Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин Текст научной статьи по специальности «Математика»



Ik3(7) 2007

Е. Ю. Щетинин, К. М. Назаренко

Модель распределений вероятностных смесей экстремальных величин

В работе предложена новая математическая модель вероятностной смеси экстремальных величин, разработаны и строго обоснованы эффективные алгоритмы ее моделирования и вычисления размеров рискового капитала по VaR-технологии. На примере ценовых данных индекса Dow Jones 01.01.1950— 10.08.2005 был проведен сравнительный анализ расчетов оценок VaR с использованием порогового метода и модели вероятностной смеси, показавший высокую эффективность смешанной модели для вычисления рискового капитала инвестиционной компании.

овременные финансовые рынки характеризуются значительными колебаниями стои-

мостных показателей их активов, что, как правило, негативно отражается на экономи-

ческом развитии как отдельных компаний, так и регионов, стран в целом. Все это, как следствие, приводит к высокой волатильности ценных бумаг на фондовых рынках, возрастанию рисков значительных убытков от инвестирования в них, а также возникновения существенного ущерба от некорректного формирования видов вложения капитала и ценных бумаг для инвестирования. В связи с этим, как отмечается Базельским комитетом по регулированию банковской деятельности, одной из актуальных и значимых задач управления рисками является формирование рискового капитала инвестиционной компании и корректное вычисление его величины [Basel Committee (2004)], [Щетинин (2005)].

Современный уровень развития финансовых рынков предъявляет высокие требования к математическим методам количественного анализа и управления рисками, все большее место среди которых занимают методы теории экстремальных величин [Galambos (1978)]. С точки зрения их практического применения для решения задачи вычисления достаточных размеров рискового капитала наиболее удобным является пороговый метод [Embrechts, Kluppelberg et al. (1997)]. Проведенные нами исследования рисков инвестирования на фондовых и страховых рынках с использованием порогового принципа показали, что в условиях высокой волатильности финансовых активов основной проблемой является оценивание порогового значения по выборке ценовых показателей финансовых активов [Scshetinin, Nazarenko (2003)]. Существующие в настоящее время модификации порогового метода не позволяют корректно решить эту проблему, поэтому целью данной работы является разработка нового теоретико-вероятностного подхода к моделированию экстремальных величин.

Кратко изложим содержание порогового метода [Balkema, de Haan (1974)]. Обозначим через F(x) функцию распределения вещественной случайной величины X и пусть

Fu (x) = P(X < u + x| X > u).

1. Пороговый метод моделирования экстремальных величин

44

N93(7) 2007

Через хш обозначим верхнюю крайнюю точку случайной величины X. Тогда согласно теореме Балкема — де Хаан X принадлежит области притяжения функции распределения экс-

I 8-

тремальных величин, тогда и только тогда, когда существует положительная вещественная « функция а (и), такая что ^

\\m\Fu (ха(и)) - (х )| = 0, (1) ^

где й2,а — обобщенное распределение Парето с параметрами 2 и а [Pickands (1975)]. Это распределение имеет следующий вид.

I

<ъ

С а (X) = 1- (1 + £х/а)-V2, (2) а

если выполняется одно из условий:

a) 2 > 0 и х > 0,

b) 2<0и0 < х <-а/2.

и С2,а (х) = 1 -ехр(х/а),

если 2 = 0и а>0.

Очевидно, что распределение имеет тяжелый хвост, если 2 > 0. Следовательно, для некоторого высокого порога и, Еи(х) может быть аппроксимирована обобщенным распределением Парето (2) с соответствующими значениями параметров 2 и а. На практике аппроксимация хвоста эмпирической функции распределения осуществляется по данным, превышающим порог и, причем параметр и, как правило, неизвестен. Таким образом, для строго обоснованного применения модели (2) хвоста эмпирического распределения, т. е. для справедливости теоремы Балкема — де Хаан (1), необходимо корректно оценить пороговую величину цензурирования, фактически описываемую параметром и. С одной стороны, величина порога и должна быть выбрана достаточно большой, что оставляет лишь небольшое количество членов выборки для оценивания параметров 2 и а, ведет к возрастанию их ва-риаций;с другой стороны, слишком низкий порог чреват нарушением условия (1) и увеличением систематической ошибки их оценок.

В связи с изложенным, методы фиксированного выбора порога не позволяют решить задачу вычисления необходимого размера рискового капитала финансовой компании, санкционирующего осуществление эффективных инвестиционных стратегий. В следующем разделе будет предложена и исследована новая модель функции распределения экстремальных данных, позволяющая более гибкое ее описание.

2. Метод моделирования вероятностной смеси экстремальных величин

Одним из эффективных направлений решения поставленной задачи является развитие адаптивных методов, не требующих предварительного выбора порога. В работе Дюпюи [Эирь^ (2000)] предложен упрощенный механизм проверки модели для выбора порога. В этом методе каждой точке исходных данных присваивается некоторый вес от 0 до 1, более высокий вес означает достаточную точность аппроксимации. Несмотря на ее преимущества, все еще остается потребность использования порога для уровня весов.

В этом параграфе развивается адаптивный подход к моделированию функции распределения убытков, опирающийся на три следующих положения: во-первых, в отличие от порогового метода, при моделировании принимается во внимание вся выборка;во-вторых, в ка-

-V

Рынки ценных бумаг

45

№3(7) 2007

честве модели эмпирической функции распределения используется вероятностная смесь двух распределений, одним из которых является распределение (2);в-третьих, по мере стремления кxш, доля случайных величин, имеющих распределение (2), является монотонно неубывающей функцией.

Теорема 1. Пусть X1, X2,..., Xn — совокупность неотрицательных независимых или слабостационарных, одинаково распределенных, случайных величин, в которой доля значений, имеющих распределение (2), описывается возрастающей функцией p(x;9) (со значениями в (0,1]), такой что

lim p( x ;9) = 1. (3)

Тогда их плотность распределения имеет вид:

„ , [1- Р(x;9)] f(x;ß) + p(x;9)g(x; )

l( x) =-, (4)

Z( 9, ß,

где g(x; 2,,а)— плотность распределения (2):

g(x; ij,a) = a[1 + ^) ' ^ ©

f(x;ß)— некоторая другая плотность распределения, § Z(9,ß, 2,,а)— нормализующая константа.

Доказательство приведено в работе Щетинина, Назаренко и Парамонова [Щетинин, На-заренко и др. (2005)]. Модель (4) является вероятностной смесью ( и д, где смешивающая функция р(х;9) зависит от х. Согласно свойству (3) правый хвост 1(х) определяется для больших х компонентом (2), тогда как левый хвост описывается с помощью функции ((х).

у

I

03

¡8 -о

I

¡а. В качестве модели (4) рассмотрим следующую:

8 / \ т 11 (х — ц 1

р(х,9) =- + — агйд!-- 1,9 = (ц, т), ц, т> 0, (6)

о 2 л ( т )

\

и Й

¡е распределение Вейбулла, плотность которого имеет вид:

и о

Е §

&

03 >5

^ ^=[>.*V—<-.-(2—Xх—^^♦М£—!ц)И)—1* !

^ Рассматриваемая плотность распределения 1(х) (4) имеет шесть параметров:- и Xдля ком-

¡5 понента плотности Вейбулла, ц и т — смешивающей функции р, 2, и а — для плотности рас-

4 пределения (5).

§ Тяжелохвостые распределения могут быть формально описаны с помощью понятия регулярно изменяющихся функций.

с параметрами локализации ц и масштаба т. В качестве левого компонента смеси возьмем

ность которого имеет вид:

/г(х; -, X) = -X- х1 е — ^>-, -, X > 0. (7)

Нормализующая константа в этом случае:

46

N93(7) 2007

Определение 1. Измеримая функция Ь:(0, да) ^ (0, да)является регулярно меняющейся § на бесконечности с индексом ре^, если, для х >0, Ц

, Ь(гх) р мт-= хр

Г^да

Ь(Г)

-V

ф Рынки ценных бумаг

47

8 £

Множество таких функций будем обозначать через .

Если р = 0, Ь называется медленно меняющейся (на бесконечности). Будем обозначать л

медленно меняющиеся функции через Ь. Если Ь е ЯУр, то Ь(х)/хр е ЯУ0. Далее, полагая |

Цх) = Ь(х)/хр, получаем, чтофункция Ь е ЯУр представима как Ь(х) = Цх)хр. Э1

Определение 2. Говорят, что неотрицательная случайная величина является регуляр- ^ но меняющейся, если ее функция распределения Г удовлетворяет условию Г е ЯУ-а для некоторого а> 0, где Г = 1-Г.

Определение 3 (обобщенная обратимость). Пусть Ь — неубывающая на % Определим обобщенную обратную Ь следующим образом:

Ь^ (и) = ¡п^х е^: Ь(х) > и}, (8)

принимая inf0 = да.

Следующая теорема обосновывает свойства (2) введенной выше модели (4).

Теорема 2. Пусть р(х) — медленно меняющаяся возрастающая функция, принимающая значения на (0,1], для которой справедливо (3). Пусть (и д — два тяжелохвостых распределения, таких что Р(Х >х) ~ сх2 для большихх. Обозначим их хвостовые индексы через 2д и 2 г соответственно и предположим, что 2д<2f, такчтоlim д(Г)/f(t) = 0. Тогда смесь (1-р(х)У(х) + р(х)д(х)

-7 Г^да „

после нормализации на константу / является плотностью с хвостовым индексом 2д.

Утверждение остается верным даже в том случае, когда f —легкохвостое распределение.

Другим выбором для функции р может служить функция Хевисайда:

П, х >9,

Р(х,9) = {0,х <(9 (9)

В этом случае параметр 9 является порогом и, над которым в модели (4) участвует лишь компонент (2).

3. Алгоритм генерирования вероятностных смесей

Для моделирования величин с динамически смешанным распределением мы предлагаем использовать следующий алгоритм генерирования динамически смешанной выборки (4).

Шаг 1. Генерировать и равномерно на [0,1).

Шаг 2. Если и < У2, то генерировать х из ^х);взять х с вероятностью 1- р(х) и закончить; или с вероятностью р(х) вернуться к шагу 1.

Шаг3. Если и > 12, то генерироватьх изд(х);взятьхс вероятностьюр(х) и закончить;или с вероятностью 1 - р(х) вернуться к шагу 1.

Следует пояснить, что на шаге 2 х выбирается с вероятностью 1- р(х), а с вероятностью р(х) алгоритм перезапускается, нашагежеЗ, напротив, хвыбирается с вероятностьюр(х), ас вероятностью 1-р(х) алгоритм перезапускается.

№3(7) 2007

В работе выполнена калибровка модели (4) с использованием выборок, полученных при помощи алгоритма 1. Нами исследовались 12 различных комбинаций параметров. Использовались только положительные значения £,, так чтобы 1(х) и д(х) в формулах (4) и (5) былитя-желохвостыми. Для каждой комбинации параметров генерировались выборки размером N - 10 000. На рис. 1 показаны плотности распределения для случаев 1 и 10 из табл. 1. В первом из них распределение Вейбулла унимодально, вто время как в случае 10 распределение Вейбулла не имеет моды.

у

0,28 0,260,240,320,300,280,260,240,220,200,170,160,140,120,100,080,060,040,020

1 I I \ \

\

\\\ сч\

0

1 2 б) а Рис. 1. Плотности распределения: а) для случая 1; б) для случая 10

Плотности смешанной модели 1(х) —

.компонентов Дх)—----, д(х)— —. —.—

48

Ns3(7) 2007

Форма плотности распределения Вейбулла в значительной степени зависит от значения параметра р. В случае р< 1, f(x) не имеет моды и f' (x) < 0для всех положительных значений x, в случае р > 1 функция f(x) унимодальна. В случае р = 1, f(x) представляет собой экспоненци- | альное распределение. В экспериментах мы использовали значения р = 2,0 и р = 0,5. Значе- ^ ние параметра X выбиралось таким образом, чтобы математическое ожидание плотности распределения Вейбулла равнялась 1, т. е. X = Г(1 +1/р). В весовой функции мы использовали значения ц е {0,5,1,5} и те {0,5,1,5}. Значение параметра 2 выбиралось 2 е {0,25,0,5,1}, в случае 2 = 1 распределение имеет наиболее тяжелый хвост. Значение масштабирующего параметра обобщенного распределения Парето а е {0,5,1,5}. Комбинации выбираемых значений g параметров приведены в табл. 1 (с 1 по 12). uj

4. Вычисление размеров рискового капитала инвестиционной компании

Одной из основных проблем финансового риск-менеджмента является проблема достаточности рискового капитала, т.е. капитала необходимого для покрытия убытков, неизбежно присутствующих в финансовой деятельности. Поэтому возникает задача определения величины рискового капитала, текущей стоимости выданных кредитов и т.д., т. е. некоего критического уровня, превышение которого станет катастрофическим для предприятия [Щетинин, Назаренко и др. (2005)]. Обычно для оценивания размеров рискового капитала применяется концепция Value at Risk (VaR) [Basel Committee (2004)].

VaR(q) = inf(x е Я, Fx (x) > q) = x,. (10)

Используя выражение (8) для модели (4), можно получить оценку величины (10) как обобщенную обратную величину функции распределения с плотностью l(x). Таким образом, VaR-технология на практике состоит в вычислении допустимого порогового уровня убытков компании, а именно условной квантили xq.

Предложенная нами модель позволяет решить эту задачу следующим образом. Следуя введенным ранее обозначениям, определим значение порога xs:

xе = {x: inf(P(X > x,Z = 1| A = 1) < s)}

для некоторого достаточно малого значения s. Тем самым для X, имеющего плотность распределения l, пороговое значение xs определяется как

s = р} (X > x s n X ~ f(x)) и может быть найдено из уравнения:

f[1- p( x )]f (x )dx

Jxs

-= s,

["[(1- p(x))f(x) + p(x)g(x)] dx

которое в силу того, что f (x) имеет легкий хвост, а g( x) — тяжелый, эквивалентно следующему:

1- Р( x, 9) f (x) = s p( x, 9) g( x) 1 — s

В табл. 2 приведены результаты оценивания порогового значения xs для каждого из двенадцати случаев при s = 0,001. В табл. 2 также приведены оценки параметров распределения (2), используются члены выборки, превосходящие x s .Анализ табл.2 позволяет сделать выводотом, что выбор xs в качестве порогового значения в большинстве случаев является оправданным.

49

Нв3(7) 2007

Рис. 2. Гистограмма логарифмических приращений индекса DJ и ее аппроксимация

§ I

03

й

i -о

<ъ &

£ п

U

Ü U

-о

Е

U

0

iE §

& 03

>s

1

ig

if &

u

a -0

s

5

В данном разделе мы используем смешанную модель для аппроксимации эмпирической функции распределения 4246 логарифмических приращений фондового индекса Dow Jones за период 01.01.1950 — 10.08.2005. На рис. 2 показана гистограмма распределения выборки и ее аппроксимация смешанной моделью. Полученные оценки параметров модели приведены в табл. 3, а значения VaR — в табл. 4.

5. Выводы

В работе предложена новая математическая модель вероятностной смеси экстремальных величин. На наш взгляд, многочисленные известные на текущий момент методы детерминированного выбора порога являются ограниченными в силужесткого разделения исследуемых данных на экстремальные и неэкстремальные с последующей аппроксимацией распределения надпороговых величин обобщенным распределением Парето. В разработанной нами модели предлагается описывать область экстремальных величин, не выделяя их при этом из всей совокупности данных. Исходя из этого порог рассматривается как некоторая функция принадлежности членов выборки к одному из определенных выше классов случайных величин (Вейбулла или обобщенного распределения Парето).

На основе предложенного подхода разработаны и строго обоснованы эффективные алгоритмы моделирования смеси экстремальных величин и вычисления размеров рискового капитала по VaR-технологии. На примере ценовых данных индекса Dow Jones 01.01.1950 — 10.08.2005 был проведен сравнительный анализ расчетов оценок VaR с использованием порогового метода и модели вероятностной смеси. Его результаты показали, что смешанная модель позволяет более точно оценить значение порога и соответственно вычислить размер рискового капитала.

50

Ns3(7) 2007

Приложение

Таблица 1

Комбинации значений параметров и их оценок методом максимального правдоподобия для размера выборки N = 10 000

Weibull component parameters Weight function parameters | GPD component parameters

Р Р А А т т k k а а

1 2,0 2,059 0,886 0,888 1,0 1,001 1,0 1,007 0,5 0,496 1,0 0,998

2 2,0 2,126 0,886 0,914 1,0 0,739 1,0 1,066 0,25 0,193 1,0 1,061

3 2,0 2,055 0,886 0,883 1,0 0,975 1,0 1,099 1,0 1,018 1,0 0,962

4 2,0 2,103 0,886 0,815 1,0 0,836 1,0 0,661 0,5 0,519 0,5 0,440

5 2,0 1,933 0,886 0,894 1,0 1,088 1,0 1,081 0,5 0,459 5,0 5,376

6 2,0 1,809 0,886 0,904 0,5 0,730 1,0 1,837 0,5 0,451 1,0 1,122

7 2,0 2,004 0,886 0,881 5,0 4,973 0,5 1,059 0,5 0,502 1,0 1,002

8 2,0 1,891 0,886 0,860 1,0 1,095 5,0 0,470 0,5 0,490 1,0 0,988

9 2,0 2,046 0,886 0,877 1,0 0,418 1,0 5,122 0,5 0,498 1,0 0,994

10 0,5 0,495 2,0 2,002 1,0 0,929 1,0 0,859 0,5 0,497 1,0 0,988

11 0,5 0,506 2,0 2,044 1,0 0,926 1,0 0,829 0,25 0,257 1,0 0,967

12 0,5 0,530 2,0 2,047 1,0 0,628 1,0 0,327 1,0 0,995 1,0 1,027

I &

M £

I

<ъ

S2 ui

Таблица 2

Оценки параметров обобщенного распределения Парето, полученные с использованием N членов выборки, превосходящих пороговое значение хе, полученного из уравнения (11) для значения е = 0,001

Case k а 1 N =1 а 000 N X г k N =10 000 а N X г

1 0,5 1,0 0,356 1,402 165 2,72 0,506 0,950 1252 3,40

2 0,25 1,0 0,137 1,601 60 3,97 0,216 0,994 841 3,20

3 1,0 1,0 0,720 2,257 122 6,05 1,007 0,934 1946 3,44

4 0,5 0,5 0,113 1,982 58 3,00 0,373 0,876 455 3,70

5 0,5 5,0 0,396 5,133 483 2,70 0,431 5,115 4057 3,52

6 0,5 1,0 0,667 0,644 107 4,16 0,447 1,123 1059 3,94

7 0,5 1,0 0,078 3,338 62 4,06 0,329 2,082 741 4,09

8 0,5 1,0 0,412 1,205 161 3,00 0,465 1,068 1157 3,66

9 0,5 1,0 0,296 2,410 82 3,86 0,460 1,117 937 3,70

10 0,5 1,0 — — 1 57,10 0,376 2,011 18 41,91

11 0,25 1,0 — — 0 65,18 — — 0 95,88

12 1,0 1,0 0,858 1,443 33 26,70 0,922 1,026 557 14,08

Таблица 3

Оценки параметров смешанной модели, полученные в результате аппроксимации данных индекса Dow Jones

Weibull component parameters Weight function parameters GPD component parameters

Р X А т k а

1,415 1,2 0,545 1,935 0,25 0,5

-v

Рынки ценных бумаг

51

Нв3(7) 2007

Таблица 4

Значения VaR для данных индекса Dow Jones, полученные при помощи

смешанной модели

q 0,95 0,99 0,999 0,9999 0,99999

VaRq 2,14 4,169 9,1497 17,9757 33,6357

Таблица 5

Анализ порогового значения для различных уровней значимости

S 10-2 10-3 10 -4 10 -5 10 -6

x s 3,91 4,82 5,50 6,15 6,89

Таблица 6

Значения квантиля, полученного с помощью пороговой модели с различными значениями порога

§ I

03

й

i -о

<ъ &

£ п

и

Ü и

-о

iE

U

0

iE §

& 03

>s

1

ig

if &

u

a -0

s

5

Порядок квантиля 3,91 Значение порога 4,82 5,50 6,15

0,95 1,5191(1,1565) 4,3542(0,8222) 2,9374(6,5416) 6,1463(0,0075)

0,99 2,8859(0,3931) 4,4704(0,5205) 3,7227(3,5226) 6,1463(0,0075)

0,999 5,3234(0,5527) 5,5427(0,9861) 5,8668(0,4732) 6,1487(0,0025)

0,9999 8,4777(2,7022) 14,2119(28,6882) 10,3917(9,1239) 23,9706(115,3777)

0,99999 12,5594(7,6629) 84,2984(446,7733) 19,9408(51,2386) -(-)

В скобках указаны среднеквадратичные отклонения оценок.

Список литературы

Щетинин Е. Ю. О новых подходах к управлению компанией в чрезвычайных ситуациях // Финансы и кредит. 2005. № 30(198). С. 71-75.

Щетинин Е. Ю, Назаренко К.М., Парамонов А. В. О методах анализа эффективности бизнеса компании в условиях высокой изменчивости ее финансовых показателей. Динамика неоднородных систем. М.: КомКнига. 2005. № 9(2). С. 206-212.

BalkemaA. A., de Haan L. Residual life time at great age // Annals of Probability. 1974. № 2. P. 792-804.

Basel Committee on Banking Supervision, 2004.

Dupuis D. J. Exceedance over high thresholds: A guide to threshold selection, 2000.

Embrechts P., Kluppelberg C., Mikosch T. Modelling Extremal Events// Applications of Mathematics: Stochastic Modelling and Applied Probability. Springer Verlag. 1997. № 33.

GalambosJ. The Asymptotic Theory of Extreme Order Statistics//John Wiley and Sons Inc. New York, Chichester, Brisbane, Toronto, 1978.

PickandsJ. Statistical inference using extreme order statistics// The Annals of Statistics. 1975. №3. P. 119-131.

Scshetinin E., Nazarenko K. Mathematical models and methods of estimation extreme values distribution functions//PreprintJINR, 2003.

52