CC BY
3УДК 629.735.33.015
Выбор параметров динамических составляющих аэродинамических характеристик для моделирования продольного движения самолетов на больших углах
атаки
М. А. Захаров
Рассмотрена математическая модель аэродинамических характеристик с включением нестационарных составляющих, соответствующих структуре обтекания сусо. и mzc o., в нелинейном (с (a x), m (а х)) и линейном (с (а t) m (а t) ) представлении. Поясня-
ус.о.н V ' / Zc 0 H ' Ус о л ' Zc 0^ '
ется косинусоидальная зависимость вращательных (C™y , m™y), а также линейных нестационарных (с—,, ma„) производных от угла атаки. Предложены новые аппроксимации функций:
mZH (а,х) (с параметром, зависящим от центровки самолета) и х0 (а) (с —, имеющей два
da
негладких локальных минимума). Определена связь выражений Cyc.0.H (—,х), mzc.0.H (—'х), х0 (—) с
производными сУУс0л (—,y), ^^ (—,y), вычисляемыми из комплексов (c®z + C— )вк, (myz + m— )вк
, экспериментально измеренных в аэродинамических трубах. Приведена методика выбора параметров динамических составляющих аэродинамических характеристик для моделирования.
1. Исходная математическая модель аэродинамических характеристик и постановка задачи
При исследовании устойчивости и управляемости самолета в его продольном движении применяется математическая модель (ММ) нестационарных аэродинамических характеристик (АХ) с включением двух нестационарных составляющих (НС) (соответственно двух нестационарных производных (НП)) и внутренней переменной состояния х [1-3]. При этом модель коэффициентов нормальной силы и момента тангажа имеет вид [3, 4]
су = Суст(—'Ф) + сусо. + CyZ -®Z + с —. - — mZ = mZ£i(—,ф)+m^ + myz -y + m—. - —i , (1)
где: с (— ф), m (— ф) - статические составляющие, зависящие от угла атаки — и угла уста-
уст ^ ' ' zcт ^ ' '
новки стабилизатора ф ; Cyz, myz - вращательные производные (ВП), безразмерные (в диапазоне
— от 0° до 35° мало зависящие от угла атаки); с—„, m— - линейные НП (со звездочками) безразмерные, учитывающие нестационарные эффекты, не связанные с эффектами отрывного (вихре-
вого) обтекания; ^ , а - безразмерные угловая скорость и производная угла атаки; ш2 = ш 2 • ;
— . ЬА . ,
а = а ш ^ сх - угловая скорость и производная угла атаки по времени [с ]; V - воздушная скорость и [м/с] ; ЬА - средняя аэродинамическая хорда крыла [м]; Сусо. , ^со. - нестационарные составляющие АХ, соответствующие структуре обтекания (НССО).
В нелинейной постановке составляющие Сусо , ^со представляются следующими выражениями (2) с уравнением релаксации (3)
СУс.о.н (а,Х) = СУН (а,Х)" СУН (а,Х0 (а)) ; ^с.о, (а'Х) = (а'Х)" ^Н (а,Х0 (а)) ; (2)
Х = — •[Х0 (а-а2 )" Х] , (3)
Х1
где: х - внутренняя переменная состояния, х е [0,1]; может рассматриваться как относительная координата по хорде крыла точки отрыва потока (или взрыва вихрей) с верхней поверхности; Х0 (а) - вполне определенная функция для данного типа самолета, соответствующая положению точки отрыва потока (или точки взрыва вихрей) при данном угле а в стационарных условиях
Х0(а) = х(а = 0,Х = 0); СУн (а,Х), mZн (а,х) - нелинейные составляющие аэродинамических коэффициентов [1], описывающие нестационарные и нелинейные особенности возникновения отрывного (вихревого) обтекания на профиле: СУН (а,Х0 (а)), (а,Х0(а)) - стационарные составляющие, получаемые подстановкой зависимости х0 (а) (вместо Х ) в выражения СУН (а,Х),
mZн (а> Х); Т - постоянная времени [с], обусловленная инерционностью процессов развития отрывного обтекания или восстановления безотрывного обтекания; т 2 - постоянная времени [с], характеризующая эффекты затягивания развития отрывного обтекания. Производные коэффициентов С у , т2 по х определяются как
СУ (а, Х )-£Су. (а, Х )=*»-^} = >
5х 5Х 5Х
т
:(а,х)=^т.(а,х)=ат'- (а-х)_а^т-н (а-х) (4)
5х 5Х 5Х
В линейной постановке (для малых значений х - х0(а)« 0, соответственно при колебаниях по а с малыми а ) производные коэффициентов Су , т2 по х зависят только от а
С(а,х « х0(а))« Су (а,х = х0(а))= СХ(а); тХ(а,х « х0(а))«т (а,х = х0(а))= тХ (а) , (5)
а составляющие Сусо., т,со. (с линеаризацией релаксационного уравнения (3) и последующим преобразованием его по Лапласу) принимают вид [1-3]:
Г Р • а(Р) 1
Су_ (а,1 ) = СХ (а)-(х(г)- Х0 (а))= Кс (а> L-1
1 + т1 • Р
т2с о (а, 1) = тХ (а) • (х(1) - Х0 (а)) = Кт (а) • L-1Г-Р+^М сол ^1 + т1 • р
(6)
где: р- оператор Лапласа; ^ ( ) - обозначение обратного преобразования Лапласа; к (а), К (а) - коэффициенты размерности [с]
Кс (а) = -(т + т2)• СХ (а) • ^; Кт(а) = -(т1 + Т2)• тХ(а> &0(а)
(7)
1 ^ ш \ / \1 ¿/ ¿\/ 1
аа аа
В работе [1], на основе линейной теории кавитации, предложены аналитические выражения
нелинейных функций СУн (а,Х), mzн (а,Х), которые обозначим с индексом "1",
СУН (а' х )=281п(а) •(1+^ ^;
т.
(а, х) = 2зт(а)- (1 + л/х ) •5(1—л/х^ + 4л^Х = 32 • 81п(а)^ (1 + л/х ) • (1 - 1.2л/х + х) .
4 ' ' 2 4 ' 4 " ' 16 32
Соответственно выражения (2) принимают вид
СУс.о.н1 (а' Х) = § 51п(а){(1 + ^ - (1 + л/Х0 (а))2
(8)
(9)
(10)
т,
(а, х)= — • 81п(а)Т( + Тх)2 • (1 - 1.2л/х + х)-( + ^х0 (а))2 •( - 1.2^х0 (а) + х0 (а))] . (11)
он1 32 1_ J
Производные коэффициентов (10), (11) по х из (4), (5):
СУ1 (а, х) = §• 8т(а)-|1 + ;
2
тх(а,х )=•81п (а)^
+Х К - +Х )+(1 - 7= )( )
(12)
СУ1 (а) = § • зт(а)-
л/Х0 (а)
(13)
тХ (а) = 32 •81п(а)
1 +
л/Х0 (а),
•(1 -1.^Х0 (а) + Х0 (а)) +
1 -
0.6
л/Х0 (а),
•(1 + л/Х0 (а))2
(14)
с
1
1
1
Изменение коэффициентов Су, т2 при периодическом изменении угла атаки (а также угла тангажа) а = а0 + а8 • sin(ю • t), ю 2 = а ( а8 - малая амплитуда [рад], Ю - круговая частота колебаний [с], t - время [ С ]) может быть представлено [1, 5, 6]:
К
— а!! • ю • cos(ю • I) ;
(15)
су = су (— 0)+ с — - — s - sin (ю-1)+ с — • — - — s-ю-cos(ra -1) ;
у уст 4 0 ' ув.к. s \ / ув.к. V S
Ь,
mz = mz (— 0)+ m— -— s - sin (ю-1) + m— -— s-ю-cos(ra -1) ,
L Ld \ U / гБ.к. Ь V 7 гБ.к. V
где: суст(— 0), mzcт(— 0) - статические составляющие; C —вк , maБк , C—вк , m—^ - безразмерные
аэродинамические производные, могут быть измерены в аэродинамических трубах (АДТ) по методу вынужденных колебаний (ВК).
Производные с —вк , m —]5к является функциями — и Ю (при этом Ю часто заменяют без-
~ ~ ^ — el ю-bA ч
размерной частотой, или числом Струхаля, ю = Sh = —v— ).
Сопоставление уравнений (1), (6), (15) дает [1, 5, 6] выражения производных:
C— (—,ю) = C^z + C— + Kc2(—)2 -— ; m— (—,ю) = m^ + m — + Km2(—)2. (16)
у"Л ' у у* 1 + ю2-т2 Ьа ' Z Z* 1 + ю2-т2 b, (16)
Выражения этих же производных, найденные в рамках традиционной линейной модели АХ (с одной НП) [7], имеют вид
с — (—,ю) = сю + с;—; ш— (—,ю) = m®z + m—
Ув.к. х ' У У лв.к. х / L L 5
где: с— , m— - результирующие НП (НП традиционного описания), могут быть измерены в АДТ методами [5, 7], при которых угловая скорость физической модели ю z = 0 .
При новом обозначении производных C—вк , m—^ (в виде комплексов вращательной и нестационарной производных - комплексов ВНП) и дробных выражений в (16) (в виде НП), из последних выражений и выражений (16) можно записать
C L(—. «М^ + с— )вк(—' ю)=C?z +с— + CLn (—.;
- / _ _ - -л (17)
m, (—, ю)= PzZ + mz /в.к. (—' ю) = mzZ + mzt + mzaa (—, ю) ;
^в.к.
С а = С ^с.о.л & ю); т^ = т£ + т^л (a, ю) ,
где: СУУсол (а,ю), т^ (a,ю) - безразмерные НП, соответствующие структуре обтекания, линейной постановки (НП СОЛ), которые из (16) с учетом (7) равны
С * (о у) (х +х ) (о) ¿х0 (а) V 1 дЛЛ Сх (а) ах0 (а) ; СУс.о.л (а,у) = -(х1 + х2)- СУ (а)'"7^' Г" -г = А(у)' СУ(а)'
¿а ЬА 1 + т2 ' га2 ¿а
0(
¿хо(а) V 1 ч х/ ) ах0(а) (18)
ш^ (а,«) = -(х1 + хг)'тХ(а)'^'ТГ'ННг = А(®)'тХ(а)' а ,
л аа ЬА 1 + х2 'га2 аа
./ \ V (х! +х2)
причем А(у)=-ЬДЦТТ-Т^2! ■ <19»
При наличии данных измерения комплексов ВНП, в соответствии с (17), можно определить
опытные НП СОЛ, вычитая из комплексов ВНП суммы (су2 + С^) и (ш™2 + ш^) , которые в первом
приближении равны измеренным комплексам ВНП для малых углов атаки а мл = (0... 6о) [6]. Введем безразмерное отношение к производных СОЛ, указанных в (18), для у = у
т* (а, у = у п)
с.о.д 4 11 /
К1 С* (а,ш=шп) ■ (20)
•Ус.о.д 4 п у
Из (18) следует, что К1 = f (а) и ( ч шх (а)
к'(а)= чм ■ <21>
Для моделирования продольного движения необходима информация о функции х0 (а). Физический смысл этой функции поясняется в [1, 6], а аппроксимация ее различными выражениями (с параметрами, связанными с ее точкой перегиба) представлена в [3].
Выявлены следующие недостатки рассмотренной модели АХ: отсутствуют указания по выбору параметров динамических составляющих АХ для большого диапазона изменения углов атаки; известное выражение ш2Н1 (а,х) предназначено для строго определенной центровки самолета [2] (при других центровках возникает погрешность моделирования); известные ММ функции
х0 (а) имеют одну точку перегиба (и соответственно —0( ) с одним минимумом) и не позволяют
¿а
с их помощью аппроксимировать по (18) опытные НП СОЛ, содержащие по углу а два локальных максимума (например [1] рис. 8.3.20, [7] рис. 2).
Таким образом задачей настоящего исследования является: пояснение закономерности изменения производных С«2, ш^2, С О , т О от угла а для большого диапазона углов атаки, разработка выражения ш2Н х), включающего параметр зависимости от центровки самолета, разработка ММ х0 (а), позволяющей аппроксимацию опытных НП СОЛ, а также выработка методики
по выбору параметров динамических составляющих АХ для большого диапазона изменения углов атаки. Решению поставленной задачи посвящены последующие главы.
2. Пояснение зависимости производных Суг, туг и С, т^ от угла атаки
ВП входят в уравнения динамики продольного движения самолета и обуславливают возникновение демпфирующего момента [8, 9], препятствующего продольному угловому движению.
Пусть движущийся самолет (см.рис. 1 а)) ( с вектором V линейной скорости, проходящим через центр масс точку О, и углом атаки а ) вращается вокруг оси OZ с угловой скоростью ю 2 . В каждой точке оси OX, перпендикулярно ей, например в точке А (хА - координата точки А вдоль продольной оси), появляется вектор Vy линейной скорости. Проекция Vy на ось OY
у = Ю • ХА.
Результирующий вектор VA линейной скорости точки А определяется суммой V и Vy (см. рис 1 б)). Обозначим приращение местного угла атаки (по отношению к углу атаки а в точке О) через Да. Из рис. 2 б) видно, что местный угол атаки в точке А меньше угла а . Соответственно угол между вектором VA и V равен ( — Да ). Найдем значения VA и Да из треугольника скоростей рис. 1 б). По теореме косинусов
V,
V = <ю • X, (22)
V, = д/Уу2 + V2 — 2 • ^(90° — а) • Уу • V ,
А
или
(V ^
у
V V У
1 — 2 •
( V ^
V V У
1(а) .
Практически
Vy
V
V,
= 0... 0.06 и "V = 0.94 .„1.06. Соответственно можно принять V, ~ V.
V = V,
Из треугольника скоростей по теореме синусов имеем (— да) = зт(90° — а) .
V V
Откуда с учетом малости угла Да находим Да « — V- • cos(а)« — —у • cos(а).
УA У
Так что, подставляя значение Vy из (22), получаем приращение местного угла атаки
ю2•хА / ч
Да «--^-А • со8(а).
V У 7
Дополнительные аэродинамические силы и их моменты тангажа пропорциональны приращению местного угла Да и, следовательно, произведению ю2 • cos(a). Так что и просуммированные по всей длине самолета аэродинамические коэффициенты Су , т2 (от действия этих сил и моментов) также пропорциональны ю 2 • сов(а). Следовательно результирующие ВП пропорциональны cos(a).
ЛНП, как показано в работе [10], определяются главным образом задержкой скоса потока на горизонтальном оперении при изменении угла атаки. Это явление, связанное со скосом потока, имеет место на малых углах атаки и отсутствует при а « 90° . Поэтому для большого диапазона углов атаки при моделировании вполне допустимо принять зависимость ЛНП от угла атаки коси-нусоидальной.
3. Определение связи между производными т" ° (а, ю), С" о л (а, ю); уточнение математической модели функции т2н (а, х)
Допустим, что показанный на рис. 2а) график Сас.о.л (а>ю = юп) получен для конкретной частоты ( ю = ю п ) из опытных комплексов ВНП. Допустим также, что ему соответствуют графики тасол (а, Ю = юп) из опытных данных, представленные на рис. 2б) для различных центровок самолета (т"со.лА , т"со.лв , т"со.лс ). На рис. 2 в) приведены соответствующие отношения производных
СОЛ Кг(а), рассчитанные по (20) (кгА , кгв , к1С ).
Отрицательная (демпфирующая) производная т и соответствующее отрицательное
значение К1А
(а) получены для самолета Х-31А [11]. Положительная (антидемпфирующая) производная т а (с положительным значением к ) взята из [1] (рис. 8.1.3, 8.3.6., 8.3.19, 8.3.20).
2с.°.дС 1С
Промежуточная производная ^с.°.л (с соответствующим малым значением К ¿в
(а) ) - из [12, 13].
Изучение полученных К1 (а) показывает, что это отношение подчиняется закону К{(а) = К0г + АК1 (а) , (23)
где: К0г - постоянная составляющая отношения; АКг (а) - переменная составляющая. Аналитически К г
(а) может быть найдено из следующих соображений, аналогичных [14]. При малом воздействии а на крыле возникает нестационарная сила (см. рис. 3) р ()= С а ( ) "" Ь (Я - скоростной напор [Па], „ - площадь крыла [ 2 ]). Эта сила со-
-с.°.л ча/ = Сус.°.л ча/'а ' Я'Ь Ч Ь м
здает момент относительно центра масс самолета (или оси колебаний физической модели) -с.°.л (а)' 1с.°. (а) = С^с.°.л (а)' "а ' Я ' Ь ' ¿с.°. (а) (1 с.°. (а) - плеч° нестационарной силы -с.°.л (а) > Соответственно коэффициент момента тангажа
- F (aV/ (a) Ca (a)-a-irn(a)
i \ a i \ — ^с.о.л^/ ^c.oW Ус.ол^ c.o.V / „
mz (a) = mz (a)- a =-л——-=-л—-- . Откуда по (20) можно наити выра-
Zco-^w 7 q - S - bA bA J v ' F
жение к,
K , (a)
т",о.л (a) = ic»
Ki(a)= Г^й = b • (24)
СУс.о.л (a) bA
Зависимость 1 со. (a) может быть представлена суммоИ
1с.о.(с) = 10со + А,с.о.Н .
где: i - постоянная составляющая плеча [м], зависящая от центровки самолета; а, /) -
0с.о с.о. V /
переменная составляющая плеча [м], зависящая от угла атаки (смещение силы F^ (a) ). Соответственно из (23), (24)
Ко, = ^ AK,(ab^ . (25)
1 bA °A
Обозначим (см. рис.3) расстояния от носика профиля крыла: ,т - до центра вращения О, 1 нс о. (a) - до фокуса (линии действия) силы Рс.о.л (a) . Поскольку ,нс о. (a) = ,онс о. - А,с.о.(a) (где
,онс.о. - постоянная составляющая расстояния ,нс о. (a)) и ,нсо. (a) = ,T - ,с.о. (a) = Хт - bA - Ua) (где
хт - центровка масс самолета или колебаний физической модели), то
¿с.о. (а) = хт ' ьа -1онсо. + А1с.о. (а). Откуда (с учетом приведенной после (24) структуры ¿с.о. (а))
Ч.о = Хт ' ЬА -10нс.о. .
Таким образом коэффициент К 1 является коэффициентом центрирования нестационарной силы (или относительным плечом нестационарной силы ^с.о.л (а) ), Ког - показателем центровки, АКг - показателем смещения силы ^с.о.л (а).
Теперь выражение ^Н1 (а,Х) (9) можно изменить с введением параметра, учитывающего центровку и смещение плеча нестационарной силы. Так что измененное аналитическое выражение функции тгН (а,Х) будет выглядеть (с присвоением индекса "2") как
(а,х) = К(а)'Сун1 (а,х) . (26)
Выражения СуН1 (а,х) (8), СУс.о.н1 (а,х) (10), а также Сух (а,х) (12), Сух (а) (13) остаются в
силе. НС коэффициента момента тангажа, соответствующая структуре обтекания, подсчитанная из (2), (26) (во изменение (11)) представляется как
mZc.O.H2 (a'X) = Kl (a)' СУсоН1 (a'X) •
Откуда производная mzc.o.H2 (a'x) по х из (4)
5mz (a,x) ЭСУ (a,x) mzx2 (a, x) = -= Ki (a)--^-= Kt (a)- Cyi I
Соответственно производная по х при малых a из (5):
mx2 (a) = mx2 (a,x = x0 (a)) = Kt (a) - СУг (a) . (27)
Обозначим отношение K¿ (a) (21) измененной модели через K i2 (a) и найдем его из (27)
, ч mx (a) , .
Ki2 (a) = = Ki (a) •
Cy1 (a)
Отсюда следует, что измененная модель mzc.^2 в соответствии с (23), (25) учитывает влияние центровки и смещения нестационарной силы, а также отвечает закону (21).
4. Аппроксимация опытных зависимостей С^^ (a, ю) и разработка новых моделей x0 (a)
Для нахождения некоторых параметров динамических составляющих АХ и для использования опытных данных НП СОЛ, прежде всего необходимо аппроксимировать эти данные в соответствии с (18).
Производная СУ (a) приблизительно равна Cyi (a) из (13), причем xo (a) , входящая в (13)
- монотонная. Соответственно CX (a) является монотонно возрастающей в диапазоне a = 10° — 70° . Так что в соответствии с (18) местоположение по a максимумов функции
aa / \ , dx0 (a)
СУсо (a,ю = юп) определяется расположением минимумов функции-. Поскольку опытные
л da
Сус о.л (aю = юп) могут содержать один [12] или два [7, 11] локальных максимума, то для аппрок-
dx0A (a)
симации этих данных должны быть выбраны выражения х0 (а) соответственно типа А (-
da
dx0 (а)
имеет один локальный минимум) или типа В (-в- с двумя минимумами) (см. рис. 4). Тип А
da
(известный) имеет одну точку перегиба (точку О) на угле атаки а х . Тип В (предложенный) имеет три точки перегиба Вь О, В2 (соответственно на углах атаки ахх, ах, ах2 ). Обозначим:
<1Х0А (а)
dа
(а х)
<Х0в (а)
¿а
(а х)
= Кх
<х0в (а)/
¿а
(а х,| = | <х#(а х2)
= К,
(28)
Аа В =а х2 а х =а х а х! ; причем Ку — Кх ■
„ ~ ¿х0 (а) <х0 (а) „ „ ,
В точке а х перегиба °А 4 7 минимальна, а 0в 4 / имеет локальный максимум. 1 рафик
¿а ¿а
ММ функции х0 (а) очевидно должен обладать симметрией: х0(ах)= 0.5; х0(а-ах) =1 -х0[-(а~ах)] .
(29)
<х0д (а)
/ \ ЧЛЛ. 0 V^ /
Аппроксимация х0 (а) проводилась на основе гладкой производной-А-, например [3],
¿а
х0а1 (а) = 0.5{1 - tanh[2 - Кх - (а - а х )]" .
Опытные зависимости С ° (a, ю = ю
) могут иметь негладкие локальные экстремумы (например [11, 12]). Соответственно предлагается аппроксимирующая функция х0В1 (а) с неглад-
¿х0в (а)
кими экстремумами-1- (см. рис. 5а)).
¿а
(а)=
С- а-а.
1 -(0.5 - Б)-~'Х1/ при а (а х1;
0.5 - Кх '(а-а х)+
Ку-Кх (а-ах)2
2_х
Аа в
при ах1 <а<ах ;
0.5 - Кх-(а-а х)
ку -Кх (а-ах)2
(0.5 - р)-
Аа в 2
-С'(а-а„ )
2 при ах2 <а
при ах <а<а
х2
(30)
Кх + К где: р =-^--^в»
К
х ' "у Л . г^ у
'Аа в; С =
2
0.5 - Б
(а)
- Ку - е1 х при а<а х1 ; -Кх +
Ку-Кх ( ) <
—--(а-ах) приах, <а(ах;
Аа 1
в
¿а
-Кх -
Ку Кх / \ ТА -С-(а-ах2)
-(а-ах) при ах <а<ах2 ; -Ку -е 1 2 при ах2 <а
Аа
х2
в
х (а) <х0в1 (а) <х0в1 (а) х0в1 Vх) и-1- в точках экстремумов-1-:
¿а ¿а
(а х1 )= 0.5 + Б; х0в1 (а х ) = 0.5; х0в1 (а ^ ) = 0.5 - Б;
к. А
% V х1 .
¿х0в1 (а)/ \ ¿х0в1 (аК , ¿х0в1 (а)/ \
-(ах1 )=-Ку ; —в^(ах) = -Кх ; —^(ах2)=-Ку .
¿а
¿а
¿а
(31)
Значения
2
х
х
0
( ) ( ) dx0A (а)
Функция xoBl переходит в функцию xoA4Ia / с негладким минимумом-4-, если
da
положить в (30)-(32) AaB = 0 (тогда Ky = Kx ; ax1 =ax2 =ax; F = 0):
x • e xV x! при a (ax;
X0A4 (a)
1 -0.5• e2-Kx-(a-ax) при a(ax; dx0A4 (a) 0.5 • e-2Kx (a-ax) при ax <a ; da '
K-2K -(a-ax)
x • e xV x! при ax <a
dx0^ (a)
x0A4 (ax )= 0 5 = -K" .
Возвратимся к аппроксимации опытных Cус о (a, ® = ® ) по (18). При этом будем считать, что А(ш=®мин) = Аи С^с.о.л (а,® = ®мин) = Сус.о.л (a), т.е. при ш) 0 из (19) А = -"Г^(х1 +х2). (33)
b А
На рис. 5б) представлены графики зависимости f1 (a)= А • Cyil (a) (где Cyn (a) - ММ функ-
х/ dx0B (a)
ции Cy (a), подсчитывается по (13) с использованием (30), (31)) и произведения-1--f1 (a),
da
обозначенного СУс.о.„
(a) . Следовательно
- dx0 (a)
СУс.о.лП (a) =А • СУ11 (a) dOa ' (34)
В соответствии с (18) функция Сус.о.л11 (a) является ММ зависимости Сусол (a). При этом значения этой модели в точках экстремумов из (13), (32), (34) равны
CL41 (a x ) = А ^ • sin (a x + ;^=}(- Kx ) = -3.79 • А • sin(a x )• Kx ; (35)
С a (a x1 )= А •-• sin (a x1 Í(1 + . 1 !•(- Ky ) ; Усол1^ 2 V t. V0.5 + F J V
( 1 J (36)
С a (a x2 )= А •-• sin (a x2 )•[ 1 + , 1 ]•(- Ky ) .
УсоЛц *2> 2 X 2' \ V0.5-FJv y/
Так что при нахождении параметров экспериментально полученной Сусол (a, ш Шн) возможно использовать зависимости, приведенные для модели СуУс.о.л11 (а), и считать ^ (а.Шмин)« СL41 (а) • (37)
5. Методика выбора параметров динамических составляющих АХ
Для нахождения параметров динамических составляющих коэффициентов АХ используем ММ СуН1 (а,х), mzН2 (а,х), хоВ1 (а), Сус о.л11 (а) • С целью сравнения параметров, зависящих от а ,
будем находить их в точках экстремумов Сус ол (а) • При этом необходимо располагать зависимостями комплексов ВНП, которые например показаны на рис. 6. График комплекса производных
(т-2 + ту )вк (а,ш) (рис. 6б) по углу атаки а в данном примере содержит участок антидемпфирования, где этот комплекс положительный. Последовательность определения параметров следующая:
5.1 По данным разделения комплексов определяем максимальные значения ВП, соответствующие
малым углам атаки (амл = °...6°) СШ2 (амл), т-2 (амл) для данной компоновки (например из таблицы 1 гл.8 в [1]).
5.2 Определяем максимальные значения ЛНП, используя комплексы ВНП рис. 6 для малых углов атаки а мл :
С* (а мл )=(СШ2 + С а )вк (а мл )-С-2 (а мл) ;
- / - -Г - (38)
т*(амл) = (т-2 + т?)^ж (амл)-т-2 (ам,) . ' '
5.3 Из графика комплекса (с-2 + С ) (а, ш = ш1) рис. 6а) (где —1 - минимальная заданная при испытаниях частота) определяем углы атаки, соответствующие экстремальным значениям. Эти углы
а х +а х
атаки соответственно равны а х1, а х, а х2 . При этом уточняем значения а х =—1-- и (в соот-
ах -ах
ветствии с (28)) Аав =—^—L .
5.4 Считая, что закон изменения ВП и ЛНП от угла атаки косинусоидальный, из (38) находим зависимость сумм указанных производных
(С-2 + С* )(а)=С-(аМл)+ С* (аМл)]• ес8(а) ;
у V мл/ - у* \ мл^ V / ? (39)
(т-2 + т^[)(а)=[т-2(амл)+ т*(амл)]• ^(а) .
5.5 В соответствии с (17), из графиков комплексов ВНП, полученных при - = , и (39) определяем значения НП СОЛ в функции а (см. рис. 6 а))
С! (а. - !) = (С-2 + сУ)в.к. (а, )- (С-2 + Са* )(а) ;
т™с.о.л (а,)= (т-2 + т?^(а,)-(т-2 + т^а) .
(40)
5.6 Из данных (40) для ю = ю1 подсчитываем по (20) опытную зависимость отношения производных СОЛ от угла атаки т" (а,ю)
K t (а)_
t-OTT 4 '
Сас.о.л ^ )
(41)
Полученную зависимость коэффициента центрирования нестационарной силы используем в модели ^н2 (а,х).
5.7 Если каким-либо способом измерены и выбраны постоянные времени (например [2, 6, 15])
Т1
и (например [2, 6, 16]), то из полученных данных в соответствии с (36), (37) можно определить Х 2
параметры модели xoBl (а) из (30):
а) Находим постоянную A из (33).
б) Определяем значения
Ui =-
C ас.о.л (а xi, ®1 ) тт Саас.о.л (а Х2' Ю1 )
sin (а x1 )
; и2 =■
^п(а x2 )
в) Используя (35), подсчитываем модуль Kx
СL (аx,®i)
K __-'с-о-л
x_ 3.79 • A • sin (а x ) '
г) Модуль Kyj (первого приближения) находим из (36), считая F _ 0
K ___1__Ui + Ui
yi 3.79 • A 2 .
д) В соответствии с (31) подсчитываем первое приближение F
TJ Kx + Kyi д FI _-L•Дав .
1 2 B
е) Используя (36), вычисляем параметры второго приближения
Ky _--
yi1 ж • A
Ui
V°.5 + Fi
л/0.5 - Fi
K x + K y Fii _ —-^•Дав .
ж) Окончательно получаем модуль K:
1
1
1
1
2
Ку =—1-у л: • А
и, + и,
1 + , 1 I И +
з) Подсчитываем параметры F, С по (31).
Приведем некоторые результаты подсчета коэффициента центрирования нестационарной силы по (40), (41) из данных измерений.
По данным [1] а) рис. 8.3.20 КI(а х1 )= 0.454, б) рис. 8.3.6 К I(а х1 )= 0.510 (характер антидемпфирования).
По данным [7] рис. 2.3 КI(ах2 )= 0.322 (характер антидемпфирования).
По данным [11] рис. 14, 17 КI(ах2 )=-0.359 (характер демпфирования).
Подсчитаем также коэффициент центрирования нестационарной силы, на который рассчитана функция т2Н1 (а,х) при а = а х с использованием (13), (14), (29).
х/ ч + -1.2 • л/0~5 + 0.5)+ Г1 —1 • (1 + л/05)2
К. (а х )== А Л Уе^Г_Ч У05 Г_= 0.261
Схх (а х ) 16 1 + ^
л/0.5
Откуда следует возможность моделирования с привлечением СуН1 (а,х), т2Н1 (а,х), если исследуется самолет с относительным плечом нестационарной силы близким к 0.25 - 0.27 .
6. Выводы
6.1 Рассмотрена ММ аэродинамических коэффициентов Су, т2 с включением НССО Сусо , . Составляющие С , имеют две формы представления: нелинейную С (у х),
т С т С^ у !сх, х \
2с.о. ус.о. 2с.о. Ус.о.н
т2с о.н (а,х) и линейную Сус о.л (а,1), т2с о.л (а,х). Нелинейная форма базируется на внутренней переменной состояния х, которая в стационарных условиях выражается функцией хо (а). Линейная форма имеет место при малых отклонениях (х - х0 (а)), что на практике проявляется при колебаниях физической модели самолета по углу атаки с с малым произведением амплитуды угла на
частоту. При этом могут быть измерены комплексы ВНП и выделены НП СОЛ Сасо (а> -), (а, -).
тг
1
6.2 Модель су , т2 имеет так же составляющие, включающие производные существенно меньшие НП СОЛ: это ВП Су2, тУ2 и ЛНП Суа , т™ . Поясняется косинусоидальная зависимость этих производных от угла атаки.
( ) таас о.л (а'юп)
6.3 Отношение производных К1 (а) = —=——-- зависит от постоянной составляющей плеча не-
СУс.о.л Юп )
стационарной силы, а также от вариаций этого плеча при изменении угла атаки, причем постоянная составляющая плеча определяется центровкой самолета. Параметры модели нелинейной формы т2н (а,х) и т2с.о.н (а,х) должны включать коэффициент, отражающий длину плеча нестационарной силы. Соответственно предложена модель т2Н2 (а,х), т2с.о.н2 (а'х), имеющая сомножителем опытную зависимость К г (а).
6.4 Получена ММ НП СОЛ С^ (а), основанная на аппроксимации зависимости х0 (а) функцией хоВ1 (а) с негладкой производной —0в1 ( ). При этом СаУУсо.л (а) моделирует результаты измере-
dа 41
ний зависимости С УУсол (а,ю мин), имеющей два максимума.
6.5 Применяя модели т2со.н (а,х) и СУУсол , (а) , по результатам измерения комплексов ВНП, определена последовательность выбора параметров динамических составляющих, необходимых для моделирования продольного движения самолета на больших углах атаки.
б)
Рис. 1. Определение зависимости вращательных производных от угла атаки: —^никновение
а)
.самолета, б) построение треугольника с] й точки А.
окружны х ^екксооЕл с(@^юй=пр1и) вращен:
а
+
(а, Ю п )
(а, Ю п )
б)
(а)' в)
0 ' --- К 1с (а) а
__у
^^^ К (а)
16
(а)
Рис. 2. Нахождение соотношения Кг (а) из опытных данных: а) зависимость СусОл (а); б) семейство зависимостей туасо (а); в) семейство зависимостей Кг (а).
Рис. 3.
1 :: 1
д.: о::' о
-ол' -о:
■0.7: -1
-и:
^0нс
А1с.о. (а)
X 1нсо(а)
ЦЕНТР ВРАЩЕНИЯ (для самолета - центр масс, для физической модели -центр колебаний)
*оА (а)
у У
х0в (а) В1 1 Ч| в
ч В2
А< а В Ао -
ёх0д ёс (а)
\ "'Ц \ /. ■ зх* (а)
\ \ \ / \ / 0В Vх/ ёа
\ / /
-а I- —< \- -1 1-
[ИЯ.
а, град.
а +() а а а
а х а х2
ко
ио
( \ ( \ ёх0 (а) ёх0 (а) Рис. 4. Зависимости х0А (а), х0в (а), —^ ' 0в 4 ;
ёа ёа
г^а / \ { \ ёх0в (а) / ч
Рис. 5. Формирование графика Сусо.л (а): а) графики х0В1 (а) и-1-, б) графики ^ (а) и
41 ёа
С1.. (а).
(сЮ2 + )в.к.
саасо.л (ах,Ю1 ) _ С^с.о.л (а х,, ю1 )
СУУсо„ (а, Ю1)
Сас.о.л (а х2 , Ю1 )
I у а
К2 + т2
а)
б)
Рис. 6. Зависимости комплексов ВНП от угла атаки ( tt ) и частоты колебаний ( Ю ) при их измерении на модели самолета в АДТ: а) - комплексов производных (c^z + Cy )в к ; б) - комплексов
производных (mZ>z + m^ )вк .
Список литературы
1. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов. /Под редакцией Бюшгенса Г. С. - М.: Наука, 1998. - 816 с.
2. Гоман М. Г., Столяров Г. И., Тартышников С. Л., Усольцев С. П., Храбров А.Н.. Описание продольных аэродинамических характеристик самолета на больших углах атаки с учетом динамических эффектов отрывного обтекания. Препринт ЦАГИ № 9. 1990. - с. 1-56.
3. Захаров М. А. Математическая модель коэффициентов аэродинамических характеристик в продольном движении летательного аппарата на больших углах атаки с учетом эффектов отрывного обтекания. //Электронный журнал "Труды МАИ", вып. 9. -http://www.mai.ru (04.07.02).
4. Захаров М. А., Леонов В. А. Вычисление параметров продольного движения самолета на больших углах атаки с определением показателей устойчивости короткопериодического движения. //Электронный журнал "Труды МАИ", вып.13 - http://www.mai.ru (21.10.03).
5. Захаров М. А. Исследование условий измерения вращательных и нестационарных производных на динамических установках в аэродинамических трубах. //Электронный журнал "Труды МАИ", вып.14 - http://www.rnai.r-u (26.12.03).
6. Виноградов Ю.А., Жук А.Н., Колинько К.А., Храбров А.Н. Учет динамики разрушения вихрей при математическом моделировании нестационарных аэродинамических характеристик треугольного крыла. //Ученые записки ЦАГИ. - Т.28, №1, 1997. - с.105-120.
7. Виноградов Ю.А., Жук А.Н., Колинько К.А., Миатов О.Л., Храбров А.Н. К вопросу разделения нестационарных и вращательных аэродинамических производных по результатам динамических испытаний. //Ученые записки ЦАГИ. - Т.34, №3-4, 2003. - с.84-90.
8. Аэромеханика самолета. /Под ред. А. Ф. Бочкарева. - М.: Машиностроение, 1985. - 416 с.
9. Динамика полета. /Под ред. Мхитаряна А. М. - М.: Машиностроение. 1978. - 424 с.
10. Захаров М. А. Нестационарные составляющие коэффициентов нормальной силы и момента тангажа самолета, обусловленные горизонтальным оперением. //Электронный журнал "Труды МАИ", вып. 11. - http://www.mai.ru (11.04.03).
11. Абрамов Н.Б., Храбров А.Н. Математическое моделирование зависимости нестационарных аэродинамических производных самолета от частоты малых колебаний по результатам динамических испытаний в АДТ на больших углах атаки. //ТВФ №1, 2004 -с.11-19.
12. Головкин М.А. и др. Некоторые особенности аэродинамических характеристик треугольных крыльев на больших углах атаки при дозвуковом нестационарном обтекании. //Труды ЦАГИ, 1994, вып. 2536. -с.3-24.
13. Виноградов Ю.А., Храбров А.Н. (ЦАГИ). Влияние запаздывания развития отрывного обтекания на динамику полета самолета в продольном движении. //ТВФ №6, 2002.- с.1-11.
14. Жук А. Н., Иоселевич А. С., Столяров Г. И., Табачников В. Г. Экспериментальное исследование демпфирования крена и тангажа треугольного крыла * = 1.5 на больших углах атаки.
- //Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2290. -с. 52-70.
15. Колин И. В., Лацоев К. Ф., Святодух В. К., Трифонова Т. И., Шуховцов Д. В. (ЦАГИ). Исследования нестационарных аэродинамических характеристик при быстром апериодическом выходе модели маневренного самолета на большие углы атаки в потоке аэродинамической трубы. //ТВФ №1, 1999. -с.1-4.
16. Ниязманд М.А. Исследование продольной устойчивости самолётов на больших углах атаки с учётом динамических эффектов отрывного обтекания. Автореферат диссертации на соискание ученой степени к.т.н. - М.: На правах рукописи, 2000. - 24 с.
Сведения об авторе.
Захаров Михаил Александрович, аспирант кафедры динамики и управления летательных аппаратов Московского авиационного института (государственного технического университета).
