метеостанциях каждому значению мощности соответствует отрезок времени Аt. Это позволяет каждому случайному значению скорости поставить в соответствие значение энергии qk = №кА1. Количество энергии на разряде А У получается суммированием всех пг значений энергии:
п п I
q¡ = А £ № = Ш, £ № /п = п А^,.
к=1 1 /
Но nIАt = ^ - это время, затраченное на реализацию всех в рассматриваемом разряде случайных значений скорости ветра и мощности. Для генеральной совокупности, когда полигон накопленной частоты превращается в функцию распределения и дифференцированием можно определить непрерывную функцию плотности вероятности, это время определяется интегралом
У
ti = TPt = T JpV )dy
Имея в виду в дальнейшем перейти к пределу, устремив АVi к нулю, преобразуем последнее выражение
Ум
t¡ = ТР1 = Т | р (У, )СУ = ТРаАУ,
Рис. 11. Функции WV) и p(VJ) Fig. 11. Functions W(VJ and p(VJ
Будем оценивать производительность ветроуста-новки количеством вырабатываемой энергии Q [кВт-ч]. Пусть задана характеристика ветродвигателя W(VJ. Заметим, что отработанные методы регулирования мощности ветродвигателей позволяют реализовать два вида характеристик W(VJ). Первая из них была показана на рис. 10 и характеризуется участком с постоянным значением мощности. Второй вид характеристики показан на рис 11. Для него характерен участок с немонотонным изменением мощности по скорости ветра. В обоих случаях мы не можем воспользоваться приведенным выше теоретическим результатом для определения функции плотности вероятности pW(W) из-за возникающей особенности в формуле преобразования функции плотности вероятности.
где рг - среднее значение функции р(У^) внутри интервала АУ.
С учетом последнего соотношения общее количество энергии на разряде АУг определится выражением
Ъ = Т№ррАУ).
Количество энергии во всем диапазоне изменения скорости ветра получается суммированием по числу разрядов
е = ТХК)(У)Р)(У)АУ .
г
Представленная сумма является интегральной, т.к. в ней значения №ср) и рг относятся к внутренней точке интервала АУ). Переходя к пределу, получим
Уши
е = ТауИп^оХ^ср)(У)Р)(1У)АУ) = Т } №(У)рУ )СУ„.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
Заметим, что переход к пределу возможен потому, что при вычислении сумм мы использовали непрерывную, соответствующую генеральной (многолетней) совокупности случайной величины «скорость ветра», функцию плотности вероятности р(У^).
Таким образом, ветроустановка с характеристикой ЩУ^) за время ТЫ = ЫА^ по которому определена функция плотности вероятности р(У^), выработает количество энергии
0 = Т„ } ЖV)рУ )У . (5)
0
В рамках гипотезы, что скорость ветра является случайной величиной, полученная формула достоверно определяет энергию генеральной совокупности случайной величины (в рассматриваемом случае многолетней статистики измерений скорости ветра).
4. Резюме
Проведенное исследование показало, что на многолетних выборках случайной величины «скорость ветра» свойство стабилизации частоты выполняется, и поэтому для этих данных существуют функции распределения и функция плотности вероятности. Совокупность измерений на метеостанциях о. Сахалин за 30-35 лет можно, по-видимому, рассматривать как генеральную совокупность случайной величины «скорость ветра». Вопрос о повторяемости условий реализации случайной величины для измерений скорости ветра на метеостанциях остается открытым, что затрудняет вероятностную интерпретацию результатов обработки данных метеостанций.
В рамках теории вероятностей одномерной случайной величины получена формула для мощности Жуд, в которой используется многолетняя функция плотности вероятности р(У00) непрерывной случайной величины «скорость ветра». Величина Жуд рекомендуется метеорологами для оценки ветроэнергетических ресурсов местности, для которой характерна указанная функция р(У00). С точки зрения теории вероятностей величина Жуд является математическим ожиданием непрерывной случайной величины мощности = 0,5р У3.
Г. А. Гриневич в обобщающей работе [6] настаивал на оценках достоверности величин, определяемых по данным метеостанций методами математической статистики. Однако заимствованная им из гидрологии методика расчета обеспеченности представляется менее убедительной, чем традиционная для теории вероятностей и математической статистики оценка достоверности искомых, величиной вероятности.
Вероятность события, что конкретная реализация непрерывной случайной величины окажется равной математическому ожиданию, равна нулю. Поэтому для непрерывной случайной величины оцени-
вается вероятность события, что ее реализация окажется в заданной окрестности математического ожидания.
По данным атласа [10] многолетние эмпирические функции р(У^) во многих случаях удовлетворительно аппроксимируются формулой Вейбулла. Поэтому достоверность событий, что случайная величина Wi окажется в окрестности своего математического ожидания Ww, исследована с использованием этой аппроксимации для местности со среднегодовой скоростью ветра Уср = 5 м/с. Результаты исследования состоят в следующем.
1. Вероятность события, что случайная величина Wi окажется в 10% окрестности своего математического ожидания составляет P ~ 0,02-0,05. Это настолько малые вероятности, что рассчитывать на частое появление величин Wi в окрестности своего математического ожидания практически невозможно.
2. При рассмотренных функциях плотности вероятности в многолетней перспективе велика вероятность (P = 0,5-0,8), что случайная величина Wi будет более чем вдвое меньше своего математического ожидания.
Таким образом, последовательное применение методов теории вероятностей на основе гипотезы, что измеряемые значения скорости ветра являются случайной величиной, выявляет, что величина Wуд характеризует многолетнюю статистику в целом и не дает никаких ориентиров для определения параметров ветродвигателей.
Выведена применяемая в литературе формула расчета производительности ветродвигателя. В процессе вывода установлено, что она, строго говоря, достоверно определяет полную производительность на генеральной (многолетней) совокупности случайной величины «скорость ветра».
ЧАСТЬ II
1. Расчет производительности ветродвигателя
для состоявшейся на произвольном отрезке времени реализации ограниченной совокупности значений скорости ветра
1.1. Пусть у нас есть состоявшаяся в течение времени T реализация N значений скорости ветра, измерения которой произведены с шагом времени At. В качестве примера на рис. 12 показана такая совокупность почасовых (At = 1 час) измерений скорости ветра в течение 4 недель.
В начале ХХ века специалисты по ветроэнергетике оценивали производительность ветродвигателей по результатам измерений скорости ветра через повторяемость ветра в часах. Для этого вся область изменения скорости ветра разбивалась на N разрядов с шагом AУ, как это показано на рис. 12 (здесь в качестве примера Ay = const = 2 м/с).
V 2В а 24 20 16
12 f'
0 :
4 ■ О -
% I*
\
50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650 700
Рис. 12. Пример измерений величины «скорость ветра» Fig. 12. Measurements of wind speed illustration
час
При расчете энергии в 1-м разряде скорость ветра У^ в течение времени А/ считалась постоянной, равной срединному для разряда значению. Пусть в 1-й разряд попало ni значений скорости ветра. При принятом предположении на это количество измерений потребовалось время рй = п,А/. Время рй определялось как повторяемость ветра в часах. Если задана энергетическая характеристика ветродвигателя Ж(УФС), то выработанное им количество энергии на этом разряде будет АЭi = Ж(У,)ры(У1). Полная производительность ветродвигателя е определялась суммированием энергий по всем разрядам:
е = у )рй (У ).
I=1
1.2. Проведем с полученной суммой следующее тождественное преобразование:
Q = £ w (V ) pti (V ) = T £w (V )
nAt AY,
NAt AV, = T £w (V ) pi (V )AV.
(6)
Заметим, что формула р. = п./ЫАУ. совпадает с формулой для определения дискретного значения функции плотности вероятности по эмпирическим данным.
Правая часть формулы (6) очень похожа на формулу (4), которая получена в разделе 3.2 части I с использованием функции плотности вероятности р(У.) для генеральной (многолетней) совокупности значений случайной величины «скорость ветра». Однако формула (6) соответствует краткому отрезку времени, а не многолетней реализации значений скорости ветра.
Ничто не мешает формальному применению к рассматриваемой «кратковременной» совокупности дискретных значений скорости ветра алгоритма математической статистики для нахождения функции распределения через последовательность функций накопленной частоты. Результат такого применения показан на рис. 13, где функции накопленной частоты построены для различных градаций диапазона изменения скорости ветра с рис. 12. Из графиков видно, что если бы была возможность неограниченно увеличивать число точек, то по характеру изменения представленных полигонов можно предположить существование такой же непрерывной функции распределения, как и для генеральной совокупности случайных чисел.
Теперь заметим, что т.к. движение воздуха подчиняется законам механики, то представленные на рис. 12 точки принадлежат непрерывной функции У.(/). Это значит, что имеется возможность на произвольно ограниченном отрезке времени неограниченно увеличивать число точек и, неограниченно повышая точность измерений, в пределе получить непрерывную функцию распределения.
Рис. 13. Полигоны накопленных частот Fig. 13. Cumulative frequency polygons
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
Однако заметим, что эта функция характеризует не совокупность случайных чисел, а состоявшуюся реализацию функции УЛр). Будем ее обозначать ЕЦ), чтобы отличать от функции распределения случайной величины. Дифференцируя непрерывную функцию Р/(УД можно получить аналог функции плотности вероятности:
Ру (у) = (СЕу (у)/ су.
На рис. 14 показана функция рЦ), построенная по алгоритму математической статистики для дискретных значений функции У ЛР), показанной на рис. 12. Поскольку функции ЕУУ) и рУУ) определены методами математической статистики, оставим за ними традиционные названия функции распределения и функции плотности вероятности.
PvV)
0,12 п
0,08 -
0,04 -
Рис. 14. Функция piXVJ Fig. 14. Function pV(V„)
Наличие непрерывной функции pVV) позволяет в формуле (6) перейти к пределу
N, Vm„_
Q = lim T£W(V)p,V)Ду = T J W(У)pv(У)dy .
max ,=1 0
Таким образом, для расчета производительности ветродвигателя на произвольном отрезке времени T, в течение которого реализовалась непрерывная функция У(0, получилась следующая формула:
Q = т] w (у) pv (у) су
(7)
2. Оценка ветроэнергетических ресурсов величиной энергии Эр воздушной струи единичной площади
2.1. Определим производительность ветроустанов-ки в одном важном предельном случае. Пусть ее работу удалось организовать так, что ветроколесо при скоростях ветра 0 < У < Vmin работает в режиме максимальной эффективности, т.е. С(У) = Zmax = const. Предположим также, что коэффициент полезного действия процессов преобразования механической энергии на ветроколесе в потребительскую форму (КПД рабочей машины) п(У) = П = const. В этих условиях мощность ветродвигателя при изменении скорости ветра определяется следующим соотношением:
w =^ЕR2 v3=РV3nC S
" B ,, ilBKr оо'I ^max ^max^BK :
где РВк - радиус ветроколеса.
Такая ветроустановка за время Т, по которому определена функция рУУ), выработает количество энергии:
е = Т } №В(У0)РуУ )СУ =
о
Утч
= V пСтохТ Р 1 У3 Ру V )СУ~ .
2 о
Выделим интеграл
Эу, = T2 ] У3PvV„)dy.
Внешне она совпадает с формулой (5). Однако между ними есть качественная разница. Формула (5) использует функцию плотности вероятности р(У00) для генеральной (многолетней) совокупности значений случайной величины «скорость ветра» и поэтому, строго говоря, дает оценку произведенной ветродвигателем энергии за много лет. А формула (7), используя аналог функции плотности вероятности рУУ), который на произвольном отрезке времени Т характеризует непрерывную функцию УХО, точно определяет произведенную ветродвигателем энергию на этом отрезке времени.
Нетрудно заметить, если положить 5"ВК = 1, п = 1 и Сшах = 1, что Эуд - энергия воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения, которая получается за время Т.
В механике со словом «потенциал» связывается понятие энергии, а не мощности.
Определим годовой ветроэнергетический потенциал ЭО как энергию воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения, приняв за основу годовую функцию рУУ) = рОУ) и годовое время Т = ТО = 8760 часов:
Утах
Эо = То Р1 у3Ро (У )су .
2 о
Такое определение ветроэнергетического потенциала приобретает важное для практической ветроэнергетики значение по следующим причинам.
Во-первых, годовая производительность ветроус-тановки с С(У=) = Стах и пУ) = П в явном виде выражается через величину ветроэнергетического потенциала
0
Vmax
Qg = SbKnZmaTG p f V3pg V )dV. = SgK Л Zmax ЭG • 2 0
Величина QG может служить оценкой максимально возможной годовой производительности ветроэнергетической установки с рассматриваемым ветропреобразователем. Действительно, если обеспечить условия Z(VJ ^ Zmax и n(V.) ^ 1, то Qg =
= QGmax = SBkC max ЭG.
Во-вторых, годовая производительность ветроус-тановки определяется следующим интегралом:
Vmax
Qb = SbTg Р f VfCV )nV ) pv V )dV. < Qg .
2 0
На реальных ветроустановках коэффициент использования энергии ветра ZV) в рабочем диапазоне скоростей ветра практически всегда меньше своего максимального значения, а коэффициент полезного действия процессов преобразования энергии в потребительскую форму всегда n(V.) < 1. Поэтому годовая производительность реальной ветроустанов-ки QB будет всегда меньше оценки QG. Сопоставление величин QB и Qg позволяет определить резерв повышения производительности проектируемой ветроэнергетической установки путем совершенствования организации ее нагружения (приближения функции ZV) к Z(VJ) = Zmax) и применения более совершенных решений при преобразовании механической энергии в потребительскую форму (повышения КПД этого процесса).
И, наконец, в-третьих, знание величины ЭG позволяет сразу получить оценку размера ветроколеса, с которым ветродвигатель даст необходимое количество годовой энергии QB:
Rbk = VQB7cnnX3G).
Здесь величины ^ср и пср - средние значения коэффициента использования энергии ветра и КПД процессов преобразования энергии в ветроустановке при рассматриваемом уровне проектирования ее агрегатов. На предварительных этапах проектирования эти величины определяются путем обработки статистических характеристик ветродвигателей.
3. Обработка результатов измерений скорости ветра на метеорологических станциях
3.1. Свойства формулы (7) позволяют сформировать подход к обработке данных метеостанций на основе предположения, что измеренные значения скорости ветра представляют случайную функцию V. (t). Этот подход состоит в следующем.
Вначале выделяются циклические промежутки времени длительностью T, для которых обеспечивается повторяемость условий. Такими циклами могут быть год или месяц, для которых цикличность опре-
деляется цикличностью поступления на планету солнечной энергии. Если ставится цель определить среднемесячные характеристики ветра, то необходимо обрабатывать многолетние значения скорости в одноименных месяцах.
Как известно, движение воздуха подчиняется законам механики сплошной среды. Поэтому в каждом таком промежутке времени измеренные значения скорости ветра рассматриваются как дискретные значения однозначной непрерывной ограниченной функции V.(t). Далее считаем, что в следующем циклическом промежутке времени со сходными условиями функция У.(У) отличается от предыдущей как новая реализация случайной функции. Для каждой реализации функции V.(t) по алгоритмам математической статистики определяем аналог функции плотности вероятности рИУ.). По ней определяем для отрезка времени T среднюю скорость ветра Уср и ветроэнергетический потенциал Эт по следующим формулам:
Кр = } V „ру (V. )dV. ;
0
Vm¡¡к
Эг = T 2 } У3 Pv (V.) dV. .
2 0
Эти интегралы теоретически дают точные значения характеристик состоявшейся реализации случайней функции V. (У). В то же время они, как производные (следствие) случайной функции V. (У), являются непрерывными случайными величинами с ограниченной областью изменения. Таким образом, рассматриваемое количество циклических промежутков времени даст выборку случайных величин Эт и Vср. Для этих выборок необходимо подтвердить выполнение основного положения теории вероятностей -свойство стабилизации частоты. Далее методами математической статистики для случайных величин Эт и Vср можно определять свои функции распределения и плотности вероятности, свои математические ожидания и свои среднеквадратичные отклонения. По этим функциям и числовым характеристикам можно определять достоверность искомых интегралов энергии.
Такой подход позволяет выполнить основные положения теории вероятностей для случайных чисел Эт и Vср.
3.2. Для четырех метеостанций о. Сахалин в [9] представлены значения относительной повторяемости ветра за 25-29 лет измерений. По этим многолетним данным можно определить как годовые, так и месячные характеристики функций У.(У).
Разработчики ветроустановок исходят из предположения, что в силу годового цикла изменения климатических условий реальная годовая производительность будет близка к проектной величине. Поэтому при проектировании ветроустановок важную
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
роль играет достоверная оценка годовой производительности. В связи с этим рассмотрим вначале результаты обработки годовых данных, принимая за циклический отрезок времени годовое время Т = То = = 8760 часов.
Вначале для каждого года по относительной повторяемости р1 = п1 / Ыо определяется значение функции плотности вероятности в каждом разряде по следующей формуле ра = п1 /(ЫоАУ)). После вычисления
значений рОг в каждом разряде получаются исходные данные для построения гистограммы годовой функции плотности вероятности рО(У=). Затем можно определять искомые для ветроэнергетики величины и функции.
Среднегодовая скорость ветра определяется суммированием по разрядам: Усргод = ХУ)ро)АУг.
г
Значение годового ветроэнергетического потенциала определяется следующей суммой:
Эо = То РХу3РоаАУ,
где р = 1,225 кг/м3 - плотность воздуха.
На рис. 15 показаны результаты расчетов годовых значений ветроэнергетического потенциала для рассматриваемых четырех метеостанций о. Сахалин с номерами 3, 8, 9 и 12.
Рис. 15. Годовые изменения ветроэнергетического потенциала Эв Fig. 15. Annual changes of wind energetic potential Эв
Рассмотрение графиков позволяет отметить два следующих момента.
Во-первых, по представленным результатам можно составить суждение о возможных последствиях оценки ветроэнергетического потенциала через функцию р(У ), которая характеризует генеральную совокупность случайной величины «скорость ветра». В работах [1о-12] рекомендуется для оценок годовой производительности ветродвигателей использовать формулу (5), принимая в ней время Т = То. В соответствии с этой рекомендацией оценка среднего многолетнего значения ветроэнергетического потенциала определяется следующей формулой:
Эср = To р ] VI p(V )dV„ .
Во-вторых, из рис. 15 видно, что годовые значения Эо - случайные числа. Это подтверждает представление, что годовые функции V^(() - случайные функции. Такое предположение подтверждается также сравнением нескольких годовых аналогов функций плотности вероятности р(У„) = ро(У=) для метеостанции №12, которые показаны на рис. 16-17. Здесь функции ро(У=) для 1945 и 1958 годов соответствуют наибольшему и наименьшему значению вет-ропотенциалов Эо. Сплошной толстой линией с крупными точками показаны многолетние функции
РоУ ).
Рассчитанные по многолетней функции р(У ) значения ветропотенциала на рис. 15 показаны как средние значения. Сравнение годовых значений вет-ропотенциала Эо с этим средним значением показывает вероятную ошибку при его оценке по многолетней функции р(У ). Из графиков видно, что эта ошибка может быть большой, и по годам она существенно изменяется. Наибольшее уменьшение годовых значений ветропотенциала относительно среднего значения может составлять 40-50%.
Рис. 16. Функции Pg(V„) Fig. 16. Functions pG(V„)
0,2 0,6
Рис. 17. Функции pG (u) Fig. 17. Functions pG (u)
На рис. 16 показаны размерные функции ра(У„). Сравнение графиков на рис. 15 и 16 показывает, что значительные изменения величины Эе вызываются незначительными, с традиционной точки зрения, изменениями функций ра(У„). На рис. 17, для более яркой демонстрации разброса годовых реализаций этих функций, они представлены в относительном виде. Представленные графики подтверждают предположение, что годовые реализации функций У.(У) представляют собой случайные функции.
Еще более ярко случайный характер функции У.(У) проявляется при анализе многолетних месячных значений ветроэнергетического потенциала Эм. Это иллюстрируется на рис. 18 для многолетних изменений январских значений ветропотенциала.
Рис. 18. Годовые изменения январского ветроэнергетического потенциала ЭМ Fig. 18. Annual changes of wind energetic potential January ЭМ
Рис. 19. Стабилизация чисел Эк Fig. 19. Эк stabilization
Напомним, что в работе [6] Г. А. Гриневич оценивал относительные погрешности расчетов производительности по многолетней функции р(К^) следующими величинами: для года - 6%, для месяца - 9%. На рис. 15 и 19 есть отдельные точки, соответствующие этим оценкам. Однако эти точки составляют скорее исключение, чем правило.
3.3. Реализацию закона стабилизации для значений ветроэнергетического потенциала с циклическим отрезком времени т можно проверить путем расчета последовательности чисел Э^, которая при реализации свойства стабилизации имеет пределом математическое ожидание МЭ случайных чисел Эт:
lim Э = lim Y Эп k = Mэ
Результат расчета такой последовательности для годовых значений ветропотенциала, рассчитанных на данных метеостанции № 12, показан на рис. 19. Из графика видно, что на 29-летней статистике годовых значений ветропотенциала закон стабилизации почти выполняется.
3.4. Из теории вероятностей метеорологами заимствована традиция, согласно которой функция плотности вероятности р(У„) аппроксимируется функциями с бесконечным верхним пределом. Формально при этом скорость ветра изменяется на полубесконечном интервале 0 < V. < . и вклад больших скоростей ветра в величины ветроэнергетического потенциала и производительности ветродвигателя определяется не природными свойствами распределения больших скоростей ветра, а свойствами аппроксимирующей функции. Но в природе функция V. (У) - ограниченная максимальным значением скорости ветра У^тих функция. При расчете ветроэнергетического потенциала это обстоятельство проявляется в том, что необходимо вычислять определенный интеграл с ограниченным верхним пределом. Для произвольного циклического отрезка времени т этот интеграл, как уже определено, имеет следующий вид:
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 2 (94) 2011
© Scientific Technical Centre «TATA», 2011
Эт = T р] V3 Pv V) dV^
Выше мы установили случайный характер функции плотности вероятности рУУ) на циклических отрезках времени со сходными условиями. Рассмотрим теперь изменение скорости Утах.
При традиционном для метеостанций представлении данных возможна только грубая оценка величины Утах. Для приближенного анализа за значение Утах мы будем принимать верхнюю границу последнего разряда, в котором оказались измеренные значения скорости ветра. На рис. 20 показано изменение
скорости Утах, когда в качестве циклического промежутка времени рассматривается время одного года Т = То. Из представленных графиков видно, что на рассматриваемых циклических отрезках времени со схожими условиями скорость Утах хаотически разбросана вокруг срединного значения, что позволяет предположить случайный характер ее изменения. Таким образом, случайный характер непрерывной ограниченной функции УДО на циклических отрезках времени Т формирует случайное значение ветроэнергетического потенциала ЭТ как из-за случайного характера изменения функции плотности вероятности рУУ), так и из-за случайности скорости Утах.
Рис. 20. Годовые изменения годовой скорости Vmax Fig. 20. Annual changes of wind speed Vmax
В заключение заметим, что рассмотренный алгоритм обработки данных метеорологических станций позволяет лишь выявить случайный характер величины ветроэнергетического потенциала. Выяснение причин такого его изменения может быть осуществлено, по-видимому, в процессе анализа всей совокупности физических причин, вызывающих движение планетарных воздушных масс и является предметом самостоятельного исследования.
Заключение
Приведенные результаты показывают, что необходимо рассмотреть возможность решения задач ветроэнергетики на основе предположения, что скорость ветра - случайная функция времени. Случайность характеризуется тем, что в циклические промежутки времени со сходными условиями ее реализации несколько различны и характеризуются различными величинами энергии ЭТ воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 10-08-00829.
Список литературы
1. Игнатьев С.Г., Киселева С.В. Развитие методов оценки ветроэнергетического потенциала и расчета годовой производительности ветроустановок // Альтернативная энергетика и экология - К1АЕЕ. 2010, № 10. С. 49-72.
2. Подтягин М.Е. Математический анализ измерений ветра // Геофизика. 1935. Т. V, вып. 1.
3. Срезневский Б.И. О силе ветра в Петербурге и Кронштадте // Записки по гидрографии. С-Петербург, Вып. 2, 1889.
4. Годолин А.В. О законе изменения ветра // Записки Академии наук, С-Петербург, Т. XII, 1890.
5. Поморцев М.С. О законе распределения скоростей ветра // Записки по гидрографии. С-Петербург, Т. XV, 1894.
6. Гриневич Г.А. Основы энергетической характеристики ветра // В сб.: Методы разработки ветроэнергетического кадастра. Отв. ред. Е.М. Фатеев. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
7. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1969.
8. Хальд А. Математическая статистика с техническими приложениями. М.: ИЛ, 1956.
9. Справочник по климату СССР. Ч. III. Ветер. Сахалин. 1966 г.
10. Старков А.Н., Ландберг Л., Безруких П.П., Бори-сенко М.М. Атлас ветров России. М.: Изд. «Можайск-Терра», 2000.
11. Рекомендации по определению климатических характеристик ветроэнергетических ресурсов. ГГО. НПО «Ветроэн». Л.: Гидрометеоиздат, 1989.
12. Николаев В.Г., Ганага С.В., Кудряшов Ю.И. Национальный кадастр ветроэнергетических ресурсов России и методические основы их определения. М.: «Атмограф», 2008.
