CC BY
14ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЭНЕРГИИ В ВЕТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ УСТАНОВКАХ
ENERGY CONVERSION IN WIND TURBINES
Статья поступила в редакцию 11.12.12. Ред. рег. № 1473 The article has entered in publishing office 11.12.12. Ed. reg. No. 1473
УДК 551.510
ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ ВЕРОЯТНОСТИ ОДНОЗНАЧНОЙ НЕПРЕРЫВНОЙ И ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОЙ ФУНКЦИИ VJt)
С.Г. Игнатьев
ООО «Специальное конструкторское бюро «Искра» 123592 Москва, ул. Кулакова, д. 20, оф. 517 Тел.: (495) 757-65-10, e-mail: stacgg8@gmail.com
Заключение совета рецензентов: 13.12.12 Заключение совета экспертов: 15.12.12 Принято к публикации: 17.12.12
В работе скорость ветра рассматривается как случайная функция времени VJt). Установлено, что для реализации функции VJ(t) на произвольном отрезке времени T существует функция плотности вероятностиp (VJ, которая характеризует изменение скорости по времени. Представление функции VJ(t) случайной функцией позволяет сформировать иной подход к обработке и интерпретации результатов измерений скорости ветра на метеорологических станциях. В каждом циклическом промежутке времени со сходными условиями реализация функции VJ(t) характеризуется случайными величинами: средней скоростью ветра Vср и ветроэнергетическим потенциалом Эт. Для выборки величин Эт и V^ определяются их вероятностные характеристики. Такой подход позволяет выполнить основные положения теории вероятностей для случайных чисел Эт и Vср. В качестве примера проведена обработка многолетних (25-29 лет) данных метеостанций о. Сахалин. Иллюстрируются свойства случайных величин Эт, V^ и характерных для ветроэнергетики относительных времен.
Ключевые слова: теоретические задачи ветроэнергетики, ветер как случайная функция, функция плотности вероятности, производительность ветродвигателя.
PROBABILITY DENSITY FUNCTION OF ONE-VALUED CONTINUOUS DIFFERENTIABLE FUNCTION VJt)
S.G. Ignatiev
Special design office «Iskra» 20/517 Kulakov str., Moscow, 123592, Russia Tel: (495) 757-65-10, e-mail: stacgg8@gmail.com
Referred: 13.12.12 Expertise: 15.12.12 Accepted: 17.12.12
In the paper wind speed is considered as random time function Vj(t). It is established, that for occurred wind speed VJ(t) on the time interval T = tN- t0, there is exist probability density functionp (VJ), which characterizes the change in wind speed over time. Representation of the VJ(t) by random function allows us to create an another approach to the processing and interpretation of the measurements of wind speed at meteorological stations results . In each cyclic time interval with similar conditions the function VJ(t) realization is characterized by the random variables: average wind speed VGp and wind power potential Эт. For samples of random variables Эт and V^ there are determined their possible characteristics. This approach allows us to perform the basic tenets of the probability theory for the random numbers Эт and Vср.
As an example under this methodology the processing of Sakhalin's long-term meteorological data (25 29 years) has been done. Illustrate The properties of random variables Эт, V^ and typical for wind energy relative times of wind turbines operating are illustrated.
Keywords: the theoretical problem of wind power engineering, wind speed as а stochastic function, probability density function, wind plant capacity.
Игнатьев Станислав Георгиевич
Сведения об авторе: канд. техн. наук, старший научный сотрудник ФГУП «ЦАГИ им. профессора Н.Е. Жуковского», главный конструктор ООО СКБ «Искра».
Образование: Харьковский авиационный институт по специальности инженер-механик по самолетостроению.
Область научных интересов: аэродинамика дозвуковых летательных аппаратов, ветроэнергетика.
Публикации: более 30.
Введение
При традиционной обработке многолетних измерений скорости ветра для целей ветроэнергетики авторы-метеорологи не демонстрируют выполнение основных положений теории вероятностей (повторяемость условий при каждой реализации случайной величины и выполнение свойства стабилизации частоты). В работе [1] предположение о случайности величины «скорость ветра» выдвинуто, и на этом основании с позиций теории вероятностей одномерной случайной величины рассматривается решение задач ветроэнергетики. На примере многолетних данных метеостанций о. Сахалин показано, что при метеорологических измерениях скорости ветра свойство стабилизации частоты выполняется. Поэтому для случайной величины «скорость ветра» существуют функции распределения Е(¥а) и плотности вероятности р(У^). Для о. Сахалин, где скорости ветра 0 < V^ < Утях ~ 40 м/с, функция плотности вероятности р(Усг) стабилизируется ориентировочно на 30-35-летней статистике. Такую статистику можно рассматривать как генеральную совокупность случайной величины «скорость ветра».
Метеорологи оценивают ветроэнергетические ресурсы местности величиной следующего интеграла: vm¡¡к
^ =Р } V р V) .
2 0
В работе [1] показано, что интеграл является математическим ожиданием случайной величины «мощность воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения». Однако в реальности подавляющее большинство реализаций случайной величины «мощность» оказывается далеко от этого математического ожидания. Поэтому, характеризуя в целом генеральную совокупность функционально связанных случайных величин «скорость ветра» и «мощность», величина ^уд не дает ориентиров для выбора мощности рабочей машины ветроустановок.
В этой же работе с вероятностной точки зрения получена формула расчета производимой ветродвигателем энергии, для которого задано изменение выдаваемой мощности от скорости ветра в виде функции Г(^):
^
(э = т | w V)р V) dv^.
0
Функция р(^) характеризует генеральную (многолетнюю) совокупность случайной величины «скорость ветра». Тем не менее, в работах [2-4] формулы для расчета величин и 0 применяются для оценки годового и месячного значений этих величин. В работе [1] показано, что эти формулы достоверно оценивают производительность ветродвигателя и удельную мощность воздушной струи на генеральной (многолетней) статистике случайной величины «скорость ветра».
По результатам измерений скорости ветра известно, что в различные циклические промежутки времени (сутки, месяц, год) функции VJ(f) не повторяются в точности. Функции VJ(t) имеют ограниченную область изменения скорости 0 < < ^з*, для них характерны случайные количество и величины экстремумов. Так же как и для случайной величины, наряду с главной причиной (энергией солнца), определяющей ее ненулевое среднее значение, существует много других причин, более или менее значительных, которые тоже влияют на количественное изменение скорости. Поэтому во второй части работы [1] скорость ветра рассматривается как случайная непрерывная ограниченная функция времени V^(t). Показано, что, применяя к дискретным значениям каждой реализации случайной функции VJ(t) алгоритмы математической статистики, можно определить аналоги функций распределения и плотности вероятности. Однако эти функции характеризуют не случайную совокупность значений скорости ветра, а функцию V^(t). Чтобы отличать их от функций, характеризующих случайные события, они обозначены индексом V: FV(VJ и pV(VJ.
Функции FV(V^) и рИ^), полученные методами математической статистики, обладают теми же свойствами, что и традиционные в математической статистике функция распределения -Р(^) и функция плотности вероятности р(^), которые характеризуют случайную величину:
vm¡¡к
0 < ¥у V) < 1; } pv V) dF= 1.
0
Поэтому за ними сохраним традиционное название.
Рассмотрим теперь следующую ситуацию. Пусть дана уже состоявшаяся в течение отрезка времени т реализация случайной функции VJ(t) и задана характеристика ветродвигателя Ш(у„). Тогда для расчета энергии ( по этим данным есть две возможности:
a. Воспользоваться традиционным интегрированием по времени и определить следующий интеграл:
T
01 =/ Г V ^)) .
0
b. Алгоритмами математической статистики по дискретным значениям VI функции VJ(t) определить функцию плотности вероятности pV(V^) и воспользоваться вероятностной формулой
02 = т / Г V) Pv V) V .
0
Возникает естественный вопрос: как будут соотноситься величины (1 и (2. Поиск ответа на этот вопрос и составляет содержание следующего раздела.
Формулу для расчета энергии (1 будем в дальнейшем называть первой формой интеграла энергии,
CA International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
64 © Scientific Technical Centre «TATA», 2013
а интеграл Q2 - вероятностной формой интеграла энергии. При этом словосочетание «интеграл энергии» употребляется не в широком, общефизическом смысле, а в узком смысле как энергия воздушной струи или энергия, производимая ветроэнергетической установкой.
Вывод вероятностной формы интеграла энергии и формулы для расчета производительности ветроэнергетической установки на основе функциональной зависимости
Воспользуемся обычным для математического анализа алгоритмом получения определенного интеграла как предела интегральной суммы. На рис. 1 в качестве примера показаны графики зависимостей УМ) и W(У00(t)). Как и реальная зависимость скорости ветра от времени, показанная функция УЛр) в ограниченной области изменения скорости 0 < < Утах имеет случайные количество и величины экстремумов. Мы рассматриваем эту функцию как одну реализацию случайной функции У^(/).
Заметим, что если функция W(V00) - монотонная функция, то экстремумы функций W(t) и УМ) совпадают. Действительно, положения экстремумов функции W(t) определяются уравнением:
dW (F (0) _ dW dV„
dt
dV dt
_ 0.
Для монотонной функции Ж(У„) ее производная по скорости У^ не равна нулю. Поэтому положение экстремумов функции W(t) определятся уравнением dУJdt = 0, откуда следует, что экстремумы функций W(t) и У^) совпадают.
Составим интегральную сумму, учитывая наличие экстремумов функции УМ). Обозначим У1 - экстремальные значения скорости и включим сюда же краевые значения скорости при t = ^ и t = N даже если они - не экстремумы функции УМ). Составим из них возрастающую последовательность значений У. На оси ординат (оси У^) отложим эти значения У{ (/' = 0, 1, 2, ..., Щ, как показано на рис. 1, а. Точки Уi создадут интервалы Ау = Уi+1 - у (/' = 1, 2, 3, ..., Щ.
В силу непрерывности функции УМ) сетке значений У1 на оси абсцисс будет соответствовать сетка значений времени которые создают интервалы времени А' = ti+1 - ' При указанном способе разбиения на каждом интервале А^ криволинейный отрезок функции УМ) - монотонная функция.
Перенесем эту сетку ^ на ось абсцисс графика функции W(t), как показано на рис. 1, Ь. В силу непрерывности функции W(t) сетке значений ' будет соответствовать сетка значений Wi функции W(t). Т.к. абсциссы экстремумов функций УМ) и W(t) одинаковы, то на каждом из отрезков времени А^ функция W(t) будет тоже монотонна. Поэтому на каждом интервале времени А^ будет взаимно однозначное соответствие функций УМ) и W(t).
Выберем внутри каждого интервала АУ' срединные значения скорости У* = (у + У++1)/2 . Очевидно, что этим значениям скорости будут соответствовать значения мощности W* = W (у* ). На рис. 1 точки У'
и W*, соответствующие своему интервалу Ау, показаны одинаковыми значками. Составим теперь по всем индексам' суммы:
N N
8У =Уу *А t ' и Sw =Уw * А t. .
У ] ] w ^ ] '
'=1 '=1
Рис. 1. Изменение скорости ветра и мощности по времени Fig. 1. Wind speed and power time variation
Т.к. значения V* и Ш* расположены внутри интервалов Др это интегральные суммы. Построим последовательность сеток путем деления каждого интервала Д^ на одинаковое, непрерывно возрастающее число уменьшающихся частей. При этом будут уменьшаться и все Др В теории интегрального исчисления показано, что пределы этих сумм есть определенные интегралы:
N N
Иш SV = Г V (о йг и Иш ^ = Г ш (г) йг = а. (1)
Д гшах ^ 0 г 1 °° Д гшах ^ 0 ' 1
г0 г0
При рассмотрении графиков функций VJ(t) и Ш(г) видно, что в суммах SV и слагаемые, соответствующие одному интервалу ДУр = Vi+1 - V, имеют одинаковые значения V* и Ш*. На каждом интервале ДVj таких слагаемых несколько. При этом слагаемым с одинаковыми значениями V* и Ш* могут соответствовать различные интервалы времени Др Например, на графиках функций VJt) и Ш(г) рис. 1 для интервалов Д^ = VI■+1 - Vj и ДШр = Ш+1 - Шр показаны четыре интервала Др
Обозначим Пр - число слагаемых с одинаковыми значениями V* и Ш*, и I = 1, 2, 3, ..., Пр - порядковый номер каждого слагаемого. Тогда в интегральных суммах SV и SW такие слагаемые можно выделить в отдельные суммы следующим образом:
П П2 П*
Sv = V£дг, + V*£Дг, +... + V*£Дг,;
1=1 ,=1 ,=1
П1 П2 П* Sw = ш/+ ш*+... + ш*.
,=1 ,=1 ,=1
Если Т = г* - г0 интервал времени, в течение которого изменяются функции К„(г) и Ш(г), то можно осуществить следующее тождественное преобразование в суммах Sv и SW:
(V* П1 V* П2 V* П* I
^ = Тдг, + ТXДг, + •••+Т£дг, I;
V Т 1=1 Т ,=1 Т ,=1 )
W = Г WXА', + W*XА', + + XА', |.
Поскольку :Дг, Т = / можно рассматривать
,=1
как частоту события, состоящего в появлении величин V* и Шр, то
Sv = т {V; /+V; ./2+...+V*/} = т : V,* /;
р=1
Sw = т /+ш; /2+...+ш; /*}=т : ш/.
Эти суммы не интегральные, т.к. в слагаемых отсутствует интервал области интегрирования. Преобразуем каждое слагаемое следующим образом:
N 'XV* J=1 fj AVJ AVJ II T ==M N
N XW* J=1 fj AVJ -AVJ II ^Mn
Заметим, что с точки зрения математической статистики величина р* = /^ДVj - аналог плотности
вероятностей, а суммы Sv и SW стали интегральными суммами. Для перехода к пределу в полученных интегральных суммах надо определить предел слагае-
мого Pj:
lim p* = lim
1
■Хч =
= lim - X
А V
AVj T AV.
J 'J '
1 1 V / V
= —X—г, где Vt =-
T ^ ' M J dt
avj/A'j V
ГТ1 Т /■* * ТТГ* *
Теперь видно, что произведения рр и pj -функции, непрерывные везде, за исключением точек экстремумов функции VJ(t), где эти произведения становятся бесконечно большими. Заметим, что эта особенность возникла в результате проведенных тождественных преобразований и имеет искусственный характер. Действительно, с точностью до малых второго порядка можем записать на малом отрезке времени Д г* вокруг точек Ш* и V*:
, ДК , V/Д г* , , V —'- = V,. = V,. дг..
V
V
,AV. „V. А t. W.. —J = W. J J
V
V
/ = WJA j
Полученные соотношения справедливы везде, в том числе и в окрестности точек экстремумов функции V.(t). Они показывают, что произведения VjpjAVj и WjpjkVj конечны везде и в том числе в
точках экстремумов функции VJJ).
Теперь, переходя к пределу, получим:
lim SV = T f V p* (V )dV
AV, V J " "
j 0
и
Vmsx
lim sw = T f W. p* (V. )dF00 = ß2. (2)
Д V, ^ 0 ^
j 0
Возникновение в нашем выводе функции p (V.) связано, как в теории вероятностей и математической статистике, с частотой появления величин Vj и
j=i
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
и
n
^ . Поэтому мы сохраним за ней название функции
плотности вероятности. Но в отличие от функции плотности вероятности, которая характеризует случайную величину, функцию плотности вероятности как характеристику изменения скорости ветра по времени УМ) будем обозначать со звездочкой р (УД Таким образом, имеем следующий результат. Во-первых, мы получили тождественно равные друг другу две формы интеграла энергии:
т Утах
01 =}Wу^и Q2 = т"^V)р V)dy.
0 0
Во-вторых, сравнивая соотношения (1) и (2), мы можем написать следующие равенства:
<м ум
| у (t) dt = т | У, р* (У,) dУ-
to V
и
tN
I W V (0) dt = т | W V)р' V) dУ-.
Из этих равенств получаются математические средние для интервала времени ^ < t < ^ - величины:
1 tN
Уср = т I У- ^ л =/ У. р У-) У;
1 to Уз
1 tN
Wcp = -1W (У- (t)) dt =1 W (У-) р* (У-) dy.
1 <0 У0
Заметим, что если функцию У-(<) рассматривать как физически состоявшуюся, то величины Уср и Wср являются ее достоверными интегральными характеристиками.
Выражения для величин Уср и Wср, содержащие функцию р (У-), очень похожи на формулы для математических ожиданий, которые получаются при использовании функции плотности вероятности
ру(У-):
' N
Mv = J У pv (V.) dV.
Vo
Vn
Mw = J W (V.) Pv (У) dV. .
Исследование взаимосвязи функции УМ) и ее функции р'(У-)
Функция р*(УД монотонной зависимости УХО Вероятностную форму интеграла энергии 0 можно получить, используя дифференцируемость непрерывной функции УМ).
1. Рассмотрим вначале интеграл энергии на участке, где рассматриваемые функции УМ) и W(У-(t)) монотонно возрастают так, что функция УМ) на этом участке не имеет экстремумов. Будем характеризовать этот участок областью изменения времени ^ < t < ^ и областью изменения скорости набегающего потока У < У- < У2, как показано на рис. 2. Рассмотрим интеграл энергии для этого участка в первой форме:
ч
Qi =J w (v. (t)) dt.
Произведем в нем замену переменной, используя функцию УМ). Для этого имеем:
dV. , dV.
—. = V' ^ dt = —. dt . V'
V. (ti) = У; V. (t2) = V2.
Теперь можно произвести замену переменной в рассматриваемом интеграле:
Q =J w (V. (t)) dt = J w (V.)—
dV
1 1 у; (У-)
Для интегрирования по полученной формуле необходимо производную по времени У представить как функцию скорости У-.
Напомним, что функция рУ(У-) определяется алгоритмами математической статистики по дискретным данным о непрерывной функции УМ). Возникает естественный вопрос, как взаимосвязаны или не связаны функции плотности вероятности рУ(У-) и р (У-). Для установления полноты аналогии этих функций необходимо установить соответствие их свойств для одной функции УМ).
Рис. 2. Возрастающая функция V.(t) Fig. 2. Increasing function V„(t)
Осуществим теперь следующее преобразование полученного интеграла:
V dV V dV
Q, = I W(V )-— = (t2 -t.) I W(V )-—
^ J v' (V ) V2 K (t2 - tl)V'{V )
Обозначим:
p1(v. ) =
1
(t2 - ti)y (V.)
и
С учетом этого обозначения интеграл приводится к следующему виду:
Теперь получаем
Q = T ¡W (V.) рЖ.) dV.
\рЖ ) dv. = J
dV
(t2 - t,)v: (v.)
1
1
dV
dt dt/dV. t '(V.)
V . 1 V dt(V ) 11V2
J Р. (V.) dV. = -—- J dV dV. =
= 1.
где Т = г2 - гь
Полученная форма интеграла очень похожа на вероятностную форму интеграла энергии, в которой используется функция pV(V,)
V.
Q 2 = Т Г ш V) ру V) йк .
V
Функция pV(V00) определяется по дискретным значениям функции ^(г) методами математической статистики и тоже является характеристикой функции V, (г). Совпадение было бы полным, если бы функция р'^) обладала свойствами функции плотности вероятности рК^). Рассмотрим функцию р'^,) более подробно.
Во-первых, размерность функции р^^) соответствует размерности функции плотности вероятности рИЮ.
[ рЖ)] = (м/с )-1 = [ Pv V )].
Определим теперь интеграл от функции р\(V,).
Таким образом, для возрастающей функции V,,, (г) функция р\ (V,) обладает всеми свойствами функции плотности вероятности р^ V,).
2. Рассмотрим теперь случай, когда скорость ветра с увеличением времени уменьшается. На рис. 4-5 показан пример такой монотонно убывающей функции V,(г) и ее обратной функции г^,). В этом случае имеем следующее соответствие краевых значений: при г = г1 V Л{) = v2■; при г = г2 V л2) = ^
Производя, как и ранее, замену переменной, получим
Q =J w (V. (t)) dt = J w (V.)—
dV
На участке монотонного возрастания функции V, (г) существует однозначная обратная ей функция ), как показано на рис. 3. Для обратной функции имеем краевые значения: гЮ = г1, г^) = г2.
1 2 V' (V,)
Но для монотонно убывающей функции производная - отрицательная величина. Поэтому, меняя пределы интегрирования, можем записать:
01 = (К.(г)) = |Ш (К.) •
Если в качестве производных функций V' и / использовать их модули I У | и | / |, то результаты, полученные для монотонно возрастающей функции, можно распространить и на монотонно убывающие функции.
Рис. 4. Убывающая функция V„(t) Fig. 4. Decreasing function V„(t)
Рис. 3. Функция t(V.) Fig. 3. Function t(V„)
Для взаимно однозначных прямой и обратной функций имеет место следующее соотношение:
Рис. 5. Функция t(V„) Fig. 5. Function t(V„)
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Таким образом, для монотонной функции У-(<) функция р\(У-) обладает всеми свойствами функции плотности вероятности рУ(У-). Поэтому далее функцию плотности вероятности как характеристику изменения скорости ветра по времени У-(<) будем обозначать только со звездочкой р (У-).
Проведенные выше преобразования показали, что функция плотности вероятности монотонной непрерывной функции времени У-(<) может быть представлена в двух формах:
P* (V.) =
1
(t2 - ti) |Г (V. )|
(3)
где V.'= dV.¡dt;
P (V.) =
|t '(V. )| (t2 - ti)
(4)
где t '(V.) =
dt (V.)
dV
В дальнейшем мы не будем все время отмечать, что производные в этих соотношениях используются только как положительные величины и функции.
Учитывая, что р (У-) - положительная функция, после дифференцирования соотношения У- (р* (У-))
получаются следующие дифференциальные выражения, которые характеризуют взаимосвязь свойств функций У-(<) и р (У-).
Монотонно возрастающая функция
dV
i
dt Tp' (V.)
d 2V. dt2
dp\j dV.
T 2[ p* (V. )]3
Монотонно убывающая функция
dV
-i
dt Tp* (V.)
d 2V.
~dF
dp* / dV. T 2[ p* (V. )]3
Из этих соотношений вытекает следующее: 1) если p (VJ) = const, то VJ(t) - линейная функция времени;
2) максимуму функции p (VJ), где dp /dVJ = 0, соответствует точка перегиба функции VJ(t);
3) значение производной по времени VJ = 0 можно получить единственным способом, обеспечив бесконечно большое значение величины p (VJ).
Следующие свойства для монотонно возрастающих и убывающих функций различны.
Для монотонно возрастающей функции VJ(t) положительной производной dp /dVJ соответствует отрицательное значение второй производной по времени функции VJ(t). Поэтому функция VJ(t) на участке возрастания функции p*(VJ) имеет выпуклость вверх, а на участке убывания функции p (VJ) - выпуклость вниз. Для монотонно убывающей функции VJ(t) картина противоположная. На участке возрастания функции p*(VJ) выпуклость функции VJ(t) направлена вниз, а на участке убывания функции p (VJ) - вверх.
3. Рассмотрим примеры, в которых определим конкретный вид функции p (VJ) для некоторых частных случаев функции VJ(t).
a) Пусть скорость ветра VJ(t) - линейная функция:
VJ (t) = Vl + a(t -11).
Дифференцируя, находим:
p* (VJ) =-1-= const.
а (^ -
На рис. 6 показаны графики линейных функций, у которых величина производной а одинакова, а знаки разные. Т.к. при расчете функции р'1(У-) участвует
абсолютная величина коэффициента а, то для возрастающей и убывающей линейных функций функция плотности вероятности является положительной константой.
Ь. Для того чтобы функция плотности вероятности имела в рассматриваемом диапазоне скоростей ветра максимум или минимум, зависимость У-(<) должна иметь при соответствующем значении скорости точку перегиба.
Рис. 6. Функция плотности вероятности p*(VJ линейной функции VJ(t) Fig. 6. Probability density function p*(VJ) of linear function VJ(t)
В качестве примера рассмотрим следующую зависимость У-(<):
у- ^) = К + к ^-<о).
В этой формуле Т и <о < Т - параметры, имеющие размерность времени, а ку - коэффициент, имеющий размерность скорости. Функция У-(<), изменяясь в пределах от У-(< = 0) = 0 до У-(< = Т + <о) = -, имеет точку перегиба в точке t = <о. Для обеспечения положительных конечных значений скорости в течение времени ^ < t < t2 можно принять tl = 0 и ^ < Т + <о.
Обозначим скорость в точке перегиба У-(< = <о) = У0. Тогда функция плотности вероятности р (У-) примет такой вид:
p (Vj ) =
2T
1
nkV (t2 - t1)1 + [[- V0)/kV ]
Рис. 7. Функции VJ(t) и p (VJ при t0 = 0 Fig. 7. Functions V„(t) and p*(VJ at t0 = 0
Vj (t) = V,
1 + sin—(2t -1.)
2t 1
Для этого изменения скорости ветра по времени функция плотности вероятности имеет следующий вид:
p* (t) = •
1
rc^cos — (2t -1!)
или
p (V J) =
vj (2V0 - vJ ) "
показаны на
На рис. 7-8 показаны графики изменения функций У-(<) и р (У-) для двух положений точки перегиба.
На рис. 7 графикам функций У-(<) и р*(У-) соответствует значение <о = 0, т.е. точка перегиба функции У-(<) располагается в начале координат. На графике функции р (У-) в этом случае максимум расположен тоже в начале координат, в точке У- = 0.
Графики функций У-(<) и р'1(У-)
рис. 9. Здесь функция У-(<) имеет точку перегиба при t = 0,5<1. Из формул и графиков видно, что функция р (У-) имеет в этой точке минимум, а на границах интервала она бесконечно возрастает. Т.е. точкам экстремумов функции У-(<) соответствуют особые точки второго рода функции р (У-).
Рис. 8. Функции VJ(t) и p (VJ) при t0 = 0,5(t2 - ti) Fig. 8. Functions V„(t) and p*(VJ at t0 = 0.5(t2 - t^
На рис. 8 точка перегиба расположена в середине временного интервала <о = 0,5(<2 - tl). Здесь максимум функции р (У-) расположен при соответствующем этому времени значению скорости ветра У-(< = <о) = У0.
с. Рассмотрим теперь случай, когда на границах интервала времени функция У-(<) имеет экстремумы. Пусть в интервале времени 0 < t < tl скорость ветра изменяется по следующему закону:
Рис. 9. Функции VJ(t) и p (VJ) при V0 = 1 Fig. 9. Functions VJt) and p*(VJ at V0 = 1
Существование вероятностной формы интеграла энергии при наличии особых точек функции плотности вероятности
Покажем, что при наличии особых точек второго рода, когда функция р (У-) становится бесконечно большой, интеграл энергии существует и имеет конечное значение.
Пусть на границе ^ функция У-(<) имеет экстремум. В окрестности точки ^ справедливо разложение в ряд Тейлора:
Vj (t) = V + V/
.(t - А)2
где V1 = VJ (tj); V1" =
d 2VJ dt2
(t,).
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
1
2
Отсюда Г (г) = — = V" (г - г1). йг
Для определения интеграла энергии необходимо иметь производную как функцию скорости V,. Из разложения функции имеем:
(г - о = 2^2^ - V!)/V/' .
Заметим, что величина (V, - V1)|V" > 0 как в случае максимума, так и в случае минимума функции V:(t). С учетом этого получаем:
V:(г) = 72^^).
Теперь в окрестности экстремума функция плотности вероятности примет следующий вид:
p (V.) =
1
(t2 - ti^lV," (V.- Vi) "
Интегрирование функции плотности вероятности с такой особенностью в окрестности точки V1 дает
jV (V.) ¿y
1 V2 — j
-t w
dV
V - Vi)
w (v. ) = w + w" (V. - v,)+w
■ (V.- Vj)2 l
Тогда вероятностная форма интеграла энергии представится в виде следующей суммы интегралов:
0 = (г2 - о / ш (V,) р V) йу = ¿0 + ¿1 +12,
где
W jj
dV
■= 2W,
(V.- V,)
(Vi - Vj) .
I 2V" '
(V.- Vj)
'i = W I^PV^ dV.=
2Wi (Vi - Vi)3 . 3 ^ 2V/' .
'2 = W' /JV^. dv.= - V1)5
2V,
2V/'
& - О (г2 - 2 у '
Следовательно, в окрестности особой точки V, = V интеграл от функции р (V,) существует.
Относительно времени г2 отметим, что его необходимо выбирать таким образом, чтобы величина (г2 - г1) находилась в области определения и была малой. Тогда соответствующая скорость У будет мало отличаться от скорости V1.
Построим теперь разложение в ряд Тейлора функции Ш^,) относительно точки V1, соответствующее области изменения г1 < г < г2:
Все эти интегралы существуют и имеют вполне определенные значения, а значит, существует и интеграл энергии 0.
Функция плотности вероятности для немонотонной функции
Будем рассматривать функцию V:(t) как состоявшуюся реализацию случайной функции, изменяющуюся на рассматриваемом промежутке времени г0 < г < гП в ограниченной области Vшm < V, < У^. Это однозначная положительная дифференцируемая функция с чередующимися экстремумами. Причем значения этих экстремумов и их положение на оси времени (их абсциссы) являются случайными величинами. Отметим лишь, что в соответствии с естественным ходом времени абсциссы экстремумов составляют возрастающую последовательность чисел, т.е. г0 < ^ < г2 < ... < г, ... < гп.
Исследуем свойства функции плотности вероятности функции V:(t) на математической модели, которая задана таким аналитическим выражением, при котором легко получается обратная функция t(У:). Ниже приведены выражения кусочно-аналитической прямой и обратной функций математической модели на каждом отрезке времени:
при г0 = 0 < г < г1 = 0,15 :
пг 2г1 V = 4БШ—; г = —акснпО7 /4), ~ 2г, п ~
при t1 = 0,15 < t < t2 = 0,25:
V. = sin
t2 - t1
'n( 2 iztL+i11
V
t = t1 + -
2 V t2 -t1 2
+ 3;
2
n
arcsin (V. - 3) -1
при t2 = 0,25 < t < t3 = 0,45:
V. = 4sin
U -1,
Ч -111
t = t2 + ■
v
3 t2
2 V t3 - t2
+ 6;
2 V - 6
—arcsin—-+1
n 4
при t3 = 0,45 < t < t4 = 0,6 : V = 3sin
4 ^^+111
2 V tA -13
+ 7;
t = U +-
t, -1
2 V. - 7
—arcsin--1
n 3
V
при t4 = 0,6 < t < t5 = 0,75 : VJ = 3sin
rnf2 lit, - ^
2 I t5 - t4
+ 7;
t = t, +
t5 - t4
2 V - 7
—arcsrn—-+1
n 3
при t5 = 0,75 < t < t6 = 1: VJ = 4sin
Ц 2-^ +^
2 i t6 -15
v v 6 5
+ 6;
t = t5 +
t6 - t5
2 V - 6
—arcsrn—--1
n 4
Криволинейные отрезки функции У-(<) «сшиваются» на границах из условия равенства функций и их производных. График математической модели У-(<) показан на рис. 10, а.
Выделим на функции У-(<) участки монотонного изменения абсциссами экстремумов 4 как показано на рис. 10, а. Тогда интеграл энергии в первой форме можно представить как сумму интегралов по участкам монотонного изменения функции W(У-(t)).
% п >.
0 = 1 w (У- «) dt = XI W (У- «) dt.
<о '=1 и
Проведя, как и ранее, с использованием функции У-(<) замену переменной на каждом участке времени ^ < t < ti, получим выражение для рассматриваемого интеграла в следующем виде:
п п У
0 = 1 w (У- (t)) dt = ТXI w (У-)р; (У-) dУ-,
где Т = 4 - <о.
Рис. 10. Функции VJ(t) и p (t) Fig. 10. Functions VJ(t) and p*(t)
На каждом отрезке времени функцию р* можно представить как функцию времени t и как функцию скорости У-:
1
p (t) =
TVt '(ty
dV
где V '(t) = —J (t); dt
1
TVi '(Vj ),
р; (у-)=
dУ
где у '(У-) =—- (У-). dt
На рис. 10 в качестве примера показаны графики изменения в единицу времени функции У-(<) и соответствующие монотонным участкам ее изменения функции р!(/). Из графика функции плотности ве-
роятности р (() на рис. 10, Ь хорошо видно, что точкам экстремумов функции У-(<) соответствуют особые точки второго рода, когда функция плотности вероятности становится бесконечно большой.
Выделим для каждого монотонного участка функции У-(<) на отрезке времени < t < ^ собственные функции плотности вероятности как функции скорости ветра:
рс(У ) =-1-.
(^ -1¡-,)У'(У-)
Заметим, что так же как и для монотонных функций У-(<), для собственных функций р°(У-) справедливо равенство
Jp,c(Vj) dVj= 1.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Для получения формы р,0^) функции плотности вероятности необходимо производную V' (г) как функцию времени преобразовать в функцию скорости V'' (V,). Ниже представлены такие формулы изменения собственных функций плотности вероятности для функции V:(t), которая была показана на рис. 10, а.
0 < t < t¿ pc = tl < t < t2
1
2 1
P2 =
t2 < t < t3;
t2 < t < t3;
t3 < t < t4;
14 < t < t5;
t5 < t < t6;
Р3З =
Р3З =
P4 =
P5 =
Рб =
п71 - (V. - 3)2 '
1 1
п >2 - (V. - 6)2
1 1
п л/42 - (V. - 6)2
1 1
п - (V. - 7)2
1 1
п N/32 - (V. - 7)2
1 1
0 < V < 4,
2 < V < 4,
42 - (V. - 6)2
2<V <10.
2 < V < 10;
4<V <10;
4<V <10;
2 < V < 10.
Для получения общей функции плотности вероятности р (V,) путем сложения функций плотности вероятности на участках с одинаковым изменением скорости ветра необходимо собственные для каждого монотонного участка изменения скорости ветра привести в соответствие с общим временем изменения функции V:(t) с помощью введения следующих нормирующих множителей:
Р (V. ):
ti - tt
T
t¡_x <t < ^
P¡c(V.),
< ^ V .
Умноженную на нормирующий множитель собственную функцию плотности вероятности будем называть местной функцией плотности вероятности. На рис. 11 показаны графики изменения местных функций плотности вероятности, которые соответствуют участкам монотонного изменения функции V:(t) между ее экстремумами. На графиках хорошо видно, что если граница области изменения скорости V, является экстремумом функции V:(t), то функция плотности вероятности становится бесконечно большой.
Р1
0,3 0,2 0,1 0
J
t0 < t < t1
0 < V < 4
10
Р 2
0,3 -0,2 0,1 -0
t1 < t < t2
2 < V < 4
V_J
Р 3
0,3 0,2 0,1 -0
2 4
t2 < t < t3
2 < V < 10
Р 6
6 8 10 t5 < t < t6 2 < V < 10
I
J
р 4
0,3 0,2 0,1
0 *
p 5
0,3 0,2 0,1 0
6 8 t3 < t < t4
4 < V < 10
10
L
J
8 10
t4 < t < t5
4 < У< 10
v_;
10 V™
Рис. 11. Собственные функции p* (V„) Fig. 11. Eigen-function p* (V„)
0,3 0,2 0,1 0
и
L
V.
10
Рис. 12. Сумма функций p* V) Fig. 12. Sum of functions p* )
На рис. 12 показана полная функция плотности вероятности р (V,) немонотонной функции ^(г), которая является суммой местных функций р* (V,), показанных на рис. 11. Здесь также хорошо видны особенности функции р (V,), где она становится бес-
4
6
4
конечно большой. Сравнивая графики на рис. 10, а и рис. 12, нетрудно заметить, что бесконечности суммарной функции р (У-) соответствуют экстремумам функции У-(<).
Стремление функции р (У-) к бесконечности слева и справа от экстремума функции У-(<) может происходить различным образом. Это хорошо видно при рассмотрении рис. 10. Здесь показаны случаи, когда одинаковые значения экстремумов соответствуют различным моментам времени. Если некоторому значению скорости ветра У- в различные мгновения соответствуют максимумы и минимумы, то стремление к бесконечности функции плотности вероятности р* (У*) слева и справа могут соответствовать различные значения второй производной, что и определит количественно различный характер стремления к бесконечности с разных сторон. При получении суммарной функции плотности вероятности могут появиться и разрывы первого рода, когда односторонние пределы функции оказываются конечными.
Покажем теперь, что и для функции плотности вероятности р (У-) основное свойство, состоящее в том, что интеграл от нее по всей области изменения скорости ветра равен единице, выполняется. Для этого вычислим следующую сумму:
У У
IX р; (у-) = IХЦ^ р;(у-) =
Vml„ '=!
Vml„ '=!
ХЦ^ ip-C(Vj)dVj=X^ = 1.
1 = 1 T v.
T
Таким образом, и для немонотонной функции У-(<) теоретически определяемая через производную У.'(Vо) функция р (У-) обладает всеми свойствами
функции плотности вероятности рУ(У-).
Отметим особо, что для немонотонной функции У-(<) невозможно взаимно однозначное соответствие с функцией плотности вероятности р *(У-). Это связано с тем, что при формировании функции р (У-) для немонотонной функции У-(<) используется процедура суммирования частей местных функций плотности вероятности, попадающих в один разряд А У.
Т.к. при заданных слагаемых сумма определяется однозначно, то заданной функции У-(<) соответствует одна функция р (У-).
В то же время заданную сумму можно получить бесчисленным количеством слагаемых. Поэтому одной функции плотности вероятности р (У-) может соответствовать бесчисленное количество немонотонных функций УМ). Однако для всех этих функций УМ) интеграл энергии будет иметь одно и то же значение.
Определение функции плотности вероятности р (У.) по дискретным данным о функции УМ) методами математической статистики
В этом параграфе рассмотрим решение первой задачи математической статистики: определение по дискретным данным функции плотности вероятности. В качестве данных будем использовать дискретные значения математической модели УМ). При математическом моделировании функция УМ) задается как аналитической функция, а ее функция р*(У-) будет рассчитываться теоретически и определяться по алгоритмам математической статистики.
Теоретическую функцию плотности вероятности, которая определяется через производную dУ-(t)/dt, будем обозначать индексом Т: р'Т V). Алгоритм математической статистики позволяет для каждого разряда определить дискретное значение функции плотности вероятности, аргументом которой является срединное для разряда значение скорости. Это дискретное значение функции плотности вероятности будем обозначать с индексом его разряда: рТ. Сравнение полученных разными способами функций р (У-) позволит установить соответствие их друг другу и при наличии такого соответствия даст оценку точности определения искомых величин и функций.
Предположим, что значения функции УМ) рассчитываются с постоянным шагом по времени 8 t. Когда об искомой функции УМ) мало что известно, такая организация исходных данных наиболее естественна. Граничным значениям времени <о и 4 соответствуют значения скорости ветра У0 = У-(<о), Уы = УМЫ). Пусть также дискретные значения получаются в середине отрезка времени 8 t. Будем считать, что время, в течение которого исследуется функция УМ), составляет величину Т = - <о, кратную величине 8 t. Тогда общее количество возможных значений скорости будет N = (/ы - /0 )/8/.
Напомним, что в соответствии с методикой математической статистики область изменения скорости У0 < У- ^) < Уы разбивается дискретными значениями У на N. разрядов А у. = у - У/-1. После этого определяются дискретные значения функции плотности вероятности по следующей формуле:
pi =
n.
1
N AV
Здесь п. - число дискретных значений, попавшее в интервал dУi. Абсциссой этого значения рТ считается середина разряда dУi.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Определение полноты дискретных данных для достоверного определения функции плотности вероятности р ( V,) на примере линейной функции У„,(0
Рассмотрим вначале пример, когда на отрезке времени г0 < г < г* задана линейная функция времени:
V, (г) = V + а (г - р).
Значение производной а через краевые значения функции У,(г) в этом случае определяется следующей формулой:
a =
V - V
у N г0
Теоретическая функция плотности вероятности для рассматриваемой функции V:(t) имеет вид:
pT V) =
1 1
1
(tN — t0) a VN — V0
Рис. 13. Дискретная функция V„(f) Fig. 13. Discrete function V„(0
а. Пусть весь диапазон изменения скорости разбит на один разряд, т.е. ДУ = V* - V0. В этом случае число измерений п,, попадающих внутрь разряда, всегда совпадает с общим числом измерений * и
pT[0,5(vn—V>)] = ^ =
1
N AV
V — V
N0
= pt •
В рассматриваемом случае найденное по алгоритму математической статистики значение р1 в точности соответствует теоретическому значению плотности вероятности. Заметим, что в рассматриваемом случае результат расчета дискретного значения р* не зависит от числа измерений N. Даже если измерение только одно (п, = N = 1), то все равно дискретное значение р1* будет равно теоретическому значению функции плотности вероятности.
Ь. Пусть теперь количество N, равных между собой разрядов ДУ равно количеству измерений N. Тогда
V - V V - V ДV = а 8г = 0 8г = VN Vo
N
В этом случае в каждый разряд ДУ попадает одно измерение, т.е. п , = 1 (рис. 14). В этом случае имеем
* = n _J_
Pi = N AV
1
V — V
N0
= pt •
Представим теперь, что линейная функция У,(г) представлена дискретными значениями Vj на сетке аргумента р с шагом по времени 8 г < (г* - г0):
г] = Ч + р18г, v] = V + а(г] - р).
Результат показан на рис. 13. Здесь сплошной линией показана точная функция V:(t), а точками - рассчитанные дискретные значения, которые моделируют результаты измерений. Рассмотрим теперь различные варианты деления всего диапазона изменения скорости V* - У0 на разряды Д V.
Таким образом, в каждом разряде дискретное значение тоже в точности соответствует теоретическому значению плотности вероятности.
Рис. 14. Пример, когда N¡ = N Fig. 14. As an example N¡ = N
Нетрудно показать, что если в один разряд (при различных размерах разрядов) попадает произвольное количество измерений 0 < п, < то точное соответствие дискретного и теоретического значений функции плотности вероятности для линейной функции У,(г) сохраняется. Действительно, в этом случае йУ. = ап,8г. Используя это соотношение, получаем
T n
pT =77
1
1
N AV N (Vn — V0) n8/ VN — V0
= pt •
с. Рассмотрим теперь случай, когда число одинаковых разрядов размером Д V больше числа измерений N. Пример таких данных о линейной функции У,(г) показан на рис. 15. Здесь число измерений N = 3, а число разрядов N = 9. Величина разряда ДУ = 1.
Диапазон изменения скорости (Уы - У0) = 9. Измеренные значения функции У-(<) расположились во втором, пятом и восьмом разрядах. В этих разрядах:
Т Т Т 1 1
р2 = р5 = р8 = ЫАУ = 3.
Рис. 15. Пример, когда N, > N Fig. 15. As an example N, > N
роятности р (У-) по дискретным значениям линейной функции У-(<) необходимо, чтобы на каждом разряде АУ было хотя бы одно измеренное значение этой линейной функции. Признаками того, что выбранное
соотношение величин АУ и 8t неудачно, является
;
появление среди дискретных значений р1 точек со значением р. = 0 и пилообразная форма полигона рТ (У-), как показано на рис. 16.
Оценим теперь на примере линейной функции У-(<) = М, к каким погрешностям может привести рассмотренная неполнота дискретных данных относительно градации всего диапазона изменения скорости ветра. Отметим, что графики на рис. 13-16 соответствуют функции У-(<), когда к = 1 м/с2, а <о = 1 < t < = 10 и Т = - <о = 9. Для нее точные значения средней скорости Уср и куба средней скорости Уср составляют следующие значения:
к <ы + 2 - + 2
Уср = ТI tdt = ыТ^ = 5,5 [м/с];
Т.к. в остальных разрядах функция У-(<.) = 0, то
р1 = р3 = р 4 = р6 = р 7 = р*9 = 0 .
Полигон функции плотности вероятности для этого случая показан на рис. 16. Здесь же толстой горизонтальной линией показана точная функция плотности вероятности рТ = 1/9. Из графика видно, что в рассматриваемом случае дискретные значения функции плотности вероятности существенно отличаются от точных значений.
Рис. 16. Функция плотности вероятности Fig. 16. Probability density function
В общем случае, когда число одинаковых разрядов АУ больше числа измеренных значений линейной функции У-(<), соотношение между дискретными и точными значениями функции плотности вероятности получается следующим образом. Если число разрядов N. > Ы, то
1 1
N
1
N
7 3 N 14 - + 4
F3 = — f t3dt = tN—t0- = 277,75 [м/с]3.
CP T J 4T
4T
Pi N AV N К - V N p .
Последний случай показывает, что для получения достоверной информации о функции плотности ве-
Учитывая то, что для линейной функции VJf) функция плотности вероятности p'T (V.) = const, искомые величины Vcp и Vcp с использованием этой
функции вычисляются по следующим вероятностным формулам:
Vcp =ip,T К dV.= 1 % pT(v 2 - V);
i = 1 Vt-1 i =1
Nj '"i IN]
V3 = !>;/ Vj3dVj= 1 £ p; (v 4 - V-1).
Результаты расчетов искомых Уср и Уср при различных соотношениях числа разрядов N. и числа дискретных значений скорости Ы, которые показаны на рис. 14-15, приведены в табл. 1 и 2. Из таблиц видно, что для случая, когда в каждом разряде есть значение скорости, как на рис. 14, вычисленные значения Уср и Уср для рассматриваемой линейной функции У-(<)
совпадают с точными значениями. Несколько иные результаты получаются для случая, когда значение скорости ветра есть не в каждом разряде, как показано на рис. 15. В этом случае величина Уср равна точному значению, а величина У3 хотя и отличается от точно-
ср
го значения, но различие это весьма незначительно (277,75/266,75 = 1,041). Результаты, соответствующие рис. 15, представляются удивительно точными при столь значительной разнице числа разрядов и числа значений скорости ветра.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Таблица 1
Результаты расчетов Уср (УсрT = 5,5 м/с)
Table 1
The calculation results of ¥ср (УсрT = 5,5 m/s)
i t Разряд N = N = 9 (рис. 14) N = 9; N = 3 (рис. 15)
PT pT (У2 - У-1) PT pT (У2 - У-1)
0 1
1 2 1-2 1/9 0,3333 0 0
2 3 2-3 0,5556 1/3 1,6666
3 4 3-4 0,7778 0 0
4 5 4-5 1,0000 0 0
5 6 5-6 1,2222 1/3 3,6667
6 7 6-7 1,4444 0 0
7 8 7-8 1,6667 0 0
8 9 8-9 1,8889 1/3 5,6667
9 10 9-10 2,1111 0 0
Сумма S= 11 Сумма S= 11
Уср = S/2 = 5,5 Уср = S/2 = 5,5
Влияние полноты дискретных данных на достоверность определения функции плотности вероятности р (V,) на примере двух монотонных функции
а. Рассмотрим пример, когда монотонная функция характеризуется функцией плотности вероятности в виде закона Релея. В этом случае функция УД/) и функция рТ V) имеют следующий вид:
F (t) = a. 2ln
T T -1
Р TУ) = ^6XP —,
Графики функций и р* У) при а = 5 и Т = 15 показаны на рис. 17 и 18.
Для статистической обработки дискретные значения скорости рассчитаны в середине интервала 8/. Суждение о полноте дискретных данных для достоверного определения функции плотности вероятности как характеристики рассматриваемой функции Уоо(/) составим при варьировании шага измерений 8/ при различных величинах одинаковых интервалов ДУ. Изменение шага измерений 8/ обеспечим изменением количества точек, в которых задана функция
У~(0.
Таблица 2
Результаты расчетов Уср (УърТ = 277,75)
Table 2
The calculation results of ур (урт = 277,75)
У~(t)=i2ln I T-t J
a = 5 м/с; Т = 15 с
t Разряд N = N = 9 (рис. 14) N = 9; N = 3 (рис. 15)
Pi* pT (У4 - У-1) А* pT (У4 - У-1)
0 1
1 2 1 -2 1,6666 0 0
2 3 2-3 7,2222 1/3 21,6667
3 4 3-4 19,4444 0 0
4 5 4-5 41,0000 0 0
5 6 5-6 1/9 74,5556 1/3 223,6667
6 7 6-7 122,7778 0 0
7 8 7-8 188,3333 0 0
8 9 8-9 273,8889 1/3 821,6667
9 10 9-10 382,1111 0 0
Сумма S = 1111 Сумма S = 1067
У3 ср = S/4 = 277,75 У3 ср = S/4 = 266,75
10
14
Рис. 17. Изменение скорости ветра по времени Fig. 17. Time variation of wind speed
pT )=^exp Í-^
a = 5 м/с; Т = 15 с
Рис. 18. Функция плотности вероятности Fig. 18. Probability density function
t
На рис. 19 результаты применения алгоритма ма- кальный ряд - влияние шага измерений 8t на тематической статистики представлены в виде поли- геометрический образ искомой функции плотности гонов функции р. (У.). Горизонтальный ряд графи- вероятности. Рассмотрим эти результаты. ков отражает влияние величины разряда А У, а верти-
ДК=0,5
Д У= 1
АУ= 2
AV= 4
AV=6
Рис. 19. Влияние размера разряда и числа точек на функцию плотности вероятности pt (V„) Fig. 19. Size of range and measuring span effect on probability density function p'T (V„)
Рассмотрим верхний левый график. Здесь АУ = 0,5 и 8t = 1. Функция У-(<) здесь, как и во всем горизонтальном ряду, представлена N = 16 точками. Скорость ветра изменяется в пределах 0 < У- < 16 м/с, что соответствует количеству разрядов N. = 32. По форме полигона р.Т (У.) здесь невозможно составить представление об искомой функции плотности вероятности. По мере увеличения величины разряда АУ в этой строке геометрический образ искомой функции начинает просматриваться. Однако даже в лучшем случае, когда АУ = 2, полигон плохо ее представляет.
Увеличение количества измеренных значений функции У-(<) (второй и третий ряды на рис. 19) улучшает результат. Наиболее полное представление об искомой функции плотности вероятности получается при шаге измерений 8t = 0,1 и АУ = 1. В этом случае функция У-(<) представлена 160 точками. В большем масштабе дискретные значения функции плотности вероятности р. (У.) показаны на рис. 18. Заметим, что рассматриваемая функция У-(<) имеет точку перегиба при t = 7,5 с. Этому значению времени соответствует скорость У0 = 5,887 м/с. Значению скорости У0 = 5,887 м/с соответствует максимальное значение функции рТ (У-).
Как следует из рис. 18, при большом числе точек задания функции У-(<) и подробной градации диапазона изменения скорости найденные по алгоритму
математической статистики дискретные значения функции плотности вероятности выявляют это свойство функции рТТ (У-).
Ь. Рассмотрим теперь пример, когда функция У-(<) на границах имеет экстремумы. Представленные ниже функция У-(<) и ее функция плотности вероятности р. (У-) дают такой пример:
п 2T 1
VJ (t) = V01 1 + sin—(21 - T) pT (Vj) =
rcVVj (2V0 - Vj) ■
Графики этих функций при значениях параметров У0 = 8 и Т = 16 показаны на рис. 20 и 21 сплошными линиями.
16 12 8 4 0
VJ
Vj(t) = V + sin—(21 - T)
V0 = 8 м/c; Т = 16 с
12
16
t
Рис. 20. Изменение скорости ветра по времени Fig. 20. Time variation of wind speed
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
0,25
аде'У PT V} = i
\ V = 8 м/c; Т = 16 с /
О 4 3 12 16
Рис. 21. Функция плотности вероятности Fig. 21. Probability density function
Из формулы рТ (У-) и рис. 21 видно, что на границах У- = 0 и У- = 2У0 = 16 м/с теоретические значения функции плотности вероятности становятся бесконечно большими.
Результаты статистической обработки дискретных данных о рассматриваемой функции У-(<) показаны на рис. 22 в такой же форме, как и в предыдущем примере.
Из графиков видно, что наиболее полное представление геометрического образа искомой функции плотности вероятности получается при 8t = 0,1 и АУ = 1. В более крупном масштабе соответствие этих же дискретных значений р.Т (У) теоретической функции рТ (У-) показано на рис. 21. Из графика видно, что дискретные значения р. (У) обозначают тенденцию бесконечно большого возрастания искомой функции плотности вероятности в окрестности экстремумов функции У-(<).
АУ = 0,5
A У= 1
АУ=2
АУ=4
Sí =
Pi
Ы = 0,5
Pi
V.
V
8/= 0,1
Рис. 22. Влияние размера разряда и числа точек на функцию плотности вероятности pT (V„) Fig. 22. Size of range and measuring span effect on probability density function pT (V„)
Таким образом, рассмотренные примеры показывают, что для достоверного выявления свойств теоретической функции плотности вероятности методами математической статистики даже в случае простых, монотонных функций необходимо большое количество дискретных значений функции У-(<) и подробная градация всего диапазона изменения скорости.
Функция плотности вероятности р (У„) немонотонной функции У„(0 Исследуем, насколько алгоритм математической статистики позволяет выявить указанные выше особенности функции плотности вероятности в случае немонотонной функции У-(<).
На рис. 23 показана та же, что и на рис. 10, аналитическая функция У-(<), рассчитанная в 100 точках. Эти данные использовались для расчета и построения гистограмм по алгоритму математической статистики. Результаты представлены на рис. 24 при различных величинах разрядов АУ = 2; 1 и 0,5 м/с. Здесь функции р. (У-) при каждой градации АУ представлены в двух видах. На верхних рисунках показаны только гистограммы, а на нижних - показано сравнение гистограмм с теоретической функцией плотности вероятности. Из приведенных графиков видно, что даже при таком подробном (100 точками) представлении функции У-(<) полученные гистограммы сами по себе (показанные на верхнем рисунке) не указывают достаточно ясно на наличие особенностей
у теоретической функции р'Т (У*,). С уменьшением величины разряда ДУ гистограммы р* (У^) все более становятся похожими на недостаточно выглаженные от случайной составляющей функции. И только сравнение гистограмм с теоретической функцией плотности вероятности на нижних графиках проявляет их соответствие друг другу.
Анализ представленных графиков показывает, что для проявления на гистограмме особенностей функции плотности вероятностей немонотонной функции У^(/) необходимо очень большое количество ее дискретных значений, которое позволило бы осуществить разбиение диапазона изменения скорости на большое число разрядов ДУ малой величины.
Рис. 23. Дискретные значения немонотонной функции V„(f) Fig. 23. Discrete magnitude of non-monotone function V„(f)
0,2.
AV=2
P,
0,2-1 ._.
AV=
У (I
P,
0,2
У
AV= 0,5
I. П I
.JMflr"
V„
Рис. 24. Гистограммы функции p( (^)при различных размерах разряда aV Fig. 24. Bar charts of function p* (V„) for different size of rangeAV
Рис. 25. Суточное изменение функции V„(0 Fig. 25. Diurnal variations of function V„(f)
На рис. 25 показан график, который иллюстрирует изменения реальной скорости ветра по времени. На этом же рисунке вертикальными линиями выделен отрезок времени Т - Т' = 6 мин.
Изменение скорости ветра в течение этих 6 минут показано на рис. 26. Из графиков видно, что реальная непрерывная функция Уос(/) представляет собой немонотонную функцию с большим количеством экстремумов. Причем абсциссы и ординаты этих экстремумов хаотически разбросаны внутри области определения функции. В соответствии с проведенным выше анализом, функция плотности вероятности р (У^) такой функции У Л/) должна иметь большое количество случайным образом разбросанных внутри своей области изменения особых точек, в
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
которых она принимает бесконечно большое значение. При этом величины вторых производных по времени У-' ^) в каждой особой точке различны и трудно поддаются определению при современных способах измерения скорости ветра. И хотя формально эти особенности интегрируются, вычисление интегралов с такой функцией р (У-) практически оказывается невозможным. Все это требует особого рассмотрения и разработки численных методов вычисления интегралов теоретической ветроэнергетики. В частности, требует выяснения необходимость применения процедуры выравнивания статистических рядов, которая теоретически обоснована для построения функции плотности вероятности случайной величины.
Полученная в этой работе функция р (У-) характеризует не случайный процесс. Функция р (У-) точно характеризует аналитическую функцию
У-(<).
Если функция У-(<) задана в аналитическом виде, то характеризующая ее теоретическая функция рТ (У-) вычисляется через производную dУJdt.
Если же функция У-(<) задана дискретными значениями, то при подробной градации области ее изменения и большом количестве ее дискретных значений алгоритм математической статистики позволяет получить дискретную функцию р. (У), которая проявляет особенности теоретической функции рТ (У-). Для функции р. (У-) при интегрировании гистограммы также справедливо равенство
J p* V) dF = 1.
Рис. 26. Функция V„(t) на отрезке времени T - T Fig. 26. Function V„(t) on the time interval T - T
Отметим, что функция плотности вероятности р(У-) появляется только в теории вероятностей и математической статистике как аналитическая функция, которая характеризует случайный процесс. При этом методы теории вероятности и математической статистики не позволяют получить точные знания об изучаемой случайной величине, а дают лишь количественную оценку неопределенности случайного. Через функцию плотности вероятности определяются наиболее употребительные количественные оценки этой неопределенности:
1) вероятность свершения случайного события;
2) математическое ожидание;
3)среднеквадратичное отклонение (или дисперсия).
Среднеквадратичным отклонением характеризуют разброс конкретных реализаций случайной величины относительно ее математического ожидания.
Для функции плотности вероятности как характеристики случайной величины «скорость ветра» характерно следующее равенство:
J p V) dF = 1.
Учитывая, что функцию р (У-) можно получить методами математической статистики, что она обладает свойствами функции плотности вероятности р(У-), используемой в математической статистике, сохраним за функцией р*(У-) традиционное название: функция плотности вероятности. Для подчеркивания ее качественного отличия от традиционной функции плотности вероятности функцию плотности вероятности как характеристику аналитической функции У-(<) будем обозначать со звездочкой.
Решение основных теоретических задач ветроэнергетики для состоявшейся реализации случайной функции УМ)
В этом разделе рассматривается решение следующих теоретических задач ветроэнергетики:
1. Расчет ветроэнергетического потенциала местности.
2. Расчет производительности ветроэнергетической установки на заданной местности.
3. Расчет времени работы ветроэнергетической установки на заданной местности.
Умение решать эти задачи позволяет осуществить рациональное проектирование ветроэнергетических установок и определить их эксплуатационные характеристики.
Расчет
ветроэнергетического потенциала местности. Примеры обработки данных метеорологических станций
1. Мощность воздушной струи единичной площади поперечного сечения определяется следующим соотношением [4-6]:
W (t) =Р F3(t).
Поэтому энергию такой струи на отрезке времени Т можно определить путем вычисления одного из двух равных друг другу интегралов
qb = sbtg Р J V3C(V^ )nV)p; V) dv„ < ßG
эт j =-2 J v3(t) dt
или
2 =-2 T J V*3 p* (V* ) dV* .
2 Vmln
Отметим, что если измерения скорости ветра на заданной местности произведены на известной сетке дискретных значений времени, то для вычисления величины Эп достаточно воспользоваться хорошо разработанными численными методами вычисления интеграла. Однако в данных метеостанций сетка времени, на которой производятся измерения, и значения скорости ветра обычно не даются. В таблицах метеостанций приводятся данные об относительной повторяемости скорости ветра в заданных разрядах. Поэтому по данным метеостанций вынужденно определяется интеграл ЭТ2. Для вычисления интеграла Эт2 вначале необходимо методами математической статистики определить функцию p (V*). Поэтому вычисление его более громоздко. Однако в этом случае не надо знать ни сетку времени, ни измеренные значения скорости ветра.
Определим годовой ветроэнергетический потенциал Эа как энергию воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения, приняв годовую функцию p (V*,) = p'G (V*) и годовое время T = TG = 8760 часов:
Vmax
ЭG = Tg Р J V*3 pG (V*) dV*.
2 0
Как уже отмечалось в работе [1], такое определение ветроэнергетического потенциала приобретает важное для практической ветроэнергетики значение по следующим причинам.
Во-первых, годовая производительность ветро-установки с характеристиками Z(V*) = Zmax и n(V*) = nmax = const явно выражается через величину ветроэнергетического потенциала:
Vmax
Qg = ^BKПтахU f J V*pG (V* ) dV* = 2 0
= SBKnmaxZmax"g .
Величина QG может служить оценкой максимально возможной годовой производительности ветроэнергетической установки с используемым ветропреобразователем. Если обеспечить условия Z(V*) ^ Zmax и n(V*) ^ 1, то Qg = Qg max = V Lax "g .
Во-вторых, годовая производительность реальной ветроустановки определяется следующим интегралом:
На реальных ветроустановках обычно С(У=) < Стах и пУ) < 1.
Сопоставление величин QB и Qmax позволяет определить резерв повышения производительности проектируемой ветроэнергетической установки путем совершенствования организации ее нагруже-ния (приближения функции С(У=) к £тах) и применения более совершенных решений при преобразовании механической энергии в потребительскую форму (повышения КПД этого процесса).
И, наконец, в-третьих, знание величины Э0 на высоте оси ветроколеса позволяет сразу получить оценку размера ветроколеса, с которым ветродвигатель даст необходимое количество годовой энергии Qв:
RBK =VQb/(ППcp^cp
Э;) -
Здесь величины ^ср и пср - средние значения коэффициента использования энергии ветра и КПД процессов преобразования энергии в ветроустановке при рассматриваемом научно-техническом уровне проектирования ее агрегатов. На предварительных этапах проектирования эти величины можно определить путем обработки статистических характеристик ветродвигателей.
Для практической ветроэнергетики важно также знать многолетнюю (соответствующую времени ресурса или времени окупаемости ветроустановки) выработку энергии. Поэтому представляет практический интерес и многолетний ветроэнергетический потенциал для отрезка времени в N лет. Эта энергия определяется следующим интегралом:
Утах
Э^ = То Р } У3 р'ш У) dУ^.
2 0
В этом интеграле функция плотности вероятности р*ш (У,) и величина Утах характеризуют многолетнюю функцию изменения скорости ветра за N лет
и TNG =
Ветроэнергетический потенциал местности можно характеризовать средним значением. Его можно определять либо как среднее значение годовых потенциалов, либо традиционно, через многолетнюю функцию плотности вероятности посредством вычисления следующего интеграла:
р Утах , N0
Эср = То Р / У3 рш У) ¿К = - X Эок.
2 0 М к=1
2. Существование функции плотности вероятности р (У*,), которая характеризует функциональное изменение скорости ветра на произвольном отрезке времени, позволяет сформулировать подход к обработке и интерпретации результатов измерений ско-
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
рости ветра на метеорологических станциях, который оказывается более пригодным к решению практических задач ветроэнергетики. Этот подход состоит в следующем.
Вначале необходимо выделить некоторые циклические промежутки времени, в которых обеспечивается повторение считаемых значимыми условий. При изучении скорости ветра необходимая схожесть условий определяется цикличностью главного фактора, который обеспечивает существование ветра. Это цикличность поступления на планету солнечной энергии. Необходимая повторяемость основных условий воспроизводится обычно в годовом и месячном циклах. При этом, если ставится цель определить многолетние месячные характеристики ветра, то необходимо обрабатывать многолетние значения скорости в одноименном месяце.
В каждом таком промежутке времени измеренные значения скорости ветра рассматриваются как дискретные значения однозначной непрерывной ограниченной дифференцируемой функции У^,В следующем циклическом промежутке времени в сходных условиях функция У-(<), вообще говоря, будет отличаться от предыдущей как новая реализация случайной функции. Таким образом, на совокупности циклических промежутков времени со схожими условиями мы получим некоторое количество реализаций случайной функции У-,
Для задачи проектирования ветроэнергетических установок традиционно в качестве характерного отрезка времени принимается один год. Следуя этой традиции, определим указанные интегральные характеристики случайной функции У^,(^ на годовом отрезке времени Т; = 8760 часов. Обработка данных метеостанций в этом случае состоит в следующем.
Для каждой годовой реализации функции У-, (<)по алгоритмам математической статистики определяем функцию плотности вероятности р*с (У-). При этом рассматриваем эту функцию р<Т (У-) не как характеристику случайного процесса, а как характеристику состоявшейся реализации случайной функции У-, (t). По ней определяем искомые интегралы годовой энергии Э; и среднегодовой скорости Уа:
Утах
Эс = Тс р } У-3р'а (У-) dУ-, 2 0
Утх
ус =} у-р; (У-) ¿у..
0
Эти интегралы теоретически точно дают энергетическую характеристику состоявшейся годовой реализации случайной функции У-(<). В то же время эти интегралы являются случайными величинами, т. к. они являются следствием случайной функции У-(<). Физически ясно, что величины Э; и У; являются положительными непрерывными случайными
величинами с ограниченной областью изменения. Таким образом, рассматриваемое количество циклических промежутков времени дает выборку искомых случайных величин Э; и У;. Далее по этой выборке методами математической статистики для каждой из этих величин можно определять свою функцию плотности вероятности, свои математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение. Полученные таким образом функция плотности вероятности и ее числовые характеристики и будут определять достоверность искомых интегралов.
Необходимо отметить, что современные ветроус-тановки имеют большой (>50-100 м) радиус ветроко-леса. Из-за этого обрабатываемая им воздушная струя находится на большой высоте. Поэтому достоверная оценка производительности ветроустановок должна использовать измерения скорости ветра на высоте оси ветроколеса.
В рассматриваемых ниже примерах по данным метеостанций искомые интегралы вычисляются как следующие суммы:
У; . Ау;
Э; = Т; р £у.3 рТАУ. ,'
где р = 1,225 кг/м3 - плотность воздуха.
Из приведенных выше интегральных соотношений видно, что случайный характер функции У-(<) формирует случайные значения величин Э; и У; как из-за случайного характера изменения годовых функций плотности вероятности р'с (У-), так и из-за случайности величины максимальной скорости ветра Утах. Рассмотрим вначале свойства случайной величины Утах.
3. При традиционном для метеостанций представлении данных возможна только грубая оценка величины Утах. На верхних графиках рис. 27 в качестве скорости Утах принята верхняя граница последнего разряда, в котором оказались измеренные значения скорости ветра. Из графиков видно, что на рассматриваемых циклических отрезках времени со схожими условиями скорость Утах хаотически разбросана вокруг среднего значения, что указывает на случайный характер ее изменения. На нижних графиках представлены гистограммы функций плотности вероятности р(Утах). Вертикальная пунктирная линия здесь показывает среднее значение (оценку математического ожидания) этой случайной величины.
Из графиков видно, что и на гистограммах, и на графиках изменения величины Утах по годам случайные значения максимальной скорости ветра практически симметрично разбросаны относительно среднего значения.
На верхних графиках видно, что годовые значения скорости Утах оказываются внутри ограничения Утах = Утах ср ± 3 а, которое следует из нормального закона распределения случайной величины.
Рис. 27. Статистическая обработка случайных значений скорости V, Fig. 27. Statistical data manipulation of wind speed random variables Vm
max max
Рис. 28. Статистическая обработка случайной величины «среднегодовая скорость ветра» Fig. 28. Statistical data manipulation of random variable «annual average wind speed»
Представленные на рис. 27 результаты позволяют не отвергать предположение, что случайная величина Утах подчиняется нормальному закону.
4. Проведем теперь статистический анализ случайной величины «среднегодовая скорость ветра» У0. Заметим, что на случайный характер изменения величины У0 влияют оба указанных выше фактора. Необходимые для этого анализа данные приведены на рис. 28 в такой же форме, как и для случайной величины Утах.
При рассмотрении рис. 28 видно, что и на гистограммах р(У0), и на графиках изменения величины У0 по годам случайные значения среднегодовой скорости ветра практически симметрично разбросаны относительно среднего значения. Представленные гистограммы по своей форме почти соответствуют нормальному закону. Разброс случайных значений среднегодовой скорости ветра вполне укладывается в указываемый нормальным законом диапазон У0 = У0 ср ± 3 а. Таким образом, есть достаточно ос-
нований для предположения, что случайная величина «среднегодовая скорость ветра» подчиняется нормальному закону.
5. Рассмотрим на примере метеостанции № 9 о.Сахалин результаты обработки многолетних данных метеорологических станций с позиции предположения, что измеренные значения скорости ветра считаются случайной величиной, и с позиции предположения, что скорость ветра - случайная функция.
Напомним, что при традиционной обработке многолетних данных метеостанций, когда измеренные значения скорости ветра считаются случайными величинами, по утвержденной градации всего диапазона изменения скорости ветра строится функция плотности вероятности. Для 25-летних данных метеостанции № 9 гистограмма такой функции плотности вероятности р(У ), как характеристики случайной величины «скорость ветра», показана на рис. 29. В верхнем правом углу рис. 29 в большом масштабе показана «хвостовая» часть гистограммы, где
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
10 < У-, < 40 м/с. За рассматриваемое время скорость ветра изменялась в пределах 0 < У-, < 40 м/с. При У, > 30 м/с значения функции плотности вероятности настолько малы (р = 0,00003 - 0,00002), что на графике гистограмма сливается с осью абсцисс.
Рис. 29. Гистограмма p(V„) Fig. 29. Bar chart of function p(V„)
По этой функции плотности вероятности традиционно определяются математическое ожидание случайной величины «скорость ветра», которое воспринимается как средняя многолетняя скорость ветра Уср, дисперсия Б и среднеквадратичное отклонение от среднего а = %/Б . Для метеостанции № 9 по 25-летней статистике величины Уср и а оказались следующими:
Уср Ур (У )АУ = 4,6 м/с;
¡=1
N
Б = £(у. -Уср)2р*(у )Ау = 12,62 и а = 3,54 м/с
/=1
В этих формулах У. - срединное для разряда А У. значение скорости ветра.
По этой же функции плотности вероятности определяется за многолетний отрезок времени Т значение энергии воздушной струи, которой иногда [6] характеризуют ветроэнергетический потенциал местности:
рии о предельных значениях Т должны базироваться не на ограниченных выборках из бесконечного и непрерывного стохастического процесса, а на объективных свойствах фактической структуры рассматриваемого процесса.
Исходя из этих соображений, ... можно утверждать, что расчетные прогнозы декадной производительности по средним значениям при определенном режиме повторяемости будут всегда приближенными и пользоваться ими следует с известной осторожностью. Расчеты месячной производительности будут уже достаточно надежными. Соответственно для квартальных и годовых данных эта надежность будет прогрессивно возрастать».
На основе обработки данных метеостанций Казахстана и Средней Азии Г.А. Гриневич приводит следующие оценки относительной погрешности расчетов производительности: «для года - 6%, для месяца - 9%, для декады - до 15%, для суток -до 50%».
Так Г.А. Гриневич обосновывает применение многолетней функции р(У-) для расчета с высокой точностью годовых значений средней скорости ветра и энергии воздушной струи. Необходимо отметить, что и в современных руководствах по ветроэнергетике доводы Г. А. Гриневича не отвергаются.
На рис. 30 приведена гистограмма р(У;), которая получена на основе предположения, что за 25-летний период в схожих условиях состоялось 25 реализаций случайной функции У-(<). По ним определена совокупность 25 случайных значений среднегодовой скорости ветра. По этой выборке и построена гистограмма р(У;). Сравнение графиков на рис. 29 и 30 ярко демонстрирует схожесть и качественные различия результатов, которые соответствуют различным основополагающим предположениям относительно скорости ветра.
Рис. 30. Гистограмма скорости VG Fig. 30. Bar chart of wind speed VG
ЭТ = T 2 J V3 p V) dF
В работе [2] Г.А. Гриневич, рассматривая скорость ветра как случайную величину, ставит вопрос о пределах изменения времени Т. Он пишет: «Здесь, прежде всего, возникает вопрос о пределах колебания Т, когда еще можно пользоваться этой формулой для надежных расчетов производительности. Крите-
Вначале отметим естественное равенство значений средней многолетней скорости ветра Уа = У; ср = = 4,6 м/с. Это равенство естественно потому, что показанная на рис. 29 функция плотности вероятности фактически характеризует многолетнюю функцию У-, Напомним, что в формуле для математического ожидания Уср в обоих случаях используется одна и та же многолетняя функция плотности вероятности, показанная на рис. 29.
V
Качественные различия состоят в следующем. По гистограмме функции У00(/) на рис. 29 видно, что в обработанной статистике довольно часто присутствует скорость ветра У^ = 0. Это отражает присущее природе ветра свойство, которое в ветроэнергетике рассматривается как время затишья, а мореплаватели характеризуют это явление как штиль.
В то же время невозможно представить, что среднегодовая скорость ветра равна нулю. Т.к. при расчете среднегодовой скорости ветра мы используем абсолютное значение скорости ветра, то нулевое значение средней величины получается только при нулевом значении всех слагаемых. Фактически это означает, что в течение всего года скорость ветра должна равняться нулю. Подтверждающих это наблюдений нет. Таким образом, функция плотности вероятности случайной величины «среднегодовая скорость ветра» не может проходить через начало координат. Поэтому традиционная функция плотности вероятности, показанная на рис. 29, не может характеризовать разброс среднегодовых значений скорости ветра.
Гистограмма для случайных значений среднегодовой скорости ветра на рис. 30 естественна. Здесь математическое ожидание (У0ср) далеко отстоит от начала координат, а величина среднеквадратичного отклонения а = 0,6 намного (почти в 6 раз) меньше среднеквадратичного отклонения, определенного по гистограмме рис. 29. На рис. 30 даже величина У0 = = У0 ср - 3 а = 2,8 м/с значительно отстоит от начала координат. Такая гистограмма случайной величины «среднегодовая скорость ветра» соответствует физической природе ветра.
Напомним, что Г.А. Гриневич прогнозировал погрешность определения среднегодовой скорости ветра - 6%. Приведенные на рис. 28 данные показывают, что отклонения годовых значений средней скорости ветра могут отличаться от многолетней средней скорости на = ±40%.
Отметим, что при традиционной обработке многолетних данных метеостанций, когда измеренные значения ветра считаются случайной величиной, необходимое для применения методов теории вероятностей требование о повторяемости условий, в которых реализуется случайная величина, не выполняется. По-видимому, именно это приводит к противоречивым и количественно неверным оценкам погрешности среднегодовых значений скорости ветра.
Предположение о случайности функции УД0 на циклических отрезках времени со схожими условиями позволяет выполнить основные положения теории вероятностей для случайных чисел У0, Э0 и получить непротиворечивую интерпретацию результатов обработки многолетних данных метеорологических станций.
5. Рассмотрим теперь результаты статистической обработки случайных значений годового ветроэнергетического потенциала Э0. Напомним, что случайный характер величины Э0 определяется случайностью обоих факторов: скорости Утах и функции плотности вероятности р0 У). Результаты обработки показаны на рис. 31. Здесь в верхнем ряду графиков изменение величины годового ветроэнергетического потенциала Э0 по годам показано черными точками. Они хаотически разбросаны вокруг среднего многолетнего значения Эср. По этим дискретным значениям определено среднеквадратичное отклонение а, что позволило обозначить диапазон Эо = Эср ± 3а.
Из представленных на рис. 31 графиков видна качественная разница результатов обработки данных метеостанции № 12 с результатами обработки данных остальных метеостанций.
Для метеостанции № 12 годовые значения ветро-потенциала практически одинаково разбросаны относительно среднего многолетнего значения.
Рис. 31. Статистическая обработка случайных значений годового ветроэнергетического потенциала Э; Fig. 31. Statistical data manipulation of random variable «annual average wind energetic potential»
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Гистограмма р(ЭТ) для нее скорее соответствует равномерному закону плотности вероятности. Если подчиняющаяся этому закону случайная величина изменяется в пределах а < р(ЭТ) < в, то математическое ожидание и среднеквадратичное отклонение такой случайной величины определяются следующими формулами: Эср = (а + в)/2; а = (в-а)/2%/3.
Используя эти соотношения при Эср = 3410 кВт-ч/год и а = 650 кВт-ч/год, легко находим оценку пределов изменения случайной величины ЭТ: а = 2279 кВт-ч/год и в = 4541 кВт-ч/год.
На графике для метеостанции № 12 границы а и в показаны пунктирными линиями. Из графика видно, что почти все годовые значения ветропотенциала ЭТ укладываются в диапазон а < ЭТ < в, который почти вдвое меньше, чем диапазон ЭТ = Эср ± 3 а.
Для остальных трех метеостанций в результатах статистической обработки выявляются следующие особенности. На графиках изменения годовых значений ветропотенциала ЭТ просматривается несимметрия в расположении точек относительно среднего значения. При этом максимальные отклонения от среднего в сторону уменьшения ветропотенциала здесь почти вдвое меньше отклонений в сторону его увеличения. Такая же картина просматривается и на гистограммах р(ЭТ). И хотя на гистограммах для этих трех метеостанций наибольшее значение плотности вероятности практически соответствует среднему многолетнему значению ветропотенциала, явно выраженная и здесь несимметрия не дает оснований для предположения, что случайная величина ЭТ подчинена нормальному закону. А для метеостанции № 9 величина ЭТ = Эср - 3 а вообще оказалась отрицательной, что противоречит физическому смыслу.
Представленные на рис. 31 данные показывают, что для определения закона распределения случайной величины «годовой ветроэнергетический потенциал» необходимо более детальное изучение свойств этой случайной величины.
5. Анализ интегральных соотношений для случайных величин VG и ЭG выявляет, что влияние случайных факторов Vmax и pG V) проявляется так, что можно проследить их влияние на величины ЭG и VG как влияние изолированных факторов следующим образом.
Практика показывает, что эмпирические функции pG V) имеют максимальное значение pGmax. Например, на гистограмме рис. 29 pG max= 0,14. Введем новые безразмерные переменные по формулам
U = У /Vmax ; P'g (u) = p'g (u Vp'gmax .
С учетом основного свойства функции плотности
вероятности
J pG V) dF = 1,
интегральные соот-
ношения для величин УТ и ЭТ приводятся к следующему виду:
1 1 1 1
УТ = Утах — I мрТ (м) ; Э; = КТ р — Iм 3 рТ(м) ^ ,
P 0
р 0
где ip = J pG (u) du .
Статистические данные метеорологических станций позволяют выделить влияние относительной функции плотности вероятности рТ (У-) так, как это показано на рис. 32. Здесь случайные величины среднегодовой скорости и годового потенциала представлены как функции максимальной скорости ветра Ут(Утах) и Эт(Утах).
Рис. 32. Влияние относительной функции p(u) на случайные величины Эе и VG Fig. 32. Effect of relative function p(u) on the random variables Эв and VG
Заметим, что в данных метеостанций величина максимальной скорости ветра определяется с точностью до размера своего разряда AV. При расчете сумм VG и 3G этот разряд участвует полностью. Поэтому отличие фактической максимальной скорости ветра от значения скорости на верхней границе последнего значащего разряда не сказывается на величинах VG и 3G. По этой же причине на графиках функций VG(Vmax) и 3G(Vmax) всегда есть случаи, когда одному значению максимальной скорости ветра Vmax соответствуют несколько различных значений искомых величин VG и 3G.
При фиксированном значении скорости Vmax годовые различия в величинах VG и 3G являются следствием различий только годовых относительных функций плотности вероятности pG (u).
Из графиков на рис. 32 видно, что влияние случайного характера функции p'G (u) очень значительно. При постоянном значении скорости Vmax случайные значения ветропотенциала 3G могут отличаться в два и более чем в два раза. Разброс случайных значений среднегодовых скоростей VG хотя и несколько меньше, но все равно значителен.
Заметим следующее: в полученных формулах
vg pg (u)) и "g pG(u)) влияние факторов Vmax и pG (u) разделено. Поэтому возможен следующий анализ.
Если бы при изменении внешних условий (например, по годам) случайная функция относительной плотности вероятности не изменялась, т.е. p'G (u) = const, тогда
i
ip = J pG (u) du = TOnst;
0
1 f _
iV = — J u pG (u) du
= const;
1 i
i3 = — J u3 pG (u) du = const.
ip 0
В этом случае среднегодовые скорости ветра были бы пропорциональны максимальной скорости ветра (VG ~ kVVmax), а случайная величина ветропо-тенциала пропорциональна кубу максимальной скорости ветра (3G = kgViL). Однако из графиков на рис. 32 следует, что указанные закономерности не проявляются.
Для каждой точки [3Gl, Vmaxi] и [VGi, Vmaxi] можно определить угловые коэффициенты исходящих из начала координат лучей по следующим формулам: = 3Gl/Vmaxi и KVi = VGl/Vmaxi. На рис. 32 показаны лучи с максимальными и минимальными значениями таких угловых коэффициентов, которые ограничивают область изменения эмпирических данных. На графиках функций 3G (Vmax, pG (u)) эти лучи подчер-
кивают практически линейную в среднем зависимость Э0 ~ КЭУтах. А по графикам У0 (Утах, р0 (и))
видно, что с некоторым разбросом среднегодовая скорость ветра почти не меняется (как показано пунктирной линией) при возрастании максимальной скорости ветра. Отсюда следует, что влияние случайного по годам изменения относительной функции плотности вероятности р*0 (и) столь значительно, что может качественно изменять функциональные зависимости Уо(Утах) и Эо(Утах).
Расчет годовой производительности ветроэнергетической установки
Производительность ветроэнергетической установки оценивается различными величинами в зависимости от того, на какую нагрузку она работает (с какой рабочей машиной связан ветродвигатель). Если ВЭУ работает на энергосистему, то ее производительность характеризуется количеством вырабатываемой электроэнергии QB [кВт-ч]. Если ВЭУ работает на заряд аккумуляторной батареи, то ее производительность оценивается количеством электричества Ql [а-ч].
Для расчета вырабатываемого ВЭУ количества электроэнергии необходимо знать ее энергетическую характеристику в виде зависимости производимой мощности от скорости ветра ^в(У00). Типичный пример такой характеристики для ВЭУ показан на рис. 33. По этой характеристике определяется рабочий диапазон значений скорости ветра Утт < У^ < Ут.
Рис. 33. Характеристика W(V„) Fig. 33. Сharacteristic W(V„)
Если такая характеристика задана, то по состоявшейся реализации в течение времени Т0 = 8760 часов функции У^ (/) на рассматриваемой местности произведенное количество электроэнергии можно определить любым из двух способов:
или
Qgi = J W ( (t))dt
0
vmax
Qg 2 = T; J W V ) p V ) dF .
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
T
V
Для расчета производительности ВЭУ, работающей на заряд аккумуляторной батареи, необходимо знать ее энергетическую характеристику в виде зависимости силы тока от скорости ветра 1(У-). Типичный пример такой зависимости показан на рис. 34. Качественно эта характеристика похожа на зависимость ^в(У-).
или
Рж) =
t 'V)
t2 -11
Обозначим Т = t2 - ^ и преобразуем приведенное соотношение в следующее дифференциальное уравнение:
= Тр; (У-). (5)
«У»
Решение этого дифференциального уравнения в области изменения скорости ветра V, < У- < У+1 име-
: t, = T Jp; (У) dy .
Рис. 34. Характеристика I(V„) Fig. 34. СИагайепБйс I(V„)
По состоявшейся реализации в течение времени ТТ = 8760 часов функции У-(<) на рассматриваемой местности ВЭУ передаст аккумуляторной батарее заряд
6/С1 = 11 (У- С ))dt
0
Утах
б/С 2 = Т; I I (У- ) р (У- ) «У- .
Ут1п
Т. к. производительность ветроустановки связана с величиной ветроэнергетического потенциала, то величины б; на совокупности циклических отрезков времени также являются случайными величинами. Однако на свойства этих случайных величин дополнительно влияют параметры функций №гв(У-) и 1(У-). Выявление характера этого влияния должно стать предметом специального исследования.
Расчет времени работы ветроэнергетической установки на заданной местности
Рассмотрим вначале решение рассматриваемой задачи, когда функция У-(<) и обратная ей функция <(У-) - монотонные функции с областью изменения У = У-(<1 ) < У- < У-(/2) = У2. Для этого случая в разделе 3.3 получено дифференциальное соотношение (4) для функции плотности вероятности
ет вид: t¡ =
Для немонотонной зависимости У-(<) функция плотности вероятности р (У-) является суммой местных функций плотности вероятности. Но для каждой местной функции плотности вероятности справедливо линейное дифференциальное уравнение (5). Поэтому после суммирования на разрядах скорости
АУ, = У+1 - У. можем записать: ^ = ТI р* У) «У^ .
У,
Теперь видно, что рассматриваемая задача является задачей определения времени 4 когда на местности с заданной функцией плотности вероятности р (У-) появляются скорости ветра, попадающие в заданный диапазон У, < У- < У+ь
Заметим, что в полученных формулах время Т = ^ - t1 - это произвольный отрезок времени, на котором задана функция У-(<). Это означает, что ими можно пользоваться на циклических отрезках времени со сходными условиями. При таком применении этих формул времена ^ составят выборку случайных значений, характерных для разряда А У = У+1 - У,.
Выделим время одного года Т = Т; = 8760 часов в качестве циклического отрезка времени. Тогда для лучшего восприятия целесообразней определять относительное время, характерное для разряда АУ =
= У+1 - У:
t !■
- = t = J Р (У) dy .
T
(6)
Из формулы (6) вытекают свойства относительного времени как функции верхнего предела интеграла. Преобразуем интеграл (6) к следующему виду, приняв, что в диапазоне изменения времени Т = t2 - tl = Та краевые значения скоростей ветра принимают значения У1 = У-(<1) = 0; У2 < У-(<2) = Утах:
t (У) = J p (У,) dy .
(7)
В этом соотношении производная по скорости /(У-) всегда рассматривается как положительная функция.
Т. к. функция плотности вероятности - положительная функция, то зависимость t (У-) - монотонно возрастающая функция, изменяющаяся в пределах 0 < 7 (У-) < 1, когда скорость ветра 0 < У-(<) < Утах. Таким образом, функция t У) обладает такими же свойствами, что и функция распределения ^(У-) случайной величины.
T
V
Рис. 35. Отрезки интегрирования гистограммы p (V„) Fig. 35. Integration intervals for bar chart p*(V„)
Рис. 36. Функция относительного времени t (У ) Fig. 36. Function of relative time t (У)
На рис. 35 показана в традиционной для математической статистики форме гистограмма р (УД на которой стрелками указаны области изменения скорости ветра, ограниченные характерными значениями Утш, ¥р, Ут и Утах. Результат интегрирования этой гистограммы с переменным верхним пределом в виде функции / (V,) показан на рис. 36. Здесь вдоль оси абсцисс показаны те же области изменения скорости ветра, а по оси ординат - соответствующие им относительные времена:
относительное время затишья /з, для которого
0 < У, < Ут; _
рабочее время ветроустановки , для которого
Утт < У, <Ут;
время р , в течение которого Ур < У^ < Ут.
Заметим, что во время р фактическая мощность равна мощности установленной рабочей машины. По графику рис. 36 видно, что это время мало: р < 0,1. На этом графике можно также заметить, что сумма относительного рабочего времени и относительного времени затишья почти равна единице.
На рис. 37 для тех же четырех метеостанций о. Сахалин показаны результаты расчетов многолетних характерных для ветродвигателей относительных времен. На верхних графиках рис. 37 показано изменение по годам максимальной скорости ветра. Здесь же горизонтальными пунктирными линиями показаны уровни принятых значений минимальной скорости ветра Утш = 4 м/с, расчетной Ур = 14 м/с и наибольшей рабочей скорости ветра Ут = 25 м/с. Расчеты произведены путем интегрирования традиционной для методов математической статистики ступенчатой гистограммы, в качестве примера показанной на рис. 35.
Рис. 37. Статистика рабочего времени / и времени расчетной мощности р
Fig. 37. Working time t and calculated power time tW statistics
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Относительное время работы ветродвигателя <р
на рис. 37 показано крупными черными точками. Горизонтальной сплошной линией показано среднее значение рабочего времени <ср . Из этих графиков
видно, что величины <р на рассмотренном многолетнем цикле составляют последовательность случайных чисел, беспорядочно разбросанных около среднего значения. Этот разброс относительно велик. Случайные значения времени <р разбросаны в диапазоне Т = Г ± 0,1.
Изменение по годам относительного времени у , в течение которого фактическая мощность равна мощности установленной рабочей машины, на этом рисунке показано мелкими белыми точками. Обращает на себя внимание, что время у очень мало и для рассмотренных метеостанций за многолетний период изменяется в пределах 0 < у < 0,1.
На рис. 37 видно, что сумма относительных времен <з + <р = 1. При этом если на местности Утах < Ур,
то естественно строгое равенство <з + <р = 1. Если же Утах > Ур, то рассматриваемая сумма времен очень незначительно меньше единицы <з + <р < 1.
Выводы
В результате рассмотрения скорости ветра как случайной функции времени У-(<) установлено следующее:
1. Для состоявшейся реализации функции У-(<) на отрезке времени Т = 4 - <о имеют место следующие тождественные соотношения: для средней скорости -
1 tN ^
Уср = ТI У- ^« = 1 У- р (У-) «У-;
Т <о уО
для средней мощности -
1 tN УN
Ур = ТI г (У- «)) Л =1 W(У-)р* (У-) «У- ;
Р (У) =
1
ту (у)
для энергии -
т
■'т =
Эт = J W (у (t)) dt = T J W(У) p* (У) dy .
0
В этих формулах р (У-) функция плотности вероятности, которая характеризует состоявшуюся реализацию функции У-(<) на отрезке времени Т.
Если изменение скорости ветра по времени задано аналитической формулой У-(<), то искомую функцию плотности вероятности р (У-) можно определить через производную по времени функции У-(<):
Точкам экстремумов функции У-(<) соответствуют особые точки функции плотности вероятности р (У-), в которых она стремится к бесконечности. Показано, что это интегрируемые особенности и указанные выше интегралы, обеспечивающие решение теоретических задач ветроэнергетики, существуют.
Если изменение скорости ветра по времени задано дискретными значениями функции У-(<), то искомая функция плотности вероятности может быть определена алгоритмами математической статистики. Эти алгоритмы позволяют проявить особенности изменения функции р (У-) при достаточно большом количестве дискретных значений скорости и подробной градации диапазона изменения скорости ветра.
Величины Уср, Ур и ЭТ, как характеристики состоявшейся реализации функции У-(<), обладают 100% достоверностью.
Заданной функции У-(<) соответствует единственная функция р*(У-). В то же время одной функции р (У-) может соответствовать бесчисленное множество немонотонных функций У-(<) с одинаковыми значениями характеристик Уср, Ур и ЭТ.
2. Традиционно измеренные на метеостанциях значения скорости ветра рассматриваются как результат случайного события и характеризуются многолетней функцией плотности вероятности р(У-). В отличие от этого функция р (У-) характеризует не случайный процесс, а аналитическую функцию времени У-(<).
Функция плотности вероятности р(У-) для непрерывной случайной величины У- и функция р (У-) как характеристика функции У-(<) обладают общими свойствами и качественными различиями.
Общие свойства состоят в том, что величины р(У-) и р (У-) имеют одинаковую размерность и
Утх Утах
I р У) «У„ = I р* У) «У„ = 1.
0 0
Качественные различия состоят в следующем.
Когда скорость ветра У- считают случайной величиной, то функцию плотности вероятности р(У-) рассматривают непрерывной функцией. При этом с позиций теории вероятностей и математической статистики допускается ее изменение вдоль положительной полубесконечной оси абсцисс 0 < У- < -. Традиционно полученные по данным метеостанций гистограммы, при решении задачи выравнивания статистических рядов, аппроксимируются аналитическими функциями с полубесконечной областью изменения. Это либо модификация функций Гаусса, Пирсона или Гудрича, либо функция Вейбулла и др.
V
Для однозначной немонотонной ограниченной непрерывной дифференцируемой функции УД/) функция р (У,) является разрывной функцией с ограниченной областью изменения 0 < У, < Утах. Разрывы функции р (У,) соответствуют экстремумам функции У, (/).
3. На основе предположения, что измеренные значения скорости ветра представляют случайную функцию У, (/), формируется иной подход к обработке и интерпретации результатов измерений скорости ветра на метеорологических станциях для задач ветроэнергетики. Этот подход состоит в следующем.
Вначале выделяются циклические промежутки времени длительностью Т, для которых обеспечивается повторяемость условий. Считается, что в каждом циклическом промежутке времени со сходными условиями функция У, (/) отличается от предыдущей как новая реализация случайной функции. По дискретным значениям каждой реализации функции У, (/) алгоритмами математической статистики определяется функция плотности вероятности р (У*,). По ней вычисляются величины средней скорости ветра Уср и ветроэнергетического потенциала ЭТ. Эти величины являются точными характеристиками состоявшейся реализации случайней функции У* (/). В то же время они как производные (следствие) случайной функции У* (/) являются непрерывными случайными величинами с ограниченной областью изменения. Рассматриваемое количество циклических промежутков времени даст выборку случайных величин ЭТ и Уср. По этим выборкам можно определять свои функции плотности вероятности, свои математические ожидания и свои среднеквадратичные отклонения, которые будут характеризовать достоверность характеристик ЭТ и Уср.
Такой подход позволяет выполнить основные положения теории вероятностей для случайных чисел ЭТ и Уср, определяемых по измерениям скорости ветра в циклических промежутках времени произвольной продолжительности Т.
4. В качестве примера по изложенной методологии проведена обработка многолетних (25-29 лет) данных метеостанций о. Сахалин. Полученные результаты позволяют провести сравнительный анализ традиционной и новой методологий обработки результатов измерений скорости ветра с позиций ветроэнергетики.
В результате традиционной обработки результатов измерения скорости ветра определяются средние многолетние значения скорости Уср и мощности ^уд воздушной струи с единичной площадью поперечного сечения:
Уср =1 У*р У) ЛУ,,;
0
^ = р / У3 р (У,) ЛУ,.
2 0
В атласе [3], который является типичным носителем традиционной методологии, величины Уср и ^уд определяется с учетом рельефа местности и высоты воздушной струи.
Величины Уср и Шуд, характеризуя в целом генеральную совокупность функционально связанных случайных величин «скорость ветра» и «мощность», не дают ориентиров для выбора параметров ветро-установок и мощности рабочей машины.
Описанная в п.3 новая методология позволяет обеспечить процесс проектирования ветроэнергетических установок конструктивной и существенно более детальной информацией о характеристиках источника энергии.
Знание ветроэнергетического потенциала на высоте оси ветроколеса ЭТ позволяет оценить величину его радиуса Явк, с которым ветродвигатель за время Т даст проектное количество энергии Qв:
Явк =4 йз/ППср £ср ЭТ .
Использование статистических значений ^ср и пср дает значение искомого параметра при существующей методологии проектирования и научно-техническом уровне используемых технических решений.
Обработка многолетних данных четырех метеостанций о. Сахалин показала, что годовые значения ветроэнергетического потенциала - случайная величина с большим разбросом относительно среднего многолетнего значения. При этом наименьшие значения годового ветропотенциала составляют почти половину среднего многолетнего значения. Наибольшие отклонения в большую сторону почти равны многолетнему среднему значению. Столь значительное влияние случайности на величину годового ветропотенциала делает актуальным для процесса проектирования ветроэнергетических установок исследование многолетних месячных и сезонных значений ветроэнергетического потенциала. Предположение о случайности функции У, (/) создает теоретическую базу для такого исследования.
Новая методология позволяет определить статистику для времени затишья, времени работы ветро-установки и времени работы, когда скорость ветра обеспечивает работу ветроустановок с проектной мощностью. Обработка данных метеостанций о. Сахалин показала, что время работы ветроустановки с проектной мощностью составляет незначительную (< 10%) долю годового времени. Это незначительное по продолжительности время, в свою очередь, случайным образом раздроблено на малые промежутки времени. Такое свойство источника энергии практически исключает долговременное стабильное обеспечение потребителя необходимой мощностью изолированной ветроустановкой.
Годовая производительность ветроустановок, напрямую связанная с величиной ветроэнергетического потенциала, также является случайной величиной.
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 01/2 (118) 2013
© Scientific Technical Centre «TATA», 2013
Вместе со случайными свойствами ветропотенциала на производительность ветроустановок влияют проектные параметры, в частности, расчетная скорость ветра. Необходимо исследовать влияние проектных параметров ветроустановок в условиях, когда интенсивность источника энергии изменяется как случайная величина.
5. В соответствии с проведенным выше анализом функция плотности вероятности р (У„) реальной функции УДО имеет большое количество случайным образом разбросанных особых точек, в которых она принимает бесконечно большое значение. Если -абсцисса экстремума функции У00(/), то интегралы теоретической ветроэнергетики выражаются через вторую производную по времени У(/„). Необходимые вторые производные в каждой особой точке различны и трудно поддаются определению при современных способах измерения скорости ветра. И хотя формально эти особенности интегрируются, вычисление интегралов с учетом особенностей функции р (У„) практически оказывается невозможным. Это требует особого рассмотрения методов вычисления интегралов теоретической ветроэнергетики. В частности, следует оценить необходимость применения процедуры выравнивания статистических рядов, теоретически обоснованной для построения функции плотности вероятности случайной величины.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-08-01076-а.
Список литературы
1. Игнатьев С.Г. Решение теоретических задач ветроэнергетики с позиций теории вероятностей одномерной случайной величины // Альтернативная энергетика и экология - ШЛЕЕ. 2011. № 2. С. 14-30.
2. Гриневич Г.А. Основы энергетической характеристики ветра / В сб.: Методы разработки ветроэнергетического кадастра. Отв. ред. Е.М. Фатеев. М.: Изд-во АН СССР, 1963.
3. Старков А.Н., Ландберг Л., Безруких П.П., Бо-рисенко М.М. Атлас ветров России. М.: Изд-во «Можайск-Терра», 2000.
4. Рекомендации по определению климатических характеристик ветроэнергетических ресурсов. ГГО. НПО «Ветроэн». Л.: Гидрометеоиздат. 1989.
5. Николаев В.Г., Ганага С.В., Кудряшов Ю.И. Национальный кадастр ветроэнергетических ресурсов России и методические основы их определения. М.: «Атмограф», 2008.
6. Ярас А.Л., Хоффман Л., Ярас О.Л., Обермайер Г. Энергия ветра. М.: Мир, 1982.
WASMA-2013 10-Я МЕЖДУНАРОДНАЯ ВЫСТАВКА ТЕХНОЛОГИЙ И ИННОВАЦИЙ В ЭКОЛОГИИ
Время проведения: 29 - 31.12.2013
Место проведения: Россия, Москва, КВЦ «Сокольники», павильон 4.1 Тема: Экология
Факты и цифры:
Участниками выставки 2012 г. стали 80 компаний из России, Великобритании, Германии, Китая, Франции, Швейцарии, Австрии. Экспозиционная площадь увеличилась до 2500 кв.м. Wasma 2012 посетили более 2000 специалистов экологической отрасли, что в 2 раза больше по сравнению с 2011 годом.
Wasma проходит при поддержке Федеральной службы по экологическому, технологическому и атомному надзору (Ростехнадзор), Торгово-промышленной палаты РФ, Московской промышленной палаты, Ассоциации рециклинга отходов.
С 2012 года выставка Wasma проходит в новом формате. Экспозиция выставки состоит из 4 тематических разделов: - Управление отходами и рециклинг; - Альтернативная энергетика, ресурсосберегающие технологии; - Водоочистка и водоподготовка; - Экология города.
Организатор — MVK в составе группы компаний ITE
