CC BY
5ВЕТРОЭНЕРГЕТИКА
WIND ENERGY
Статья поступила в редакцию 14. 05.14 Ред. per. № 1997 The article has entered in publishing office 14.05.14 Ed. reg. No. 1997
УДК 551.510
ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СЛУЧАЙНОЙ ПОГРЕШНОСТИ В ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ СКОРОСТИ ВЕТРА НА ТОЧНОСТЬ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ ВЕТРОЭНЕРГЕТИКИ
С.Г. Игнатьев
ФГУП ЦАГИ им. проф. Н.Е. Жуковского 140180 г. Жуковский, ул. Жуковского, 1, (495)556-34-31, e-mail: stacgg8@gmail.com Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова 119991 Москва, Ленинские горы, д.1 географический факультет, НИЛ ВИЭ
Заключение совета рецензентов 21.05.14 Заключение совета экспертов 28.05.14 Принято к публикации 04.06.14
В работе сравниваются два алгоритма вычисления интегралов ветроэнергетики. Один из них использует вероятностную форму этих интегралов. Второй построен на представлении функции Уж (t) в виде полигона. В результате показано, что влияние случайной погрешности измерений скорости ветра при применении обоих алгоритмов может привести как к уменьшению, так и к увеличению точности вычисления искомых интегралов. Оба этих события носят случайный характер. С увеличением числа N дискретных значений скорости, содержащих случайную погрешность, влияние этой погрешности на значения интегралов ветроэнергетики уменьшается.
Ключевые слова: интегралы ветроэнергетики, скорость ветра, дискретные данные, случайные погрешности измерений, математическая модель, функция плотности вероятности, алгоритм математической статистики, интегрирование полигона.
THE INFLUENCE OF RANDOM ERROR IN DISCRETE VALUES OF WIND SPEED ON THE ACCURACY OF WIND ENERGY INTEGRALS
S. G. Ignatiev
Referred 21.05.14 Expertise 28.05.14 Accepted 04.06.14
The Central Aerohydrodynamic Institute by N.E. Zhukovsky (TsAGI) 1 Zhukovsky Str., Zhukovsky, 140180, Russian Federation Lomonosov Moscow State University, Faculty of Geography 1 Leninskie Gori, Moscow, 119991, Russian Federation Referred 21.05.14 Expertise 28.05.14 Accepted 04.06.14
Two algorithms of wind power integrals evaluation are compared in the article. The probability form of these integrals is used in one of them. The second one is based on function representation in the form of a polygon. As a result it is shown, that a random error effect of wind speed measurements when applied to both algorithms can cause both reduction and increase of accuracy evaluation of the required integrals. Both these events are random. The influence of these wind power integrals' evaluation errors decreases with magnification of N (number of velocity discrete values, containing the random error).
Keywords: wind energy integrals, wind speed, probability density function, algorithm of mathematical statistics.
1SJHEE
Введение
Актуальность приведенного ниже исследования связана с тем, что в известной автору литературе влияние случайной погрешности измерений скорости ветра на точность вычисления интегралов ветроэнергетики не исследовано.
1. Моделирование влияния случайной погрешности измерений
Для исследования влияния случайной погрешности измерений на величины интегралов ветроэнергетики будем считать, что измеренные значения скорости ветра можно представить в виде суммы точных значений скорости Ут (/) и случайной погрешности Ду :
УЛЬ) = У- (^) + Ду.
В качестве случайной погрешности Ду мы будем использовать центрированные случайные числа с равномерным законом плотности вероятности, генеральная совокупность которых характеризуется математическим ожиданием М£ = 0. В работах [1,2] отмечается, что фактическая погрешность измерений
скорости ветра составляет ДУ« « ± 0,5 м / с . Разброс значений скорости ветра для математической модели определим как отношение £шах = ДУ / Ушах . Полагая Ушах = 20 м / с , изменение случайных чисел £ будет а = - 0,025 <£< 0,025 = р.
На рис. 1 показаны 501-но значение случайных чисел £, которые мы будем использовать для моделирования влияния случайной погрешности. В процессе исследования мы будем изменять количество дискретных значений N в которых задана скорость ветра. На выборках случайной величины размером N математическое ожидание MN ф 0. На рис. 1 показано изменение математического ожидания MN (N) используемых случайных чисел £ . Для показанных случайных чисел математические ожидания MN (N) - отрицательные числа. Чтобы включить в рассмотрение случаи с положительными величинами MN (N), мы будем рассматривать значения случайной погрешности ±£.
м, Л''. - е -
и и
S
I
0,025 0,02 0,015 0,01 0,005 0
-0,005 -0,01 -0,015 -0,02 -0,025
MN(+St) MN(~St)
3
Q.
! ^^Т^Г^ ^ ^ -S ' 51 21 N _ 6 I 11 N =6
Рис. 1. Случайные числа Fig. 1. Random numbers s t
В качестве функций, моделирующих точное изменение скорости ветра по времени, используем две математические модели в виде функции относительной скорости от относительного времени и (/):
« = у« /У^, т = (Г-гИ)/т.
Вид этих аналитических функций, показанный на рис. 2, подобран таким образом, чтобы они отражали свойства реальных функций У« (/) и позволяли оп-
ределить теоретическую плотность вероятности и как функцию времени, и как функцию скорости.
Первая математическая модель характеризуется следующими свойствами. Вся область изменения функции и 1(Т) координатами граничных точек разбита на четыре одинаковых по времени интервала. На каждом интервале изменение скорости и функции плотности вероятности задается формулами
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014
© Scientific Technical Centre «TATA», 2014
u¡ (t ) = a t + bt sin (p¡ (t ). dp¡
P*(u ¡) = 1/
d t
ui(t )
1
0,8 0,6 0,4 0,2 0
P*(U 1)
4 3,5 3 2,5 2 1,5 1 -0,5 -0
u1 = 1
u1 = 2/3
Числовые коэффициенты а1 и Ь1 определяются координатами граничных точек, которые на графике функции и 1 (/) показаны белыми кружочками (рис. 2).
м2( 7 ) 1 -|
0,8 -
0,6 -
0,4 -
0,2 -
0
PlK-2 6 5 4 3 2 1 0
0,2 0,4 0,6 0,í
0 0,2 0,4 0,6 0,8 u1 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 u21
Рис.2. Математические модели u1( t ) и u2( t) Fig. 2. Mathematical models ul(t) & u2( t)
В таблице 1 для каждого отрезка времени приведены выражения этих коэффициентов и вид функций щ (t).
Таблица 1
Параметры математических моделей ut (7)
Table 1
Parameters of the mathematical model ut (7)
1 отрезок 0 < 7 < 0,25 2 отрезок 0,25 < 7 < 0,5 3 отрезок 0,5 < 7< 0,75 4 отрезок 0,75 < 7 < 1,0
aj — u a2 = (uj + u2)/2 a3 = (u2 + u3)/2 a4 = u4
b — (uj - uo) b2 = (u2 - u¡) / 2 b3 = (u3 - u2) / 2 b4 = (u4 - Щ)
0 <р<ж/2 -л/2 < p < л /2 -л/2 < p < л /2 -л/2 < p < 0
p — 2л t p = 2л (27 - 0,75) p = 2л(27 -1,25) p = 2л( 7 -1)
u 1 = a1 + b1 sinp1 u2 = a2 + b2 sinp2 u3 = a3 + b3 sin p4 u4 = a4 + b4 sinp4
В работе [3] показано, что функция плотности вероятности р*(У„) становится бесконечно большой в точках, которые являются экстремумами функции Ую У). Функция плотности вероятности рт(и 1) отражает это свойство и имеет особенности в точках, соответствующих экстремумам скорости и 1 (Г).
Вторая математическая модель и2 (/) отражает свойства монотонной функции Ум (/), которая при
применении алгоритма математической статистики получается в результате упорядочения дискретных значений функции Ую (/). Она имеет вид:
и2 (Г) = 7(1 - 7)+76.
На рис. 3 иллюстрируется влияние случайной погрешности на 501-ном значении функции и 1(/).
Здесь на левом графике показаны дискретные значе-
ния точной функции и1 (t), а на правом - дискретные значения со случайной погрешностью и1е = и1 (^) + £.
Отметим, что функция ) и математические модели ив (^) - дискретные функции.
Ui(t )
u1s(t) 1.1 1
0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0
9 л
4?
\
t 1 -0.1
Рис. 3. Моделирование влияния случайной погрешности измерений скорости Fig. 3. Influence of a random error of a velocity measurement modeling
Формально они не имеют ни интеграла, ни производной. Для анализа влияния случайной погрешности на интегралы ветроэнергетики мы будем интегрировать интерполирующий дискретные значения ие (^) полигон. Интегралы ветроэнергетики от этого полигона мы будем рассматривать как величины, в которых отражено влияние случайной погрешности измерений скорости. Заметим, что при £ = 0 такой подход дает результат, соответствующий интегрированию полигона, построенного по дискретным значениям точной функции.
J Js (х) dx ~ STP + (xN - Х)
N
N -1
Mn -
(S1 + SN )
2 N
где 8тр - величина интеграла от полигона, построенного на точных значениях функции; MN - математическое ожидание выборки размером N значений случайной величины.
Выражение
Е (N) = (xN - x1)
N
N -1
Mn -
(S +Sn )
2 N
м, - e -
a.
2. Влияние случайной погрешности
в дискретных данных на результат вычисления интегралов ветроэнергетики путем интегрирования полигона
Интегрирование полигона для определения средней скорости - это интегрирование по правилу трапеций. Для рассматриваемого случая традиционную формулу для вычисления интеграла по правилу трапеций можно привести к виду
N
J [ yT (xt) + s ] dx « Ax
V2+X y< +Jn/2
( Xn X1 )
N -
f(X S-1 t=1
(S1 + Sn )
составляет неточность вычисления интеграла, вызванную случайной погрешностью. Заметим, что при конечном значении N (особенно небольшом) сумма (е1 + ем) / (2N) может оказаться больше математического ожидания MN.
В ветроэнергетике скорость ветра и мощность воздушной струи характеризуются средними интегралами, которые являются средними значениями своих подынтегральных функций:
1 т 1 т
у = — г у (л а, шл = 0,5р-г у3 л.
ср т J > уд т ^
T ■
В связи с этим рассмотрим влияние случайной погрешности измерений на среднее значение интеграла
3
Здесь Д х = (xN - х1) / (N -1).
Выделим слагаемые, которые зависят от точных значений интегрируемой функции и случайной погрешности,
1 xN
S= ьГ-хц !ys< x)dx■
Применяя полученные выше формулы, определяем
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014
© Scientific Technical Centre «TATA», 2014
N -1
Z y <
(y + У)
N
N -1
Mn -
i=i 2
(S + Sn )
2 N
Видно, что при интегрировании полигона, интерполирующего дискретные значения функции со случайной погрешностью, первое слагаемое в квадратных скобках является результатом интегрирования по правилу трапеций точных значений функции у = уТ (х). Второе слагаемое отражает влияние случайной погрешности на величину среднего значения.
Применительно к решению задач ветроэнергетики необходимо рассмотреть два случая влияния увеличения числа измерений N на среднее значение интеграла.
Первый случай отражает современную организацию измерений. Она характеризуется тем, что измерения производятся с шагом по времени А t = 3 - 4 часа в течение многих лет. Заметим, что при А t = 4 часа за 10 лет производится N = 14600 измерений. Такое число измерений можно считать генеральной совокупностью случайных чисел, когда MN = 0 .
Вычислим предел среднего значения:
lim S = lim
N^w У N^w S
St¡
N
Xn - Xi N -1
Mn -
(S + Sn ) 2 N
только неточностью правила трапеций при используемом шаге А х .
Вычислим предел среднего значения при бесконечном уменьшении шага дискретных значений
А х = (XN - х1)/( N -1):
lim S = lim
= lim
Д t^w
St
N
Xn - X N -1
Mn -
(S + Sn )4 2 N
1 XN
- Í yT (x)dx.
— -v J
Из формулы следует, что при вычислении среднего значения интегрированием по правилу трапеций за счет увеличения числа дискретных значений N при постоянном шаге A x = const влияние случайной погрешности можно сделать сколь угодно малым. В пределе погрешность среднего значения определяется
Полученный предел показывает, что при вычислении среднего значения интегрированием по правилу трапеций при уменьшающемся шаге А х ^ 0 за счет увеличения числа N дискретных значений, даже при наличии случайной погрешности измерений, можно обеспечить сколь угодно малое отклонение среднего значения от его точной величины.
На рис. 4-5, на примере математических моделей и1(^-) и и2(^) , иллюстрируется сходимость вычисленных значений средней скорости Уп и энергии Эп к точным значениям с увеличением числа N дискретных значений функций. Заметим, что величина средней скорости Уп определялась интегрированием полигонов, а величина энергии Эп - интегрированием куба этих полигонов. Из графиков на рис. 4-5 видно, что при А t Ф 0 случайная погрешность измерений скорости ветра значительно изменяет искомые величины относительно их значений, определенных по точным дискретным данным. При этом возможны отклонения как ухудшающие, так и улучшающие точность расчета искомых величин. Это связано с тем, что погрешности от собственно правила трапеций и от влияния случайной погрешности измерений могут иметь одинаковые или разные знаки.
Vn
э„
Д t
V„
.06
.05 ■
д
.04 ■
.03 •
/ / .02 ■
л .01 ■
\ ,u1i 1 • 0
0.15 02
Д t
э„
0.05 0.1 0.15 0.2
Д 7
\ У,
0.05 0.1 0.15 0.2
Д 7
Рис. 4. Интегрирование функций u1s Fig. 4. Integration of functions u1s
Рис. 5. Интегрирование функций u 2s Fig. 5. Integration of functions u 2s
1.3
u
u 2i -S
u1i + S
1.2
1.1
При этом погрешность численных значений энергии за счет влияния случайной погрешности заметно больше, чем погрешность средней скорости. При этом возможны отклонения как ухудшающие, так и улучшающие точность расчета искомых величин. Это связано с тем, что погрешности от собственно правила трапеций и от влияния случайной погрешности измерений могут иметь одинаковые или разные знаки. В пределе при Д t ^ 0 искомые интегралы ветроэнергетики стремятся к своим точным значениям.
3. Влияние случайной погрешности в дискретных данных о функции У« ^) на результат вычисления интегралов ветроэнергетики в вероятностной форме
3.1 Влияние случайной погрешности
на дискретные значения функции плотности вероятности, которые определяются алгоритмом
математической статистики
Расчеты математических моделей, которые воспроизводят влияние случайной погрешности измерений, выявили два качественно различных случая этого влияния на величину дискретных значений функции плотности вероятности, которая определяется по алгоритму математической статистики. Эти качественно различные случаи иллюстрируются на рис. 6 на примере дискретных значений функции и2 (t).
Заметим, что в алгоритме математической статистики всегда присутствует процедура упорядочения дискретных значений. Поэтому рассмотрение монотонной функции и2 (t) имеет общий характер.
На рис. 6 черными точками и сплошной линией показаны точные дискретные значения этой функции, а различными белыми точками и пунктирными линиями показаны функции и2е (Т1) = и2 (£) ± £ , содержащие случайную погрешность.
0 С
1-1-1-г-
0 0,2 0,4 0,6 0,8
г J 2,5 2 1,5 1
0,5 0
Pj
2,5 2 1,5 1
0,5
0
P (uuU) P*(u2+S )
0,5
u
P (u2) P*(u2-s)
0,5
u
t
2
0
Рис. 6. Влияние погрешности измерений на функцию u 2(t ) Fig. 6. Influence of measurements errors to function u2(t )
Диапазон изменения скорости разбит на три разряда размером Ди} = 1/3. Дискретные значения функции плотности вероятности определяются формулой:
P =-
1 NAV;
Здесь п] - число дискретных значений, попавших в разряд Ди .Рассмотрим расположение дискретных
значений функций и2 (t) и и2е () в различных разрядах Ди].
Уже в первом разряде Ди1 = 0 -И/3 реализуются два качественно различных случая. Из графика видно, что в этом разряде функции и2 (t) и и2е (^) = и2 (^) + е1 имеют одинаковое количество точек. Для этих функций одинаковое количество точек содержится и в остальных двух разрядах. Случайная погрешность изменила значения функций, а распределение количеств п] в разрядах Ди} осталось таким, как при точных
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014
© Scientific Technical Centre «TATA», 2014
n
значениях функции. Получается, что влияние случайной погрешности на величину скорости присутствует, а на значения плотности вероятности отсутствует.
Расчеты при различных значениях числа точек: N = 6,11,21,51,101,201,1001, и при различных размерах разрядов: Ди. = 1/ NJ ( NJ = 2,3,4,5,10,20 ) -
позволили установить, что в отдельных разрядах такая ситуация происходит практически всегда. Однако при малом количестве N = 6 +11 дискретных значений функций и грубой градации NJ = 2 + 4 вероятны случаи, когда описанное отсутствие влияния случайной погрешности происходит во всех разрядах гистограммы. Верхняя гистограмма на рис. 6 соответствует этому случаю.
Не изменяется гистограмма и, следовательно, в этих обстоятельствах случайная погрешность не влияет на численные значения интегралов ветроэнергетики, которые вычисляются по вероятностной форме этих интегралов.
Сравнение расположения в разрядах Ди. дискретных значений функций и2 (t) и и2е (^) = и2 (^) -е1 иллюстрирует второй случай, когда проявляется нормальное, с точки зрения здравого смысла, влияние случайной погрешности. Из-за этого влияния на рис. 6 в двух первых разрядах количества дискретных значений перераспределились. На гистограмме в этом случае из-за влияния случайной погрешности изменились значения плотности вероятности, что отражается и на величинах интегралов ветроэнергетики.
Будем количественно оценивать влияние случайной погрешности на величину плотности вероятности следующей разностью:
Дп
Д Р*¡ = Ps¡ - Pi =
nsj - nj
N Дм,.
N Дм,.
озаглавлены nsJ , приведены количества дискретных значений, попавших в указанный слева разряд.
Таблица 2
Функция u 1 (Г) при Дм = 0,1
_ Table 2
Function u 1(t) under Дм = 0,1
разряд nsj (м -s) nj (s = 0) nsj (м + s) Msj (м -s) knsj (м + s)
0-.1 5 5 6 0 1
.1 - .2 6 5 4 1 -1
.2 - .3 4 5 6 -1 1
.3 - .4 32 31 30 1 -1
.4 - .5 22 23 23 -1 0
.5 - .6 28 31 35 -3 4
6 7 43 41 36 2 -5
7 8 12 12 13 0 1
.8 - .9 17 15 16 2 1
.9 - 1 32 33 32 -1 -1
суммы 201 201 201
N Nj Nj / N max 1/N Д P* max
201 10 0,04975 5 0,004975 0,24875
] ]
При исследовании на математических моделях и (7) размер разряда определялся по формуле Д и. = 1/ NJ. Поэтому в представленных результатах
влияние случайной погрешности на величину дискретных значений функции плотности вероятности определяется формулой
• N.
Д Ре. = Дпе. N •
С помощью таблицы 2 иллюстрируется способ оценки влияния случайной погрешности на гистограмму с заданными количеством и размерами разрядов.
Здесь приведены данные для функций и1 (t) и и1е (^) = и1 (^) ± е, которые заданы N = 201 дискретным значением, при размере разряда Ди = 0,1. В левом столбце показаны разряды. В столбцах, которые
В правых столбцах, приведены разности Дпе. = пе] - п., которые являются результатом влияния случайной погрешности. В таблице 2 видны разряды, где Д п. = 0 .
Будем характеризовать влияние случайной погрешности на гистограмму при заданных величинах
N и N. модулем наибольшей величины |д пв шах|. Эта величина |Д пв шах| = 5 показана в нижней строке
таблицы. По этой величине вычисляется наибольшее для рассматриваемой гистограммы влияние случайной погрешности на величину плотности вероятности
Д Р*
= Дп_
Ni.
N
Из этой формулы следует, что влияние случайной погрешности на величину плотности вероятности зависит от влияния трех параметров.
На рис. 7 приведены результаты расчетов, иллюстрирующие влияние числа точек N на максимальную
погрешность расчета плотности вероятности Д р.
*
smax
из-за влияния случайной погрешности при различных размерах разрядов Д и. = 1/ N..
А n
s max
-1001 А Uj = 0,05
201
101
N = 51
0,005 0,01 0,015 0jß?N
А ns
1001
s max
1*1 А u= 0,1 12 10 8 6 4 2 0
201
-- 101 51
h- - -
N = 21
А n
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05
1/N
s max
А Uj = 0,25
1001
21 11
ал- -Л- - - Л- - -
N = 6
А p 0,8
0,7
0,6 Н
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
*
smax
0
f N = 51
А uj = 0,25
201
N = 6
101
А Uj = 0,10
N = 21 •
51
11
А uj = 0,05
4 101 ; ■ А
51
21
А
V 101
Nj = 20 N j = 10 Nj = 4
0,05 0,1 0,15 0,2 1/N 0
0,05
0,1
0,15 0,2
1/N
Рис. 7. Влияние числа точек N на погрешность A p*max
*
Fig. 7. Influence of points number to an error A p£max
Здесь же показаны графики А пе тах = /(1/ N), на которых видно влияние количества точек N на максимальную разность числа точек Апгтга = {пе] - п] )тах,
отражающее влияние случайной погрешности.
Из этих графиков видно, что с увеличением числа дискретных значений N, которыми задается изменение скорости по времени, влияние случайной погрешности через изменение числа точек в разрядах
|а пе тах| количественно усиливается. Однако за счет
отношения N / N, величина погрешности плотности
вероятности А р*
уменьшается.
с увеличением числа точек N
На рис. 8 белыми точками показаны результаты расчетов дискретных значений р* (и) функции плотности вероятности, на которых отражается изменение влияния случайной погрешности в величинах скорости для функции и1 (t) при возрастании числа N при неизменном размере разрядов Аи] = 0,1. На графике
видно, что при N = 51 влияние случайной погрешности в величинах скорости приводит к значительному разбросу значений плотности вероятности. В то же время при N = 1001 это влияние существенно меньше.
0
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014
© Scientific Technical Centre «TATA», 2014
P (u)
3т
N = 51 An, = 0,1
2.5 2 1.5 1
0.5 0
PT(u)
о u
а о ищи"
u, - S
P О)
3l
N = 201 Au, = 0,1
2 1.5 1
0.5 0
о 0 fi"
P (u) N = 1001 Au, = 0,1
3
2.5 2 1.5 1
1 u 0
Рис.8. Влияние числа точек N на плотность вероятности p (u) функций u 1(tt)±£(
* _
Fig. 8. Influence of points' number on a probability density p (u) of functions u 1(tt) ± £( На рис. 8 видно, что размер разряда Au = 0,1 яв- шать размер и увеличивать число разрядов N . Но,
но недостаточен для того, чтобы по дискретным значениям достоверно представить искомую функцию плотности вероятности, которая на этом рисунке показана толстой сплошной линией. Очевидно, что для получения более полного представления об искомой функции плотности вероятности необходимо умень-
как видно из графиков на рис. 7, уменьшение размера разряда увеличивает разность Апгтах = (пе] - п} )тах и
увеличивает число N} . Насколько сильно эти два
фактора увеличивают погрешность расчета дискретных значений функции плотности вероятности показано на рис. 9.
P (u) N, = 4 Au, = 0,25
P (u) N= 10 Au, = 0,1
3 2,5 ■ 2 1,5 ■ 1
0,5 ■ 0
1¡" b¡ Д Ml,.+S
0,2 0,4 0,6 0,8
3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
P*(u) N, = 40 Au, = 0,025
3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
0,2 0,4 0,6
0,8
0,2 0,4 0,6
2.5
0.5
0
0.4
0.8
u
u
Рис. 9. Влияние размера разряда Auj на плотность вероятности p* при числе точек N = 1001 функций u 1E(t)
* _
Fig. 9. Influence of discharge size Auj on a probability density pj with number of points N = 1001 of functions u 1£(t)
Из графика видно, что при малом размере разряда Аи} = 0,025 влияние случайной погрешности в величинах скорости на величину плотности вероятности значительно.
При традиционной обработке данных метеостанций считается, что для более точного расчета искомых величин ветроэнергетики необходимо как можно более точно воспроизвести функцию плотности вероят-
ности. Точное воспроизведение функции плотности вероятности обеспечивается, с одной стороны, правильным выбором аналитической формулы для этой функции, и, с другой стороны, сглаживанием влияния
на дискретные значения плотности вероятности случайной погрешности. Приведенные на рис.7-9 результаты показывают, что и для функции плотности вероятности р" (и), которая характеризует не случайный
процесс, а функциональную зависимость скорости от времени У^ ^), при наличии случайной погрешности в дискретных значениях скорости постановка и решение задачи «сглаживания статистических рядов» правомерны. Однако особый характер функции р (и) , которая содержит большое количество случайным образом разбросанных в области своего изменения бесконечностей, делает практически не реализуемым традиционный подход к решению задачи.
Приведенные на рис. 7-9 данные подсказывают и другой способ сглаживания влияния случайной погрешности в дискретных значениях скорости на дискретные значения функции плотности вероятности. На рис. 9 для гистограммы, рассчитанной при Ди. = 0,25 и числе дискретных значений скорости
N = 1001 влияние рассматриваемой случайной погрешности пренебрежимо мало. В то же время из рис. 7 видно, что увеличением числа точек N можно уменьшать это неблагоприятное влияние. Оценим, сколько необходимо дискретных значений скорости Nua!0M, чтобы при размере разряда Ди. = 0,025 , который обеспечивает достаточно полное представление об искомой функции плотности вероятности, влияние случайной погрешности в величине скорости было бы также пренебрежимо мало.
По результатам расчетов при Ди. = 0,25 и
N = 1001 имеем максимальное значение Дпешах = (пе - п. )шах = 1. Поэтому для рассматриваемого случая
А Р*
— Ane
N 1001
i 0,004.
А Р.
— An
е max е max
N
N„„
определяем
N„
Аи 14*40
N. —140000.
A p
0,004
Таким образом, теоретически увеличением числа N дискретных значений скорости, содержащей случайную погрешность, можно сделать влияние этой погрешности на значения плотности вероятности сколь угодно малым. Однако практически реализовать такое сглаживание влияния случайной погрешности во многих случаях весьма затруднительно.
3.2 Влияние случайной погрешности на величины интегралов ветроэнергетики, определяемых по алгоритму математической статистики, при изменении числа N дискретных значений скорости и размера разряда
Рассмотрим теперь влияние случайной погрешности в значениях скорости на характер изменения интегралов ветроэнергетики при изменении размера и количества разрядов при градации всего диапазона изменения скорости. Необходимые для такого рассмотрения графики представлены на рис .10-13. Здесь размер разряда определялся соотношением Д и. = 1/ N..
На рис.10-11 для функций и2е^) и и 1е(t), которые заданы N = 11 точками, показаны графики изменения относительных величин Ув (Ди.) и Эв (Ди.),
иллюстрирующие влияние случайной погрешности на точность определения искомых интегралов в вероятностной форме.
"ИХ »J
VB — J V„ P(V„) dY„ p
е V2 " V-1
J—1
Оставим теперь погрешность Д решах « 0,004 для
градации с размером Ди . = 0, 025 . При равномерной
градации этому размеру разряда соответствует число N. = 40 . Из рис. 7 следует, что с увеличением числа
точек N возрастает и разность Дпешах . В качестве
первой оценки примем, что при искомом значении
Кском величина Дпе шах = 14 такая ж6 ^ и при
N = 1001. Тогда из уравнения
Эв — 2 T J V3 P*(V«) IT£ pj
\V4 - V4
* г J Vj-1
Заметим, что это очень большое количество точек - минимальная оценка необходимого их количества.
На рис. 10-11 слева и справа от графиков и2е^) и и 1е (t) показаны гистограммы при Ди. = 0,1 и Ди . = 0, 2 . При вариации размера разряда можно определить его размер, когда эмпирическая гистограмма наиболее полно соответствует теоретической функции плотности вероятности. На рис.10-11 такие гистограммы получаются в обоих случаях при Ди . = 0, 2.
Из рассмотрения гистограмм на рис. 10 видно, что при Ди = 0,2 у функций и2 (t) и и2е (Т1) = и2 (Т1) - .
одинаковые гистограммы качественно соответствуют теоретической функции плотности вероятности. Обе гистограммы указывают, что у искомой функции плотности вероятности есть максимум. По графикам функций Ув (Ди.) и Эв (Ди.) видно, что в этом случае влияние случайной погрешности на величины искомых интегралов отсутствует.
м, - е -
а. И
з
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014
© Scientific Technical Centre «TATA», 2014
4 3 2 ■ 1 ■
0
Au = 0,1
j '
- Pj (u2) ■■ P*j(u2-S)
ал
0 0,2 0,4 0,6 0,i
1 u
Pj
4
3 ■ 2 ■
1 0
- Pj(u2)
■■■ Pj0/2+s)
V.
1,7 ■
....... VB,3B(u2-s)
—в— V7., :5b(«2)
---a--- Vb,3B{U2 +s)
N = 11
1,6
1,5 2 1,4 1,3 1,2 1,1 1
э.
3,2
3
2,8 2,6 2,4 2,2 2 1,8 1,6 1,4 1,2
Pj
2,5 2
1,5 1
0,5 0
Pj
2,5 2
1,5 1
0,5 0
Au = 0,2
j '
- Pj (u2)
Pj(u 2-S)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 u
Pj(u2) Pj(u2 + s)
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 u2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 A и. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 A и. 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 M2
Рис. 10. Влияние случайной погрешности на расчет VB и Эв функции u2(t ) Fig. 10. Random error influence on calculation VB & Эв of the function u2(t )
3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
3 2,5 2 1,5 1
0,5 0
Au = 0,1
j '
Pj(ui) Pj(u1-s)
h, n n h
0,2 0,4 0,6 0,8 1
Vb
1,3
1,25
1,2
1,15
P*j(ul)
Pj(u1+s) 1,1
__ э
VB,э.(е! -s) B
_ N = 11
—e— Vв,Эв(щ)
■■■»■■ VB, э.(ге1 + S)
h Imh
1,05
u 1 1
1,45 1,4 1,35 1,3 1,25 1,2 1,15 1,1 1,05 1
1,5 1
0,5 j 0
Au = 0,2
j '
Pj(u1) fj(u1~s)
0 0,2 0,4 0,6 0,i
Pj(u 1)
Pjjui +s))
u
0,5
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
0,5
u
u
Рис. 11. Влияние случайной погрешности на расчет VB и Эв функции u 1(t ) Fig. 11. Random error influence on calculation VB & Эв of the function u 1(t )
Совсем по-другому проявляется влияние случайной погрешности при сравнении функций и2 (t) и и2^) = и2(t¡) + е1 при Аи = 0,2 . Здесь из-за влияния случайной погрешности качественно изменилась гистограмма. По гистограмме функции и2в (^) = и2 (^) + е1 искомая функция плотности вероятности представляется без максимума, а первые два разряда явно выражают полочный участок гистограммы.
Аналогичн^1е качественн^1е изменения гистограммы из-за влияния случайной погрешности при Аи] = 0,2 видн^1 и на рис. 11 для функций и1 (t) и
и1в (tI.) = и1 (^) -£;. Если гистограмма функции и1 (Т1) обозначает один максимум, то из-за влияния случайной погрешности на гистограмме функции
и1в (tI.) = и1 (^) - е1 есть два максимума.
Такие изменения гистограмм приводят к заметным изменениям величин интегралов ветроэнергетики из-за влияния случайной погрешности. При этом оказалось, что для обеих функций при Ди . = 0, 2 из-за
влияния случайной погрешности расчет средней скорости и энергии стал более точным.
Отметим, что появление разрядов с нулевым значением плотности вероятности, как и при Ди . = 0, 1 ,
ничего качественно не меняет в характере влияния случайной погрешности как на гистограммы, так и на величины искомых интегралов.
Если теперь оценить по рис. 10-11 влияние случайной погрешности на величины интегралов ветроэнергетики во всем диапазоне изменения разряда Ди. ,
то необходимо отметить, что это влияние может привести и к ухудшению точности расчета этих искомых интегралов.
Массовые расчеты показали, что из-за влияния случайной погрешности величины Ув и Эв случайным образом могут быть более или менее точными по сравнению с их значениями, которые определены по точным дискретным значениям скорости.
На рис.12-13 показано влияние случайной погрешности на расчет относительных величин Ув (Ди.) и
Эв (Ди ) при числе дискретных значений функций и2е(-) и и 1е (Г) N = 201.
Сравнение графиков на рис. 10-11 и на рис.12-13 показывает, что увеличение числа дискретных значений скорости N позволяет ослабить влияние случайной погрешности.
VB
Vb
1.25
VB, Эв1>1 -е)
Ув.Ы"!)
-4. Vb,Эв(u 1 + е)
N — 201
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Ам,.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Au,
Рис. 12. Влияние случайной погрешности для u 1 (t ) Fig. 12. Random error influence for u 1 (t )
.... VB,3B(u2-e) -O— VB,3B(u2) VB,3B(u2 + e)
1
Au
1
Au,.
Рис.13. Влияние случайной погрешности для м2 (t) Fig.13. Random error influence for u2(t)
Заключение
Проведено исследование влияния случайной погрешности измерений скорости ветра на величины интегралов ветроэнергетики в двух случаях задания функции Vrrj (t) дискретными значениями.
Когда функция Va (t.) представляется полигоном,
который построен по заданным дискретным значениям, исследовано влияние случайной погрешности в двух случаях увеличения числа измерений N.
Первый случай отражает современную организацию измерений скорости ветра на метеорологических станциях, когда измерения производятся с постоянным шагом по времени Д t = 3 - 4 часа в течение многих лет. Исследование показало, что при интегрировании полигона за счет увеличения числа дискретных значений при постоянном шаге Д t = const (при этом расширяется область изменения функции Va (t) )
влияние случайной погрешности можно сделать сколь угодно малым. В пределе погрешность среднего значения определяется только величиной шага Д t .
Второй случай характеризуется тем, что увеличение количества измерений осуществляется путем уменьшения шага измерений по времени Д t ^ 0 при фиксированной области изменения функции V„ (t). В
этом случае при вычислении среднего значения интегрированием полигона за счет увеличения числа N дискретных значений влияние случайной погрешности тоже можно сделать сколь угодно малым.
В вероятностной форме интегралов ветроэнергетики влияние случайной погрешности измерений скорости ветра на величину этих интегралов осуществляется через её влияние на дискретные значения функ-
International Scientific Journal for Alternative Energy and Ecology № 12 (152) 2014
© Scientific Technical Centre «TATA», 2014
7
1.3
1.2
1.2
1.15
1.1
1.1
ции плотности вероятности. Теоретически увеличением числа N дискретных значений скорости, содержащей случайную погрешность, можно сделать влияние этой погрешности на значения плотности вероятности сколь угодно малым. Однако практически реализовать такое сглаживание влияния случайной погрешности во многих случаях весьма затруднительно.
Влияние случайной погрешности измерений скорости ветра на величины интегралов ветроэнергетики может привести как к уменьшению, так и к увеличению точности их вычисления. Оба этих события носят случайный характер. Теоретически с увеличением числа N дискретных значений скорости, содержащей случайную погрешность, влияние этой погрешности на значения интегралов ветроэнергетики уменьшается.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-08-01076-а.
Список литературы
1. Старков А.Н., Ландберг Л., Безруких П. П., Бо-рисенко М. М. Атлас ветров России. М.: Изд. «Мо-жайск-Терра», 2000.
2. Николаев В.Г., Ганага С.В., Кудряшов Ю. И. Национальный кадастр ветроэнергетических ресурсов России и методические основы их определения. М.: Изд-во «Атмограф», 2008.
3. Игнатьев С.Г. Функция плотности вероятности однозначной непрерывной и дифференцируемой функции V(t ) // Альтернативная энергетика и экология. 2013. № 1 (Ч. 2). С.63-93.
References
1. Starkov A.N., Landbergh L., Bezrukykh P. P., Borysenko M. M. Atlas vetrov Rossyy. M.: Yzd. «Moz-hajsk-Terra», 2000.
2. Nykolaev V.GH., Ghanagha S.V., Kudrjashov Ju. Y. Natsyonaljnyhj kadastr vetroehnerghe-tytcheskykh resursov Rossyy y metodytcheskye osnovyh ykh oprede-lenyja. M.: Yzd-vo «Atmoghraf», 2008.
3. Yghnatjhev S.GH. Funktsyja plotnosty verojat-nosty odnoznatchnoj nepreryhvnoo y dyf-ferentsyruemoo funktsyy V(t ) // Aljternatyvnaja ehnerghetyka y ehkolog-hyja. 2013. № 1 (TCH. 2). S.63-93.
Транслитерация no ISO 9:1995
