Выбор технологического оборудования на основе нечеткой исходной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.865

Н.П. Митяшин, Ю.Б. Томашевский, А.В. Денисов, А.А. Дмитриев

ВЫБОР ТЕХНОЛОГИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ НА ОСНОВЕ НЕЧЕТКОЙ ИСХОДНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Приводится методика задания нечеткой меры ценности критериев, полезной при решении многокритериальных задач выбора. Нечеткая мера, обладая свойством неаддитивности, позволяет отображать системные эффекты взаимодействия критериев. Рассматривается одна из методик применения нечеткой меры при решении задач оптимизации.

Нечеткая мера, многокритериальность, задачи выбора, сборочное оборудование, неаддитивность, бинарное отношение

N.P. Mityashin, Yu.B. Tomashevskiy, A.V. Denisov, A.A. Dmitriev

CHOICE OF TECHNOLOGICAL EQUIPMENT BASED ON THE FUZZY

INITIAL INFORMATION

The paper decribes a method of constructing the fuzzy measure of criteria valuables useful in solving the multicriteria selection problems. The fuzzy measure possessing the nonadditive property can display system effects of the interaction criteria. One of the methods for application of the fuzzy measure in solving optimization problems is described.

Fuzzy measure, multicriteriality, the problem of choice, non-additivity, a binary

relation

Постановка задачи. Один из возможных подходов к решению проблемы многокритериального выбора при неравноценности критериев основан на применении нечеткой меры ценности критериев [1].

В определении нечеткой меры нет требования аддитивности. Частным случаем нечеткой меры является Я-нечеткая мера Сугено gi [2], определенная на подмножествах множества a , для которой для каждой пары непересекающихся подмножеств E, F справедливо следующее равенство (Я-правило)

С (E u F) = gi (E) + gi (F) + l gi (E) • gi (F); - 1 < l < ¥

В нашем случае множество a представляет собой набор критериев некоторой проблемы выбора. При Я>0 имеет место увеличение совокупной ценности критериев подмножества по сравнению с суммой всех ценностных показателей его элементов. Неаддитивность меры отражает известный факт: в определенных комбинациях индивидуальных критериев их совокупная ценность может быть больше или меньше суммы их индивидуальных мер ценности.

Наиболее трудоемким этапом процедуры оценивания альтернатив с помощью нечеткой меры ценности критериев является задание самой этой меры.

Ниже рассматривается эффективный метод экспертного задания неаддитивной меры и его применение для решения многокритериальной задачи выбора.

Метод решения. Как правило, не все критерии участвуют во «взаимодействии» при их совместном рассмотрении. Они могут образовывать несколько групп, внутри которых происходит взаимное усиление ценностей, разное по интенсивности в разных группах, в то время как критерии из разных групп не взаимодействуют [3]. Представим a всех критериев в виде объединения таких групп.

a-UQ.

i

Каждая группа критериев Qi в совокупности имеет меру ценности О^, которую внутри множества X будем считать аддитивной, т.е.

IО = 1,

г

но в каждой из Qi действует внутренняя нечеткая мера ценностей gi.

Задание нечеткой меры а(У) для каждой группы Qi сводится к определению ценностей отдельных критериев gi = g({Ф1}), входящих в группу, и параметра А, позволяющего определить меру ценности любого подмножества У критериев из Qi по формуле Сугено [2]

а(У) = 1(П (1 + 1) -1), (1)

где I - множество номеров критериев, входящих в У.

Для задания меры эксперт указывает относительные ценности Аj критериев Ф1,Ф2,..,Фт

внутри группы так, что

А +...+Ат = 1; А > 0,

а также коэффициент аддитивности у , характеризующий степень уменьшения ценности суммы собственных ценностей всех критериев группы по отношению к их совокупной ценности, т.е.

т /

п = I ао .

г=1 /

При этом

а = А -у-О. (2)

Для нахождения параметра А следует решить алгебраическое уравнение (т-1)-й степени относительно параметра / = 1О

П (1 + )-/- 1 = 0.

Это уравнение всегда имеет один положительный корень /, найдя который, мы определяем параметр 1 по формуле

1 = / О,

что совместно с (2) завершает процесс задания нечеткой меры критериев каждой группы Qi.

Поскольку в общем случае необходимо рассчитывать ценность любого множества критериев, входящих в разные группы Qi, формула (1) принимает следующий вид

г 1

а(У) = I "Т(П (1 + ) -1).

]=11

Здесь г - число групп Qi, Лj и - параметры меры в ^й группе.

С целью облегчения практического задания нечеткой меры были проведены расчеты, позволяющие находить параметр /л графически без решения алгебраического уравнения. Очевидно, что этот параметр зависит от набора относительных ценностей критериев внутри группы А1А2,..., Ап. Однако проведенные исследования показали, что с погрешностью, не превышающей 5%, параметр / определяется не конкретными значениями, а их разбросом внутри группы. Это позволило задать указанные зависимости при различных значениях среднеквадратичного показателя разброса величин :

Пп IА-А>)2-

где Ао = 1/п - среднее значение коэффициента относительной ценности в группе.

Полученные зависимости параметра /л от коэффициента аддитивности у при различных значениях а для группы из 4 критериев приведены на рис. 1.

Рис. 1. Зависимости /и(у,а) для 4-х критериев

Применение нечеткой меры для решения многокритериальных задач основано на сведение их к скалярному выбору. В частности, это может быть сделано с помощью нечеткого интеграла Сугено [2]. Одна из других возможностей связана с построением нечеткого бинарного отношения предпочтения.

Пусть на множестве критериев X задана нечеткая мера g ценностей критериев, а также известны значения всех критериев на некотором множестве вариантов выбора X. Считая для определенности все критерии максимизируемыми, для каждой пары вариантов выбора х и у введём подмножество множества критериев

Фх,у = (Фг|Фг (X) >Ф; (у)}, а с его помощью нечеткое бинарное отношение с функцией принадлежности р(х, у) = g(Фху). Таким образом, р( х, у) представляет собой меру ценности тех критериев, для которых их значения на варианте х не хуже, чем на варианте у. Построенное на его основе бинарное отношение р* = р / р"1 с функцией принадлежности

\р(х, у) - р(у, х), если р(х, у) > р(у, х)

р* (х, у) =■

0, если р( х, у) < р( у, х)

асимметрично, то есть является отношением строгого упорядочения на множестве выбора. При р* (х, у) > 0 оно показывает, насколько мера ценности множество критериев Ф(х,у) превосходит меру ценности множество критериев Ф(у,х). Следуя [4], на основе отношения р* строится нечёткое множество недоминируемых альтернатив О , с функцией принадлежности

рО (х) = шт(1 - р* (у, х)) = 1 - тах р* (у, х), (3)

у у

с помощью которого однокритериальный выбор оптимального по р^ (х) варианта осуществляется по формуле

х( = а^шах рО (х). (4)

х

Пример. В качестве примера использования разработанного метода рассмотрим задачу выбора сборочного оборудования для выполнения конкретной технологической задачи.

Пусть образцы сборочного оборудования идентичного назначения Л1, Л2, Л3 Д4, Л5 оцениваются семью максимизируемыми критериями Фь Ф2, ..., Ф7 При этом эксперт, учитывая характер и интенсивность взаимного влияния ценности критериев при решении заданной технологической задачи, разбил это множество на две группы. Первая группа {Ф1, Ф2, Ф3, Ф4 } с совокупной ценностью G^=0.6, коэффициентом аддитивности У1 = 0.7 имеет оценки относительных ценностей соответствующих критериев Д = 0.2, Д = 0.4, Д = 0.3,Д4 = 0.1. Критерии второй группы {Ф5, Ф 6, Ф 7 } с совокуп-

135

ной ценностью 02=0.4 и коэффициентом аддитивности п = 0.3 получили оценки относительных

ценностей = 0.2, & = 0.5, & = 0.3 .

Применение описанной выше методики позволяет во введенных группах ввести нечеткие X-меры, параметры которых приведены в табл. 1.

В табл. 2 приведены экспертные оценки пяти образцов оборудования Л2, Л3Д4, Л5 по семи максимизируемым критериям.

Таблица 1

Параметры нечеткой меры ценностей критериев

№ группы вк Состав группы пк тк 1

1 0.6 Ф1 0.2 0.7 1.51 2.51

Ф2 0.4

Фз 0.3

Ф4 0.1

2 0.4 Ф5 0.2 0.3 16.84 42.12

Фб 0.5

Ф7 0.3

Таблица 2

Экспертные оценки образцов оборудования по критериям Ф1, Ф2.....Ф7

Ф1 Ф2 Ф3 Ф4 Ф5 Ф6 Ф7

Л1 0.85 1 1 0.43 0.67 0.33 0.50

Л2 1 0.72 0.23 0.10 0.6 1 0.90

Л3 0.75 0.82 0.50 1 0.80 0.50 1

Л4 0.67 0.73 0.30 0.60 0.72 0.46 0.55

Л5 0.74 0.65 0.60 0.70 0.53 0.70 0.50

Используя данные таблиц 1 и 2 и формулы для функций принадлежности отношений р(Л1, Л;) и р* (Лг-, Л;), строятся их матрицы отношений, приведенные в табл. 3 и 4.

Таблица 3

Матрица отношения р(Лг-, Л;)

Л1 Л2 Л3 Л4 Л5

Л1 1.0000 0.4500 0.5047 0.5047 0.6011

Л2 0.2287 1.0000 0.1440 0.2287 0.6875

Л3 0.4420 0.5224 1.0000 1.0000 0.4563

Л4 0.4420 0.4500 0.0000 1.0000 0.2644

Л5 0.1867 0.1813 0.1860 0.3636 1.0000

Используя теперь формулу (3) находим степень недоминируемости образцов оборудования (табл. 5).

Таблица 4

Матрица отношения р* (Лг-, Л ^)

Л1 Л2 Л3 Л4 Л5

Л1 0.0000 0.2213 0.0627 0.0627 0.4144

Л2 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.5062

Л3 0.0000 0.3784 0.0000 1.0000 0.2703

Л4 0.0000 0.2213 0.0000 0.0000 0.0000

Л5 0.0000 0.0000 0.0000 0.0992 0.0000

Таблица 5

Степень недоминируемости образцов оборудования Pd(x)

Л1 Л2 Лз Л4 Л5

Л1 1 0.62 0.94 0 0.62

В соответствии с формулой (4) оптимальными альтернативами выбора по этому показателю можно считать образцы оборудования Л1 и Л3 с близкими значениями критерия PD (Li).

Заключение. Предложена методика обоснованного выбора технологического оборудования на основе нечеткой информации, полученной путем опроса экспертов. Методика основана на применении теории нечеткой меры и метода недоминируемых альтернатив.

ЛИТЕРАТУРА

1. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / Под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, 1986. 321с.

2. Sugeno M. Fuzzy measure and fuzzy integrals / M. Sugeno // Trans. SICE, 1972. Vol. 8. № 2. P. 95-102.

3. Выбор оборудования на основе неаддитивной меры ценности критериев/ А.Ф. Резчиков, Н.П. Митяшин, Б.М. Кузьмиченко и др. // Мехатроника, автоматизация и управление, 2010. № 1. С. 54-58.

4. Орловский С.А. Проблемы принятия решения при нечеткой исходной информации / С А. Орловский. М.: Наука, 1981. 208 с.

Митяшин Никита Петрович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Томашевский Юрий Болеславович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Денисов Алексей Вячеславович -

аспирант кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Дмитриев Александр Александрович -

студент кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Nikita P. Mityashin -

Dr. Sc., Professor

Department of System Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Yury B. Tomashevskiy -

Dr. Sc., Professor

Head: Department of System Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Alexei V. Denisov -

Postgraduate

Department of System Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Alexandr A. Dmitriev -

Graduate

Department of System Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Статья поступила в редакцию 12.07.14, принята к опубликованию 25.12.14