CC BY
126
1 (1) - 2008
Финансовая информатика
математическая теория экстремальных величин в моделировании и оценивании финансовых рисков
Е.Ю. ЩЕТИНИН,
доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Прикладная математика» Московского государственного технологического университета «Станкин»
Введение
Исследования статистических свойств экстремальных событий представляют одно из важнейших направлений в современной математике. Областями приложений таких исследований являются, например, метеорология и сейсмология (прогнозирование различных событий катастрофического характера — ураганы, наводнения, землетрясения и др.), медицина и биология, а также экономика. Под экстремальными событиями в экономике нами понимаются такие события, вследствие наступления которых кредитно-финансовой организации, возможно, всей финансовой системе отрасли или даже страны будет нанесен значительный, можно сказать, экстремальный материальный ущерб. В качестве примеров экстремальных событий, возникающих в экономике, можно привести резкие и значительные колебания курсов мировых валют, биржевых индексов и цен на ключевые товарно-сырьевые ресурсы, отказ отдельных кредитно-финансовых организаций или государств в целом от выполнения своих обязательств по обслуживанию займов (корпоративные и суверенные дефолты), банкротства компаний и др. В финансово-экономической деятельности в качестве экстремальных событий часто рассматриваются финансовые риски. Например, в банковской деятельности это может быть риск невозврата кредитов (кредитные риски), риски, связанные с потерей банком текущей ли видности (операционные риски), риски, связанные с финансовой деятельностью на фондовых рынках (рыночные риски) и некоторые другие. В связи с этим перед каждым кредитно-финансовым институтом
возникает задача разработки эффективных методов измерения финансовых рисков и управления ими в целях создания такой его инфраструктуры, выбора соответствующей стратегии управления, например, в банковской деятельности — методика Capital at Risk [1], которая позволяла бы успешно осуществлять свою профессиональную деятельность. Перейдем к описанию математических моделей и методов измерения финансовых рисков. Для этого сначала рассмотрим основные предельные распределения экстремальных величин и их свойства.
1. предельные распределения экстремальных
величин
Поскольку экстремальные события носят случайный, непредсказуемый характер, то и величины экстремального ущерба от их наступления также будем полагать случайными величинами. Рассмотрим последовательность независимых, одинаково распределенных случайных величин X1,X2,...Xn, имеющих некоторую неизвестную функцию распределения F (x), и описывающих размеры убытков, возникающих в результате наступления некоторых экстремальных событий. Обозначим Mn = max(X1,X2,...Xn) . Очевидно, что
P(Mn < x) = P(Xx < x,..Xn < x) =
= ПP(Xk < x) = (F(x))n.
(1)
k=1
Рассмотрим нормализованную случайную
M - a . . „ величину Zn = —n-- , где an и bn >0 — некоторые
b
константы, и ее функцию распределения Нп(х) . Найдем условия, которые нужно наложить на функцию распределения F(х), при которых существуют такие последовательности констант ап ,Ъп > 0 , что величина Мп может быть нормализована константами ап ,Ъп > 0 так, чтобы предел
(
lim P
n — Х
Zn - an b
< x
= lim Hn (an + bn x)=H (x)
n —^ Х
существовал для всех точек непрерывности функции Н (х) , где Н (х) — невырожденная функция распределения. Обозначим через a(F) = Ы-(х: F(x) > 0) нижнюю крайнюю точку функции распределения F (х). Аналогично верхняя крайняя точка ®(F) функции распределения F (х) определяется соотношением щ (Р) = sup(х: ^(х) < 1).
Теорема 1. Пусть a(F) = х и существует константа у > 0, что для всех х > 0 выполняется соотношение
1 - F(tx) -Y
lim-= x '.
n—x 1 - F(t)
(2)
Тогда существует последовательность bn > 0, для которой выполняется соотношение lim P(Zn < bn x) = Hly (x),
где H, (x) =
exp(-x Y ),x > 0,
(3)
lim P(Z < an + bn x) = H2,у (x)
где H2 y (x) =
1
x > 0,
exp(-(-x)) ),x < 0.
(4)
lim1 - F(t + xR(t)) = e-x. n—x 1 - F(t)
(5)
Тогда существуют такие последовательности ап , Ъп > 0, для которых выполняется соотношение
Нт р( 1п < ап + Ъп х) = Нз,0(х)
где H3 0 (x) = exp(-e x)(-x < x <x).
(6)
0, х < 0.
Теорема 2. Пусть a(F) конечна, и пусть функция распределения F* (х) = F(a(F) -1 / х)( х > 0) удовлетворяет условию (2). Тогда можно выбрать такие последовательности ап Ъп > 0 , для которых существует предел
Теорема 3. Пусть при некотором числе а справедливо соотношение
| (1 - F(y))dy <х ,
а
и для a(F) < t <a(F) функция R (I) определена следующим образом:
R(t) = (1 - F(t))-1 | (1 - F(y))dy.
г
Предположим также, что при всех вещественных х существует предел
Соотношения (3), (4), (6) можно выразить в единой параметрической форме. Пусть (x) -функция распределения такая, что при всех x, удовлетворяющих соотношению 0 < H?(x) < 1, справедливо равенство
H? (x) = exp(-(1 + ^ x)-17«), (7)
где \ — вещественное число.
Для \ = 0 определим H% (x) как поточечный предел функции H% (x) при ^ — 0. Поэтому с точностью до сдвига и изменения масштаба из H? (x) получаем H1 y(x), H2 y(x) и H3 0(x) соответственно при
0, E,< 0 и 0, причем у = |1 /, если \ ф 0.
Необходимо отметить, что все возможности для существования асимптотического распределения максимумов независимых одинаково распределенных случайных величин исчерпываются теоремами 1 — 3. Другими словами, если F (x) не относится ни к одной из трех категорий из приведенных выше теорем, то не существует таких констант an и bn , для которых выполнялось бы соотношение (4). Следует также подчеркнуть, что константы an и bn могут быть выбраны не единственным образом. Однако функция H(x) не может существенно меняться при изменении величин an и bn при n — x . Поэтому мы должны говорить не о единственном предельном распределении, а о целом семействе. Это семейство можно рассматривать как некоторый тип распределений. Дадим следующие определения.
Определение 1. Пусть H (x) — невырожденная функция распределения, являющаяся одним из возможных пределов в соотношении (4). Тогда будем говорить, что функция распределения F(x) принадлежит области притяжения H(x), если существуют последовательности an и bn > 0 , для которых справедливо соотношение
lim Fn (an + bn x) = H(x). (8)
n—x
Будем обозначать принадлежность функции распределения F (x) области притяжения (Domain of Attraction) функции H (x) выражением F(x) e DA(H). Сформулируем изложенные выше результаты в виде следующих теорем.
Теорема 4. Существуют только три типа невырожденных функций распределения H(x), удовлетворяющих соотношению (1). Ими являются H1y (x)
из формулы (3), н2 (х) из формулы (4) и Н30(х) из формулы (6).
Проблемы асимптотической теории нормализованных экстремумов, сформулированные выше в виде теорем 1 — 4, широко исследовались в работах Б. В. Гнеденко [2], Л. де Хаана, Балкемы [3], Дж. Пикендса [4] и ряда других авторов. Доказательства этих теорем в расширенной формулировке также можно найти в монографии Я. Галамбоша [5].
Класс функций (х) , характеризуемый значением параметра ^ > 0 , относится к первому типу предельных распределений, называемому также типом распределений Фреше. Функции из этого класса характеризуются степенным характером убывания функции (1 - F(x)). Как показал в своей работе Б. В. Гнеденко [2], функция распределения принадлежит к типу распределений Фреше, если она удовлетворяет условию
1 - F(x) = х-17?L(x),x > 0, где L (л) — некоторая положительная измеримая
функция, такая, что для всех X > 0 , lim
L( Xx) L(x)
= 1.
мы в дальнейшем будем называть эксцессами. Изучение статистических свойств эксцессов важно по следующим причинам. Как известно, практическая деятельность кредитно-финансовых организаций не всегда является прибыльной, и они по разным причинам несут убытки. Некоторые из них не наносят значительного ущерба. Однако возможны и такие убытки, которые угрожают нанести организации урон, не позволяющий ей в дальнейшем осуществлять свою финансовую деятельность. Одной из основных задач, например в банковском секторе, является задача вычисления размеров резервного, рискового капитала (Capital at Risk) в целях страхования операционных рисков, неизбежно присутствующих в банковской деятельности. Поэтому возникает задача определения величины рискового капитала, текущей стоимости выданных кредитов и т. д., т. е. некоторого критического уровня, превышение которого в случае наступления экстремального события станет катастрофическим для предприятия. Итак, пусть функция распределения эксцессов, превышающих некоторый уровень и, имеет следующий вид
К этому типу предельных распределений относятся, например, такие распределения, как Парето, Коши, Стьюдента и некоторые другие. Их отличительной особенностью является тот факт, что не все их моменты конечны или не существуют. Ко второму типу предельных распределений, называемому также типом распределений Вейбулла, относятся функции, удовлетворяющие условию
1 - F(a(F) -1 /х) = х17?L(x) .
Как можно видеть, правая часть функций распределения (1 - F(x) ) ограничена и достаточно быстро убывает. Типу Вейбулла принадлежат, например, равномерное и бета-распределения. Третий тип предельных распределений известен как тип распределений Гумбеля с экспоненциально убывающей функцией (1 - F(x) ). К их числу относятся нормальное, логнормальное, экспоненциальное, гамма-распределения. Для моделирования и вычисления статистических характеристик финансовых данных наиболее интересным представляется тип распределений Фреше.
2. методы измерения экстремальных
финансовых рисков
Рассмотрим предельные распределения экстремальных величин, превышающих некоторое значение и > 0 . Такие экстремальные величины
Fu (x) = P(X - u < x | X > u),
(9)
где 0<x<a(F)-u.
Выражение (9) можно переписать в следующем
виде:
F (x) =
F(x + u) - F(u) 1 - F(u)
(10)
Определение 2. Обобщенное распределение Па-
рето.
1 / %
Gр(x) =
)1 - (1 + %x/ ß ) [ 1 - exp( - x/ ß )
0, % = 0,
(11)
где ß > 0, x > 0, когда % > 0, и 0 < x <-ß / % , когда % < 0. Параметр % характеризует форму функции G% р (x) . Иногда в определение функции G% р (x) необходимо ввести параметр локализации ц, тогда мы будем рассматривать обобщенное распределение Парето в виде G% р ц (x) = G% р (x - ц) .
В работах А. Балкема и Л. де Хаана [3], а также Дж. Пикендса [4] доказано, что функция Fu (x) слабо сходится к функции G% р(x) при стремлении порога u к правой границе a(F) функции F (x), т. е.
lim sup F (x) - G% „ (x) = 0, (12)
u F) 0< x<a(F)-J ' 1
тогда и только тогда, когда F е DA(H%).
Рассмотрим методы измерения риска возникновения убытков от наступления некоторого экстремального события, полагая, что нам известна
функция распределения убытков F (х) и некоторое число q е (0,1) , такое, что хд — квантиль ^-порядка функции распределения F (х) :
xq = F
(q) = inf(x e R, F(x) >
Определение 3. Мера риска Value at Risk (VaR) наступления экстремального события, состоящего в том, что убытки L превысят некоторый уровень l, определяется квантилью q-порядка функции распределения F (x)
VaR(q) = inf(/ e R, P(L > I) £ 1 - q) =
= inf(l e R,F(l) > q) = xq. (13)
Методика измерения риска VaR (q) позволяет дать оценку потенциального ущерба от наступления экстремального события, т. е. того уровня убытков, который будет превышен в течение характерного интервала измерений, исходя из накопленных исторических данных и заданной вероятности q.
Кроме того, проблематика финансового менеджмента требует необходимости построения оценок ожидаемого, наиболее вероятного значения убытков Expected Shortfall, при условии, что они превысили некоторое пороговое значение u > 0 , а именно, значение потенциального ущерба u = VaR(q). Тогда нужно рассматривать не условную вероятность (9) того, что потери превысят установленный порог, а условное математическое ожидание
E(u) = E(X \X > u).
Таким образом, в качестве еще одной меры риска будем рассматривать ожидаемое значение убытков Expected Shortfall (ES), при условии, что убытки превысили значение потенциального ущерба VaR (q):
ES(q) = E(X \ X > VaR(q)) . (14)
3. методы оценивания статистических
характеристик эксцессов
Одной из основных задач, возникающих в области финансового менеджмента, является оценивание потенциального ущерба в случае наступления экстремальных событий, являющихся редкими событиями, но наносящих значительный финансовый ущерб. Решение этой задачи сводится нами к вычислению величины VaR (q) из соотношения (13), где число q может принимать значения порядка q « 0,99 — 0,9999. Поскольку соответствующие им значения квантилей xq = F-1 (q) могут просто отсутствовать в исследуемой выборке, для решения поставленной задачи нам необходимо прежде всего
построить аналитическое продолжение эмпирического распределения заданной порядковой статистики, т. е. получить выражение для F(x) = P(X > u). Как уже было сказано выше, функция Fu (x - u) может быть аппроксимирована с помощью обобщенного распределения Парето в виде G— (x — u). В результате для F(x) = P(X > u) получим
F(x) = 1 -^(1 + C^)-1^ , (15)
n (в
где p — оценки параметров обобщенного распределения Парето, полученные, например, методом максимального правдоподобия.
Итак, мы построили оценку «хвоста» функции распределения эксцессов в виде выражения (15). Для заданной величины q > F(u) оценка q-кван-тили xq может быть получена путем обращения выражения (15):
-1
- Р
xq = u + —
Ч t
— (1 - q)
v v
откуда непосредственно получаем для оценки меры риска VaR (ф из соотношения (13)
VaR(q)=х(ц). (16)
С учетом соотношения (16) выражение (14) можно записать в виде
E(q)=VaRM+
(17)
1 -% 1-% Подставив оценку квантили VaR(q) = X(q) в соотношение (17), получим оценку меры риска (14)
ES (q) = -Щ + • 1-S 1-S
(18)
где р — оценки параметров обобщенного распределения Парето.
4. Вычислительные эксперименты
Предложенные в работе методы вычисления статистических характеристик эксцессов были применены для оценивания финансовых рисков существенных изменений стоимости мировых фондовых индексов в условиях их высокой во-латильности. В вычислительных экспериментах была использована статистика фондовых индексов NASDAQ, DAX-30, S&P500 и РТС. На рис. 1 построен график отрицательных логарифмических приращений дневных значений закрытия фондового индекса Российской торговой системы (РТС) за период 10.01.1995 — 12.09.2006.
На практике для конечных выборок имеет место лишь асимптотическое выполнение теоремы
Рис. 1. График отрицательных логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса РТС за период с 10.01.1995 по 31.10.2006
А. Балкема, Л. де Хаана, поэтому между теоретическим р (х) и эмпирическим распределениями всегда существуют различия. Одним из методов, позволяющих увидеть эти различия на качественном уровне, является квантильный метод. Наглядно его можно проиллюстрировать 0() -графиком. По его вертикальной оси откладываются Q-квантили экспоненциального распределения как частного случая обобщенного распределения Парето, а по горизонтальной оси — О -квантили
—____\тг-
0 1
Рис. 2. Графики функций распределения, аппроксимирующих эмпирическую функцию распределения отрицательных логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса РТС за период 10.01.1995 — 31.10.2006
эмпирического распределения. О) -график имеет вид
(Хк:п,^( )),к = 1,...п
п
где Хк:п — к-я порядковая статистика;
С0- 1 — функция, обратная экспоненциальному распределению.
Точки статистики должны приблизительно лежать на прямой линии, если они являются независимыми и одинаково распределенными по экспоненциальному закону. Отклонение от указанного поведения свидетельствует о различных типах поведения «хвоста» распределения: выпуклый вверх график функции свидетельствует о его «тяжелохвостости», т. е. принадлежности к типу распределений Фреше. Необходимо заметить, что отклонения от идеального экспоненциального распределения тем более заметны, чем более представительной является исследуемая статистика. На рис. 2 построены графики функций распределения из класса распределений Фреше (Стьюдента- Т, Парето, обобщенное распределение Парето), аппроксимирующих эмпирическое распределение отрицательных логарифмических приращений дневных значений за-■ ■ ■ крытия индекса РТС за период
10.01.1995 - 31.10.2006. На нем также построен график аппроксимации эмпирической функции распределения рассматриваемых данных с помощью логнормального распределения, строго говоря не принадлежащего к этому классу, но достаточно часто используемого для моделирования приращений стоимости финансовых активов. Анализ рис. 2 показывает, что наилучшим из рассмотренных распределений приближением эмпирической функции распре-1 деления исследуемых данных является обобщенное распределение Парето.
Применение модели эксцессов предполагает, что мы
можем выбрать порог и > 0 такой, что справедлива теорема А. Балкема, Л. де Хана (12), а вычисленные некоторым способом оценки параметров
С (и), в (и) позволят построить удовлетворительное приближение функции распределения эксцессов с помощью функции ОС~ л в, , (х). Одним из спо-
С, (и),р (и)
собов выбора значения и является анализ графика средних значений эксцессов выборки: {(и,е (и)),Х < u < X, },
^ ' п I У/' П:П 1:П } 7
где наши данные Xi упорядочены в виде
тт/X, ...X } = X < X . <... < X. = М ,
1 , -1, 1,
а X1.п и Xn.n — первый и последний члены порядковой статистики эксцессов.
Функция средних значений выборки эксцессов еп(и) имеет вид
I (X, - и )
еп (и) = ^-,
Ё1(X, > и)
г=1
т. е. определяется как сумма значений эксцессов, превысивших заданный порог и, деленная на их количество. Функция е» является эмпирической оценкой для условного математического ожидания е(и) = Е(Х - и\Х > и) . Если график еп(и) представляет собой некоторую монотонно возрастающую функцию за пределами порога и, то это позволяет утверждать, что распределение
выбранных нами эксцессов следует обобщенному распределению Парето с положительным параметром ^ > 0 . В этом случае выражение для e (u) имеет следующий вид
e(u) = + ^ u)/(1 ),1, р + ^ u > 0. (20)
На рис. 3а построен график QQ -квантилей относительно квантилей экспоненциального распределения, а на рис. 3б — график функции en(u) . Они также показывают, что рассматриваемые нами данные имеют функцию распределения с «тяжелыми» хвостами. Графическая интерпретация en(u) состоит в том, что если построенный график имеет положительный наклон, начиная с некоторого уровня u, то это — показатель того, что исследуемые данные имеют обобщенную функцию распределения Парето с положительным параметром \ . Именно это и наблюдается на рис. 3б.
Для рассматриваемых данных индекса РТС проведена аппроксимация эмпирической функции распределения с помощью функции обобщенного распределения Парето при выбранном значении порога u = 0,06. Графики эмпирического распределения и его аппроксимация с помощью обобщенного распределения Парето с полученными значениями параметров построены на рис. 4.
Необходимо отметить, что оценки VaR (q) и ES (q) зависят от выбранного значения порога u и соответствующего количества эксцессов Nu. Сложность решения проблемы выбора порога заключается в том, что при больших значениях u, близких к крайней
а б
Рис. 3. Графические методы анализа эмпирического распределения эксцессов, превысивших заданный порог: а) график QQ — квантилей; б) график функции еп (и).
ФИНАНСОВАЯ АНАЛИТИКА
68 ^ проблемы и решения
Рис. 4. Аппроксимация эмпирического распределения отрицательных логарифмических приращений дневных цен закрытия РТС за период 10.01.1995 - 31.10.2006
правой точке статистики, размер выборки эксцессов Nu может оказаться недостаточным для получения
достоверных оценок параметров , р . Графики О) -квантилей и е,
(и )
позволяют сделать выводы лишь качественного характера о свойствах эмпирического распределения выборки эксцессов. Более содержательным при выборе порога является анализ графика значений оценки Хилла ((к, Н-1п ),1 < к < п) для параметра \. В работе [7] величина Нк п = 1 / определена в следующем виде
1
нк п = к Е1п х
к 1=1 хк+1 ,
где к < п.
С. Резник и Л. де Хаан доказали [8], что Нк ,п является асимптотически нормальной оценкой для
0.02 0,06 0,1 0,14 0,18
Рис. 5. График оценки Хилла ((к, Н-П), 1 < к < п)
т. е. Нкп ^ , п ^ да, к /п ^ 0 , что означает стабильность оценки Хилла на некотором интервале значений к. График Хилла позволяет выделить интервал стабильности Нк ,п и, таким образом, выбрать соответствующий порог и. На рис. 5 построен график Хилла (вместе с 95 %-ными доверительными интервалами) для данных РТС.
На нем выделен интервал стабильности и для различных принадлежащих ему значений порога были вычислены оценки УаЯ(д) для q = 0,9999, 0,9999. Результаты приведены в табл. 1. Из табл. 1 видно, что устойчивое значение оценки УаЯ может быть получено для интервала значений порога [0,05; 0,1]. Для фондового индекса РТС было выбрано значение порога и = 0,06. Для значений д = 0,99 - 0,9999 были вычислены оценка VaR (ф по формуле (16), величина ES (ф превышения порога VaR (ф по формуле (18), а также построены их 95 % -ные доверительные интервалы. Результаты вычислений приведены в табл. 2.
Заключение
В работе рассмотрены методы и модели оценивания финансовых рисков возникновения экстремальных убытков в результате значительных колебаний стоимости активов на мировых фондовых биржах. Проведенный в работе анализ статистических свойств убытков в различных секторах мировых финансовых рынков показал, что эмпирическое распределение экстремальных убытков принадлежит классу «тяжелохвостых» распределений. Сравнительный анализ распределений из этого класса, таких как распределения Стьюдента, Парето, а также обобщенное распределение Парето, показал, что обобщенное распределение Парето является более предпочтительным для моделирования функции распределения экстремальных убытков. Варьирование пороговой величиной допустимых убытков дает возможность более точно, по сравнению с другими рассмотренными в работе функциями распределения, аппроксимировать эмпирическое распределение эксцессов, и, следовательно, более точно вычислять оценки его квантилей высокого порядка.
Таблица 1
Оценки квантилей Хд для логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса РТС за период
10.01.1995 — 31.10.2006 для различных значений и
u к 1 q = 0,999 q = 0,9999
0,05 729 0,0369 [0,198, 0,224, 0,261] [0,32, 0,37, 0,426]
0,06 597 0,0557 [0,206, 0,238, 0,321] [0,349, 0,396, 0,47]
0,08 361 0,0985 [0,227, 0,26, 0,348] [0,35, 0,43, 0,485]
0,1 239 0,1168 [0,23, 0,26, 0,36] [0,373, 0,43, 0,55]
Таблица 2
Оценки значений аЯ(4) и ES(q) с 95 %-ными доверительными интервалами для отрицательных логарифмических приращений дневных цен закрытия фондового индекса РТС за период 10.01.1995 — 31.10.2006, и = 0,06
q VaR(q) ES(q)
Value CI Value CI
0,99 0,111 [0,103, 0,123] 0,17 [0,169, 0,172]
0,995 0,152 [0,129, 0,215] 0,21 [0,197, 0,221]
0,999 0,238 [0,206, 0,321] 0,322 [0,232, 0,387]
0,9999 0,32 [0,314, 0,382] 0,435 [0,337, 0,539]
Использование обобщенного распределения Парето в качестве модели эксцессивных убытков позволило уточнить методы оценивания финансовых рисков Value at Risk и Expected Shortfall в условиях высокой волатильности стоимости финансовых активов на мировых фондовых биржах. Так, показано, что использование нормального распределения приводит к существенному занижению значений VaR и ES и, соответственно, к недооцениванию рисков возникновения экстремальных убытков в результате резкого значительного падения стоимости финансовых активов. Расширенные исследования различных методов моделирования и анализа эмпирических распределений экстремальных рисков приведены в работах [9, 10].
Литература
1. Basel Committee on Banking Supervision, Amendment to the capital accord to incorporate market risks. Basel Commitee Publications, Bank of International Settlements, 1996.
2. Гнеденко Б. В. Предельные теоремы для максимального члена вариационного ряда. ДАН СССР, 32, №1, 7. 1941.
3. Balkema A., de Haan L. Residual life time at great age, Annals of Probability 792 - 804, 1974.
4. Pickands J. Statistical inference using extreme order statistics, Annals of Statistics, 3, 119 — 131, 1975.
5. Galambos J. The asymptotic theory of extreme order statistics. 1978. J. Wiley&Sons. N. Y.
6. EmbrechtsP., Kluppelberg C., Mikosch T. Modelling extremal events for insurance and finance. 1997, Springer, Berlin.
7. Hill B. A simple approach to inference about the tail of a distribution, Annals of Statistics, 3, 1163 — 1174,1975.
8. Haan L. de, Resnik S. On asymptotic normality of the Hill estimator, Stoch. Mod., 12. Р. 699 — 724, 1996.
9. Щетинин Е. Ю., Лапушкин А С. Статистические методы и математические модели оценивания финансовых рисков. Математическое моделирование. 2004. Т. 16. Вып. 5. С. 40 — 54. М.: Наука, 2004.
10. ЩетининЕ.Ю., НазаренкоК.М. Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин; Прикладная эконометрика, 3(7), 2007. С. 17 — 26. М.: Market DS.
