Точное решение задачи вычисления ЭМ поля линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.31

ТОЧНОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ВЫЧИСЛЕНИЯ ЭМ ПОЛЯ ЛИНЕЙНОГО ПЕРЕМЕННОГО ТОКА НАД ПОЛУПРОВОДЯЩЕЙ ПЛОСКОСТЬЮ

В.Ю. БЕЛАШОВ*, И.А. ДМИТРИЕВ**, А.И. КИЛЕЕВ*

*Казанский государственный энергетический университет

**КНПП «Вертолёты МИ»

На основе оригинальной расчетной схемы представлено точное решение задачи вычисления электромагнитного поля линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью. Метод решения основан на нестандартных геометрических построениях специально модифицированного метода зеркальных изображений.

Ключевые слова: электромагнитное поле, дифракция, граничные условия, метод зеркальных изображений.

Вводные замечания

1) При решении практических задач, связанных с вычислением электромагнитных (ЭМ) полей, создаваемых сложными конфигурациями проводников, например задач электромагнитной совместимости электрооборудования и элементов электроэнергетических систем, приходится сталкиваться с весьма существенными трудностями, обусловленными, при использовании стандартных подходов, необходимостью применения сложного математического аппарата специальных функций [1-4]. Реализация соответствующих расчетных схем требует привлечения компьютерного моделирования, что позволяет получить лишь приближенное решение задачи. В работе [5] предложена оригинальная расчетная схема, использующая нестандартные геометрические построения специально модифицированного метода зеркальных изображений, на основе которой в настоящей работе мы исследуем ЭМ поле линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью и получаем её точное решение. Предлагаемая методика, в отличие от стандартных аналитических подходов на основе аппарата специальных функций, как будет показано ниже, достаточно проста в реализации.

Электромагнитное поле на оси симметрии системы

Определим ось симметрии полеобразующей системы как ось, проходящую через середину заданного отрезка проводника и нормальную к границе раздела сред. Она будет являться результатом пересечения плоскостей X0Z и Y0Z, следовательно компоненты ЭМ поля, рассчитанные для вертикально и горизонтально поляризованных волн, здесь должны совпадать. Кроме того, эта ось проходит через середину отрезка проводника, а значит, зная параметры поля на оси, можно рассчитать токи проводимости.

Вначале найдем параметры поля (рис. 1, 2). Ожидается, что в данном случае решение, полученное для вертикально поляризованной волны, и решение для горизонтально поляризованной волны должны совпасть. В данном случае (см. рис. 1)

Рис. 1. Решение для случая горизонтально поляризованной волны на оси симметрии: а) верхнее полупространство; б) нижнее полупространство

<р = 00, © = 90°,

р = (г А п) © = (г А п)

где ^ 1 'в плоскости X0Z, а 1 ' в плоскости Y0Z. Как следствие,

поле, создаваемое проводником с током, в отличие от [5], запишется в виде: ^ (+*)

4пг 2

= - -г (1 + ¡Y? - Y2r 2 )

гш£в 4nr

Угол преломлённой волны найдём, принимая во внимание второй закон Снеллиуса и то обстоятельство, что угол падающей волны равен нулю (рис. 1):

Фэ = sin Фэ = 0. (1)

Как следствие, зависимости для нахождения поля фиктивных токов в случае горизонтально поляризованной волны [5] примут следующий вид:

(& )= W2+WL ^ (& )

uv 2/ W2 + W1 uv 1

uv 3 W2 + W1 uv 1

(2) (3)

где .

Проанализируем теперь зависимости для вертикально поляризованной волны (рис. 2). Угол отклонения распространения волны от радиального направления станет равным нулю:

Е 0 л

р = агйе^- = агйе^— = 0

& & . (4)

Результирующая напряженность электрического поля примет вид

& е -

= (l + Цт - Y 2r 2 )

~ ■ •>■ У г

гшгв 4 яг

а соотношение между электрической и магнитной компонентами в данном случае станет тождественно

нф Щр . (5)

Соотношение (1) в данном случае сохраняется. Зависимости между полем & & &

заданного тока 1 и полями фиктивных 2 , 3 [5] примут вид:

Щ + , И&1 + И&2 . (6)

С учетом (4) соотношения (6) становятся тождественны зависимостям (2), (3), полученным для горизонтально поляризованной волны.

Рис. 2. Решение для случая вертикально поляризованной волны на оси симметрии: а) верхнее полупространство; б) нижнее полупространство

Ток проводимости в проводнике &

Фиктивный ток 2 в геометрическом местоположении реального отрезка

проводника будет создавать ЭМ поле (рис. 1, 2), и, как следствие, в проводе должен

&

возникнуть ток проводимости. Электрический ток в проводе 1 определится, таким

&

образом, как сумма заданного стороннего тока эс 1 и неизвестного тока &

проводимости эп 1: А = ^эс 1 + ^эп 1

В квазиоптическом приближении задача о дифракции плоской электромагнитной волны на цилиндре имеет точное решение [4]. Но это решение, полученное для плоской волны, в ближней зоне может дать существенную погрешность. Кроме того, аналитическое решение достаточно громоздко и выражается через аппарат специальных функций, что весьма неудобно при выполнении практических расчетов. В связи с этим выполним простую оценку влияния вышеозначенных токов проводимости на распределение поля в пространстве, оставаясь при этом в рамках метода зеркальных изображений.

Необходимо сразу оговориться, что в терминах метода зеркальных изображений (базирующегося на постулатах лучевой оптики) существуют падающая, отражённая и

преломлённая волны (рис. 3). Параметры падающей волны в данном случае

& &

определяет фиктивный ток 2 , отражённой — фиктивный ток 4, а преломленной —

&

5. Соответственно токи проводимости будут определяться полем преломленной

волны, а «влияние» этих токов на пространство вне провода — током 4 . В результате

&

поле в верхнем полупространстве будет определяться сторонним током эс 1 и

фиктивными 2 и 4 . С учётом того, что токи 1 и 4 находятся, с точки зрения точки наблюдателя, на одной прямой, можно записать

& & & &

2 и 4 . С учётом того, что токи 1 и 4 й II

1 )= ЕЩ )+ ЕЩС1)

Рис. 3. Решение для случая горизонтально поляризованной волны на оси симметрии: а) верхнее полупространство; б) нижнее полупространство

Как видно из рис. 3, на границе раздела сред провод - первая среда волна горизонтально поляризована. Следовательно, для определения компонентов электрического поля воспользуемся ранее полученными выражениями (формулы (32), (34) в [5]), формально заменив в них индексы:

Е0 (& )= ^пр cos« - w1COS g 5 (& )

Wap cos a + W1 cos a 5

#„ Щ )= 2И,пр COs a E0 Щ)

Wap cos a + W1 cos a 5

где Wnр Ч ^ а пр /~а пр ; W1 =V Д a1/~a1 ; a = ф/2 - угол падающей, а

(8) (9)

a 5 = arcsin

r \

Y1 . Ф -sin—

V Y пр 2)

угол преломленной волны.

&

Найдём неизвестный ток 2 , составив уравнение в плоскости симметрии. Для этого перепишем (6) с учётом (7):

ц/2 )=[[)+ &&х1)]

+ О . (10)

Далее перепишем (8) при нулевом угле падающей волны:

Е, ( )= & (&)

Ппр + П1

Подставим последнее в (10):

Л"E0 ((&)+ E&fc)

I Wnp + Wi

W2 - Wi Wnp - Wi

2 ;=

W2 + W1

и после элементарных преобразований найдем

W2 - W1

W2 + W1

W2 - W1 W0пп - W01

W2 + W1 W0m + W01

& (&) W2 + W1 E&& )

1 -

Имея в виду (9) и (5), в итоге получим зависимость для фиктивного тока

& 1 & 2 - П1 )(Ппр + П1 ) & = ~-—-77?-777~^301 =-7-:-^Э^

1&2:

W2 + W1 - Wnp - W1 2W1 (пр + W2 )

. (11)

W2 - W1 Wпр + W1

&

Итак, поле токов проводимости найдено. Фиктивный ток 2 находим из (11). & &

Токи 4 и 5 найдём из (8) и (9). В заключение необходимо отметить, что это решение носит приближённый характер. Кроме присущих методу зеркальных изображений допущений о малости линейных размеров первичного источника поля по сравнению с длиной волны и размерами полеобразующей системы, здесь прибавлены ещё два:

1. Волна, прошедшая в проводник, не выходит из него с противоположной стороны. Вносимая при этом погрешность тем меньше, чем больше оптическая плотность материала проводника и меньше оптическая плотность материала верхнего полупространства.

2. У проводника отсутствует область геометрической тени.

Поле при ненулевом потенциале проводника

Предположим, что тока нет, а провод находится под напряжением. Для

й &

имитации потенциала проводника расположим на его геометрической оси заряд .

Найдем скалярный потенциал ( и напряженность электрического поля &, создаваемые этим зарядом:

& - iyr д&& &= —- &=---grad(&

га 4кг , dt ,

& й (&- й Т &

где A - векторный потенциал поля; ^ скалярны й потенциал поля. 1ак как A является функцией от силы тока, равного в данном случае нулю, а потенциал (& в сферической системе координат не зависит от углов ( и ® (см. рис. 4), то &

& д( E&=--ro

найдется, как дг , т.е.

А =--

-iyr

f eirr елг >

- л--

£й 4nr

r r2 у

-iyr

~a 4nr 2

(1 - iyr)

Рис. 4. Потенциалы: а) скалярный потенциал провода, б) потенциал поля в верхнем полупространстве на поверхности раздела, в) потенциал поля в нижнем полупространстве на поверхности раздела

Записав первое уравнение Максвелла в комплексной форме:

rot H&_ to ~ a E&+ &эт,

6" -

где э плотность стороннего тока, в отсутствие стороннего тока, раскрывая

ротор, получим: п _ 0 (магнитное поле отсутствует).

Найдем теперь решение для поля. В геометрическом центре проводника & & &

расположим заряд (рис. 4). Заряд 42 поместим зеркально относительно

&

границы раздела сред. Положение заряда Т3 будем считать пока неизвестным. Итак,

•пр

нам известны граничные условия, потенциал ^ и положение проводника. Составим уравнение потенциала на поверхности проводника:

& & е - 1 ГпР & е "iT 1211

•пр _—-+ —~-

Za 14пгпр Za 18nh . (12)

Считаем, что среда нижнего полупространства не обладает достаточной электропроводностью для того, чтобы мгновенно выравнивать изменение потенциала, наводимого проводником, и, следовательно, на границе нижнего и верхнего полупространств значение потенциала не известно. При этом на границе раздела сред скалярный потенциал изменяется без разрыва:

& е - iY 1r & е~ iY1r & е - iY 2 r3 -+-_-

£ а 14 КГ £я 1 4 КГ £ а 2 4 ПГ3 . (13)

Кроме того, должны выполняться граничные условия для векторов поля: ^г 1 = ^г 2, ~ а 1 Е&п1 = ~а 2 Еп 2, те.

)зт а + Ё(42 )^п а = )зт а 3 (14)

— £а 1 )с°8 а + £а 1

С08 а = - ~а 2 && )с0$ а 3. (15)

Как показано для аналогичных случаев в работе [5], тождества (12), (13) (14) и (15) имеют место только при выполнении условия равенства показателей экспонент, т.е.

Г3 =№/&> )Г . (16)

Из(14)следует

31П а

31П а з

& е " ¿* 2 г3 ~а 2 4пг32

(1 + ¿У 2 г3 )

(& + <22)-

-¿у 1г

£а 14ЖГ-

(1 + ¿У 1 г )

Найдём & + <& "1 <&пр ). Для этого из (12) получим & "1 (<& ,<&пр ):

"¿У 1Г

пр

¿у 1 2 к

£а 1 4пгпр

'пр

га 1 8пк

= &пр£а 14^Т7

^— <2 Л 1гпр

¿У 12 к

пр

2 к е 1 Г"Р

(18)

Подставим (18) в (13) и, выыполнив элементарные преобразования, получим & = ^ (& ,& )

выражение для функции ^ ч»пр /:

& = <&

£а 1

1

е -¿У 2 Г3 г е - ¿г 1 гпр

'пр *• и

£и 14п

2 е

-¿у 1 гпр е-¿у 12 к

гз е

-¿у 1 г

пр

"¿У 1 гпр е-¿у 12 к

пр

2 к

пр

2к

.(19)

Подставив теперь (19) в (18), найдем

= /(&3,<&пр )

'пр а

га 14п

пр

£а 1

г е - ¿У 2 г3 е - ¿У 12 к

- - I

е -"Р ~а 2 е "¿Т1 Г"Р е 12ке -^ 1г

- +

"¿У 1 гп

Г3 2 к

гпр 2 к

»пр

~а 1 4 п е " 12 к г

пр

Г Ч1 гпр е-¿у 12 к 2 к е 1 гпр

гпр 2 к

Наконец, используя (19) и (20), вычислим г

+ & = <3

£а 1

+= / (<&3, <&пр)

е-¿У 2 г3 е - ¿У 12 к

~а 2 е - 1У1 Гпр е "* 12 к е 1г г3

- +

2 к

'пр

2 к

(20)

£а 1

е

¿У 2 г3

г е

—У1 гпр

£а 2 е "¿'У1 Гпр е 12к г3 е-¿* 1г

'пр

'пр

2 к

е

е

1

+

1

г

1

+ <

'пр

' пр

£а 1 4 п

1 2h

£a 1 4п-1--+-

e-Ч1 гпр e-Ч1 гпр e-iy i 2 h

пр

£a 14п

2h e"ÍT1 Гпр e_iY 1 гпр e-iyi 2h

r.

+ q2 =«

£a 1 r e

пр

- 'Y2 r3

2 h

пр

2h

,-lY 1r

т.е.

£« 2 e r3 . (21)

Найдем из (21) и (17) отношение синусов падающей и преломлённой «волн»:

sin a r (1 + гу 2 Г3 )

sin а з гз (1 + гу 1 r) и, учитывая (16), получим sin а у 2 sin а з у 1

(второй закон Снеллиуса). С учётом (23) зависимость (14) перепишется в виде

)=(( )+ Efe ))

Y1 .

Подставим последнее в (15): - ~a 1

(22)

(23)

cos а + £а

1 É&&2 )cos а = - ~a 2 ((&(q&1)+ ))cos а

Y1

- ~a 1Y1 ¿Щ )cos а + 2 Y 2 )cos а 3 =

3,

i +

= -~a2 Y2 )cos а3 - £a 1Y1 E(q2 )cos а, (- ~a 1Y1 cos а + ~й 2 Y 2 cos а 3 )=(- ~й 2 Y 2 cos а 3 - ~й 1 y 1 cos а )Et&t), ~a 1Y 1cos а - ~a 2 Y 2 cos а 3

)=

£a2 Y 2 cos а 3 + £a 1Y1 cos а

(24)

Отсюда

& £а 1У1С0« а - £а2 У 2С0« а 3 & & = --~-&.

£а 2 У 2С0« а 3 + £а 1У1 С0« а

&

Найдём теперь 73. Для этого подставим (24) в (15) и после элементарных преобразований получим

2 Y 2 £a 1cos а

£a2 Y 2 cos а 3 + £a 1Y1 cos а .

Из (25) окончательно найдем выражение для величины

e-^Гз ( . ) 2y2~a 1C0Sa e-«y 1 r ( .

(1 - «y 2 Гз ) =--- (1 - «y1 г Ж

~a 2 4пг3 ~a 2 Y 2 cos a 3 + ~a 1Y1 cos a ~a 1 4nr 2

2 Y 2 £a 1C0S a £a 2 г3

~ ~ ~ 2 £a2 Y2 C0s a 3 + £a 1Y1 C0s a £a 1r

~ ~ 2 2 2 Y 2 £a 1C0s a £a 2 г Y1 & =

~ ~ ~ 2 2 £a2 Y 2 C0s a 3 + £a 1Y1 C0s a £a 1г Y 2

2 Y 2~a 2 C0s a Y 2 &

=--~--2 &

£a2 Y 2 C0S a 3 + £a 1Y1 C0S a Y2

Выводы

Итак, сформулируем основные результаты:

1. В работе предложена оригинальная расчетная схема, на основе которой получено точное решение задачи вычисления ЭМ поля линейного переменного тока над полупроводящей плоскостью.

2. Методика решения основана на нестандартных геометрических построениях специально модифицированного метода зеркальных изображений. Ее использование расширяет класс задач электродинамики, для которых достаточно просто, в отличие от стандартных аналитических подходов с использованием математического аппарата специальных функций, можно получить точное решение.

3. Результаты работы могут быть полезными в практических приложениях при вычислении ЭМ полей, создаваемых сложными конфигурациями проводников, например, при решении задач электромагнитной совместимости электрооборудования и элементов электроэнергетических систем.

1) Summary

On the basis of the original calculating scheme the exact solution of a problem of solution of the electromagnetic field of linear alternating current above a semiconducting plane is presented. The method of solution is based on non-standard geometrical build-ups of specially modified mirror images method.

Key words: electromagnetic field, diffraction, boundary conditions, mirror images method.

Литература

1. Белашов В.Ю., Сингатулин Р.М. Проектирование электротехнических устройств и систем: аппарат специальных функций для решения проблем ЭМС. Казань: КГЭУ, 2004. 94 с.

2. Белашов В.Ю. Электромагнитные поля и помехи в ЭЭС промышленных предприятий // Российский нац. симп. по энергетике РНСЭ-3. Казань: КГЭУ, 2001. Т. 2. С. 28-41.

3. Никольский В.В. Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1978. 544 с.

4. Белашов В.Ю. Дифракция низкочастотного поля на симметричных проводящих объектах. Известия вузов. Проблемы энергетики. 2001. № 5-6. С. 76-84.

5. Белашов В.Ю., Дмитриев И.А., Килеев А.И. Вычисление ЭМ поля, создаваемого линейным участком проводника с переменным током над полупроводящей плоскостью. Известия вузов. Проблемы энергетики. 2009. № 7-8. С. 82-93.

Поступила в редакцию

26 мая

2009 г.

Белашов Василий Юрьевич - докт. физ.-мат. наук, профессор кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел. 8 (843) 519-43-44. E-mail: vbelashov@kgeu.ru.

Дмитриев Иван Алексеевич - начальник отдела 10 КНПП «Вертолёты МИ. Тел. 8-9050255597. E-mail: dmitriev.ivan@mail.ru.

Килеев Анвар Исмагилович - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры «Физика» Казанского государственного энергетического университета (КГЭУ). Тел. (843) 519-42-82.