Вычисление характеристик стационарных случайных последовательностей экстремальных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»

№4(8) 2007

О. В. Стихова

Вычисление характеристик стационарных случайных последовательностей экстремальных величин

В статье рассмотрены методы оценивания характеристик стационарных случайных последовательностей экстремальных величин. В качестве математических моделей последовательностей экстремальных величин предложено использовать эконометрические модели АР(1), 6АИСИ(1,1). В результате вычислительных экспериментов по сравнительному анализу классических эконометрических моделей с использованием нормального закона и обобщенного закона Парето показана эффективность предложенных автором эконометрических моделей для моделирования и оценивания характеристик стационарных случайных последовательностей экстремальных величин. Полученные результаты были использованы для моделирования волатильно-сти как российского, так и зарубежных финансовых индексов.

1. Модель стационарных случайных последовательностей экстремальных величин

Рассмотрим стационарную случайную последовательность (Хп,п е N+), которая задана на некотором стохастическом пространстве (О,3(3п)п>0, Р). Предположим, что динамика поведения Хп описывается следующим выражением:

Хп = Ц п п?п , (1)

причем в (1) 7п «Р2 [0,1] является белым шумом в широком смысле. Мы предполагаем также, что условное среднее цп и волатильность ап 3п-1-измеримы. Найдем квантили таких распределений для к = 1,...,Ч где N может быть достаточно большим. Для этого введем РХ(х), функцию распределения процесса (Хп), и пусть РХп+1+...+Хп+к|3п (х)условная функция распределения (Хп) за последующие к измерения на фильтрации 3п. Выражение для квантили условной функции распределения ГХп+1+_+Хп+к|3п(х) имеет следующий вид: хп (к) = 1^(х е Р: Гхп+1+...+Хп+п (х) > ,).

Рассмотрим также условное математическое ожидание:

г

Ц (к) = Е

Поскольку

X Хп+! 1 =1

к > XХп+1 > хп (к), 3п

1 =1

ГХ„ +1|3„ (х) = Р(ап+1^п+1 + Цп+1 < х|3п) = Р?((х - цп+1 )/ап+1),

то выражения для хп и Бп имеют следующий вид:

хп = ц п+1 +а п+12,, (2)

зп = ц п+1 +а п+1 Е( 7 > 2,), (3)

18

№4(8) 2007

где — квантиль функции распределения (7). Мы должны построить соответствующие модели динамики для цп и ап прежде чем перейти к вычислению (2)-(3). Предложим модель ДВ(1) [Бпд!е (1982)] для условного среднего цп в качестве таких моделей:

М- п - ехп-1

и модель СДВСИ(1,1) [Bo!!ers!ev(1986)] для волатильности ап:

а2 -ао +а1Бп-1 +а2ап-1,

(4)

(5)

где еп - Хп -цп, а0 > 0, а, > 0, а2 > 0, а2 +а, < 1, | е |< 1.

Х 1 ц1 Хп цг

цп+1 - $Хп~2+1 - а0 + а 1~п2 + а2~п

где 8п - Хп -цп.

1000-

998 .999

.............,

-2 0 2 Квантили стандартного нормального распределения

Рис. 1. График квантилей остатков относительно квантилей стандартного нормального распределения

Предложим в качестве модели, описывающей функцию распределения остатков 7^, обобщенное распределение Парето (СРЭ):

\

19

м

I

О 00 о

Оценки условных средних(ц,..., цп) и волатильностей (а 1,...,ап) могут быть вычислены последовательной подстановкой в выражения (4)-(5) при соответствующем выборе начальных значений.

Тогда значения остатков имеют следующий вид:

(71,...,7п ) -

Оценки параметров е-(е,а0,аьа2) могут быть получены методом максимального правдоподобия. Оценки для условного среднего цп+1 и волатильности ап+1:

Как показал анализ остатков для большинства финансовых временных серий [Ра-дап(1996)], функция распределения 7п значительно отличается от предполагаемого в стандартных СДВСИ-моделях нормального распределения. На рис. 1 приведен график квантилей распределения остатков для дневных приращений значений фондового индекса Б&Р500 за период с 01.01.1996 по 31.10.2006 гг.

п

№4(8) 2007

GUi (У) =

-1/Е

i - (1 + Еу/ß)

1- exp( - y/ß),

Е^ 0, Е = 0,

s j s

5

Ol

а £

I

6

g

1 u

0

1

! «

8 S 5

о с

3

>s

з >

S

а

!

0

1

8

u *

¡5

u

i ■X

ü <u

! 5

s d§

где ß > 0, y > 0, когда Е > 0, и 0 < y < -ß/Е, Е < 0.

В работах Балкемы и Хаана [Balkema, Haan (1974)], [Pickands (1975)] доказано, что функции распределения FZ(z) из рассматриваемого нами класса аппроксимируются обобщенным

распределением Парето с параметром Е>0 высокой степени точности. Положим, что

k

N = ^ 1{z,- >u} — случайное число, равное количеству значений zk из выборки остатков,

i=1

превысивших порог u. Тогда имеет место соотношение

1 - Fz (z) = (1- F(u ))(1- Fu (z - u)). Из (6) получаем выражение для функции FZ(z) = P(Z >u):

(6)

N

Fz (z) = 1 - -(1 + Еn (z - u)/ß n )

1/Е N

(7)

где ЕN , РN — оценки значений параметров СРЭ, полученные методом максимального правдоподобия. Пусть нами построена порядковая статистика остатков 71,72,...7п. Зафиксируем некоторое число N - к,к << п и таким образом получим случайный порог и - 7к+1. Построим выражение (7) для выборки остатков следующего вида (71 -7к+1,...,7к -7к+1):

Fz (z) = 1 - k

1 + Е.

z - z.

\-1/F k

k У

Для q > 1- k/n получим выражение для zq:

zn = zk

Е k

1-q

-Е k

k / n

-1

(8)

(9)

Учитывая (7), (8), (9) для используемых нами данных фондового индекса Б&Р500, мы построили оценки при значении к -100. Результаты показаны на рис. 2. На нем для сравнения приведены аналогичные оценки для нормального распределения и ^-распределения Стьюдента.

Из сравнительного анализа полученных результатов следует, что нормальное распределение в значительной степени недооценивает как эксцессивные убытки, так и эксцессивные прибыли для исследуемых данных. Распределение СРЭ дает достаточно хорошие аппроксимации как для положительных, так и для отрицательных значений приращений остатков [Щетинин, Лапушкин (2004)].

2. Вычисление оценок моментов функции распределения остатков

Для построения оценок (2)-(3), мы должны вычислить Е(717 > 7Ч )для функции распределения (7). Положим, что

где р + иЕ > 0, Е< 1. Получаем

Z - u | Z > u ~GPD|(^ß), u +ß

E( Z |Z > u) =■

1-Е

(10)

n

20

^-F^x)

0.0500-

0.0050

0.0005

0.0001

Убытки

0.1000

0.0100

0.0010

0.0001

№4(8) 2007

Прибыль

м

I

О Щ

О

Рис. 2. Аппроксимация функции распределения дневных логарифмических приращений индекса Б&Р500

за период с 01.01.1996-31.10.2006 гг.

график 1 — обобщенное распределение Парето(СРЭ), график 2 — Г4-распределение Стьюдента, график 3 — стандартное нормальное распределение, график 4 — эмпирическое распределение. (Все оси представлены в логарифмическом масштабе.)

Для I, >и можно записать:

2 - 1Ц12 > 1Ц * 6Р01(ЪР + Ъ! - и)). Отсюда, воспользовавшись (10), получим

Е( 2\ 2 > I, ) = Zq

1 (1-^)1,

(11)

(12)

Воспользовавшись выражением (9) и (12) для оценки I,, а также, приняв и —получим оценку Б,":

— Ц "+1 + О г

1 . Р к Ъ к 1к+1

1- Ъ к (1 - Ъ к )?

к У

Исходя из (13), построим оценку отношения Б" и х":

Б" Б" -Ц "+1 Е(212 > I,

Х" Х" Ц "+1

(13)

(14)

В случае, когда (I) является стандартным нормальным распределением:

Е(Ц2 > I,) — к(I,),

\

21

I

ч

№4(8) 2007

где к(х) -ф(х)/(1-Ф(х)) — отношение Милла, а ф(х) и Ф(х)— плотность и функция стандартного нормального распределения соответственно. Можно воспользоваться в этом случае асимптотическим выражением для к(х) - х(1 + х+ 0(х~2)), при х^ да, из которого сле-

■ п

дует, что —— при Для СРЭ это отношение сводится к (1-Е)-1 >1, поскольку

<_

к (х)« х(1 + ОйБ/х1)/4). В табл. 1 приведены соответствующие значения для отношения (14).

Таблица 1

Значения отношения (14) для обобщенного распределения Парето с ^ - 0,231, ш - 0,564, при и - гк+1 - 1,212, и нормального распределения остатков

I $

? $

г

м а

I &

п

1 и

0

1

! «

8 £ 5

о с

£

>8 §

а

I

0

1

¡5

и *

15

и

I *

I

<и

I

5 $

? сё

Тип распределения 0,95 Порядок квантили д 0,99 0,995 Я

Обобщенное распределение Парето (СРЭ) 1,506 1,418 1,372 1,26

Нормальное распределение (Ф) 1,25 1,15 1,11 1,00

Из табл. 1 видно, что использование нормального распределения для описания функции распределения (7) приводит к занижению оценокх^ и для q > 0,95. Нормированные остатки определим в следующем виде:

V — С

Х п+1 ■п

«п+1 - ■

■ - г п+1 - Е( 7\ 7 > 7 q), Яп+1 - «п+1 /^аг( 7\ 7 >.

где 7 - и|7 > и |(Е,р),

учитывая (11), имеем величину риска (УаВ):

var(7|7 > 7q) -

(Р + Е(7q - и))2 (1-Е)2(1-2Е)

(15)

для 7п >и и Е< 0,5. Аналогичное выражение для (15) в случае нормального распределения 7 с использованием отношения Милла имеет вид:

var( 7\ 7 > 7 q ) - 1 + 7qk( 7 q ) - к (7п

(16)

Нас будут интересовать различия между значениями Хп+1 и оценками в случае, когда Хп+1 >~п, что эквивалентно 7п+1 >~. Сформируем выборку значений хп+1 таких, что хп+1 > ~п .Для них, учитывая (16), вычислим остатки {гп"+П: п е N, хп+1 > Зfqn}, где

- Б'

Гп+1 - ■

!Л/va7г(z|Z~>zqУ

(17)

а значения и var*(717 > 7п ) вычисляются последовательно для каждого хп+1 по формулам (13) и (15) для СРЭ и по формуле (16) для нормального распределения. На основании проведенных вычислений г„ для СРЭ и нормального распределения допущение о нормальности экстремальных остатков г„ является, на наш взгляд, несостоятельным.

22

№4(8) 2007

По имеющимся у нас оценкам рассмотрим оценки условных квантилей (к) для к > 1. Получить выражение для них подобно (9), (13) — достаточно сложно, поскольку СДВСИ-моделидля распределений ЕХп+1+Хп+к|3п (х) неизвестны в аналитическом виде [Щетинин, На-заренко (2004)]. Поэтому мы применили следующий подход: аппроксимировали выборку наших данных моделью ДВ(1)-СДВСИ(1,1) (4)-(5), а затем оценили «хвосты» распределения~ (7) из выражения (8). Мы разработали процедуру моделирования функции распределения ~ (7) в следующем виде:

F7 (z) =

1 + 5

(2) |Z Zn-k R(2)

v 1 n

'k У

-X 1(Z, < z), n

Z < Zn

Zn-k < Z < Zk+1

i=1 1-k

1 + 5

Z - Z,

\-1/5 k

k (1) 'k

Z > Zk+1.

Ol

t о

DO

о

Можно построить Ь выборок (х п+1,...хп+к) и, используя эту модель и оценки параметров

модели (4) и (5), вычислить соответствующие кумулятивные суммы реализаций XXn+j

j=1

откуда затем вычислить значения квантилей xqn (к). Для значений L « 10000 мы получили достаточно хорошие оценки для q > 0,95.

С тем чтобы выявить эмпирический закон зависимости условной квантили xqn(к) от xqn, рассмотрим xqn (к)/xqn, к > 1. Феллер [Феллер (1984)] установил, что для независимых, одинаково распределенных случайных величин X,, имеющих «тяжелохвостый» тип распределения:

(x-1/5kL(x))-1P(X1 +...+X, >x) ^ 1 приx ^да.

Отсюда можно получить для квантилей высокого порядка q > 0,95

xqn (k)/xqn « k4n>, (18)

где X(n) зависит от значения an. При k ^ да отношение (18) принимает вид xqn(k)/xqn « k1/2 [Balkema, Haan (1974)]. Мы применили наш алгоритм [Стихова (2006)] вычисления квантилей xqn(k) для k = 1,...,50 и различных уровней волатильности an.Табл. 2 содержит полученные значения A,(n).

Таблица 2

Значения \(n) для k = 1,...,50 и различных уровней волатильности ст„

n

Уровни волатильности ст„ Порядок квантили q 0,95 0,99

Низкий 0,643 0,646

Средний 0,60 0,581

Высокий 0,481 0,473

23

№4(8) 2007

Анализ табл. 2 показывает, что если начальное значение an велико (мало), то будущие значения волатильности, будут в среднем меньше (больше), чем a n .Таким образом, условная квантиль ~qn(к) будет возрастать медленнее (соответственно быстрее) по к. Рис.3 иллюстрирует соответствующие результаты для q = 0,99.

ï s

s

5

M

а £

I

6

Si

m

1 u

0 ï

1 «

8 S 5

о с

Рис. 3. Тестирование закона (18) для оценок эмпирических условных квантилей xq" (k)

в зависимости от k

график 1 — эмпирическое распределение, график 2 — соответствующие условные квантили, вычисленные по формуле (18)

В проведенных нами экспериментах по моделированию волатильности фондовых индексов NASDAQ, РТС, DAX-30 и ее прогнозированию, используя нашу модель (5) за периоды с 1973 по 2006 гг., мы получили результаты, представленные на рис.4 и в таблицах 3-6. Согласно полученным результатам, наша модель достаточно точно совпадает с исходными данными.

Волатильность

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 2200 2400 2600 2800 3000 3200 3400 3600

3800 4000 4200 Время

Рис. 4. Прогноз волатильности фондового индекса NASDAQ с использованием модели (5) за период 01.01.1973-31.10.2006 гг.

график 1 — оценка волатильности логарифмических приращений индекса NASDAQ, график 2 — модель (5) волатильности и ее прогноз

24

№4(8) 2007

Таблица 3

Оценки квантилей ~щ для логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса РТС за период 10.01.1998-31.10.2006 гг. для различных значений порога и

u k q = 0,999 q = 0,9999

0,05 729 0,0369 [0,198, 0,224, 0,261] [0,32, 0,37, 0,426]

0,06 597 0,0557 [0,206, 0,238, 0,321] [0,349, 0,396, 0,47]

0,08 361 0,0985 [0,227, 0,26, 0,348] [0,35, 0,43, 0,485]

0,1 239 0,1168 [0,23, 0,26, 0,36] [0,373, 0,43, 0,55]

м

t О

ad о

Таблица 4

Оценки квантилей ~q для логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса NASDAQ за период 01.01.1973-31.10.2006 гг. для различных значений порога u

u k q = 0,99999 q = 0,999999

0,01 834 0,217 [0,101, 0,122, 0,143] [0,187, 0,241, 0,29]

"X q 0,015 414 0,158 [0,101, 0,122, 0,143] [0,19, 0,249, 0,307]

0,02 227 0,118 [0,102, 0,126, 0,15] [0,195, 0,25, 0,316]

Таблица 5

Оценки квантилей ~щ для логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса ЭАХ-30 за период 01.01.1993-12.05.2006 гг. при различных значениях порога и

u k q = 0,999 q = 0,9999

0,005 914 0,00062 [0,038, 0,063, 0,089] [0,032, 0,09, 0,149]

X q 0,01 546 0,03938 [0,033, 0,064, 0,096] [0,024, 0,093, 0,161]

0,02 163 0,0116 [0,021, 0,069, 0,117] [0,005, 0,094, 0,194]

0,03 48 0,0077 [0,044, 0,069, 0,094] [0,058, 0,096, 0,127]

Таблица 6

Оценки значений и 95%-ые доверительные интервалы для величины риска щ (УаР(д)) и ожидаемого дефицита щ (ЕБ(щ)) для отрицательных логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса РТС за период 10.01.1998-31.10.2006 гг.

при значении порога и = 0,06

q

Величина риска q (VaR(q)) Ожидаемый дефицит q (ES(q))

q Значение Доверительный интервал Значение Доверительный интервал

0,99 0,111 [0,103, 0,123] 0,17 [0,169, 0,172]

0,995 0,152 [0,129, 0,215] 0,21 [0,197, 0,221]

0,999 0,238 [0,206, 0,321] 0,322 [0,232, 0,387]

0,9999 0,32 [0,314, 0,382] 0,435 [0,337, 0,539]

-V

Рынки ценных бумаг

25

No4(8) 2007

3. Заключение

В работе рассмотрены методы вычисления условных квантилей и математических ожиданий стационарных случайных последовательностей экстремальных величин. Для моделирования функции условного распределения инновационного процесса Zn мы использовали обобщенное распределение Парето. Для описания динамики характеристик последовательностей мы использовали параметрические модели AR(1) и GARCH(1,1). В вычислительных экспериментах исследовались индексы S&P500, PTC, NASDAQ за период с 1973 по 2006 гг., и было показано, что предложенный подход является более точным для моделирования волатильности, чем общепринятый метод моделирования функции распределения процесса Zn с помощью стандартного нормального распределения.

Предложена модификация эмпирического закона скейлинга (18) условных квантилей xnq (k)дляk > 1 последующих надпороговыхзначений (Xn+1,...Xn+k). Приведенные в работе вы-

финансовым временным сериям.

Результаты могут быть использованы для моделирования волатильности финансовых ак-

* x

s xq

| числительные эксперименты показали соответствие отношения (18) исследованным нами

щ

м а i

¡а тивов и оценивания рисков инвестирования. i

¡а. Список литературы

«

m Стихова О. В. Моделирование, оценка и методы прогнозирования рыночных рисков/XLII Всерос-<ъ сийская конференция по проблемам математики, информатики, физики и химии. Тезисы докладов. Сек-

0 ции физики. М.: Изд-во РУДН, 2006. С. 77.

£ Стихова О. В. Оценка рыночных рисков. Финансовый анализ. Методы прогнозирования/XIII конфе-

К §

if

g Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. М: Мир, 1984.

с Щетинин Е. Ю., Лапушкин А. С. Статистические методы и математические модели оценивания фи-£

>s §

х Н. Новгород, 2004. №2(29).

1

■с BollerslevT. Generalised Autoregressive Conditional Heteroscedastity// J. of Econometrics. 1986. №31 s

ренция серии Математика. Компьютер. Образование/Сборник научных тезисов под ред. Г. Ю. Ризни-ченко, НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». Ижевск, 2006. С. 286-287.

нансовых рисков. Математическое моделирование. Т. 16. Вып. 5. М.: Наука, 2004.

Щетинин Е. Ю., НазаренкоК. М., Парамонов А. В. Инструментальные методы стохастического анализа экстремальных событий. Математическое моделирование и оптимальное управление//Вестник ННГУ, Новгород, 2004. №2(29).

BalkemaA., Haan L. de. Residual life time at great age. Annals of Probability. 1974. № 2.

ü Engle R. Autoregressive conditional heteroscedastity with estimates of the variance of United Kingdom

u inflation. Econometrica. 1982. №4.

■s Pagan A. The econometrics of financial markets// J. of Empirical Finance. 1996. №3.

5 PickandsJ. Statistical inference using extreme order statistics//The Annals of Statistics. 1975. № 3.

¡S *

Ü <u

I

5

s

J

öS

26