Вычисление частот и форм собственных колебаний панелей обшивки судна Текст научной статьи по специальности «Физика»

Выпуск 3

Список литературы

1. Даниловский А. Г Выбор оптимальных параметров судовой вспомогательной котельной установки / А. Г. Даниловский // Тр. СПГУВК. — 2010. — № 3.

2. Даниловский А. Г. Автоматизированное проектирование и оптимизация судовых вспомогательных энергетических комплексов: моногр. / А. Г. Даниловский, И. А. Боровикова. — СПб.: Изд. центр СПГУВК, 2008.

3. Даниловский А. Г. Оптимизация судового пропульсивного комплекса: моногр. / А. Г. Даниловский, М. А. Орлов, И. А. Боровикова. — СПб.: РИЦ СПбГМТУ, 2008.

УДК 539.384: 629.12: 519.63 С. О. Барышников,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК;

М. В. Сухотерин,

д-р техн. наук, профессор, СПГУВК

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЧАСТОТ И ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПАНЕЛЕЙ

ОБШИВКИ СУДНА

COMPUTATION OF FREQUENCY AND FORMS OF FREE OSCILLATIONS OF

PANELS OF A SHIP SHELL

Задача свободных колебаний прямоугольной защемленной панели сведена к бесконечной системе алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов гиперболо-тригонометричекихрядов. Приведены несколько первых частот и форм для квадратной пластины и пластины с отношением сторон 2:1.

The problem of free oscillation rectangular clamped plate result in infinite system algebraic equation for unknown coefficient of hyperbolic-trigonometric series. Calculate the first several frequency and form for square plate and ratio 2:1.

Ключевые слова: свободные колебания, прямоугольная защемленная пластина, гиперболо-тригоно-метрические ряды, численные результаты.

Key words: free oscillation, rectangular clamped plate, hyperbolic-trigonometric series, numerical results.

ПРИ работе двигателя вибрации передаются на корпус судна и его обшивку, которая может испытывать резонансные явления.

Исследование поперечных упругих колебаний заключается в определении прогибов обшивки в любой момент времени. Важнейшей частью задачи является определение частот собственных (свободных) колебаний. Так как число оборотов двигателя может меняться в значительных пределах, то важно знать не только частоту первого (основного) тона колебаний, но и нескольких последующих обертонов, которые может «проходить» двигатель на форсажном режиме, вызывая резонансные явления.

Основным силовым набором (шпангоуты, стрингеры) обшивка делится на прямоугольные панели (пластины), которые можно считать защемленными по всему контуру. Точное решение задачи свободных колебаний прямоугольной пластины получено лишь для шарнирно опертой

пластины (см. [1-3]). Данная задача является более сложной и не имеет точного решения в замкнутой форме, а известные приближенные решения [2, 4-6] оставляют открытым вопрос о точности результатов.

Постановка задачи

Пусть защемленная прямоугольная пластина с размерами а*Ъ в плане постоянной толщины Н (рис. 1) от какой-либо внешней внезапной нагрузки получила некоторые прогибы и скорости, направленные перпендикулярно недеформированной поверхности. Эти прогибы и скорости есть начальные условия задачи. Начало системы координат ХОУ поместим в центр пластины.

Начальные условия в общем виде можно записать так:

1¥\'__0 = Ж0(Х,7), = Г0(ВД, (1)

дг

где Ж0 — начальный прогиб точек срединной поверхности пластины, У0 — их начальные скорости в перпендикулярном направлении, ^ — время.

Пластина, будучи мгновенно разгруженной, станет совершать поперечные колебания, которые при отсутствии сил сопротивления и возмущения будут свободными незатухающими.

а

Ъ

Рис. 1. Защемленная по контуру прямоугольная пластина

Приведем дифференциальное уравнение ее свободных колебаний [1]:

ВУ2У2Ж+у/га ^ =0, (2)

где Ж — прогиб срединной поверхности пластины, .О = £7г3/^12(1 — у2) ] — цилиндрическая жесткость пластины, Е — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, у* — удельный вес материала

дл 54 д4

пластины, р — ускорение силы тяжести, \72У2= г+ 2—^—г-н------------бигармонический опе-

ратор.

Перейдем к безразмерным координатам х = X / Ь, у = У / Ь. Тогда уравнение (2) можно привести к виду

, , , д21У

V V Ж +Г1 —тт- = 0, (3)

ы2

Выпуск 3

Выпуск 3

где п2 = Y *hb4 / (g^), а в бигармоническом операторе следует заменить X, Y на x, y. Относительные размеры пластины будут такими: -y / 2 < x < y / 2, -1 / 2 < y < 1 / 2, где y = ^ / b.

Граничные условия на защемленных кромках имеют вид:

х = ±у/2: ^ = 0, 8W/dx = 0, (4)

у = ±1/2: W = 0, dW/dy = 0. (5)

Задача ставится так: найти функцию прогибов W (x, y, t), удовлетворяющую дифференциальному уравнению (3), начальным (1) и граничным условиям (4), (5).

Построение решения

Согласно методу Фурье искомую функцию прогибов представим в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только времени, а вторая — только координат срединной поверхности:

W(x,y,t) = w (0 w{x, у), (6)

Для функции координат граничные условия будут аналогичными (4), (5):

jt = ±y/2: w = 0, dw/dx = 0, (7)

у = ± 1/2: w = 0, dw/dy = 0. (8)

Функция времени представляется в виде [2]:

w* (t) = Cj cos pt + C2 sin pt. (9)

Здесь p — частота колебаний (круговая частота) пластины, подлежащая определению; Ср С2 — произвольные постоянные, которые определяются из начальных условий (1). Круговая частота связана с периодом колебаний Т зависимостью p = 2п / T.

Подставим (9) в (6), а затем (6) в (3) и, обозначив Q = рп, в результате получим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция координат:

V2V2w(x,y)-Q2w(x,y) = 0. (10)

1) Симметричное решение

Функцию w (x, у) будем разыскивать в виде суммы двух рядов:

Мх,у)= S (-l)*;4(A:)chptxcosVy+ Z (-l)fC(,s’)ch^>?cos, (11)

к=1,3,... s=l,3,...

Здесь коэффициенты A(k), Pk, C(s), ^ — подлежат определению; Xk = кп, ц = sn/y,

к = {к +1)/2, j = (s + l)/2.

Ряды (11) содержат только четные функции координат, так как первая (основная) форма колебаний должна быть симметричной, соответствуя форме изогнутой поверхности под действием равномерной поперечной нагрузки.

Последующие формы колебаний получаются при сочетании четного и нечетного слагаемых, а также при обоих нечетных. Поэтому, помимо представления (11), в дальнейшем будут рассмотрены и три указанных случая.

Потребуем, чтобы оба ряда в (11) удовлетворяли дифференциальному уравнению (10), тогда для определения коэффициентов Рк и ^ получим уравнения

(12)

откуда находим пары корней, зависящих от неизвестной частоты р:

p*=V\2+a $к=4к-&, ъ,=№+п, c=>s2-Q. (13)

Так как вместо одной последовательности коэффициентов Рк и ^ получено по две, то функция (11) перепишется в виде

00 _

М.х,у) = X (Л сЬ М + вк сЬ Р^)соя^у +:

+ £ (-1У(С,сЬ^ + ДсЬ^

5=1,3,...

сое .

(14)

Первый ряд в (14) «автоматически» удовлетворяет условию отсутствия прогибов на гранях у = ±1/2, а второй — условию отсутствия прогибов на гранях х = ± у/2. Потребуем, чтобы удовлетворялись все граничные условия (7), (8), тогда придем к системе уравнений:

£ (~1)кАсК$кЧ / 2)(р**Л(р*у / 2)-р*й(р*у / 2))созХку

+

*=1,3,...

(15)

Е А*к

*=1,3,...

---=

сЛ(Р*У/2)„,.о

_/ г, -Л- —

к сЛ(Рку/2)

+

+ £ (-1ГС^/2)(^(^/2)-^(^/2))со8ц^ = 0.

5=1,3,...

Разложим гиперболические функции в ряды Фурье:

/е и / Vі / і ^к\С05КУ 4 , Р*у -А , 1Чг ц.совц.л:

сИ^у = -АсИ^- X (-1) І2 Л , = —ск^Г Ь (-1)

(16)

2 *г=1,з,...

5=1,3,...

р;+ц;

Заметим, что для сЩ8у и сЩ5у формулы будут аналогичными.

Подставляя эти разложения в систему (15), (16) и переставляя знаки суммирования в двойных рядах, приведем систему к более простому виду:

2

+

8ПЯ* £

Ц,сЛ($, /2)

-1,3,..(Х*+^) -О2

С =0,

У *-1д...(я,4+ц, 2

= 0.

(17)

(18)

Из второго уравнения выразим коэффициенты С через совокупность коэффициентов Лк и подставим их в первое уравнение (17) системы. Получим

4=-,

64П2ХІ

И,

р*<й^-р*л^ 2 2

«I

*=1,3,

X

= 0, (к = 1, 3, ...),

А,

(19)

где обозначено

Л=Л^^(Р,у/2).

Выражение (19) представляет собой однородную бесконечную систему линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности коэффициентов Лк . Эта система содержит также неизвестную частоту

. */-1.4

(20) |еТ

С1 = р

упЬ

Ф

(21)

Выпуск 3

Если перенести Лк из левой части равенства в правую и привести подобные члены, то получим однородную систему в обычной записи. Эта система всегда имеет тривиальное решение Лк = 0 для всех к (отсутствие колебаний). Для того чтобы, помимо тривиального решения, система имела бы и бесчисленное множество ненулевых решений, ее определитель должен быть равен нулю Л(р) = 0. Это уравнение называется частотным; из него находится бесконечная последовательность собственных частот р, каждой из которых соответствует своя форма колебаний.

Получение частотного трансцендентного уравнения в развернутом виде и его решение является весьма сложной математической задачей.

Предлагается искать собственные частоты более простым способом последовательных приближений. Коэффициенты Лк в правой части системы (19) считаем коэффициентами предыдущей итерации Лк№ а коэффициенты в левой части — коэффициентами последующей итерации Л/клч). Задача ставится так: подобрать такие значения й, при которых метод последовательных приближений, организованный по формуле (19), привел бы на некоторой итерации к равенствам Л*(лг+1) = Лш ф 0 для всех последующих значений N другими словами, чтобы преобразование в правой части не изменяло бы коэффициентов Лш. В качестве начального приближения можно положить все Лк0 = 1. Найденные таким образом частоты и будут искомыми частотами свободных колебаний, а найденные коэффициенты Лк(м+1) (с точностью до постоянного множителя) дадут соответствующую форму колебаний. Равенство Лк(ы+Х) = Л^ ф 0 означает, что колебания будут совершаться с постоянной амплитудой, то есть будут свободными незатухающими.

Запишем теперь выражение функции прогибов, в котором будет фигурировать лишь одна последовательность коэффициентов Лкк.

где ненулевые коэффициенты Лк находятся из системы (19).

Численные результаты для квадратной пластины

Для численной реализации предложенного метода была составлена программа в системе аналитических вычислений Мар1е 14. В качестве начального приближения все коэффициенты Л*к0 полагались равными единице. Число приближений (итераций) М менялось в пределах от 8 до 25. Число членов в рядах принималось равным 49. Дальнейшее увеличение количества слагаемых в рядах практически не увеличивало точность вычислений. Было установлено, что при й1 = 35,985 процесс последовательных приближений, организованный по формуле (19), сходится к ненулевому решению. Соответствующие коэффициенты Лк на 19-й и 20-й итерациях практически совпадали. Это говорит о том, что система (19) при й1 = 35,985 удовлетворяется, следовательно, удовлетворяются все граничные условия задачи, то есть это значение есть первая (основная) частота.

В работе [2] приведены два примера отыскания основной частоты в первом приближении для квадратной пластины. В первом примере форма свободных колебаний представлялась выражением

где а и Ь — размеры пластины, А — коэффициент. Задача решалась методом Рэлея-Ритца. Частота основного тона (в наших обозначениях) получилась равной Ц = 36,0. Во втором примере полагалось

(23)

Ж (х, у) = А(1 + соз(2тос / я))(1 + сов(2 лу / 6)).

(24)

Частота основного тона получилась равной ^ = 37,2. Последующие приближения не рассматривались.

Значение = 35,985, найденное в настоящей работе, хорошо согласуется со значением, полученным в работе [2] по формуле (23) энергетическим методом, являясь в то же время более точным и обоснованным.

Первые 10 коэффициентов Л*к для 1-й, 19-й и 20-й итераций приведены в табл. 1. Найденные значения Л*20 подставлялись в формулу (22), по которой вычислялись прогибы (первая форма колебаний). Графически основная форма колебаний представлена на рис. 2, который показывает, что граничные условия задачи выполнены точно. Кроме того, первая форма колебаний соответствует форме изогнутой поверхности пластины под действием равномерной поперечной нагрузки, на что указывается и в работе [2].

Таблица 1

Значения коэффициентов Л* для квадратной пластины. 01 = 35,985 (число членов в рядах п = 49; М — номер итерации)

к М = 1 М = 19 М = 20

1 0,88879 0,86670 0,86675

3 -0,29825 -0,53815 -0,53818

5 0,16607 -0,22768 -0,22769

7 0,38770 -0,11292 -0,11292

9 0,51598 -0,05981 -0,05982

11 0,59780 -0,03240 -0,03240

13 0,65318 -0,01719 -0,01719

15 0,69197 -0,00831 -0,00831

17 0,71960 -0,00296 -0,00296

19 0,73925 0,00033 0,00033

Рис. 2. Первая форма колебаний квадратной пластины при 01 = 35,985

С помощью компьютерных вычислений была найдена и вторая частота свободных колебаний для четного решения 0,2 = 132,208.

Напомним, что между первой и второй частотами четного решения должны быть еще частоты нечетного и четно-нечетного решений.

Графически вторая форма колебаний представлена на рис. 3.

о.в

04

о

-0.4

Рис. 3. Вторая (симметричная) форма колебаний квадратной пластины при 02 = 132,208

Выпуск 3

Выпуск 3

Аналогично была найдена и третья частота свободных колебаний 0.3 = 220,032. Соответствующая третья форма колебаний представлена на рис. 4.

Рис. 4. Третья (симметричная) форма колебаний квадратной пластины при 03 = 220,032

Вычисление последующих частот свободных колебаний для симметричного решения нецелесообразно.

2) Антисимметричное решение

Искомую координатную функцию прогибов представим гиперболо-тригонометрическими рядами по синусам

00 ^

М.*, у) = (А +вк^кх)^пЧУ+

к=1

+Е НУ (С^у + віп Ц'Х.,

(25)

где Ак, Вк, С, — неопределенные коэффициенты, а коэффициенты Хк и ц имеют уже другой

вид:

Хк = 2кп, = 25Л / у .

(26)

Коэффициенты Рк и ^ по-прежнему выражаются формулами (14).

Требуя, чтобы эта функция удовлетворяла всем граничным условиям, придем к бесконечной системе, подобной (23):

4=-7

64СгА/

2л 2

-Гг

к=1 (V + ^2) -П:

1 [(*ч + ) -

= 0. (к = 1. 2. 3. ...)

(27)

где обозначено

А* = АК^ФкУ /2).

(28)

Запишем выражение функции прогибов, в котором будет фигурировать лишь одна последо-

вательность коэффициентов Ак:

М.х,У) = '£

8Г2

кґі К^ФкУ / 2) Н)>

^кХ 'пл8к^к^{пХкУ ~

*А(Р*у/2) )

ґ ,е *Л&/2) '

*К%.12)

у &зКЪ, /2)[$,<**($, /2) - / 2)]

/ 00 V \

1-(>

вш X.

(29)

где ненулевые коэффициенты А*к находятся из системы (27) с точностью до постоянного для всех коэффициентов множителя.

В результате компьютерных вычислений получены первые две собственные частоты для антисимметричного решения в случае квадратной пластины О = 108,2165, О22 = 243,1575. Графически эти формы колебаний представлены на рис. 5, 6.

Рис. 5. Форма колебаний квадратной пластины при ^12 = 108,2165

Рис. 6. Форма колебаний квадратной пластины при ^22 = 243,1575

3) Четно-нечетное решение

Формы свободных колебаний могут быть симметричными относительно одной оси и антисимметричными относительно другой. Для прямоугольной пластины следует рассмотреть два случая (еще и нечетно-четную форму). Для квадратной в силу полной симметрии достаточно одного.

Координатная функция прогибов представлялась выражением

к=1,3,...

+£(-!)' (С^у + 1П ^^,X, (30)

5=1

где Ак, Вк, СБ — неопределенные коэффициенты, Хк = кп, (к = 1, 3, ...), ц = 2ст/у, (я = 1, 2, 3, ...). Коэффициенты Рк и ^ по-прежнему выражаются формулами (13).

Аналогично была получена бесконечная система линейных алгебраических уравнений, подобная двум предыдущим (19), (27). Соответственно найдены четно-нечетные частоты и формы свободных колебаний квадратной пластины: О13 = 73,394, О23 = 164,998, О33 = 210,522. Графически формы колебаний представлены на рис. 7-9.

Выпуск 3

Выпуск 3

Рис. 7. Форма колебаний квадратной пластины при О = 73,394

-0 5 -0.4 -0.2 0 0 2

Рис. 8. Форма колебаний квадратной пластины при О23 = 164,998

-0.5 -0.4 -0-2

Рис. 9. Форма колебаний квадратной пластины при 033 = 210,522

Приведем сводную таблицу первых восьми частот свободных колебаний квадратной пластины (табл. 2).

Для сравнения приведем данные из работ [4, с. 73; 6]. В справочном пособии В. С. Гонткевича [4] указаны первые шесть частот свободных колебаний квадратной пластины: 35,99; 73,41; 108,27; 131,64; 132,25; 165,15. Эти результаты получены методом Рэлея-Ритца Д. Юнгом [5]. Имеет место хорошее совпадение с данными табл. 2, за исключением значения 131,64, аналога которому в таблице нет. Проверка указанного значения не дала подтверждения, что это какой-либо обертон свободных колебаний.

Таблица 2

Частоты свободных колебаний квадратной пластины, отнесенные к величине

у/ф/у 'к/а1

№ п/п Форма колебаний Частота, О

1 четная 35,985

2 нечетно -четная 73,394

3 нечетная 108,2165

4 четная 132,208

5 нечетно -четная 164,998

6 нечетно -четная 210,522

7 четная 220,032

8 нечетная 243,1575

В справочнике Д. В. Вайнберга [6, с. 273] приведены первые шесть частот свободных колебаний квадратной пластины. Отметим, что в расчетной формуле на той же странице по ошибке в знаменателе не указан множитель п2. Если табличные значения умножить на п2, то получим следующий спектр частот: 35,985; 73,4; 108,220; 132,184; 164,990; 243,098. Эти данные получены автором методом сеток (конечных разностей). Они весьма близки к результатам, полученным в настоящей работе, однако в [6] отсутствуют частоты, аналогичные № 6, 7 в табл. 2.

Приведем также сводную таблицу первых девяти частот свободных колебаний прямоугольной пластины с отношением сторон у = 2, полученную в настоящей работе.

Таблица 3

Частоты свободных колебаний прямоугольной пластины при у = 2,

отнесенные к величине \gD/y*h/b2

№ п/п Форма колебаний Частота, Q

1 четная 24,5777

2 нечетно -четная 31,826

3 четная 44,7697

4 нечетно -четная 63,3307

5 четно-нечетная 63,98313

6 нечетная 71,0762

7 четно-нечетная 83,2727

8 четная 87,2527

9 нечетная 100,7921

Приведенная методика может быть использована в практических расчетах поперечных колебаний элементов судовой обшивки, а также аналогичных элементов других конструкций.

Список литературы

1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле / С. П. Тимошенко, Д. Х. Янг, У. Уивер. —

М.: Машиностроение, 1985. — 472 с.

2. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. — М.; Л.: ОГИЗ: ГИТТЛ,

1947. — 355 с.

3. Огибалов П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок / П. М. Огибалов. — М.: Изд-во МГУ, 1958.

4. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластин и оболочек / В. С. Гонткевич. — Киев:

Наук. думка, 1964. — 288 с.

5. Young D. Vibration of rectangular plates by the Ritz Method / D. Young // J. of APM. — 1950. —

Vol. 17, № 4.

6. ВайнбергД. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин / Д. В. Вайн-берг. — Киев: Изд-во «Бущвельник», 1973. — 488 с.

J03

Выпуск 3