CC BY
11
УДК 621.31
ВЫЧИСЛЕНИЕ ЭМ ПОЛЯ, СОЗДАВАЕМОГО ЭЛЕМЕНТОМ ТОКА, ОРИЕНТИРОВАННОГО НОРМАЛЬНО К ПОЛУПРОВОДЯЩЕЙ
ПЛОСКОСТИ
В.Ю. БЕЛАШОВ*, И.А. ДМИТРИЕВ*, А.И. КИЛЕЕВ**
*Казанский (Приволжский) федеральный университет **Казанский государственный энергетический университет
Представлено решение задачи вычисления электромагнитного поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к полупроводящей плоскости, с помощью модифицированного метода зеркальных изображений.
Ключевые слова: электромагнитное поле, дифракция, граничные условия, метод зеркальных изображений.
Постановка задачи
Ранее нами было продемонстрировано решение задачи вычисления поля, созданного отрезком проводника, ориентированного параллельно полупроводящей плоскости [1], [2]. В настоящей работе, на основе идей, представленных впервые в [3], предлагается решение аналогичной задачи для проводника, ориентированного нормально к границе раздела сред с разными электрическими и магнитными свойствами.
Предположим, что около границы раздела сред нормально к ней находится элемент тока II (рис. 1). Примем, что длина I элемента тока существенно меньше
размеров полеобразующей системы и длины волны электромагнитного (ЭМ) поля X, т. е.
I >> И , X >> И.
Требуется найти распределение ЭМ поля, создаваемого данной полеобразующей системой.
Решение задачи
Основная трудность при расчете поля заключается в необходимости удовлетворения решения задачи граничным условиям. В случае переменного ЭМ поля условия для векторов поля на границе раздела реальных сред записываются в следующем виде [4]:
Е т1 = Е т2, еа1Еп1 = еа2 Еп2 , Нт1 = Нт2 , ^а1Нп1 = ^а2Нп2 ■
(1) (2)
(3)
(4)
ц2 е2
Рис. 1. Полеобразующая система
© В.Ю. Белашов, И.А. Дмитриев, А.И. Килеев Проблемы энергетики, 2012, № 11-12
Поле, создаваемое переменным током, протекающим по отрезку провода (см. рис. 2), аналогично полю элементарного электрического вибратора (диполя) [5]:
Iэв-1г1 sin ©( . )
-(1 + ijr), (5)
НФ--- э
4nr
É, -if-!!^( + ),
E©-
__3
/ю sa 2nr Iэ e ~iJrl sin© (1 /ю_а 4nr
(6)
., 2 2
3— + ijr - y r
). (7)
где
комплексный
распространения;
коэффициент r — расстояние до точки наблюдения;
I э -
Рис. 2. Система координат отрезка проводника
сила электрического тока;
еа =еа -г'Уэ/комплексная абсолютная диэлектрическая проницаемость среды; ца - абсолютная магнитная проницаемость среды; у э - удельная электропроводность; га — круговая частота колебаний.
Решим задачу в сферической системе координат (рис. 3). Результирующая напряженность электрического поля в данном случае выражается как
Ф
E - ilеГ + É© -
1э e-lYrl cos©, ч -— (1 + /уг )
V /ю_а2пг
Y Г i -
1Эe~lYrisin©/ 2 2)
1 + ijr-у2r j
y V /rasa4nr
т.е.
& I эе~'г1 sin© Г ^ 272
E = -—-y 4ctg2©(l + iyr) + 1 + ijr - y r f .
/га sa 4nr
Как следствие, отношение электрической компоненты поля к магнитной
J 4 ctg 2 ©(l + iyr )2 +1
W --É--H ф
2 2 . + /yr - Y r
)2
/<B_ar (l + ijr )
(8)
(9)
Из условия равенства тангенциальных составляющих Н на границе раздела сред (3) имеем первое соотношение:
Е(/ 1) _Ё(&2) = Ё(&з) (10)
^ ^
Вторую связь получим из условия равенства тангенциальных составляющих Е на границе раздела:
[- ¿(/1)-¿(/2 )]cos а = -¿(/3 )cos а 3. (11)
Выражения (10), (11) позволяют получить зависимость между электрическими полями заданного тока /1 и фиктивных токов /2, /3 :
E (12 )--
cos a - W2 cos аз W cos а + W2 cos аз
E (l ).
(12)
2
E ()
2W2 cos a
cos a + W2 cos аз
геометрическое | место проводника^
E(4
(13)
E (|¿)
¡3 ¡¿2^2
1Л2 Б 2
б)
Рис. 3. Решение для случая вертикально поляризованной волны: а) верхнее полупространство; б) нижнее полупространство
Из уравнений (12), (13) следует:
• Wi cos a- W2 cos a 3 •
1 2 =-tz--1 i;
I3 =
Wi cos a + W2 cos a 3
2
2W1 cos a Y1 sin 0
Wi cos a + W2 cos a 3 у 2 sin 0 3 Кроме того, из (10) и (11) следует
I i .
Y1
r3 =— r. Y 2
Далее, согласно рис. 3, угол a есть функция от углов 0 и в: a = 0 - в и
sin a = sin(0 - в) = sin 0 cos в - cos 0 sin в,
где
Учитывая, что
получим
Er 2ctg 0(1 + jYr) в = arctg E- = arctg-6 v 2f 2
E 0 1 + jYr -y r
• 2 tg2 x sin x = -
1 + tg2 x
2 1 cos x = -
1 + tg2 x
sin a = -
sin 0(1 + jYr + y2 r2 )- cos 0(2ctg 0(1 + jYr))
Д1 + jYr + Y2 r2 ) +(2ctg 0(1 + jYr))2 © Проблемы энергетики, 2012, № 11-12
(14)
(15)
(16)
(17)
Найдем теперь 0 3. Для этого составим уравнение на границе раздела сред для
нормальных компонент вектора E :
~a1E0 (I1)sin 0 - ~a1Er (I1)cos 0 - ~a1E0 (l2 )sin 0 + ~a1Er (l2 )cos 0 =
= ~a2E0(l3)sin03 - ~a2Er(l3)cos03 . После преобразований получим квадратное уравнение
a sin2 03 + b sin 03 + с = 0, (18)
где a = 3 + /3Y1r-Y2r2; b =-(sin2 0(3 + l3Y1r-Y2r2)- 2(1 + i'Y1r))———; с = -2(1 + i'Y1r).
Y2 sin0
Ток проводимости в проводнике
Фиктивный ток I2 в геометрическом местоположении реального отрезка проводника будет создавать ЭМ поле и, как следствие, в проводе должен возникнуть ток проводимости. Электрический ток в проводе I1 определится, таким образом, как сумма заданного стороннего тока I с и неизвестного тока проводимости I п :
I1 = Ic + 4 . (19)
Ток проводимости
^ = {s^,
S
где 5 - плотность тока; S - площадь сечения провода. Плотность тока проводимости, в свою очередь.
5 = yE .
Последняя, в силу (1) и при 0 = 0, r = 2h, определится как
/ \ & -iY12hj
5 = YEr (2 ) = Y —2-Г-^3 (1 + 'Y12h)
/rasa12n(2h)
и, с учетом (12), запишется следующим образом:
W cos a-W2 cos a3 • e~llí12hl , ч
5 =-Y W-W-111—-(1 + lY12h). (20)
W1 cos a + W2 cos a3 iQ Sa12n(2h)3 Далее найдем 03 при 0 = 0. Для этого запишем (18) в следующем виде:
(3 + l3Y1r - Y2r2)sin203 - (sin20(3 + l3Y1r - Y2r2)- 2(1 + lY1r))—sin03 - 2(1 + lY1r) = 0.
Умножив левую и правую части на sin 0 и приняв 0 = 0, получим, что
0 3 =0 = 0. (21) Имея в виду (9) и (17), найдем произведение W • cos a :
i—i- V
W cos a = WV1 - sin a= —
4ctg 20 (1 + iYr)2 + (1 + iYr - y2r2 )
rás ar (1 + lYr)
<
1
(sin 0(1 + j Yr + Y 2r2 )- cos 0(2ctg 0(1 + j Yr)))
(2 2 \2 2
1 + j Yr + Y r ) +(2ctg 0(1 + j Yr))
x
Умножая далее левую и правую части полученного выражения на sin © и принимая © = 0, после преобразований получим
2
sin © W cos а = —~— .
теаг
В результате, зависимость для плотности тока (20) перепишется следующим образом:
5 = -^ WL-W2 h
_iTi 2hi
Wl + W2 /ra~a12n(2h):
-(l + iYi 2h),
где Wi =
MoL.
al '
W =
Ma 2 a 2
Подставляя далее полученное выражение в (19) и принимая плотность тока постоянной по сечению провода, получим
IL = L - I
& WrW Y f^-2*/ (i + „^
Wi + W2 /fflEa12n(2A)
В итоге находим ток в проводнике:
I =
i = i+WL^k JZSL!^ (i+iYi2h)
Wl + W2 /fflBai2n(2h)^
(22)
Методика и результаты расчета
Из выражений (14) - (16), (17), (22) для конкретных точек на границе раздела сред найдем /1 /2,/3,Г3 и ©3. Интенсивность ЭМ поля в любой точке пространства получим, экстраполируя решение для границы раздела сред (как, собственно, и принято в методе зеркальных изображений). Картины поля, полученные в результате расчета, показаны на рис. 4, 5.
Рис.4. Результаты расчета: мгновенные значения E
e
ш
Рис.5. Результаты расчета: мгновенные значения H
Заключение
В работе показано решение задачи вычисления ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током, ориентированным нормально к полупроводящей плоскости, с помощью специальной модификации метода зеркальных изображений. Предложенный в работе подход расширяет класс задач электродинамики, для которых могут быть получены точные решения. Полученные результаты могут быть полезными при исследовании структуры и интенсивности, а также практических расчетах ЭМ поля вблизи проводящих и полупроводящих объектов достаточно сложной конфигурации, когда необходимо анализировать и учитывать суммарную картину, представляющую собой суперпозицию поля источника и поля, являющегося результатом дифракции на соответствующем объекте [6].
Summary
The solution of a problem of calculation of the electromagnetic field created by the current element focused normally to the semiconducting plane by means of special updating of a mirror images method is presented.
Key words: electromagnetic field, diffraction, boundary conditions, mirror images method.
Литература
1. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 7-8. C. 82-93.
2. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Точное решение задачи вычисления ЭМ поля линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 9-10. С. 71-81.
3. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого элементом тока, ориентированного нормально к полупроводящей плоскости // VII Всеросс. научно-техн. конф. с межд. участием «Приборостроение в XXI веке. Интеграция науки, образования и производства», Ижевск 15-17 ноября 2011 г.: Материалы докл. Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2011. 2 с.
4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1973. 752 с.
5. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 544 с.
6. Белашов В.Ю. Дифракция низкочастотного электромагнитного поля на симметричных проводящих объектах // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2001. № 5-6. С. 66-74.
Поступила в редакцию
© Проблемы энергетики, 2012, № 11-12
02 ноября 2012 г.
Белашов Василий Юрьевич - д-р. физ.-мат. наук, профессор кафедры радиофизики отделения радиофизики и информационных систем Института физики КФУ. Тел.: 8 (843) 5188077. E-mail: v_belashov@yahoo.com.
Дмитриев Иван Алексеевич - аспирант кафедры радиофизики отделения радиофизики и информационных систем Института физики КФУ. Тел.: 8 (905) 0255597. E-mail: dmitriev.ivan@mail.ru.
Килеев Анвар Исмагилович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры физики Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел.: 8 (843) 519 4282.
