Устойчивость сжатых панелей обшивки судна Текст научной статьи по специальности «Математика»

СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ

УДК 539.384:629.12:519.63 М. В. Сухотерин,

д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова;

Т. П. Кныш,

канд. физ.-мат. наук, доцент, ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова;

Л. В. Анненков,

аспирант,

ГУМРФ им. адмирала С. О. Макарова УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ ПАНЕЛЕЙ ОБШИВКИ СУДНА

STABILITY OF SHIP’S PLATING COMPRESSED PANELS

Прямоугольная пластина защемлена по контуру и сжимается в ее плоскости распределенной нагрузкой, приложенной ко всем граням. Симметричное решение выбирается в виде суммы двух гиперболо-триго-нометрических рядов по двум координатам. Проблема сводится к бесконечной однородной системе относительно коэффициентов рядов. Приводятся численные результаты нахождения критических нагрузок.

Rectangular plate is clamped along a contour and is compressed in its plane with even load applied to all faces. Symmetrical solution is selected in the form of sum of two hyperbolic-trigonometric series in two coordinates. The problem is brought to infinite uniform system for series coefficients. Numerical results of critical loads finding are given.

Ключевые слова: прямоугольная защемленная пластина, устойчивость, гиперболо-тригонометри-ческие ряды, критические нагрузки.

Key words: rectangular clamped plate, stability, hyperbolic-trigonometric series, critical loads.

1. Анализ проблемы. Постановка задачи. Основным силовым набором обшивка судна делится на прямоугольные панели (пластины), которые можно считать защемленными по всему контуру. В процессе эксплуатации обшивка может испытывать действие усилий в ее срединной поверхности. Наиболее опасны сжимающие усилия, передающиеся от других элементов конструкции через силовой набор. Сжимающие усилия, если они достаточно велики, могут привести к потере устойчивости части обшивки, что, в свою очередь, часто приводит к разрушению этого элемента,

а возможно, и всей конструкции. Поэтому определение критических сжимающих нагрузок является важной частью расчета на прочность обшивки. Это же относится и к палубным перекрытиям, переборкам и т. п.

Пластину считаем тонкой однородной и изотропной. Задачу устойчивости будем решать в рамках классической теории изгиба [1].

Рассмотрим пластину с размерами a х Ь в плане постоянной толщины h, нагруженную равномерно распределенными сжимающими усилиями T TY , приложенными к ее граням (рис. 1). Начало системы координат поместим в центр пластины.

Т7

\ |ИП Y Тх ЦШ|

Е: ^ Ту

4— X

WA Itttt ttttl 7

Тх

Рис. 1. Защемленная по контуру пластина под действием сжимающих усилий в срединной плоскости

Выпуск 2

Выпуск 2

□2*

Дифференциальное уравнение изгиба такой пластины в безразмерных координатах x = X / Ь, у = Y / Ь имеет вид [2]:

і п д2м> д2м>

^^+тх-^+(1)

дх2 у ду2

Ек

где w — прогиб срединной поверхности пластины, И = — цилиндрическая жесткость,

д4 д4 Э4

E — модуль Юнга, V — коэффициент Пуассона, У2У2 = —- + 2—-—г-н--------------г — бигармонический

дх дх ду ду

ъ^ ь^

оператор, Тх = —Тх, Тх =~^ТГ — относительные сжимающие усилия.

Размеры пластины (относительные) теперь будут такими: - у / 2 < х < у / 2, - 1 / 2 < у < 1 / 2, где у = а / Ь — отношение сторон.

Граничные условия имеют вид:

дм> у

w = 0, — = 0 при х = ±—, (2)

дх 2

w = 0, — = 0 при у = ±— . (3)

Таким образом, математическая модель задачи представлена уравнениями (1)-(3). Задача ставится так: 1) найти выражение функции прогибов w (х, у) удовлетворяющее уравнению (1) и граничным условиям (2, 3); 2) найти значения сжимающих усилий T и T (критические значения), при кото-

х у

рых пластина теряет устойчивость, а затем приобретает новую форму устойчивого равновесия.

В общем случае имеется бесконечный ряд таких значений и форм. Хотя исследование всех возможных форм равновесия пластины представляет большой теоретический интерес, на практике обычно ограничиваются определением первой (эйлеровой) критической нагрузки и формы равновесия, так как именно эта нагрузка зачастую и приводит к разрушению пластины. Однако в некоторых случаях (например, при быстром «прохождении» эйлерова значения) разрушения не происходит, пластина приобретает новую устойчивую форму равновесия и способна в дальнейшем выдерживать более высокие нагрузки, хотя при этом имеет значительные деформации. Поэтому важно знать хотя бы вторую и третью критические нагрузки.

Задача устойчивости прямоугольной пластины имеет решение в замкнутой форме лишь для случаев свободного опирания двух параллельных граней пластины [2]. Для защемленной по всему контуру пластины возникают большие трудности удовлетворения граничным условиям отсутствия углов поворота заделанных кромок. Поэтому некоторые исследователи ограничивались лишь первым приближением. Наиболее строгое решение найдено в работе [3] итерационным методом для случая, когда, помимо сжимающих усилий, пластина была нагружена равномерной поперечной нагрузкой (сложный изгиб).

Ввиду симметрии сжимающей нагрузки формы устойчивого равновесия могут быть симметричными относительно осей координат, антисимметричными, а также симметричными относительно одной оси и антисимметричными по другой. Поэтому отдельно должно быть рассмотрено четное решение, нечетное, четно-нечетное и нечетно-четное. Эйлерова нагрузка будет, естественно, при четном решении, которым мы и ограничимся в рамках данной статьи. Для других комбинаций с нечетными решениями нетрудно проделать аналогичные выкладки.

2. Построение решения. Задачу будем решать методом, описанным в [4, с. 94-103], с помощью гиперболо-тригонометрических рядов по двум координатам.

Четное решение задачи (1)-(3) выбираем в виде суммы двух функций:

^(х,у)= £ (-1)*Л(£)С08Ь(Р*Х)С08(А*7), (4)

к=1,3...

Щ(х,у)= £ (-l)s'C(5)cosh(^y)cos(^x),

(5)

5=1,3—

где Хк = Ы, ц. = .та/у, к = (к + 2) / 2, . = (. + 1) / 2, Ak, Рк, Cs, — неопределенные коэффициенты.

Потребуем, чтобы эти функции удовлетворяли дифференциальному уравнению (1). Тогда для определения коэффициентов Рк и £. получаем биквадратные уравнения, которые дают по две последовательности корней:

р*’р*=viN

і = J|[2tif2 -ТУ±^4^(ТХ-ТУ) + ТУ2

(б)

(7)

Заметим, что эти корни могут быть как действительными, так и комплексными.

Так как вместо одной последовательности Рк получены две (Рк и Рк ), то функция (4) перепишется в виде

Щ(х,У) = Z (_1)*(AcoshM +Bkcoshpkx)cos(A.ky).

*=1,3...

Аналогично вторая функция (5) примет вид

со _

W2(х,у)= X (-!)f (f, cosh^ sy + Dscosh$sy) cos(nsx).

(S)

(9)

s=l,3...

Функции (8), (9) «автоматически» удовлетворяют условиям отсутствия прогибов лишь двух граней у = ± 1 / 2 или х = ± у / 2. Потребуем, чтобы прогибы были нулевыми и на двух других. Тогда коэффициенты Вк и Ак, а также О. и С. будут связаны соотношениями:

At = -Bh ch

s s

l/ch

рЛ

V L J

С = -D. ch

ch

к

v2 ,

(10)

Потребуем теперь, чтобы искомое решение, то есть сумма функций w1 и w2, удовлетворяло условию отсутствия углов поворота заделанных сечений (вторые условия (2), (3)). Это дает систему уравнений:

Z Н)*A cosh (PtY / 2)(р* tanh (р, у / 2)- pk tanh(pty / 2))cos(^y) +

0,

*=1,3...

+ £ ^

5=1,3...

cosh(£ /2) —

cosh(^y)-------у (coshfe?)

cosh(fs/2)

cost

sh(P^7/2)

+ Z (-1)1 Cs coshs / 2^f tanh (^ / 2)-tanh / 2jj)cos (ц = 0.

(11)

5=1,3...

Разложим гиперболические функции, входящие в (11), в ряды Фурье по косинусам, подставим эти разложения в систему (11). Переставляя знаки суммирования, после преобразований приведем ее к

Р-£2

^ ТёгТ

5=1,3...

^*(p;ttanh(Piy/2)-P/ttanh(piy/2))-4Xjt f] /е2 , , ,2. = °>

(£ + >їХ£ + >І)

4 V 1 ^ Р*2-РЇ

£ к к ,п2 , 2\/о2 , 2\

У *51 (Pt + n.XPt+ц,)

+ С; ($, tanh(§, / 2)- tanh(^s / 2))= 0,

Выпуск 2

Выпуск 2

где Ак = Ак совИ^у / 2); С* = С8 совЬ(^ / 2).

Из второго уравнения системы (12) выразим С^ и подставим в первое уравнение. Тогда получим

А* __________________Ч_______________ у ______________ х

* У (р4ЬтЬф4у / 2)-р, ЬшЬ(р4у/2)),=1,з...^ tallh(^ /2)- ИшЬ^ / 2)

~ I ,П2 2^2 2Х=°. (13)

й+те+^)л.(Р;+|1;хк+й)

Здесь во внутренней сумме, чтобы не путать индексы, индекс к заменен на га. Обозначим теперь Ак = , тогда

- =16^ у у (Рт~Рт) г (14)

* У л* + ^),»&.(Р^ +н,2)(Р« + ^,2)

(15)

где

Л* = Р* 1апЬ(рАу / 2)-р* 1апЬ(р*у / 2),

0,=^1апЬ(^/2)-^^(^/2),

%-£=-№(т,-т,)+т?, й-р; =-^4Х1(Т,-Т')+Т?

Система (14) представляет собой бесконечную однородную систему линейных алгебраических уравнений относительно последовательности коэффициентов Ак.

Если пластина устойчива при данных значениях сжимающих усилий Т и Т , то для любых, отличных от нуля начальных значений коэффициентов Ат процесс последовательных приближений, организованный по формуле (14), приведет к тривиальному решению. Форма пластины останется плоской, если усилия значительно меньше эйлеровых. С ростом усилий начнет появляться зона неустойчивого состояния, когда коэффициенты Ак начнут расти. Следует ожидать, что зона неустойчивого состояния, сопровождающаяся ростом прогибов пластины, будет достаточно протяженной и будет включать в себя критическую нагрузку, дающую резкий неограниченный рост прогибов пластины. В зоне неустойчивого состояния система (14) дает расходящееся решение с меньшей или большой скоростью.

Дальнейшее исследование зависит от значений усилий Т и Т или соотношения между

ними.

3. Численные результаты. Мы представим здесь численные результаты для случая, когда с обеих сторон действуют одинаковые сжимающие усилия Т и Т При этом

%-%=-Т; Р2-Р)=-Т, £,=ц,; \=№^Т; Р4=Х4; Рк=ф^Т и система (14) примет вид

____ 2 -167,2 у_____________^__________у__________4»________ (16)

‘ у л* едц,2 +Ч2)(и,2-т+^)т^.ЛК + цЖ-Т+^).

В расчетах величина сжимающих усилий менялась в широких пределах. Для каждого заданного значения Т сначала все коэффициенты Ат полагались равными единицы (начальное приближение). По формуле (16) вычислялись коэффициенты Ак (первое приближение). Для этого была составлена программа в системе аналитических вычислений Мар1е 14. Коэффициенты первого приближения подставлялись в правую часть системы (16) и вычислялись коэффициенты второго

приближения и т. д. Для качественного анализа итерационная процедура выполнялась от 20 до 50 раз. Число членов в рядах принималось равным 59. Дальнейшее увеличение этого числа практически не влияло на точность вычислений, если речь вести о пяти- или шестизначных цифрах. На печать выводились все коэффициенты для каждой итерации. Время вычисления для каждого значения T составляло 2-3 мин, поэтому интервалы устойчивого и неустойчивого состояния, критические усилия находились достаточно быстро простым перебором значений T с учетом поведения коэффициентов Ак по итерациям.

Сначала рассматривалась квадратная пластина (у = 1). Было установлено, что в интервале 0 < T < 2п2 ~ 19,739 пластина устойчива, то есть оставалась плоской. Итерационный процесс приводил к тривиальному решению.

Первый интервал неустойчивого состояния: 2п2 < T < 52,3445. Значение T = 2п2 является особым значением сжимающей нагрузки. При к, s, m = 1 выражения Xl + ц2 — Т и Л2 + ц2 — Т в знаменателе формулы (16) обращаются в нуль, а коэффициенты Ак — в бесконечность. Непосредственно вблизи значения 2п2 (как слева, так и справа) коэффициенты меняются слабо, то есть показывают либо медленную сходимость, либо медленную расходимость.

Особое значение 2п2 (и последующие 10п2 и т. д. при других значениях к и s) имеет место из-за того, что искомое решение представлялось в виде суммы двух гиперболо-тригонометрических рядов по двум координатам (8), (9), каждый из которых моделирует свободно опертые параллельные кромки. Поэтому в решении для защемленной по всему контуру пластины «сидит» и критическое состояние для свободно опертой пластины, являясь, как показали исследования, лишь началом зоны неустойчивого состояния защемленной пластины.

Итак, первая зона неустойчивого состояния оказалась довольно широкой. Подробное исследование этой зоны показало, что вблизи ее границ расходимость процесса слабая, то есть прогибы пластины растут медленно (появляется выпученность), и вероятность разрушения мала, хотя при длительном воздействии это может произойти. В работе Н. М. Беляева [5] отмечается, что в статически неопределимых конструкциях появление критических сжимающих напряжений в отдельных ее элементах может и не вызвать разрушения конструкции, особенно если эти напряжения лежат в пределах упругости, так как работу этих элементов возьмут на себя другие элементы. Сам элемент может находиться в состоянии упругого выпучивания и при снятии нагрузки вернется к первоначальному виду. Первая критическая (эйлеровая) нагрузка оказалась равной T3 = 37,7996 ~ 37,8. При этом значения коэффициентов Ак наиболее резко росли до бесконечности. При переходе через T3 пластина «хлопком» изменила направление выпученности на противоположное.

В книге П. Ф. Папковича [2] приведены аналогичные результаты, полученные другими авторами. K. Sezawa [6, s. 227] искал решение в виде суммы двух ординарных тригонометрических рядов по косинусам переменных x и у . Внутренние функции этих рядов по другой координате подбирались так, чтобы по всему контуру прогибы были равны нулю, а углы поворота обращались в нуль в угловых точках и в середине заделанных сечений. Для квадратной пластины им получено значение T3 = 5,61п2 ~ 55,37, что намного выше, чем в данной работе.

G. I. Taylor [7, s. 147], используя решение K. Sezawa, обращал в нуль углы поворота в большем числе точек и получил значение T3 = 5,3п2 ~ 52,31, то есть меньшее, чем у K. Sezawa. Таким образом, увеличение точек коллокации ведет к снижению значения критической нагрузки.

Значение 52,31 следует приближенно считать верхней границей неустойчивого состояния, в настоящей работе оно составило 52,3445.

Значение Tp1 = 52,3445 будем называть «равновесным» усилием, при котором пластина переходит в состояние нового устойчивого равновесия с одной выпученностью (рис. 2-4). При этом значении коэффициенты Ак бесконечной системы (16), которые находятся из соответствующей укороченной системы методом последовательных приближений, сходятся к нетривиальным значениям и после 20-й итерации соответствующие значения практически не отличаются друг от друга. Рисунки 2-4 показывают, что граничные условия задачи выполнены с высокой точностью.

Выпуск 2

Выпуск 2

Рис. 2. Вторая форма устойчивого равновесия квадратной пластины при Т = 52,3445

Рис. 3. Вторая форма устойчивого равновесия квадратной пластины (вид со стороны оси ОУ)

| Бв]

Рис. 4. Вторая форма устойчивого равновесия квадратной пластины (вид со стороны оси ОХ)

Заметим, что функция прогибов для равновесного состояния получается с точностью до постоянного множителя, так как бесконечная система (16) является однородной. Это указывает на то, что это состояние будет безразличным.

Для дополнительного обоснования критической нагрузки ТЭ = 37,8 обратимся к работе

Н. М. Беляева [4]. Автор, рассматривая задачу устойчивости стержня с защемленными концами, указывает, что критическая сила для такого стержня длиной I равна критической силе для шарнирно опертого стержня длиной I/2, то есть в 4 раза больше. Длина эквивалентного шарнирно опертого стержня определялась длиной отрезка между точками перегиба упругой линии защемленного стержня при потере устойчивости.

Если следовать Н. М. Беляеву и заменить защемленную пластину шарнирно опертой, размеры которой определяются по линиям перегиба данной пластины (рис. 3, 4), то для квадратной пластины по этим рисункам можно приближенно взять новые размеры 0,75 х 0,75. Тогда критическая нагрузка будет приближенно равна:

2л2 2я2

Тэ =^- = ^-*35,09.

3 Ь 0,75

Этот результат хорошо согласуется с найденным в настоящей работе.

Из последних работ, посвященных данной проблеме, отметим [3], где, помимо сжимающих усилий, к пластине была приложена равномерная поперечная нагрузка. Задача решалась весьма

точным методом суперпозиции направляющих функций [8, с. 47-49]. Значение критических усилий 37,8 совпадает с найденными в настоящей работе. По-видимому, наличие поперечной нагрузки при малых деформациях не влияет на величину критических сжимающих усилий.

При дальнейшем увеличении нагрузки в интервале (52,3447^10 п2) пластина была устойчива, сохраняя первую плоскую форму равновесия. Значение 10п2 ~ 98,696 также является особым значением.

Интервал (10 п2^110,2) — вторая зона неустойчивого состояния. В этом интервале была найдена вторая критическая нагрузка Т = 104,2889. При этом значении коэффициенты Ак стремились к бесконечности наиболее быстро. Далее следовал интервал устойчивости (110,2^148). Следует отметить, что границы этого интервала «размыты»; коэффициенты Ак были знакопеременными по итерациям. На этом интервале пластина вновь была плоской.

Интервал (148^167,0292) — третья зона неустойчивого состояния. На нем была найдена третья критическая нагрузка Т = 156,2501. Граница этого интервала является вторым равновесным усилием Т при котором пластина перешла в новое устойчивое состояние с пятью выпученнос-тями (рис. 5). При этом значении сжимающих усилий метод последовательных приближений, организованный по формуле (16), привел к нетривиальным значениям коэффициентов Ак (напомним, что начальные значения этих коэффициентов принимались равными единице).

Дальнейшие исследования устойчивости при больших значениях сжимающих усилий нецелесообразны с точки зрения их практического использования.

04

0.2 О -0.2 -0.4 -0.6

Рис. 5. Третья форма устойчивого равновесия квадратной пластины при Т = 167,0292

Аналогичные вычисления были проделаны для прямоугольной пластины с отношением сторон у = 2. Найдены несколько первых интервалов устойчивого и неустойчивого состояний, а также эйлерова и вторая критические нагрузки. Зоны устойчивого состояния: (0^1,25п2); (16,08^-3,25п2); (54,6792^7,25п2). Зоны неустойчивого состояния: (1,25п2^16,08); (3,25п2^54,6792). Эйлеровая нагрузка — ТЭ = 14,6174; вторая критическая нагрузка — ТКР2 = 44,6285. «Равновесная» нагрузка ТР.1 = 54,6792, которая соответствует форме устойчивого равновесия с тремя полуволнами в направлении оси ОХ и одной полуволной в направлении оси ОУ (рис. 6).

0.

-О

Рис. 6. Вторая форма устойчивого равновесия прямоугольной пластины (у = 2) при Т = 54,6792

Отметим, что в более сложных случаях формы пластины обычно применяют энергетические методы (см., например, [9. с. 62-65]), ограничиваясь ввиду сложности задачи несколькими первыми приближениями.

Выпуск 2

4. Выводы. Приведенное решение и вычислительный алгоритм позволяют с высокой точностью найти критические сжимающие нагрузки при различных сочетаниях Tx и T для защемленных пластин с различным отношением сторон в системе аналитических вычислений Мар1е. Полученные численные результаты и программа вычислений в Мар1е могут быть использованы в практических расчетах на устойчивость элементов обшивки судов и самолетов, а также затворов и шлюзовых ворот гидротехнических сооружений.

1. Тимошенко С. П. Пластинки и оболочки / С. П. Тимошенко, С. Войновский-Кригер. — М.: Физматгиз, 1963. — 635 с.

2. Папкович П. Ф. Строительная механика корабля / П. Ф. Папкович. — Л.: Судпромгиз, 1941. — Ч. 2. — 960 с.

3. Барышников С. О. Прочность, устойчивость, колебания плоских элементов судовых конструкций / С. О. Барышников, М. В. Сухотерин. — СПб.: Судостроение, 2012. — 167 с.

4. Барышников С. О. Вычисление частот и форм собственных колебаний панелей обшивки судна / С. О. Барышников, М. В. Сухотерин // Журнал университета водных коммуникаций. — 2012. — Вып. 3 (15).

5. Беляев Н. М. Сопротивление материалов / Н. М. Беляев. — М.: ГИТТЛ, 1954. — 856 с.

6. Sezawa K. Zeitschr. Angew. Math. Mech. / K. Sezawa. — 1932. — Bd. 12.

7. Taylor G. I. Zeitschr. Angew. Math. Mech. / G. I. Taylor. — 1933. — Bd. 13.

8. Сухотерин М. В. О расчете на изгиб обшивки двустворчатых ворот шлюзов и затворов ГТС / М. В. Сухотерин // Гидротехническое строительство. — 2009. — № 7.

9. Барышников С. О. Устойчивость прямоугольной пластины ступенчато-переменной толщины / С. О. Барышников, Д. П. Голоскоков // Речной транспорт (XXI век). — 2010. — № 1.

УДК 625.12:539.4 В. Б. Чистов,

АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ОСТАТОЧНЫХ ТОЛЩИН НА ПРОЧНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛАСТИН ОБШИВОК И НАСТИЛОВ КОРПУСОВ СУДОВ

ANALYSIS OF ERRORS IMPACT ON THE STRENGTH CHARACTERISTICS OF THE SHIP'S HULL PLATES AND DECKS IN DETERMINATION OF RESIDUAL THICKNESS

Статья посвящена анализу влияния погрешностей при определении остаточных толщин листовых элементов корпуса судна на прочностные характеристики пластин с учетом различных вариантов их загрузки: равномерно распределенной нагрузкой и сосредоточенной силой.

Список литературы

д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;

А. Б. Красюк,

канд. техн. наук, доцент, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова

М. Г. Пеликова,

инженер,

ФАУ «Российский речной регистр»