CC BY
15
УДК 621.31
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭМ ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО ЛИНЕЙНЫМ УЧАСТКОМ ПРОВОДНИКА С ПЕРЕМЕННЫМ ТОКОМ НАД ПОЛУПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ
В.Ю. БЕЛАШОВ*, И.А. ДМИТРИЕВ**, А.И. КИЛЕЕВ*
*Казанский государственный энергетический университет **КНПП «Вертолёты МИ»
Представлено решение задачи вычисления электромагнитного поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью с помощью специальной модификации метода зеркальных изображений. Показана неприменимость обычных геометрических построений, принятых в стандартном методе зеркальных изображений. Предложена новая расчётная схема.
Ключевые слова: электромагнитное поле, дифракция, граничные условия, метод зеркальных изображений.
Введение
Решаемая задача относится к классу задач дифракции электромагнитных (ЭМ) полей на проводящих и полупроводящих объектах, актуальных как в контексте проблемы исследования полей, генерируемых, например, элементами электроэнергетических систем (в частности, в задачах ЭМС) [1], так и в плане практического использования результатов при изучении структуры и интенсивности ЭМ поля вблизи объектов различной, подчас довольно сложной, конфигурации (строения, трубопроводы, открытые кабельные линии, сложные антенные системы и т.п.), что требует анализа суммарной картины, представляющей собой суперпозицию поля источника и поля, являющегося результатом дифракции на соответствующем объекте [2]. В работе [3] рассматривалась задача вычисления ЭМ поля, создаваемого горизонтальным отрезком провода с переменным током на основе стандартных в методе зеркальных изображений геометрических построений. При этом выяснилось, что полученное решение противоречит второму закону Снеллиуса. Настоящая работа посвящена снятию этого противоречия путем специальной модификации метода и соответствующей расчетной схемы.
Постановка задачи
Предположим, что около границы раздела (параметры сред известны) находится отрезок тонкого проводника (провода), по которому протекает
переменный электрический ток II. Между проводом и плоскостью существует
разность потенциалов и (рис. 1). Примем, что линейные размеры отрезка (длина I и диаметр й) существенно меньше размеров полеобразующей системы (т.е. расстоянию от проводника с током до полупроводящей плоскости Н) и длины волны ЭМ поля X , т.е.
I << Н, I << X ; й << Н, й << X. (1)
Требуется найти распределение электромагнитного поля, создаваемого
© В.Ю. Белашов, И.А. Дмитриев, А.И. Килеев Проблемы энергетики, 2009, № 7-8
рассматриваемой полеобразующей системой.
Основная трудность при расчете поля заключается в необходимости удовлетворения решения задачи граничным условиям. В случае переменного ЭМ поля условия для векторов поля на границе раздела реальных сред записываются в следующем виде [4]:
Е т 1 = Е т 2 ,
^а 1 Еп1 = ^а 2 Еп 2,
Н т 1 = Н т 2 ,
^ а 1 Нп1 = ^ а 2 Нп 2-
(2)
(3)
(4)
(5)
Рис. 1. Полеобразующая система
Кроме того, на поверхности проводников необходимо добиться выполнения условия равенства скалярного потенциала поля заданному значению:
ф = С,
(6)
где С — комплексное число.
Поле, создаваемое переменным током, протекающим по отрезку провода (рис. 2), аналогично полю элементарного электрического вибратора (диполя) [6]:
н ф - —
I э е—зт0
.2
-(1 + гут ),
Ег -■
4 ят' I э е—^ соз0
гшга 2 пт
3
(1 + гут ),
1эе 11т18Ш0/ 2 2\
Е 0 ---—+ гут — у т ).
гшга 4 ят
3
(7)
(8)
(9)
Аэ =
Д а!е -
(10)
4 яг
где у = Шд/ца~а - комплексный коэффициент распространения; г - расстояние до точки наблюдения; Iэ - сила электрического тока; га = га - г уэ/ш -комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; ц а -абсолютная магнитная проницаемость среды; Уэ - удельная электропроводность; ш - круговая частота колебаний.
Рис. 2. Система координат отрезка провода
Сделаем одно важное замечание. В работе [3] получено решение задачи «отрезок провода с переменным током над проводящей плоскостью». Это решение совпадает при ш = 0 с известными из электро- и магнитостатики решениями [5]. Однако оно противоречит второму закону Снеллиуса для ш Ф 0. Покажем это. Рассмотрим стандартное в методе зеркальных изображений расположение фиктивных источников поля (рис. 3). Пусть 0 = 90 °, и = 0. Поле фиктивного
тока 12 моделирует отраженную волну, а поле фиктивного тока 13 -преломленную волну. В этом случае угол отраженной волны а2 равен углу падающей а, что соответствует первому закону Снеллиуса. Однако при этом и угол преломленной волны апр оказывается равным а, что противоречит
второму закону Снеллиуса:
sin а
sin а
пр
И.
У1
Рис. 3. Определение ЭМП методом зеркальных изображений
Целью данной работы является преодоление этого противоречия и построение соответствующим образом модифицированной расчетной схемы. Для проверки корректности наших выкладок, получаемые зависимости будем сравнивать с формулами Френеля [4] для горизонтально:
W2 cos а - W1 cos а
пР
'отр
F -
W2 cos а + W1 cos а пр 2W2 cos а
F п,
F п,
(11)
(12)
W2 cos а + W1 cos а пр и вертикально (15), (16) поляризованных волн: . W1 cos а - W2 cos апр
отр
F — пр
W1 cos а + W2 cos а пр
2W2 cos а W1 cos а + W2 cos а пр
F п,
F п,
(13)
(14)
где Еп, Еотр и Епр — напряженность электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн; Wl, W2 — волновое сопротивление первой и второй сред; а , апр — углы падающей и преломленной волн.
Горизонтально поляризованная волна
Решим задачу в плоскости Z0Y (рис. 4). Первый и второй токи, определяющие поле в верхнем полупространстве, расположим как обычно -симметрично относительно границы раздела сред, т.е.
0 2 = 01 = 900
Ф 2 =Ф 1 =Ф, г2 = Г1 = г .
Рис. 4. Горизонтально поляризованная волна: а) верхнее подпространство, б) нижнее
подпространство
Всё пространство заполним средой с параметрами верхнего полупространства.
В отличие от стандартных в электро-магнитостатике геометрических построений фиктивный ток 13 , определяющий поле в нижнем полупространстве,
расположим в другом месте, нежели ток 11. Изначально будем предполагать, что угол преломленной волны а 3 = ф 3 1 найдется из второго закона Снеллиуса, а Г3 -из условия равенства оптического пути падающей и преломлённой волн на границе раздела сред:
У1
Г3 =-г .
У 2
(16)
Примем, что между проводом и плоскостью отсутствует разность потенциалов, а
0 3 = 0 = 900
и, следовательно, выражения (7)-(9) примут вид:
1 Используем ф для обозначения угла падающей волны, т.к. данном случае а=ф . © Проблемы энергетики, 2009, № 7-8
• I э e- iYrl
H y=---— (1 + iyr ), (17)
4 nr 2
Er = 0, (18)
(l + iyr - у2r 2 ). (19)
I э e "iYr l
i©
~ 3 iM£a 4 nr
Отнесем E © к H ф
I э e -iYr l
(1 + iyr - y 2 r 2 )
& ~ 3 * ' 2 2
• E © гш£а 4 nr3 1 + iYr - Y r
W© = —© =-——^-=--. (20)
НФ - 1 э e ~iYri (1 + .Yr) /ш~йг (1 + iYr)
4 nr 2
Из условия равенства тангенциальных составляющих H на границе раздела сред имеем первое соотношение:
f e © (I 1) E © (I2)) E © (I3)
--—----—- cosФ =--—-cosФ3. (21)
W© 1 W©1 ) W© 2
Второе получим из условия равенства тангенциальных составляющих E на границе раздела:
E© (l3 )= E© (l 1)+ E© (l2 ). (22)
Подставляя (22) в (21), получим связь между электрическими компонентами полей токов 11 и 12 на границе раздела сред:
• ( ) W©2 cos Ф- W©1cos Ф 3 • ( )
E© (12 )=-E© (11 ). (23)
W©2 cos ф + W©1 cos ф 3
Далее, используя (20), получим величину фиктивного тока I2 :
& W©2 cosФ-W©1cosФ3 •
12 =-11. (24)
W©2 cos ф + W© 1 cos ф 3
Теперь найдем параметры поля фиктивного тока 13 . Для этого подставим (23) в (22) и после преобразований получим связь между электрическими компонентами полей токов I 3 и I1 :
2W©2 cosф cos ф + W©11
© Проблемы энергетики, 2009, № 7-8
© (i 3 )=—^ати—e © (11). (25)
W©2 cos ф + W©1 cos ф 3
Перепишем (25) с учётом (20):
I3 e-iY2Г31 ( . 2 2 ) 2W& 2eos ф h e -iY 1 r1 l ( . 2 2 ) (26)
—-H1 + iY2Г3 - Y2r3 )--—-41 + iY 1 n - Y2 ^ j. (26)
гю£я24ЯГ3 2 cosф+ W@i cosф3 гю£аi4я^
Для выполнения равенства (26) необходимо, чтобы показатели экспонент были равны между собой, т.е. выполнялось условие (16). С учётом этого после сокращения получим
■ 2W&2 cosф 2 Y3 • (27)
13 =----311. (27)
W02 cos ф + W01 cos ф 3 £a 1 Y 2
Переписав (23), с учётом (20), и имея в виду (16), получим
Y 2 1 -cos ф--cos ф 3
12 = ^--11. (28)
Y 2 1 -cos ф +-cos ф 3
~а 2 Y1 ~a 1
Умножая в (28) числитель и знаменатель на y 1 и учитывая, что Y = «V £а Да , окончательно получим соотношение между токами I2 и I1:
W2 cosф-Wi cosф3 •
12 = -Т-1-Ч^ i 1, (29)
W2 cos ф + W1 cos ф 3
Д а 1 W
- и W2 =
Д а 2
- волновые сопротивления первой и второй сред
~а 2
где Wi =
" ^а 1 соответственно.
Аналогично трансформируется выражение для нахождения электрической компоненты поля тока 13 (27):
• 2W2 cosф •
13 =-11. (30)
W2 cos ф + Wi cos ф 3
При сравнении с формулами Френеля (11), (12) видно, что зависимости (29), (30) полностью тождественны им.
Итак, нам известны все компоненты полеобразующей системы, изображённой на рис. 4. Проверим теперь выполнение второго закона Снеллиуса. Для этого перепишем граничное условие для нормальных компонент вектора
напряжённости магнитного поля H(5), учитывая (7):
-*Г 1 rt /3 g - iY 2 r3 J
(. . \ e •1 i 13 e ■ ■* " 1
11 + 12 )a 1-— (1 + iY 1 r)sinф = д a2-2-(1 + iY2r3 )sinф3 . (31)
4 яг 2 4 nrj
Из (31) следует соотношение синусов углов падающей и преломлённой волн:
13 e -2 Г3 l (1 . )
Д a 2-2-(1 + 112 Г3 )
sin m 4 nr
3 -. (32)
sin m 3 (■ ■ \ e ly 1 rl
У3 (^i +12 )a 1-— (1 + lY 1 r)
4 nr
Составим выражение для векторного потенциала Аэ на границе раздела сред. По определению, касательные компоненты векторного потенциала на границах раздела сред должны совпадать, т.е. А т 1 = Ат 2. С учётом (10) в нашем случае на границе раздела первой и второй сред получим
дa 111 e-lY 1Г11 Дa 1 he~¿Y 1Г11 Дa2I3e—*2Г3 l -+-=-.
4 nr 4 nr 4 ЛГ3
Следовательно,
д 2 r e ly 2 r3
11 +12 = a 2 -13. (33)
Д a 1 e lY 1 r r3
Подставляя (33) в (32), получаем sin ф r (1 + ly 2 r3 )
(34)
sin ф 3 r3 (1 + ly 1 r) Учитывая, что y 2 r3 = y 1 r , придём к соотношению между синусами углов наклона радиус-векторов токов 11 и 13 к границе раздела сред: sin ф y 2
-- = —, (35)
sin ф 3 у 1
что представляет собой второй закон Снеллиуса. Вертикально поляризованная волна
Решим задачу в плоскости Z0X в отсутствии разности потенциалов между проводом и плоскостью (рис. 6). Результирующая напряженность электрического поля в данном случае выражается, как
01
Í ■ — lyr »л Л
■ г^-^ 1э e ly l cos0 I э e 'r l sin0 í ~
■ = ijE2r + E0 = ---— (1 + lyr) + ---— (1 + lyr — y2r 2 )
v lraea 2nr3
2 f Iэ e " lyrl sin0/ Л
-3 ч l®ea 4nr
2
1э e—lyrl sin0
-3 lM£a 4 nr
—)/4ctg2 0(1 + lyr)2 + (1 + lyr — y2r 2 )2 .
(36)
Как следствие, отношение электрической компоненты поля к магнитной
4^20(1 + гуг)2 + (1 + гуг - у 2г 2 )2
I э е - 1уг1 з1п 0
Ж =
гшгв 4 яг'
Н ф
1э е з1п 0
(1+гуг)
4 яг
2
^4^20(1 + гуг)2 + (1 + гуг - у2г2 )2 гшгяг (1 + гуг )
Величина Н ф взята без знака минус в соответствии с рис. 5.
(37)
Рис. 5. Решение для случая вертикально поляризованной волны: а) верхнее полупространство, б) нижнее полупространство
Из условия равенства тангенциальных составляющих Н на границе раздела сред имеем первое соотношение:
Е (11) Е (12 ) Е (13 )
(38)
Ж
1
Ж
1
Ж
2
Вторую связь получим из условия равенства тангенциальных составляющих Е на границе раздела:
(- Е (11)- Е (12 ))соз а = - Е (13 )соз а -
3. (39)
Выражения (38), (39) позволяют получить зависимость между электрическими полями заданного тока 11 и фиктивных 12 , 13 :
• / • \ Wi cos a - W2 cos a 3 • / • \
E(/2 )=- —---3E(/1) (40)
Wi cos a + W* cos a 3
(\ 2W2cos a / \
/3 )=--—•-E(/! ). (41)
Wi cos a + W* cos a 3
Теперь найдём r3 . Для этого подставим в (41) выражение для E (36):
/ 3 *-Л 2 /sln0 3 ^4ctg2 0 3 (1 + jy 2 Г3 )2 +(1 + jy 2 Г3 - y 2 rj )2 = 2 4 nr3
2W2 cos a • • r l sin0 I I " { ~> ->\2
= --—•-/1 *_ 1 r —-^V4ctg20(1 + И1r)2 +(1 + /Y1 r - Y2r 2 ) .(42)
Wi cos a + W2 cos a 3 /Ю£а 14 nr
Равенство (42) справедливо только в случае равенства показателей экспонент, т.е. iy 2 Г3 = iy 1 r, откуда вновь следует соотношение (16).
Найдем теперь 0 3 . Для этого составим уравнение на границе раздела сред для нормальных компонент вектора E :
- £a 1E(/1 )sin a + £a 1E(/2 )sin a = -£a2 E(/3 )sin a 3 . Отсюда sin a ~й 2 E(/3 )
sin a 3 £a 1 E (i 1)— E (i2 )
Подставляя в (43) выражения (40) и (41), получим sin a = -a 2 w2
sin a 3 -a 1 W1
Найдём решение в общем случае. Раскроем (44), учитывая (37):
(43)
(44)
sin a
¿a 2 V
i о о \2 ~
4ctg 0 3 (1 + iy 1 r ) + + iy 1 r - y J r J 1 r (1 + iy 1 r )
sin a3 ~a 1 ^4ctg20(1 + iy 1 r )2 + (1 + iy 1 r - y2r 2 ) гШ~«2r3 (1 + iy2r3 )
(45)
Принимая во внимание (16), получим sin a y 2
-= S—, (46)
sin a 3 y 1
^4ctg2 0 3 (1 + jy 1 r )2 +(1 + jy 1 r - y 2 r 2 )2 где множитель S = следует трактовать
^4ctg20(1 + jy 1 r )2 +(1 + jy 1 r - y 2r 2 )2
как коэффициент, вносящий поправку в закон Снеллиуса на сферичность волны.
Далее, согласно рис. 5, угол а есть функция углов 0 и в : а = п/ 2 - 0 + в , а sin а найдётся как
sin а = sin(n/ 2 - 0 + в) = cos(e - 0) = cos в cos 0 + sin в sin 0.
Учитывая, что
Er 2ctg (1 + iYr ) в = arctg-= arctg-
E 0 1 + iYr - y 2 r 2
и используя стандартные геометрические преобразования, получим
cos 0(1 + jyr + у 2 r 2 + 2(1 + jYr )) sin а = . (47)
Ц1 + hr + Y2r 2 )2 +(2ctg0(1 + jYr ))2 Подставляя теперь (47) для углов а , 0 и а 3, 0 3 в (45), в итоге найдём: cos 0 y 2 cos 0 3 y 1
Отметим, что в квазиоптической области поля соотношение между электрической и магнитной компонентами поля W становится равным волновому
сопротивлению среды >/да /£а и, как следствие из (44), получим второй закон
Снеллиуса:
sin а £а 2
Д а 2
8Ш а 3 ~а ~а 2! Д а 1 У1 Выводы
В работе исследована задача вычисления ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью с помощью специальной модификации метода зеркальных изображений. При этом показана неприменимость обычных геометрических построений, принятых в стандартном методе зеркальных изображений. Предложена новая расчётная схема, с использованием которой получены точные решения для горизонтально и вертикально поляризованной волны. Предложенный в работе подход расширяет класс задач электродинамики, для которых могут быть получены точные решения. Полученные результаты могут быть полезными при исследовании структуры и интенсивности, а также практических расчетах ЭМ поля вблизи проводящих и полупроводящих объектов достаточно сложной конфигурации, когда необходимо анализировать и учитывать суммарную картину, представляющую собой суперпозицию поля источника и поля, являющегося результатом дифракции на соответствующем объекте.
£а 1 Y 2
Summary
The solution of a problem of calculation of the electromagnetic field created by a linear piece of a conductor with an alternating current above a semiconducting plane by means of special updating of a mirror images method is presented. Inapplicability of the usual geometrical constructions accepted in a standard mirror images method is shown. The new calculating scheme is offered.
Key words: electromagnetic field, diffraction, boundary conditions, mirror images method.
Литература
1. Белашов В.Ю. Электромагнитные поля и помехи в ЭЭС промышленных предприятий // Российский нац. симп. по энергетике РНСЭ-3. Казань: КГЭУ, 2001. Т. 2. С. 28-41.
2. Белашов В.Ю. Дифракция низкочастотного электромагнитного поля на симметричных проводящих объектах. Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2001. № 56. С. 66-74.
3. Дмитриев И.А., Килеев А.И. Отрезок провода с переменным током над проводящей плоскостью. Изв. вузов. Проблемы энергетики, 2003. № 7-8. С. 32-44.
4. Красюк Н.П., Дымович Н.Д. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Высшая школа, 1974. 536 с.
5. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1973. 752 с.
6. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 544 с.
Поступила в редакцию 26 мая 2009 г.
Белашов Василий Юрьевич - докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел. 8 (843) 519-43-44. E-mail: [email protected].
Дмитриев Иван Алексеевич - ачальник отдела 10 КНПП «Вертолёты МИ. Тел. 8-905-0255597. Email: [email protected].
Килеев Анвар Исмагилович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел. (843) 519 42 82.
