Анализ чувствительности качества выходной кривой многоуровневого инвертора к точности реализации ее параметров Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЭНЕРГЕТИКА

УДК 621.314

П.П. Говорухин, Е.Е. Миргородская, Н.П. Митяшин, Л.Э. Рогинская, Ю.Б. Томашевский

АНАЛИЗ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ КАЧЕСТВА ВЫХОДНОЙ КРИВОЙ МНОГОУРОВНЕВОГО ИНВЕРТОРА К ТОЧНОСТИ РЕАЛИЗАЦИИ

ЕЕ ПАРАМЕТРОВ

Описывается методика анализа чувствительности показателей качества электрической энергии, генерируемой многоуровневым инвертором напряжения, к нечеткости задания параметров его кривой. Методика основана на использовании нечетких чисел, принципа обобщения Заде и понятия нечеткой чувствительности. Приведены результаты расчета нечеткой чувствительности коэффициента искажения синусоидальности выходной кривой многоуровневого инвертора к нечеткости настройки моментов переключения и величины ее уровней.

Инвертор, выходное напряжение, качество электрической энергии, нечеткое число, чувствительность, принцип обобщения

P.P. Govorukhin, E.E. Mirgorodskaya, N.P. Mityashin, L.E. Roginskaya, Yu.B. Tomashevsky

ANALYSIS OF QUALITY SENSITIVITY OF THE OUTPUT CURVE OF AN INVERTER VS. ACCURACY OF ITS PARAMETERS

The paper describes a method for analyzing sensitivity of quality parameters of the electric energy generated by a multi-level voltage inverter in relation to the fuzziness of the parameters of its curve. The given technique is based on the use offuzzy numbers, the principle of Za-deh generalization, and idea of fuzzy sensitivity. The results of fuzzy sensitivity estimates of the harmonic distortion factor in the output curve of a multi-level inverter to fuzziness in setting switching times and value of its levels are presented.

Inverter, output voltage, power quality, fuzzy number, sensitivity, principle of generalization

Постановка задачи

В последние десятилетия в схемотехнике силовой электроники с целью улучшения качества выходной кривой стали применяться автономные инверторы напряжения (АИН) с многоуровневым формированием напряжения. В таких АИН качество выходной кривой определяется значениями параметрами ее задания, а именно числом уровней напряжения, их величинами и моментами перехода от одних уровней к следующим. Для каждого числа уровней существуют оптимальные значения величин уровней и моментов их коммутаций, обеспечивающие наименьший коэффициент искажения синусоидальности Ku.

В реальной схеме преобразователя оптимальные значения величин уровней и моментов коммутаций могут задаваться с некоторой погрешностью. Представляет интерес исследования чувствительности величины коэффициента Ku к неизбежным отклонениям основных параметров кривой от их номинальных значений, обеспечивающих требуемое функционирование комплексов.

Методика исследования

В работе предлагается задавать параметры кривой в виде нечётких чисел (НЧ) [1]. При этом значения неопределенных параметров отображаются степенью размытости соответствующих НЧ.

Математические операции с НЧ осуществляются с использованием принципа обобщения Заде [3]. В случае если один или несколько параметров модели исследуемого комплекса представлены в виде НЧ, непосредственное применение этих операций при реализации модели приводило бы к весьма громоздким вычислениям. Из-за отсутствия аналитической модели комплекса, которая часто задается алгоритмически, т. е. существует в виде компьютерной программы, оперирующей с чётко заданными значениями параметров, это вовсе невозможно. Поэтому предлагается прямое применение принципа обобщения, при котором алгоритм рассматривается как обобщенная математическая операция [4].

В этом случае принцип обобщения имеет следующую интерпретацию.

Пусть (x^..., xn) - совокупность НЧ, соответствующих неопределенным параметрам комплекса, а (m(xi),...,m( xn)) - их функции принадлежности.

Рассмотрим некоторый показатель у, характеризующий качество функционирования комплекса. Очевидно, этот показатель в рассматриваемом случае также должен быть представлен в виде НЧ

У. Если бы параметры x1, x2, ..., xn имели четкие значения, то показатель у также имел бы четкое значение, которое могло быть рассчитано с помощью оператора S

у = S С^ x2,..., xn ). (1)

Оператор S может быть задан в простейшем случае в аналитической форме, но для сложных комплексов чаще реализуется в виде компьютерной программы.

Принцип обобщения позволяет рассчитать функцию принадлежности этого НЧ ц(у) по формуле [3]

||(у) = max min(|l( M^),..., m(-n)). (2)

(xbx2^.^xn ) S(xux2^.^xn )=У

Здесь максимум берется по всем наборам (x1, x2, ..., xn), для которых S(x1, x2, ..., xn) = у по известным четким значениям параметров x1, x2, ., xn.

Поскольку мы предполагаем, что оператор S задан в виде компьютерной программы, для ее применения необходимо дискретизировать значения параметров x1, x2, ., xn и показателя у.

Обозначим через supp[~j) множество значений параметра xh для которых его функция принадлежности отлична от нуля (т.е. носитель НЧ xf [4]). Для треугольных НЧ носитель представляет собой некоторый интервал А, на оси x, [5]. Дискретизация значений x, сводится к разделению интервала А, на непересекающиеся достаточно малые подынтервалы Aj такие, что

A i = U A (3)

j=1

и значения функции ^J(xi) на них можно считать постоянными.

Особенностью дискретизации показателя у состоит в том, что носитель нечеткого числа у заранее точно неизвестен. Однако можно использовать его верхнюю оценку, т.е. интервал, заведомо содержащий носитель у .

Пусть 5 - такой интервал, а 5k - подынтервал его разбиения, т.е.

N

5= U 5j. (4)

J=1

причем искомые значения функции принадлежности ц(у) НЧ у на интервале 5k считаем постоянными и равными vk.

Тогда формула (2) для дискретизированных значений будет иметь вид

nk = max min(m(x1),|l(x2),...,|(xn)). (5)

(x1,X2^.^xn )

S(xbx2,...,xn )e5k

Формула (5) позволяет рассчитать функцию принадлежности нечеткого параметра у по известным функциям принадлежности параметров х1 . Эта функция ц(у) содержит информацию о возможных значениях отклонения показателя у от номинального значения у0. Из формулы (5) следует, что функция ц(у) достигает максимума на этом значении у0.

В качестве примера рассмотрим влияние нечеткого задания углов переключения уровней и величин этих уровней кривой выходного напряжения пятиуровневого инвертора [2] на коэффициент искажения синусоидальности Ки. При оптимальных значениях углов переключения и величинах уровней напряжения коэффициент Ки имеет значение 7,62%. В случае нечеткого задания, например, угла включения четвертого уровня 04 коэффициент Ки также оказывается нечетким.

Нечеткость включения углов 9г зададим в виде треугольных нечетких чисел (рис. 1).

мШ

О 10 20 30 40 50 60

Рис. 1. Функции принадлежности треугольных НЧ, отображающих возможные значения углов 01 (1), 02 (2), 0э (3), 04 (4)

7,7 7,8 7,9 8

Рис. 2. Функции принадлежности коэффициента искажения синусоидальности 14 (Ки), те 2 (к и), те 3 (Ки), те 4 (ки), соответствующие фу^иям

принадлежности углов переключения 01, 02, 0з, 04 (рис. 1)

Расчеты по описанной выше методике в предположении четкого оптимального задания всех остальных параметров кривой приводит к функциям принадлежности (Ки), (Ки), цез (Ки),

те4 (Ки), приведенные на рис. 2.

Сравнение кривых Це. (Ки) свидетельствует о различной чувствительности показателя Ки к

неопределенности задания угла переключения различных уровней. В этой связи целесообразным яв-

ляется введение количественных характеристик чувствительности показателей качества функционирования комплексов к нечеткости задания их параметров.

Для этого полезным является понятие уровня или среза нечеткого множества.

Как известно [5], 1-срезом нечеткого множества А называется множество АХ, у которого функция принадлежности тА. связана с функцией принадлежности цА множества А следующим образом

Г1, если т Л (х) >1

т л. (х) = \' . . (6)

1 [0, если тЛ (х) <1

Здесь 0 < 1 < 1.

Величина 1 характеризует требование исследователя к величине степени принадлежности значения х к рассматриваемому нечеткому множеству А. Очевидно, АХ является четким множеством, причем для нечетких множеств А с односвязным носителем АХ есть интервал. При этом длина интервала АХ, которую будем обозначать как ш(АХ), характеризует степень «размытости» множества А при данной степени требования Х к четкости задания переменных.

Если показатель у является функцией нечетко заданного параметра х, то можно рассчитать отношение

оу (1) = . (7)

т( х. )

Величина (1) может рассматриваться как нечеткий аналог производной, поскольку характеризует степень «расширения» интервала неопределенности т(уХ) нечеткой переменной У, являющейся

функцией нечеткой переменной х, по отношению к интервалу неопределенности т(хХ). Величина является функцией уровня Х, т.е. зависит от степени требования к четкости задания переменных.

Недостатком величины с точки зрения оценки чувствительности показателя у к неопределенности задания параметра х заключается в том, что меры Х-уровней т(хХ) и т(уХ) не соотнесены к точным значениям у0 и х0, для которых соответствующие функции принадлежности равны 1. Целесообразно оценить степень неопределенности задания этих НЧ безразмерными отношениями т(уХ)/у0 и т(хх)/х0.

Тогда чувствительность показателя у к нечеткости задания параметра х может быть оценена величиной

нх (1) _ _ оу (1).^. (8)

т( х1)/ х0 у0

Эту функцию уровня можно рассматривать как нечеткий аналог классической чувствительности, задаваемой известной формулой [6]:

ну _ ё 1п(у) _ ёу/у _ у'(х) х

х

ё 1п(х) ёх/ х у

Результаты расчетов нечеткой чувствительности

Результаты расчетов, проведенных по формулам (5) и (8) для определения чувствительности качества кривой выходного напряжения к точности задания углов переключения 0Ь 02, 03, 04 пятиуровневого инвертора напряжения, задаваемого функциями принадлежности соответствующих НЧ по рис. 1, приведены на рис. 3 а.

Знание, например, функции н^" (1) позволяет определить допустимую величину интервала Х разброса угла 02 переключения второго уровня, при котором величина интервала отклонения значения Ки от оптимального значения не превысит произведения 1 • н^" (1) .

Очевидно, что функция Еу (1) не является функцией принадлежности НЧ. Вместо нее можно

рассмотреть обратную функцию ц(£), которая является функцией принадлежности НЧ Е х , содержащего ту же информацию, что и функция Еу (1). Это НЧ можно назвать НЧ-чувствительностью показателя у к нечеткости задания параметра х. Функции принадлежности НЧ-чувствительностей

—к„

Еег , соответствующие функциям Ееи (1), приведены на рис. 3 б.

~ К Л ^ и

Рис. 3. Нечеткие чувствительности Ее и (1) (а) и функции принадлежности НЧ-чувствительностей Ее, (б)

коэффициента искажения синусоидальности Ки, соответствующие функциям принадлежности

углов переключения 0|

а б

Рис. 4. Функции принадлежности треугольных НЧ (а), отображающих возможные значения уровней напряжения V/, / = 1, 2, 3, 4, и функции принадлежности коэффициента искажения синусоидальности Ки (б), соответствующие функциям принадлежности уровней напряжения V/, / = 1, 2, 3, 4

Были проведены аналогичные исследования влияния нечеткости задания значений уровней напряжения выходной кривой на коэффициент искажения синусоидальности Ки.

На рис. 4 а показаны функции принадлежности треугольных НЧ ), \ = 1,2,3,4, отображающие

возможные значения относительных значений уровней напряжения V, I = 1, 2, 3, 4, причем за базовое значение взято напряжение пятого уровня, т.е. амплитуда напряжения. При задании функций принадлежности предполагается, что стабилизация напряжений уровней производится с 5%-й точностью, а их значения на оптимальных значениях напряжений равны 1.

б

а

Расчеты по описанной выше методике в предположении четкого оптимального задания всех остальных параметров кривой приводят к функции принадлежности (Ки), приведенной на рис. 4 б.

Результаты расчетов, проведенных по формулам (5) и (8) для определения чувствительности качества кривой выходного напряжения к точности задания уровней напряжения и2 и и4 пятиуровневого инвертора напряжения, задаваемого функциями принадлежности соответствующих НЧ по рис. 1, приведены на рис. 5.

Знание, например, функции Е Ки (1) позволяет определить допустимую величину интервала X разброса уровня напряжения и2, при котором величина интервала отклонения значения Ки от оптимального значения не превысит произведения 1-Е Ки (1) .

sfU)

Рис. 5. Нечеткие чувствительности SKu (l) (а) и функции принадлежности НЧ-чувствительностей m(S) (б)

коэффициента искажения синусоидальности Ku, соответствующие функциям принадлежности уровней напряжения U2 и U4

Выводы

Описывается методика оценки чувствительности показателей качества функционирования инвертора к нечеткой настройке параметров силовой схемы преобразователя и системы управления. Методика иллюстрируется результатами исследования влияния нечеткости установления углов переключения транзисторов в пятиуровневом инверторе на качество кривой выходного напряжения.

Рассмотренная методика оценки чувствительности показателей качества функционирования инвертора, к нечеткой настройке параметров силовой схемы преобразователя и системы управления может быть распространена на изучение электротехнических систем любой сложности.

ЛИТЕРАТУРА

1. Dubois D., Prade H. Operations on fuzzy numbers // Int. J. Syst. Sci. 1978. Vol. 9. № 6. P. 613-626.

2. Calais M., Vaasilios G.A., Dymond M.S. When to Switch Which Switch in a Five Level Single Phase Cascaded Inverter. URL: http://www.researchgate.net/profile/V assilios_Agelidis/ publica-tion/228608572_When_to_Switch_Which_Switch_in_a_Five_Level_Single_Phase_Cascaded_ Invert-er/links/0c96053887160e0ca4000000.pdf (дата обращения: 04.10.2015).

3. Zadeh L.A. Basis for a new approach to the analysis of complex systems and decision making // Math today. M.: Knowledge, 1974. P. 5-49.

4. Митяшин Н.П., Томашевский Ю.Б. Оценка влияния малых неопределенных параметров на характеристики агрегированного преобразователя // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2003. № 11-12. С. 96-106.

5. Нечеткие множества в моделях управления и искусственного интеллекта / под ред. Д.А. Поспелова. М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. 321 с.

6. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

Говорухин Павел Павлович -

аспирант кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Pavel P. Govorukhin -

Postgraduate

Department of Systems Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Миргородская Екатерина Евгеньевна -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Митяшин Никита Петрович -

доктор технических наук, профессор кафедры «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Рогинская Любовь Эммануиловна -

доктор технических наук, профессор кафедры «Электромеханика» Уфимского государственного авиационного технического университета

Томашевский Юрий Болеславович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Системотехника» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Ekaterina E. Mirgorodskaya -

Ph.D., Associate Professor

Department of Systems Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Nikita P. Mityashin -

Dr. Sc., Professor

Department of Systems Engineering

Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Lubov E. Roginskaya -

Dr. Sc., Professor

Department of Electromechanics

Ufa State Aviation Technical University

Yuri B. Tomashevsky -Dr. Sc., Professor,

Head of Department System engineering Yuri Gagarin State Technical University

Статья поступила в редакцию 10.04.15, принята к опубликованию 15.11.15