CC BY
96
Том XXXIX
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2 008
№4
УДК 533.6.013.2
533.6.071.082.013.2
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК В УСЛОВИЯХ РАЗВИТИЯ ОТРЫВА ПОТОКА ПРИ АВТОКОЛЕБАНИЯХ МОДЕЛИ НА ДИНАМИЧЕСКОЙ УСТАНОВКЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПО ТАНГАЖУ
А. С. ГЛАЗКОВ, А. Н. ЖУК, А. Н. ХРАБРОВ
Для модели пассажирского самолета с прямым крылом большого удлинения рассмотрены результаты экспериментального исследования нестационарных аэродинамических характеристик при вынужденных колебаниях с малой амплитудой и при свободных колебаниях по тангажу. На режимах развития отрывного обтекания при вынужденных колебаниях наблюдается антидемпфирование, величина которого зависит от частоты колебаний модели.
На динамической установке свободных колебаний для балансировочного угла атаки, находящегося в зоне антидемпфирования, модель попадает в режим автоколебаний. Традиционная математическая модель нестационарных аэродинамических характеристик с использованием концепции аэродинамических производных не позволяет описать зависимости аэродинамических характеристик от частоты колебаний и наблюдаемый полный динамический коэффициент момента тангажа при автоколебаниях. В статье разработана нелинейная математическая модель момента тангажа, описывающая все наблюдаемые в эксперименте динамические особенности. В модели использовано дополнительное обыкновенное дифференциальное уравнение для описания эффектов запаздывания развития отрыва потока.
Пассажирский самолет может попадать в область развития отрыва потока вследствие ошибок пилотирования, неисправности оборудования или неблагоприятных погодных условий [1]. В любом случае необходимо обеспечить максимально безопасное возвращение самолета в область безотрывного обтекания. Следовательно, для моделирования движения самолета необходима адекватная математическая модель нестационарных аэродинамических характеристик, учитывающая запаздывания отрыва потока. Традиционно, математические модели нестационарных аэродинамических характеристик строятся на основе экспериментальных исследований модели самолета в аэродинамических трубах с использованием различных динамических установок. Все модели проходят испытания на установке вынужденных колебаний с малой амплитудой, по результатам которых находятся производные демпфирования самолета. Методика этих экспериментальных исследований и обработки соответствующих результатов эксперимента изложены в работе [2]. При наличии некоторых особенностей в экспериментальных результатах проводятся дополнительные исследования, например, на установке свободных колебаний по тангажу. Методика проведения эксперимента и обработки его результатов представлены в работе [3]. В настоящей работе сначала кратко изложены основные экспериментальные результаты, полученные для одной из исследованных моделей пассажирского самолета на различных динамических установках при колебаниях по тангажу. Показано, что традиционная линейная математическая модель нестационарных аэродинамических характеристик, основанная на концепции вращательных и нестационарных аэродинамических производных, не позволяет описать зависимости производной продольного демпфирования от частоты колебаний так же, как и поведение полного момента тангажа при автоколебаниях в области развития отрыва потока.
В работе [4] было предложено использовать дополнительное дифференциальное уравнение для некоторого внутреннего переменного, описывающего структуру отрывного обтекания, с целью моделирования эффектов запаздывания его развития в нестационарных условиях. В дальнейшем этот подход был усовершенствован путем разделения нелинейных аэродинамических характеристик при развитии отрыва потока на квазистационарную и динамическую составляющую [5, 6 7]. Дифференциальное уравнение записывалось для динамической составляющей нелинейной характеристики. Для идентификации по результатам динамических экспериментов величины этой составляющей и характерного времени запаздывания был использован специально развитый подход двухшаговой линейной регрессии. Этот подход был использован для разработки математических моделей по результатам вынужденных колебаний с малой и большой амплитудой и различными частотами. Полученная модель была использована для решения задач динамики полета, в частности прохождения самолета через короткий вертикальный порыв ветра.
В настоящей статье с использованием аналогичных подходов была разработана нелинейная математическая модель для нестационарного момента тангажа рассматриваемой модели, которая позволила описать все наблюдаемые в эксперименте динамические эффекты, включая развитие автоколебаний.
1. Экспериментальные исследования проводились для аэродинамической модели пассажирского самолета, с прямым крылом большого удлинения X = 11, установленным по схеме «низко-план». Условный центр тяжести модели, относительно которого модель колебалась при вынужденных и свободных колебаниях, находился в точке хт=0.25% САХ. Относительно этой же точки измерялся момент тангажа, действующий на модель. Эксперимент при вынужденных колебаниях с малой амплитудой проводился на динамической установке ОВП-Ю2Б с хвостовой державкой [2]. Сначала на этой установке были проведены исследования стационарных аэродинамических характеристик модели в широком диапазоне углов атаки. Эксперимент проводился
при скорости потока У0 =50 м/с, что соответствует числу Рейнольдса Ке = 0.4 106, вычисленному по средней аэродинамической хорде крыла. Результаты статического эксперимента для коэффициентов подъемной силы (а) и момента тангажа тпг{а) показаны на рис. 1. Эксперименты были проведены для трех значений угла отклонения рулей высоты 8 = 0, -10° и -20°. Из графиков видно, что в диапазоне углов отклонения руля высоты от 8 = 0 до 8 = -20° модель при свободных движениях по тангажу на одностепенном шарнире может быть сбалансирована при углах атаки а от 4 до 14°.
Затем при вынужденных колебаниях по тангажу с малой амплитудой была измерена производная продольного демпфирования +/и“. Эксперименты проводились для той же скорости потока при амплитуде колебаний 6а =3° и различных частотах / = 0.5, 1,1.4 и 2 Гц. Результаты обработки этих испытаний [2], полученные при различных углах атаки представлены маркерами на рис. 2. Видно, что при малых углах атаки (а < 8°) производная /и“* + /и“ < 0. Это соответст-
Рис. 1. Статические продольные аэродинамические Рис. 2. Производная продольного демпфирования по рехарактеристики исследуемой модели зультатам вынужденных колебаний с малой амплитудой
вует демпфированию колебаний. Величина производной здесь не зависит от частоты колебаний. При увеличении угла атаки, по мере развития отрыва потока на крыле, производная демпфирования становится положительной | > 0 и начинает существенным образом зависеть от
частоты колебаний. При дальнейшем увеличении угла атаки по мере развития полного отрыва потока на крыле антидемпфирование исчезает. Величина производной т“* + от“ вновь перестает зависеть от частоты колебаний.
Традиционная математическая модель для момента тангажа в рамках концепции аэродинамических производных, которая обычно используется для анализа динамики полета, может быть записана в виде
т2 =т^ (а) + (от^ +от“)а + от®(а)5, (1)
где 7и£т(а) — стационарная часть коэффициента момента тангажа, второй член описывает линейные эффекты вращения и нестационарности, а третий член выражает влияние отклонения органа продольного управления — рулей высоты. При использовании данной модели предполагается, что входящие в нее производные не зависят от параметров движения самолета. Из рис. 2 видно, что в области антидемпфирования а = 9-^15° эта модель заведомо неприменима, так как существует заметная зависимость комплекса вращательных и нестационарных производных от частоты колебаний модели и для произвольного вида движения непонятно, какое значение этой производной следует выбирать.
Для рассматриваемой аэродинамической модели были проведены также экспериментальные исследования на установке свободных колебаний по тангажу СК-103. На этой установке модель закрепляется с помощью подфюзеляжной державки на шарнире с одной степенью свободы. Перед началом эксперимента модель фиксируется, а после освобождения в потоке совершает переходные движения и стремится к балансировочному углу атаки, задаваемому углами отклонения органов продольного управления. Если балансировочный угол атаки находится в области безотрывных режимов обтекания, переходное движение модели представляет собой затухающие колебания относительно этого угла. Если балансировочный угол атаки находится в области антидемфирования, то при свободном движении модели в потоке АДТ развиваются автоколебания. Нестационарный коэффициент момента тангажа при этом может быть найден при помощи динамического уравнения
И1г(0 = -^г-“(0-
Подробности обработки результатов такого эксперимента рассмотрены в работе [3]. На рис. 3 показаны полученные результаты для динамических зависимостей т2 (/) при двух характерных видах
переходных движений. Верхний график соответствует затухающим колебаниям около балансировочного угла атаки 4°. Нижний график показывает динамические зависимости для момента тангажа при развитии автоколебаний для балансировочного угла атаки из области антидемпфирования. Результаты обработки экспериментальных данных показаны пунктирными линиями. Соответствующие стационарные зависимости
Щ
Рис. 3. Коэффициент момента тангажа в статике (маркеры), динамике (пунктирные линии) и результаты традиционного моделирования
(сплошные линии)
т2 (а) представлены маркерами. Сплошными линиями показаны результаты математического моделирования от2 (?) с помощью выражения (1). Видно, что линейная математическая модель (1)
вполне удовлетворительно описывает наблюдаемые в эксперименте динамические зависимости для момента тангажа на безотрывных режимах обтекания (верхний график). На режимах отрывного обтекания наблюдается качественное различие результатов, хотя значение производной
от“2 + от“ оценивалось по зависимости, полученной при частоте вынужденных колебаний, близкой к частоте наблюдаемых автоколебаний. Судя по результатам обработки свободных колебаний, такое большое антидемпфирование, как при вынужденных колебаниях с малой амплитудой, при автоколебаниях не реализуется. Следовательно, необходима нелинейная математическая модель аэродинамических характеристик, которая бы позволяла описывать как результаты вынужденных колебаний с малой амплитудой с расслоением производных по частотам, так и при произвольных свободных движениях, включая автоколебания по тангажу.
2. В работе [5] был развит подход, в котором для описания запаздывания эффектов развития отрыва потока применялся прием разделения нелинейных аэродинамических характеристик модели на квазистационарную и динамическую составляющие. С использованием этого подхода математическая модель для коэффициента момента тангажа будет выглядеть следующим образом:
тг = + тга + Атг + (т?* + т* )®г + тг (°05’ (2)
где Ат2 — дополнительная внутренняя динамическая переменная. При медленных квазистацио-нарных движениях должно выполняться равенство:
т? (а) = отг0 + от“ а + Аот‘т (а).
Введенные обозначения иллюстрируются на рис. 4. Статическая зависимость от°т(а) показана сплошной линией с маркерами. Линейная часть тг0 + от“а представлена пунктирной линией. На малых углах атаки а < 5° они совпадают, здесь Аот” (а) = 0. При больших углах атаки, вследствие развития отрыва потока, начинаются нелинейные изменения от”(а), которые относятся на счет зависимости Лот” (а). Именно эта часть проявляет нелинейные динамические
свойства при произвольном изменении угла атаки.
При динамических движениях с выходом на отрывные режимы обтекания для описания запаздывания развития отрыва потока будем использовать простейшее динамическое уравнение первого порядка, записанное в безразмерном виде:
сІАт
сіі
— + Лот2 = А отг
'(а),
(3)
зоа>град
Рис. 4. Нелинейная математическая модель коэффициента момента тангажа
где т — безразмерное характерное время запаздывания, которое, возможно, зависит от угла атаки и нуждается в определении по результатам динамических испытаний в АДТ. Математическую модель (2) — (3) будем называть нелинейной моделью с запаздыванием. Традиционную модель (1) с использованием только вращательных и нестационарных производных для описания динамических эффектов будем называть линейной нестационарной моделью. Если характерное время запаздывания развития отрыва потока положить очень малым т 1, то из уравнения (3) будет сле-
довать, что Amz ~ Ат” (а). Подстановка этого соотношения в выражение (2) сводит его к модели (1), т. е. при малых т нелинейная математическая модель с запаздыванием сводится к традиционной линейной модели.
Если на вход нелинейной математической модели подать гармонические колебания с малой амплитудой а = а0 + Аа sin coi, как это делалось в работе [5], можно получить следующее выражение для производной продольного демпфирования при развитии отрыва потока:
дольного демпфирования, второй член — это нелинейное демпфирование, вызванное запаздыванием развития отрыва потока и существенным образом зависящее от безразмерной частоты колебаний со. При малых углах атаки а <5°, там где Ат^Т (а) = 0, демпфирование определяется
только линейным членом (см. рис. 2). При больших углах атаки 8° < а < 16° существенную роль играет нелинейное демпфирование, зависящее от частоты колебаний. По результатам экспериментальных исследований, представленным на рис. 2, с помощью методики работы [5] можно оценить безразмерное характерное время запаздывания, которое в данном случае составляет
Таким образом построена математическая модель, позволяющая описать зависимость от частоты производных, полученных при вынужденных колебаниях с малой амплитудой по определению продольного демпфирования. Необходимо проверить и уточнить эту модель по результатам свободных колебаний модели на установке с одной степенью свободы по тангажу.
3. Для моделирования динамики модели на установке свободных колебаний по тангажу необходимо решать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:
Задача была поставлена таким образом, чтобы при моделировании свободных колебаний модели сравнением полученных результатов с данными, измеренными в эксперименте, можно было уточнять коэффициенты предлагаемой нелинейной математической модели. С этой целью необходимо было минимизировать штрафную функцию Ф, представляющую собой разность квадратов от зависимости а(/), полученной при математическом моделировании свободного движения, и соответствующей зависимости, измеренной в эксперименте
Через р в этом выражении обозначен вектор параметров, от которых зависит математическая модель.
В настоящей работе был рассмотрен случай, в котором принималась некоторая зависимость характерного времени запаздывания от угла атаки т(а). Эта зависимость аппроксимировалась некоторым полином, коэффициенты которого составляли вектор р. Минимизация функционала Ф(/?), задаваемого выражением (6), проводилась методом Нелдера — Мида с использованием стандартных процедур пакета МАТЬАВ. Процесс минимизации проводился одновременно для
(4)
В этом соотношении первый член в правой части
т = 12.
а = саг,
/ - ~\*_ X '
mz0 + mz0С+ Amz +\m<zZ + ) W2+ff?z(a)S ,
(5)
(6)
о
нескольких переходных процессов по углу атаки, включая затухающие колебания для малых балансировочных углов атаки и автоколебания для балансировочных углов атаки, при которых наблюдается антйдемпфирование. В результате было получено, что наименьшее значение функционала Ф достигается при линейной зависимости характерного времени % от угла атаки. Эта зависимость показана штрихпунктирной линией в верхней части рис. 4. Следует отметить, что первоначальная оценка х -12, полученная по расслоению производной демпфирования т®2 +т® по частотам вынужденных колебаний, оказалась достаточно близкой к значениям, полученным минимизацией с использованием переходных процессов при свободных колебаниях.
Сравнение результатов моделирования свободных колебаний модели с использованием системы (5) с соответствующими экспериментальными измерениями для 5 = 0 и 8 = -15° представлено на рис. 5. Видно, что предлагаемая математическая модель с хорошей степенью точности описывает экспериментальные результаты при различных свободных колебаниях. На рис. 6 показаны получающиеся при этом зависимости для коэффициента момента тангажа. В левой колонке представлены зависимости полных моментов т2. Сплошными линиями показаны результаты математического моделирования, пунктирными — результаты измерений в эксперименте. Видно, что в случае использования нелинейной модели с запаздыванием согласование результа-
а,град
а,град
100
о
-100
10
20 а, град
б)
Рис. 5. Результаты свободных колебаний модели по тангажу в аэродинамической трубе и их математическое моделирование:
а — при балансировочном угле атаки в области безотрывного обтекания; б — балансировочный угол атаки в области отрывного обтекания
т7
Дот,
Рис. 6. Динамические зависимости коэффициента момента тангажа: эксперимент — пунктирные линии; нелинейная математическая модель — сплошные линии
тов моделирования с экспериментом гораздо лучше, чем при использовании линейной модели только с производными (см. рис. 3). В правой колонке рис. 6 для иллюстрации показаны соответствующие зависимости только для нелинейной динамической составляющей Amz, которая вычисляется с использованием последнего уравнения динамической системы (5). Видно, что при движении на малых углах атаки эта составляющая не очень существенна, тогда как при больших углах атаки она играет определяющую роль.
По уточненной математической модели было проведено также моделирование вынужденных колебаний модели самолета с малыми амплитудами и различными частотами, для которых проводились соответствующие экспериментальные исследования. Результаты для полученных
при этом производных демпфирования mfz + /и“ представлены линиями различных типов на рис. 2. Видно, что результаты моделирования правильно описывают явления, наблюдаемые и в этом эксперименте в качественном и количественном отношении.
В статье показано, что разработанная математическая модель применима для малых вынужденных гармонических колебаний разной частоты (правильное описание зависимости нестационарных производных от частоты колебаний), а также для свободных колебаний как затухающих, так и с развитием автоколебаний. Строго говоря, ее применимость к произвольному виду неустановившегося продольного движения самолета не доказана. Однако качественное и количественное соответствие результатов моделирования экспериментальным результатам, полученным в широком диапазоне амплитуд и частот колебаний, позволяет надеяться на более широкую применимость данного подхода по сравнению с традиционным линейным приближением на углах атаки, при которых начинает развиваться отрыв потока.
4. Таким образом, разработана нелинейная математическая модель коэффициента момента тангажа модели пассажирского самолета, учитывающая на больших углах атаки запаздывание развития отрыва потока с помощью дополнительного дифференциального уравнения. Модель зависит от ряда параметров, которые требуется идентифицировать по результатам различных трубных испытаний: статических, вынужденных колебаний с малой амплитудой и свободных колебаний по тангажу. Показано, что полученная таким образом математическая модель описывает все наблюдаемые в эксперименте явления, включая зависимость от частоты производной демпфирования при развитии отрыва потока, а также зависимости коэффициента момента тангажа при произвольном движении.
Работа выполнена при финансовом участии Президентского гранта поддержки ведущих научных школ (школа академика Г. С. Бюшгенса).
ЛИТЕРАТУРА
1. Аэродинамика и динамика полета магистральных самолетов / Под ред. Г. С. Бюшгенса. — Москва — Пекин: Изд. отдел ЦАГИ — АВИА изд. КНР, 1995.
2. Б е г о в щ и ц В. Н., К о л и н ь к о К. А., М и а т о в О. Л., X р а б р о в А. Н. Использование метода линейной регрессии для обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента // Ученые записки ЦАГИ. 1996. Т. XXVII, № 3—4.
3. Khrabrov A., Zhuk A. Using of large amplitude free oscillations in pitch and roll to investigate unsteady aerodynamic characteristics at separated flow regimes // ICLA.SF’95 Record (IEEE Publication 95CH3482-7). — Ohio, USA, July 18—21, 1995.
4. Goman М., Khrabrov A. State-space representation of aerodynamic characteristics of an aircraft at high angles of attack // J. of Aircraft. 1994. V. 31, N 5.
5. Абрамов H. Б., Храброе A. H. Математическое моделирование зависимости нестационарных аэродинамических производных самолета от частоты малых колебаний по результатам динамических испытаний в АДТ на больших углах атаки // ТВФ. 2004. № 1.
6. Vinogradov Yu., Abramov N., Khrabrov A. Mathematical modeling of aircrfat unsteady aerodynamics at high incidence with account of wing-tail interaction // AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference. 2004. AIAA Paper 2004-5278.
7. К h r a b г о v A. N. Mathematical modeling of aircraft unsteady aerodynamics at high angles of attack in the problems of flight dynamics // European Conference for Aerospace Sciences (EUCASS-2005). — Moscow, Russia, July 4—7, 2005.
Рукопись поступила 4/V2007 г.
