CC BY
79
ВЕСТНИКЛ
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ЩЛ\\\ \ "
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА^
СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ
Э01: 10.21821/2309-5180-2016-8-4-105-113
УДК 534.121.1: 629.12: 519.63 М. В. Сухотерин,
С. О. Барышников, Д. А. Аксенов
СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОНКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ СУДОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
В настоящей статье приводится решение задачи о собственных колебаниях защемленной по контуру тонкой прямоугольной пластины с помощью двух гиперболотригонометрических рядов по двум координатам, удовлетворяющих основному дифференциальному уравнению задачи. При выполнении всех граничных условий получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений относительно четырех последовательностей неизвестных коэффициентов рядов, которая сведена к бесконечной системе относительно одной последовательности коэффициентов, содержащей в качестве параметра частоту колебаний. Перебором этого параметра с меняющимся шагом находятся частоты, дающие нетривиальные решения бесконечной системы, т. е. собственные частоты. Полученный спектр собственных частот сравнивается с аналогичными частотами, найденными другими авторами. Анализируется точность вычислений и эффективность применяемых приближенных методов. Показано, что собственные частоты, найденные в настоящей работе предложенным методом, являются весьма точными при удержании в рядах 49 членов. Установлено, что дальнейшее увеличение количества членов в рядах практически не влияет на точность вычисления собственных частот.
Ключевые слова: собственные колебания, прямоугольная защемленная пластина, ряды Фурье, численные результаты.
Введение
Защемленная по всему контуру прямоугольная пластина является расчетной схемой многих плоских элементов в судостроении. Это прежде всего обшивка судна, элементы палубного настила, переборки, днищевые панели и др. Подобные пластины используются также в авиастроении, в гидротехническом и гражданском строительстве. При проведении динамических расчетов исследователей интересуют, в первую очередь, собственные частоты и соответствующие формы колебаний пластины. Многие элементы приборов и других конструкций «работают» по резонансному принципу, для других же элементов резонансные частоты (диапазоны) опасны. В некоторых случаях резонансные явления могут происходить не только на основной частоте, но и на обертонах.
Находят применение указанные пластины и в нанотехнике. Высокая точность вычисления собственных частот колебаний прямоугольных пластин, защемленных по контуру, требуется при создании современных прецизионных электромеханических преобразователей (биморфные пье-зоэлементы в системах юстировки и позиционирования различных оптикомеханических систем) и анализе качества их функционирования, а также при создании микроплат в электронике. Дан- ы
ная задача не имеет точного решения в замкнутой форме, поэтому известные приближенные ре- §
шения оставляют открытым вопрос о их точности. 3
Целью настоящей работы является разработка алгоритма определения спектра собственных 0
частот и сравнение полученных значений с результатами других авторов, а также оценка точности ^_ применяемых методов.
Первые численные результаты определения собственных частот колебаний защемленной по контуру квадратной пластины были получены в работах К. Sezawa [1], S. Тотайса [2] и S. ^^Ы [3] методом рядов. Например, S. ^шЫ использовал комбинации шести степенных и тригонометрических функций, удовлетворяющих граничным условиям. В дальнейшем многие исследователи обращались к этой задаче, пытаясь уточнить известные численные результаты с помощью тех или
шВЕСТНИК
М^Мв ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
^МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА
иных приближенных методов, а также получить значения более высоких тонов колебаний. Широкое применение получил метод Ритца (или Релея-Ритца). D. Young [4] представлял решение в виде степенного ряда с девятью членами. А. П. Филиппов [5] выбирал решение в виде конечного ряда из 20 ортонормированных полиномов Лежандра. А. Leissa [6] использовал двойной степенной ряд с 36 слагаемыми. S. Dickinson и E. Li [7] применяли ортогональные полиномы из решения для свободно опертой пластины. R. Bhat [8], а также K. Liev и др. [9] находили собственные частоты с использованием специальных ортогональных полиномов, которые с помощью процедуры Грама-Шмидта (Gram-Schmidt) ускоряют процесс аппроксимации в методе Релея-Ритца. R. Bhat и др. [10] для сравнения решали задачу еще тремя методами: методом Рэ-лея-Ритца с функцией формы, которая включает две экспоненты, определяемые минимизацией фундаментальных частотных коэффициентов, оптимальным методом Канторовича и методом конечных элементов (МКЭ).
C. B. Нестеров [11] решал задачу вариационным методом с помощью функций Крылова. Им были построены аналитические выражения для вычисления собственных частот и форм колебаний. S. Odman [12] применял метод, близкий к методу Галеркина. В справочнике Д. В. Вайн-берга [13] приводятся, по-видимому, результаты S. Igushi [3]. В. В. Болотин [14] использовал асимптотический метод, представляя искомое решение суммой внутреннего решения и поправочных решений, учитывающих динамический краевой эффект. N. Bardell [15] применял МКЭ — аппроксимирующая функция содержала 10^10 полиномов по двум координатам, исследовалась зависимость собственных частот от коэффициента Пуассона. Автором были получены лишь первые три частоты. Y. Kerboua и др. [16] использовали полуаналитический гибридный МКЭ в сочетании с теорией оболочек Сандерса.
В работах С. Ng и др. [17], а также Х. Wang и S. Xu [18] собственные частоты находились методом дискретных сингулярных сверток (DSC). C. Shu и H. Du [19], а также R. Saini и R. Lal [20] решали задачу с помощью обобщенных дифференциальных квадратур (GDQ).
S. Reutsky [21] применял метод фундаментальных решений основного дифференциального уравнения задачи, который относится к приближенным бессеточным методам. Коэффициенты ряда по фундаментальным решениям находятся из условия минимума квадратичного функционала.
Постановка задачи
Рассматривается защемленная по контуру прямоугольная пластина с размерами а х Ь в плане постоянной толщины h. Начало системы координат помещено в центр пластины. Вводятся относительные координаты срединной плоскости. Тогда размеры пластины будут следующими: -у/2 < х < у/2, -1/2 <у < 1/2, где у = a / Ь.
Дифференциальное уравнение для определения форм собственных колебаний пластины имеет вид [22]:
V V w(x, у) -О2 у) = 0, (1)
где V2 — двумерный оператор Лапласа; ^ — прогиб срединной поверхности пластины; О = рьуph / D — относительная частота колебаний; p — круговая частота; р — плотность материала; D = Ehy [12(1 -у2^ — цилиндрическая жесткость; Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона.
Граничные условия:
х = ±у/2: = 0, w'х = 0; (2)
у = ±1/2: w = 0, w'y = 0. (3)
Требуется найти собственные частоты колебаний й которые дают нетривиальные решения задачи (1) - (3) и соответствующие им формы колебаний.
Построение решения
Рассматривались четыре вида колебаний:
- симметричные относительно обеих осей (S - S колебания);
- антисимметричные относительно обеих осей (A - A колебания);
- антисимметрично-симметричные (A - S колебания);
- симметрично-антисимметричные (S - A колебания).
Выражения для функции прогибов выбирались, соответственно, в виде [23]:
от от ^
= Z (-1)к ((chakx + Bkchekx)cosХкУ + Z (-1)S (Csch+ DschЯУ cosvsx;
к=1,3,... s=1,3,... J
xk = кn, p,s = sn / у, к = (к +1) / 2, s = (s +1) / 2.
го го
wa- A = Z(-1)k (Aksh a k* + Bksh Pk* ) X кУ + Z (-1)s (sh % *y + Dssh nsy ) ц s*;
к=1 s=1
xk = 2kп, цs = 2sn / Y, (k,s = 1, 2, ...).
го го
wA-s = Z (-1)k (Ak shakx + Bk shPkx)cosХкУ + Z(-1)S ( ch+ Ds chnsy)sin
к=1,3,... s=1
Xк = кп, цs = 2sn / Y, (s = 1, 2, ...).
ГО ГО
wS-A = Z(-1)k(Akchakx+Bkchekx)sinхкУ + Z (-1)S(CsshЪУ+DsshЯУ)cos№
к=1 s=1,3,...
xk = 2kn, цs = sn / Y, (k = 1, 2, ...). Здесь Ak, Bk, C, Ds — неопределенные коэффициенты (различные для каждого ряда):
ak 2 ; Pk 4х2-n; ^ = >2 ; п = ^2-n.
Ряды (4) - (7) удовлетворяют уравнению собственных колебаний (1) за счет коэффициентов (8). Потребуем, чтобы эти ряды удовлетворяли и всем граничным условиям (2), (3). Тогда используя разложения гиперболических функций в соответствующие ряды Фурье и переставляя затем знаки суммирования в двойных рядах, после преобразований получим бесконечную однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности коэффициентов Ak («базовых» коэффициентов):
х = 6ЮХ у_й__ у_4L_. (8)
(4)
(5)
(6)
(7)
Ypk s=i
(( +Ц,2 )2 -О2 ^ ^ ( + ^ ) ^
Для того чтобы избежать путаницы в индексах, в формуле (8) используются буквы k и К. Заметим, что выражение (8) содержит неизвестную частоту Для решения - принято: к, s = 1, 3, ...,
А* = Ак ^ к Л Рк, Рк = а к ^ « - Рк Л Рк, qs =%, Л |, - пЛ п; (9) у
п
для решения А - А — к, я = 1, 2, ..., (
А* = Ак к Рк, Рк = а к сЛ а к - Рк сЛ $к, = ^ сгЬ - ; (10) Ц
_6
для решения А - 5 — к = 1, 3, ... ; 5 = 1, 2, ...,
4 = Ак^к ^ Рк, Рк =аксЛ ак-РксЛ Рк, ч* = ^1,гь л*; (11)
для решения 5 - А — k = 1, 2, ... ; 5 = 1, 3, ...,
А'к = Ак к ^ Рк, Рк =а кЛ ак - РкЛ Рк, сЛ - сПЬ . (12)
В свою очередь, в формулах (9) - (12) введены обозначения: ак = аку /2; вк = Рку / 2.
Коэффициенты В С , В рядов (4) - (7) связаны с «базовым» коэффициентом А следующи-
ми зависимостями:
5 - 5:
А = -Л ^; Д. = -С, сЬ *'
А - А:
5 - 5:
5 - А:
вк = -А
вк = -А
Л в к
sh а
к .
sh в к sh а
к .
Вк = -А
sh в к сИ а
D =-С
А = -С,
к
А = -С.
сИ т|,
sh л *
ch 11,
^ I*
С, = -
^ ксИ в к
с =-
уч. сИ ^,к=1,з,... ( + ) -п
80ц * ^ X к sh в к
-Л
к
С = -
учSh^ (к + ) -о2
, ^ X к sh в к
Лк;
с, = -
yчs^^^=1,з,...( + ) -о 8^ ^ X к сИ в к
-А,
к
А.
(13)
(14)
(15)
(16)
сИ р/ * * «И п* 5 уч, «И ( )2 -О2
Для определения собственных частот и форм колебаний определитель системы (8) должен быть равен нулю, что приведет к трансцендентному уравнению, из которого находится бесконечная последовательность собственных частот й Каждой частоте будет соответствовать своя форма колебаний (4) - (7).
Получение частотного трансцендентного уравнения в развернутом виде и его решение является сложной математической задачей. Избежать этих трудностей можно, если рассматривать систему (8) как готовый алгоритм её решения методом последовательных приближений. Коэффициенты ак в правой части системы (8) считаются предыдущей итерацией а*№ а коэффициенты в левой части — последующей итерацией . Далее подбираются значения частоты й., при ко-
торых метод последовательных приближений, организованный по формуле (8), приводит, начиная с некоторой итерации, к равенствам лк(м+1) = лш ф 0. В качестве начального приближения можно принять все л*ы = 1. Найденные таким образом частоты и будут искомыми частотами свободных колебаний, а найденные коэффициенты л"к(я+г) (с точностью до постоянного множителя) дадут соответствующую форму колебаний. Следует заметить, что поиск простым перебором й с изменяющимся шагом и проверка собственных значений не занимает много времени ввиду простоты вычислений по формуле (8).
С учетом формул (13) - (16) выражения для форм колебаний (4) - (7) можно записать для одной последовательности коэффициентов А*к ( — номер собственной частоты):
wl
= I
(-1)" А
к=1,3,...
X,
акх еИ РкхЛ
еИ а к
еИ р.
к
. 8Ц ^ (-1)* ц х cos Кку--- I -1
У *=1,з,... Ч* у
еИ | * еИ тП
* /
А
к=1,з,.. (к2 + ц) -о?
(17)
еos ц*х;
= 1
(-1)кЛк
к=1
к
акх sh РкхЛ sh а к эИ р
хэ,п К у - у Шь
У *=1 Ч*
к /
эИ | * эИ тП
А
Ли.
=1 ( + ) -о,2
(18)
эт
= 1
Н)кл;
sh акх sh Ркх sh р
V sh ак
к /
. 8Ц ^ (-1)* ц,
х ^ X ку--L У-—
У s=1 Чэ
% эУ ch П5УЛ
ch % э Л п
э /
л:
к=1 (х2 + ц2)
sm
х
х
^, л-л
х
^, л^
x
к=1
к
ВЕСТНИК
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА ШЦ
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА^
= 1
(-1)4
к
ch akx ch вкх ch в
у ch ak
k
■ y ВЦ ^ (-1)s ц xsin x кУ--L Z-s
y s=1 q
^sh %sy sh ЯУЛ
sh | s sh n
s J
(20)
A*
к=1 (2 + ) -Ц2
cos ц sx.
x
Wi,S - A
k=1
Численные результаты
Для численной реализации предложенного метода была составлена программа в системе аналитических вычислений Maple. Все коэффициенты Л*к0 начального приближения принимались равными единице. Число приближений (итераций) — от 12 до 25. Число членов в рядах в окончательных расчетах принималось равным 49. Дальнейшее увеличение количества слагаемых в рядах и числа итераций практически не увеличивало точность вычислений (до шести значащих цифр). В качестве примера вычислялись собственные частоты квадратной пластины, а также прямоугольной пластины с отношением сторон 2 : 1. Они представлены в первой строке табл. 1 и 2. Были получены также трехмерные изображения соответствующих форм колебаний (здесь не приводятся).
Обсуждение результатов и их сравнение
В табл. 1 и 2 для сравнения в хронологическом порядке приведены результаты других авторов [1] - [21] (заметим, что для пластины с отношением сторон у = 2 численных результатов известно гораздо меньше, чем для квадратной). Численные результаты, заимствованные из работ [1] - [3], [13], умножались на п2, чтобы привести их к формуле для относительной частоты, используемой в настоящей работе. Для пересчета частотных коэффициентов, приведенных в работе [11], из них извлекался квадратный корень и результат умножался на п2.
Таблица 1
Относительные частоты Q = pb2^Jph / D собственных колебаний квадратной пластины (CCCC) для v = 0,3
Результаты, "1 "3 "4 "5 "6 "7 "8 "9
полученные s-s A-S a-a s-s a-s a-s s-s a-a
в работе 35,985 73,394 108,216 - 132,208 164,998 210,522 220,032 243,157
Результаты других авторов
Sezawa [1] 37,455 74,841 108,121 - 134,226 - - - -
Tomatika [2] 35,728 75,009 107,780 - 130,770 160,380 - - 239,340
Iguchi [3] 35,984 73,400 108,220 - 132,183 164,990 - - 243,098
Young [4] 35,990 73,410 108,270 131,64 132,250 165,150 - - -
Odman [12] 35,999 73,405 108,237 - 131,900 165,023 210,526 220,060 242,660
Болотин [14] 35,096 72,897 107,470 - 131,630 164,388 210,351 219,322 242,200
Филиппов [5] 35,965 73,390 108,071 - 130,770 164,980 210,191 220,130 243,080
Вайнберг [13] 35,985 73,400 108,220 - 132,184 164,990 - - 243,098
Leissa [6] 35,992 73,413 108,270 131,64 132,240 - - - -
Dickinson [7] 35,988 73,406 108,250 131,62 132,230 - - - -
Bhat [8] 35,985 73,395 108,218 131,78 132,410 - - - -
Liew [9] 35,990 73,410 108,260 131,66 - - - - -
Bardell [15] 35,990 73,390 108,220 - - - - - -
Ng [17] 35,989 73,407 108,249 131,62 132,244 165,074 - - -
Shu [19] 35,985 73,394 108,210 131,58 132,200 165,000 - - -
Reutsky [21] 35,983 73,387 108,202 131,58 132,228 165,030 210,519 219,932 242,155
Kerboua [16] 35,450 72,030 103,700 129,41 130,280 - - - -
Нестеров [11] 36,053 73,439 108,535 - 131,910 165,135 210,530 220.475 242,717
Wang [18] 35,986 73,399 108,230 131,57 132,220 - - - -
Saini [20] 35,985 73,394 - - - - - - -
Примечание. СССС — защемленная с четырех сторон пластина.
»ВЕСТНИК
rraS ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. 0. МАКАРОВА
Анализ результатов табл. 1 показывает, что частота й4 была найдена не всеми авторами, которые занимались поиском обертонов более высокого порядка. В частности, она «пропущена» не только в настоящей работе, но и в работах [1] - [3], [5], [11] - [14]. Проверка значений частот й4 и близких к ним, найденных другими авторами, не дала подтверждения, что это какой-либо обертон свободных колебаний. Близость частот й4 и й5 свидетельствует о том, что это, скорее всего, одна и та же частота, вычисленная рядом авторов с погрешностью при замене х на у в расчетных формулах.
К результатам, полученным в настоящей работе для квадратной пластины, наиболее близки результаты S. ^исЫ [3] и, возможно, Д. В. Вайнберга [13], хотя у них помимо частоты й не найдены частоты й7 и й8, а также А. П. Филиппова [5] (за исключением частоты й5) и S. Yu. Reutskiy [21], за исключением частоты й9, т. е. те результаты, которые были получены при более строгом выполнении граничных условий задачи. Следует отметить, что главная (первая) частота совпадает у многих авторов: [3], [7], [8], [13], [18] - [21], по остальным частотам наблюдается заметное расхождение.
Таблица 2
Относительные частоты ^ = рЬ\]ph / D собственных колебаний прямоугольной пластины (СССС, у = 2, V = 0,3)
Результаты, полученные в работе S-S S-A S-S Я S-A A-S Я A-A Ц A-S ^8 S-S A-A
24,578 31,826 44,770 63,331 63,983 71,076 83,273 87,253 100,792
Результаты других авторов
Болотин [14] 24,092 31,395 44,354 62,998 63,925 70,903 82,905 - 100,176
Bhat [10] 24,578 31.827 44,808 63,570 63,985 71,079 - - -
Первые шесть частот, полученные в настоящей работе для у = 2, практически совпадают с результатами R. В. Bhat [10] (специальные ортогональные полиномы в методе Ритца).
Выводы
1. Предложенный метод отыскания собственных частот отличается простым алгоритмом, быстротой и высокой точностью вычислений. Это подтверждает сравнительный анализ результатов, полученных в настоящей работе и в работах других авторов.
2. Данный метод может использоваться и для прямоугольных пластин с другими видами граничных условий (консольная пластина, пластина с тремя защемленными и одной свободной краями и др.), а также для динамических расчетов по сдвиговым теориям (пластины типа Тимошенко).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sezawa K. On the lateral vibration of a rectangular plate clamped at four edges / K. Sezawa // Report of the Aeronautical Research Institute of Tokyo University. — 1931. — Vol. 6. — № 70. — Pp. 61-70. S 2. TomotikaS. LX. The transverse vibration of a square plate clamped at four edges / S. Tomatika // The London,
fg Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science: Series 7. — 1936. — Vol. 21. — Is. 142. — £ Pp. 745-760. D01:10.1080/14786443608561622.
u
= 3. Iguchi S. Die Biegungsschwingungen der vierseitig eingespannten rechteckigen Platte / S. Iguchi //
ЪIngenieur-Archiv. — 1937. — Vol. 8. — Is. 1. — Pp. 11-25. DOI: 10.1007/BF02086517.
шяшР 4. Young D. Vibration of rectangular plates by the Ritz method / D. Young // Journal of Applied Mechanics-
Transactions of the ASME. — 1950. — Vol. 17. — Is. 4. — Pp. 448-453.
5. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем / А. П. Филиппов. — М.: Машиностроение, 1970. — 734 с.
6. Leissa A. W. The free vibration of rectangular plates / A. W. Leissa // Journal of Sound and Vibration. —1973. — Vol. 31. — Is. 3. — Pp. 257-293. DOI: 10.1016/S0022-460X(73)80371-2.
BECTHl
ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТД ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА^
7. Dickinson S. M. On the use of simply supported plate functions in the Rayleigh-Ritz method applied to the flexural vibration of rectangular plates / S. M. Dickinson, E. K. H Li // Journal of Sound and Vibration. —1982. — Vol. 80. — Is. 2. — Pp. 292-297. DOI:10.1016/0022-460X(82)90199-7.
8. Bhat R. B. Natural frequencies of rectangular plates using characteristic orthogonal polynomials in Rayleigh-Ritz method / R. B. Bhat // Journal of Sound and Vibration. — 1985. — Vol. 102. — Is. 4. — Pp. 493-499. DOI:10.1016/S0022-460X(85)80109-7.
9. Liew K. M. Free vibration analysis of rectangular plate using orthogonal plate function / K. M. Liew, K. Y. Lam, S. T. Chow // Computers and Structures. — 1990. — Vol. 34. — Is. 1. — Pp. 79-85. DOI: 10.1016/0045-7949(90)90302-I.
10. BhatR. B. Numerical experiments on the determination of natural frequencies of transverse vibrations of rectangular plates of non-uniform thickness / R. B. Bhat, P. A. A Laura, R. G. Gutierrez, V. H. Cortinez, H. C. Sanzi // Journal of Sound and Vibration. — 1990. — Vol. 138. — Is. 2. — Pp. 205-219. DOI: 10.1016/0022-460X(90)90538-B.
11. Нестеров С. В. Изгибные колебания квадратной пластины, защемленной по контуру / С. В. Нестеров // Известия Российской академии наук. Механика твердого тела. — 2011. — № 6. — С. 159-165.
12. Odman S. T. A. Studies of boundary value problems. Part II. Characteristic functions of rectangular plates / S. T. A. Odman // Proc. NR 24. — Swedish Cement and Concrete Research Institute of Technology, 1955. — P. 7.
13. Вайнберг Д. В. Справочник по прочности, устойчивости и колебаниям пластин / Д. В. Вайн-берг. — Киев: Изд-во «Будiвельник», 1973. — 488 с.
14. Болотин В. В. Динамический краевой эффект при упругих колебаниях пластинок / В. В. Болотин // Известия АН СССР. Инженерный сборник. — 1961. — Т. 31. — С. 3-14.
15. Bardell N. S. Free vibration analysis of a flat plate using the hierarchical finite element method / N. S. Bardell // Journal of Sound and Vibration. — 1991. — Vol. 151. — Is. 2. — Pp. 263-289. DOI:10.1016/0022-460X(91)90855-E.
16. Kerboua Y. Hybrid method for vibration analysis of rectangular plates / Y. Kerboua, A. A. Lakis, M. Thomas, L. Marcouiller // Nuclear Engineering and Desing. — 2007. — Vol. 237. — Is. 8. — Pp. 791-801. DOI:10.1016/j.nucengdes.2006.09.025.
17. Ng C. H. W. Comparison of discrete singular convolution and generalized differential quadrature for the vibration analysis of rectangular plates / C. H. W. Ng, Y. B. Zhao, G. W. Wei // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2004. — Vol. 193. — Is. 23-26. — Pp. 2483-2506. DOI: 10.1016/j.cma.2004.01.013.
18. Wang X. Free vibration analysis of beams and rectangular plates with free edges by the discrete singular convolution / X. Wang, S. Xu // Journal of Sound and Vibration. — 2010. — Vol. 329. — Is. 10. — Pp. 1780-1792. DOI: 10.1016/j.jsv.2009.12.006.
19. Shu C. Implementation of clamped and simply supported boundary conditions in the GDQ free vibration analysis of beams and plates / C. Shu, H. Du // International Journal of Solids and Structures. — 1997. — Vol. 34. — Is. 7. — Pp. 819-835. DOI: 10.1016/S0020-7683(96)00057-1.
20. Saini R. Transverse Vibration of Non-Homogeneous Rectangular Plates of Variable Thickness Using GDQ / R. Saini, R. Lal // World Academy of Science, Engineering and Technology, International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering. — 2014. — Vol. 8. — No. 9. — Pp. 1197-1202.
21. Reutskiy S. Yu. The Method of fundamental solutions for problems of free vibrations of plates / S. Yu. Reutskiy // Engineering Analysis with Boundary Elements. — 2007. — Vol. 31. — Is. 1. — Pp. 10-21. DOI: 10.1016/j.enganabound.2006.06.004.
22. Лехницкий С. Г. Анизотропные пластинки / С. Г. Лехницкий. — М.-Л.: ОГИЗ - ГИТТЛ, 1947. — 355 с.
23. Барышников С. О. Вычисление частот и форм собственных колебаний панелей обшивки судна // Журнал Университета водных коммуникаций / С. О. Барышников, М. В. Сухотерин. — 2012. — № 3. —
С. 94a-103.
ОЭ
NATURAL VIBRATIONS OF THIN RECTANGULAR ELEMENTS
OF SHIP STRUCTURES
This article provides a solution to the problem of natural vibrations of clamped along the contour of a rectangular plate, Kirchhoff using two hyperbola-trigonometric series in two coordinates, satisfying the basic
»»ВЕСТНИК
ЧРв ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
^МОРСКОГО И РЕЧНОГО ФЛОТА ИМЕНИ АДМИРАЛА С. О. МАКАРОВА
differential equation of the problem. If all the boundary conditions obtained infinite system of linear algebraic equations for the four sequences of unknown coefficients of the series which is reduced to an infinite system with respect to one sequence of coefficients, containing as a parameter the frequency of the oscillations. Brute force this setting, the changing step are frequency, giving a non-trivial solution of the infinite system, i.e. the natural frequencies.
The resulting spectrum ofnatural frequencies compared to frequencies found by other authors. The accuracy of calculations and the effectiveness of approximate methods are analyzes. It is shown that the natural frequencies found in the present work the proposed method are very accurate when you hold in the ranks of the 49 members. It is established that a further increase in the number of members in the ranks does not affect the precision of calculation of eigenfrequencies.
Keywords: natural oscillations, rectangular plate clamped, Fourier series, numerical results.
REFERENCES
1. Sezawa, Katsutada. "On the Lateral Vibration of a Rectangular Plate Clamped at four Edges." Report of the Aeronautical Research Institute of Tokyo University 6.70 (1931): 61-70.
2. Tomotika, S. "LX. The transverse vibration of a square plate clamped at four edges." The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science: Series 7 21.142 (1936): 745-760. DOI: 10.1080/14786443608561622.
3. Iguchi, S. "Die Biegungsschwingungen der vierseitig eingespannten rechteckigen Platte." IngenieurArchiv 8.1 (1937): 11-25. DOI: 10.1007/BF02086517.
4. Young, Dana. "Vibration of rectangular plates by the Ritz method." Journal of Applied Mechanics-Transactions of the ASME 17.4 (1950): 448-453.
5. Filippov, A. P Kolebanija deformiruemyh sistem. M.: Izd-vo "Mashinostroenie", 1970.
6. Leissa, Arthur W. "The free vibration of rectangular plates." Journal of Sound and Vibration 31.3 (1973): 257-293. DOI: 10.1016/S0022-460X(73)80371-2.
7. Dickinson, S. M., and E. K. H Li. "On the use of simply supported plate functions in the Rayleigh-Ritz method applied to the flexural vibration of rectangular plates." Journal of Sound and Vibration 80.2 (1982): 292-297. DOI:10.1016/0022-460X(82)90199-7.
8. Bhat, R. B. "Natural frequencies of rectangular plates using characteristic orthogonal polynomials in Rayleigh-Ritz method." Journal of Sound and Vibration 102.4 (1985): 493-499.
9. Liew, K. M., K. Y. Lam, and S. T. Chow. "Free vibration analysis of rectangular plates using orthogonal plate function." Computers & Structures 34.1 (1990): 79-85. DOI: 10.1016/0045-7949(90)90302-1.
10. Bhat, R. B., P. A. A Laura, R. G. Gutierrez, V. H. Cortinez, and H. C. Sanzi. "Numerical experiments on the determination of natural frequencies of transverse vibrations of rectangular plates of non-uniform thickness." Journal of Sound and Vibration 138.2 (1990): 205-219. DOI: 10.1016/0022-460X(90)90538-B.
11. Nesterov, S. V. "Flexural vibration of a square plate clamped along its contour." Mechanics of Solids 46.6 (2011): 946-951.
12. Odman, S. T. A. "Studies of boundary value problems. Part II. Characteristic functions of rectangular plates." Proc. NR 24. Swedish Cement and Concrete Research Institute of Technology, 1955:7.
13. Vajnberg, D. V. Spravochnikpoprochnosti, ustojchivosti i kolebanijamplastin. Kiev: Izd-vo «Budivel'nik»,
1973.
14. Bolotin, V. V. "Dinamicheskij kraevoj jeffekt pri uprugih kolebanijah plastinok." Izvestija AN SSSR. Inzhenernyj sbornik 31 (1961): 3-14.
15. Bardell, N. S. "Free vibration analysis of a flat plate using the hierarchical finite element method." Journal of sound and vibration 151.2 (1991): 263-289. DOI:10.1016/0022-460X(91)90855-E.
16. Kerboua, Y., A. A. Lakis, M. Thomas, and L. Marcouiller. "Hybrid method for vibration analysis of rectangular plates." Nuclear Engineering andDesing 237.8 (2007): 791-801. DOI:10.1016/j.nucengdes.2006.09.025.
17. Ng, C. H. W., Y. B. Zhao, and G. W. Wei. "Comparison of discrete singular convolution and generalized differential quadrature for the vibration analysis of rectangular plates." Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 193.23 (2004): 2483-2506. DOI: 10.1016/j.cma.2004.01.013.
18. Wang, Xinwei, and Suming Xu. "Free vibration analysis of beams and rectangular plates with free edges by the discrete singular convolution." Journal of Sound and Vibration 329.10 (2010): 1780-1792. DOI: 10.1016/j. jsv.2009.12.006.
19. Shu, C., and H. Du. "Implementation of clamped and simply supported boundary conditions in the GDQ free vibration analysis of beams and plates." International Journal of Solids and Structures 34.7 (1997): 819-835. DOI: 10.1016/S0020-7683(96)00057-1.
20. Saini, R., and R. Lal. "Transverse Vibration of Non-Homogeneous Rectangular Plates of Variable Thickness Using GDQ." World Academy of Science, Engineering and Technology, International Journal of Mathematical, Computational, Physical, Electrical and Computer Engineering 8.9 (2014): 1197-1202.
21. Reutskiy, S. Yu. "The method of fundamental solutions for problems of free vibrations of plates." Engineering Analysis with Boundary Elements 31.1 (2007): 10-21. DOI: 10.1016/j.enganabound.2006.06.004
22. Lehnickij, S. G. Anizotropnyeplastinki. M.-L.: OGIZ-GITTL, 1947.
23. Baryshnikov, S. O., and M. V. Suhoterin. "Computation of frequency and forms of free oscillations of panels of a ship shell." Zhurnal Universiteta vodnyh kommunikacij 3 (2012): 94a-103.
_ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Сухотерин Михаил Васильевич — доктор технических наук, профессор. ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова» kaf_math@gumrf.ru Барышников Сергей Олегович — доктор технических наук, профессор. ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова» rector@gumrf.ru
Аксенов Дмитрий Андреевич — аспирант. Научный руководитель: Сухотерин Михаил Васильевич. ФГБОУ ВО «ГУМРФ имени адмирала С.О. Макарова» kaf_math@gumrf.ru
INFORMATION ABOUT THE AUTHOR
Sukhoterin Mikhail Vasil 'evich —
Dr. of Technical Sciences, professor.
Admiral Makarov State University of Maritime
and Inland Shipping
kaf_math@gumrf.ru
Baryshnikov Sergej Olegovich —
Dr. of Technical Sciences, professor.
Admiral Makarov State University of Maritime
and Inland Shipping
rector@gumrf.ru
Aksenov Dmitrij Andreevich — postgraduate. Supervisor:
Sukhoterin Mikhail Vasil 'evich.
Admiral Makarov State University of Maritime
and Inland Shipping
kaf_math@gumrf.ru
Статья поступила в редакцию 9 июня 2016 г.
Э01: 10.21821/2309-5180-2016-8-4-113-121
УДК 629.122 Е. В. Купальцева
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАССАЖИРОВМЕСТИМОСТИ
«МАЛОГО» ПАССАЖИРСКОГО СУДНА НА НАЧАЛЬНОЙ СТАДИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
Рассмотрено два метода определения пассажировместимости «малых» пассажирских судов. Первый метод основан на решении уравнения, где искомой является величина минимально возможной площади пассажирской палубы судна, необходимой для размещения заданного числа пассажиров. Входящие в данное уравнение неизвестные определены на основе статистического анализа. Уровень комфортабельности задается принимаемой удельной полезной площадью, предназначенной для размещения одного пассажира. Второй метод основан на определении необходимых размеров судна в зависимости от заданной пассажировместимости. Длина судна в этом случае представлена в виде суммы длин отсеков, находящихся в корпусе. При расчете ширины судна учитывается рядность, габариты магистрального коридора, зашивка переборок и стенок судна. Проведена проверка адекватности предложенных методов, результаты которой позволяют судить о достоверности полученных данных.
Ключевые слова: пассажирское судно, уравнение пассажировместимости, размерения судна, уровень комфортабельности, компоновка судна.
