CC BY
117
Том ХЬЇЇ
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2011
№ 5
УДК 629.735.33.015
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭФФЕКТОВ НЕСТАЦИОНАРНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК, ВЫЗВАННЫХ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ РАЗВИТИЯ ОТРЫВА ПОТОКА НА ПЕРЕДНЕМ ГОРИЗОНТАЛЬНОМ ОПЕРЕНИИ
Ю. А. ВИНОГРАДОВ, А. Н. ЖУК, К. А. КОЛИНЬКО, А. Н. ХРАБРОВ
Для модели трансзвукового пассажирского самолета с передним горизонтальным оперением и стреловидным крылом рассматриваются результаты экспериментального исследования нестационарных аэродинамических характеристик при вынужденных колебаниях по тангажу с различными частотами и амплитудами. По результатам колебаний с малой амплитудой получены зависимости динамических производных от угла атаки и частоты. Для полной модели существует диапазон углов атаки, в котором наблюдается антидемпфирование, величина которого зависит от частоты колебаний. При колебаниях с большими амплитудами исследовались динамические петли гистерезиса полных аэродинамических характеристик. Традиционная линейная математическая модель нестационарных аэродинамических характеристик на основе концепции аэродинамических производных не позволяет описать зависимость демпфирования модели от частоты колебаний, а также наблюдаемые динамические эффекты для коэффициента момента тангажа при колебаниях с большой амплитудой. В статье предлагается нелинейная феноменологическая математическая модель для коэффициента момента тангажа, которая позволяет описать все наблюдаемые в эксперименте динамические особенности. В предложенной математической модели использовано дополнительное обыкновенное дифференциальное уравнение для описания эффектов запаздывания развития отрыва потока на переднем горизонтальном оперении.
Ключевые слова: нестационарные аэродинамические характеристики, экспериментальные исследования, математическое моделирование, большие углы атаки, переднее горизонтальное оперение.
Европейский проект SimSAC 6-й рамочной программы был направлен на разработку средств оценки аэродинамических характеристик устойчивости и управляемости самолета на стадии предварительного проектирования. В рамках проекта с использованием разработанного математического
ВИНОГРАДОВ Юрий Александрович
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
ЖУК
Анатолий Николаевич
ведущий инженер ЦАГИ
КОЛИНЬКО
ХРАБРОВ
кандидат технических наук, ведущий научный сотрудник ЦАГИ
Константин Анатольевич Александр Николаевич
кандидат технических наук, кандидат физико-
ведущий научный сотрудник математических наук,
начальник отдела ЦАГИ
обеспечения проводилось проектирование нескольких аэродинамических конфигураций традиционных и нетрадиционных схем. Одной из таких конфигураций являлся пассажирский самолет, предназначенный для крейсерского полета на трансзвуке при числе Маха M = 0.95. Предварительное проектирование самолета TCR (Transonic Cruiser) выполнялось фирмой SAAB в Швеции. Именно эта аэродинамическая конфигурация была выбрана для сопоставления результатов предварительных расчетов с данными эксперимента в аэродинамической трубе. Эксперименты проводились в трубе малых дозвуковых скоростей Т-103 ЦАГИ на различных динамических установках в широком диапазоне углов атаки. Целью экспериментальных исследований было получение некоторой базы данных по нестационарным аэродинамическим характеристикам для последующей проверки различных методов расчета. Некоторые сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными приведены в работе [1].
В настоящей статье приводятся результаты исследований производных демпфирования модели TCR на динамической установке вынужденных колебаний по тангажу с малой амплитудой, а также обсуждаются исследования гистерезисных зависимостей аэродинамических характеристик при вынужденных колебаниях с большой амплитудой. При экспериментальных исследованиях были выявлены динамические эффекты, которые не могут быть описаны с помощью традиционной линейной модели нестационарных аэродинамических характеристик, основанной на концепции вращательных и нестационарных производных. При малых колебаниях наблюдается область антидемпфирования, в которой величины производных зависят от частоты колебаний модели. В этом же диапазоне углов атаки традиционное математическое моделирование вынужденных колебаний с большой амплитудой дает результаты, существенно отличающиеся от наблюдаемых в эксперименте. Адекватное математическое моделирование нестационарных аэродинамических характеристик на больших углах атаки необходимо при исследованиях динамики самолета с целью обеспечения безопасности полета и разработки его системы управления [2].
В работе [3] было предложено использовать дополнительное дифференциальное уравнение для некоторого внутреннего переменного, описывающего структуру отрывного обтекания, с целью моделирования эффектов запаздывания его развития в нестационарных условиях. В дальнейшем этот подход был усовершенствован путем разделения нелинейных аэродинамических характеристик при развитии отрыва потока на квазистационарную и динамическую составляющую [4, 5]. Дифференциальное уравнение записывалось для динамической составляющей нелинейной характеристики. Этот подход может быть использован для разработки математических моделей по результатам вынужденных колебаний с малой и большой амплитудой и различными частотами. В настоящей статье излагаются результаты разработки с использованием данной методики нелинейной математической модели для нестационарного момента тангажа, которая позволила описать все наблюдаемые в эксперименте динамические эффекты для рассматриваемой конфигурации.
1. Обратимся к анализу полученных экспериментальных результатов. Аэродинамическая модель самолета TCR для испытаний на динамических установках НИО-15 ЦАГИ была изготовлена в Миланском Политехническом университете. Аэродинамическая схема рассматриваемого самолета характеризуется тонким цилиндрическим фюзеляжем, стреловидным крылом большого удлинения, а также наличием переднего горизонтального оперения (11ГО) и заднего вертикального оперения (ВО). В экспериментальных исследованиях были проведены измерения стационарных аэродинамических характеристик (кроме сопротивления) в диапазоне углов атаки а от -10° до +40°. Исследовалось влияние наличия ПГО и углов его отклонения на продольные аэродинамические характеристики. Дополнительные детали геометрии модели приведены в работе [1]. Там же можно найти и результаты исследования стационарных аэродинамических характеристик.
На динамической установке ОВП-102Б методом вынужденных колебаний с малой амплитудой по тангажу были определены характеристики продольного демпфирования. Эксперименты проводились при различных частотах колебаний f = 0.5 — 1.5 Гц. Методики проведения эксперимента и обработки его результатов опубликованы ранее в работе [6]. Особое внимание при исследованиях модели TCR уделялось областям углов атаки, в которых развивается антидемпфирование. Некоторые результаты проведенных на установке ОВП-102Б экспериментальных исследований представлены на рис. 1. На верхнем графике показано сравнение производной m™z + mz для модели без ПГО и полной конфигурации (при угле отклонения ПГО Фпго = 0). Видно, что
Рис. 1. Продольное демпфирование модели TCR
при малых углах атаки наличие ПГО незначительно увеличивает продольное демпфирование. В диапазоне а = 15 + 25° ПГО заметно уменьшает демпфирование и приводит к развитию антидемпфирования. На больших углах атаки а > 25° влияние ПГО на демпфирование опять незначительно. На среднем графике представлено влияние угла поворота ПГО на продольное демпфирование модели. Отклонение ПГО на положительный угол приводит к усилению эффекта развития антидемпфирования и сдвигу его на меньшие углы атаки. Тогда как отклонение ПГО на отрицательный угол приводит к ослаблению явления и затягиванию его на большие углы атаки. И наконец, на нижнем графике рис. 1 показано влияние частоты малых колебаний на продольное демпфирование полной модели при Фпго = 0. Видно, что в области углов атаки а = 15 — 25° существует заметное влияние частоты колебаний на производные демпфирования. Анализ этих данных позволяет связать наблюдаемые особенности продольного демпфирования с развитием срыва потока на ПГО.
Следует отметить, что аналогичные результаты для продольного демпфирования наблюдались ранее при исследованиях на установке ОВП-102Б для модели сверхзвукового самолета с ПГО. Данные результаты были опубликованы в монографии [2] (см. стр. 383, компоновка 2). Это позволяет говорить об общей закономерности влияния развития отрыва потока на ПГО на характеристики продольного демпфирования для самолетов, имеющих переднее оперение.
Кроме испытаний рассматриваемой модели при вынужденных колебаниях с малой амплитудой с целью исследований производных продольного демпфирования проводились также эксперименты на установке вынужденных колебаний с большой амплитудой ОВП-102БА в симметричных условиях (в = 0). В этих экспериментах исследовались зависимости нестационарных аэродинамических коэффициентов от угла атаки при неустановившемся движении. Испытания при колебаниях с большой амплитудой по тангажу проводились для разных значений среднего угла атаки при различных частотах и амплитудах колебаний модели. При этом исследовалось
влияние запаздывания развития отрыва потока на динамический гистерезис аэродинамических характеристик. Методика проведения экспериментов на этой динамической установке, а также обработки его результатов описана в работе [7]. На рис. 2 представлены результаты экспериментальных исследований коэффициента момента тангажа ш2 для конфигурации модели TCR без ПГО при вынужденных колебаниях по тангажу около среднего угла атаки а0 = 8° с амплитудами Аа = 10° и 20° при частоте колебаний / = 1.5 Гц. На этом же рисунке показана полученная для данной конфигурации модели статическая экспериментальная зависимость тг (а). На рис. 3 аналогичные зависимости для частоты колебаний / = 1 Гц представлены для конфигурации модели с Фпго = °.
Попытаемся описать результаты эксперимента, полученные при вынужденных колебаниях с большой амплитудой по тангажу, с помощью математической модели, основанной на концепции аэродинамических производных. Традиционная математическая модель для момента тангажа, которая обычно используется для анализа динамики полета, может быть записана в виде
где первый член тСТ (а) — стационарная часть зависимости коэффициента момента тангажа,
второй член описывает линейные эффекты вращения и нестационарности. При использовании данной модели предполагается, что входящие в нее вращательные и нестационарные производные не зависят от параметров движения самолета. Из рис. 1 видно, что в области антидемпфирования а = 17 — 24° эта модель заведомо неприменима, так как существует заметная зависимость комплекса вращательных и нестационарных производных от частоты колебаний модели и для произвольного вида движения непонятно, какое значение этой производной следует выбирать. В данных исследованиях при моделировании результатов вынужденных колебаний с большой амплитудой и определенной частотой искомые производные возьмем из результатов вынужденных колебаний с малой амплитудой и той же частотой.
На рис. 2 показаны результаты проведенного моделирования для конфигурации модели без ПГО. Видно, что качественно и количественно они хорошо соответствуют полученным экспериментальным данным. На рис. 3 представлены результаты математического моделирования для конфигурации полной модели. Для модели с ПГО соответствие результатов моделирования и эксперимента наблюдается только на малых углах атаки а < 17° (безотрывное обтекание ПГО) и больших углах атаки а > 24° (обтекание ПГО с полным отрывом). В диапазоне углов атаки а = 17 + 24°, где при вынужденных колебаниях с малой амплитудой наблюдается существенная нелинейная
(1)
-(
-(
'Ч I а а0 = 8°,Ла= 10° Эксперимент/^ 1.5 Гц
^ х О а() = 8°, Аа - 20° Эксперимент/= 1.5 Гц
ч ------ а0 = 8°. Аа= 10° Моделирование
------ а° = = Моделирование
-е-е-е-©
-0.6
-ю
о
ю
20
ЗО (X. град
Рис. 2. Колебания с большой амплитудой по тангажу модели без ПГО
т 0.1 г
0
-0.1 -
-0.2 -
-0.3 --0.4 -
-10 0 10 20 30 а, град
Рис. 3. Колебания с большой амплитудой по тангажу полной модели с ПГО
зависимость производных от угла атаки с развитием зоны антидемпфирования, а также заметно влияние частоты колебаний модели на величины аэродинамических производных, рассматриваемая линейная математическая модель (1) не описывает результаты динамического эксперимента. В связи с тем, что при малых колебаниях получена зона антидемпфирования, результаты моделирования дают в переходной области обратную динамическую петлю, чего не наблюдается в экспериментальных данных.
2. На основании анализа полученных экспериментальных данных была разработана феноменологическая математическая модель для коэффициента момента тангажа, в которой учитываются нелинейные динамические эффекты с помощью введения дополнительного дифференциального уравнения с характерными временами запаздывания [3 — 5]. При этом коэффициент момента тангажа полной модели с ПГО представляется в виде суммы зависимости коэффициента момента тангажа от угла атаки модели без ПГО и соответствующего вклада от ПГО:
тгс ПГО (а) = тгбез ПГО (а) + АтгПГО (а). (2)
Будем считать, что составляющая вклада от ПГО в статике может быть разделена на часть от безотрывного обтекания Атг1, линейную по углу атаки, а также часть Атг2, обусловленную влиянием отрыва потока на ПГО:
АтгПГО (а) = Атл (а) + Атг2 (а) = т^а + Атг2 (а). (3)
Это разделение зависимости коэффициента момента тангажа от угла атаки на составные части при стационарном обтекании иллюстрируется на рис. 4. Таким образом, неизвестная константа математической модели т^ и нелинейная функция Атг2 (а) определяются по результатам статических испытаний.
Вследствие того, что отрыв потока представляет собой инерционный процесс, требующий для своего развития определенного времени, будем описывать динамику изменения соответствующей добавки к моменту тангажа с помощью некоторого обыкновенного дифференциального уравнения. Такая идея была впервые использована для описания нестационарных аэродинамических характеристик профиля на отрывных режимах обтекания в задаче исследования динамики ротора вертолета [8]. При этом для описания динамики эффекта отрыва потока на несущие
т
0.5 г
10 0 10 20 30 ОС. град
Рис. 4. Представление коэффициента момента тангажа в нелинейной модели
характеристики профиля использовалось дифференциальное уравнение второго порядка. В работе [3] для описания нестационарных характеристик профиля при отрыве потока была введена дополнительная внутренняя переменная, представляющая координату начала отрыва потока на его верхней поверхности. Для описания динамики движения этой точки при произвольном изменении угла атаки профиля предлагалось применить дифференциальное уравнение первого порядка с некоторым дополнительным запаздыванием в правой части. При этом при моделировании нестационарных аэродинамических характеристик профиля на больших углах атаки были получены неплохие результаты. Исходя из этого в настоящей работе для описания эффекта динамики развития отрыва потока на ПГО предлагается аналогично работе [3] использовать следующее динамическое уравнение:
ё Ату . . ( —\ ...
+ 2 = 2 2 (а-т2а). (4)
Левая часть этого уравнения представляет собой фильтр первого порядка с постоянной времени т1; а в аргумент функции в правой части введено запаздывание Т2СХ. Уравнение записано
в безразмерном времени, за единицу которого принимается время, необходимое потоку для прохождения средней аэродинамической хорды крыла. Физический смысл характерных безразмерных постоянных времени запаздывания т1 и т2 объяснялся в работе [3]. Следует отметить: при малых временах запаздывания из уравнения (4) следует, что Ат2 = Ат2 2 (а). При этом стационарные зависимости будут удовлетворяться тождественно. При произвольных Т1 и Т2 в нестационарном случае для моделирования полного момента тангажа следует использовать соотношение
т2 с пго (0 = т без пго (а( 0)+( т“2 + та) а (0+<1а(' )+Ат (1), (5)
' 'безПГО
в котором объединяется традиционная линейная математическая модель для самолета без ПГО и вклад от ПГО, запаздывающая часть которого описывается уравнением (4). Таким образом, полная модель для коэффициента момента тангажа включает в себя уравнения (5) и (4), в которые
входят неизвестные величины ij и t2. Остальные функции угла атаки определяются по результатам стационарных испытаний полной модели и модели без ПГО. Демпфирование (m“z + ma ) определяется по результатам эксперимента с вынужденными колебаниями ма-
V /без ПГО
лой амплитуды модели без ПГО.
3. Для идентификации неизвестных параметров математической модели т и х2 воспользуемся экспериментальными результатами малых колебаний по тангажу с различными частотами рассматриваемой полной модели самолета TCR. Решение дифференциального уравнения (4) для гармонических малых колебаний по углу атаки a(t) = а0 + Аа sin ю t (а0 — средний угол атаки; Аа — амплитуда колебаний; ю — безразмерная круговая частота) после подстановки результатов в формулу (5) для компонент аэродинамической нагрузки в фазе с изменением угла атаки и в фазе с изменением угловой скорости приводит к следующим соотношениям:
Видно, что зависимость аэродинамических производных от частоты колебаний для рассматриваемой математической модели наблюдается в диапазоне углов атаки при развитии отрыва потока на ПГО, где отлична от нуля производная й Ат2 2/й а. Расслоение по частотам производных Ш и т“2 + т‘а определяется характерными временами т и т2. Будем считать, что эти величины зависят от угла атаки. Традиционная математическая модель нестационарных аэродинамических характеристик дает удовлетворительные результаты при ее использовании вне пределов диапазона углов атаки а = 10 ^30° (см. рис. 3), поэтому в качестве зависимостей т1 (а) и
І2 (а) примем гладкие сплайн-интерполяции при а = 10 30° с максимальным значением в цен-
тре диапазона (рис. 5). Вне этого диапазона будем считать, что т2 (а) = 0. Для т1 аналогичное предположение привело бы к вырождению дифференциального уравнения (4), поэтому во всем диапазоне углов атаки к сплайн-функции, аналогичной т2 (а), добавим Ах = 2. Эта небольшая добавка заметно не изменяет характеристики фильтра в левой части (4), но гарантирует всегда положительный коэффициент при производной. Таким образом, изменение функций т (а) и
І2 (а) по углу атаки задано с точностью до их значений в точках максимума т и І2. Для идентификации этих констант введем штрафную функцию
которая представляет собой сумму квадратов рассогласования данных математической модели с экспериментальными результатами для производных в фазе с изменением угла атаки и в фазе с угловой скоростью, измеренными при различных углах атаки аг- во всем исследованном диапазоне для трех значений безразмерной частоты колебаний ю}-. В этом выражении для сокращения
введено обозначение т“2 * = т““2 + т^. Для идентификации значений параметров Т1 и Т2 необходимо потребовать минимизации функции Ф(т1, ^2). На рис. 5 представлен вид полученной
(6)
2
i=1 j=1
(7)
i=1 j=1
штрафной функции Ф(ть т2) в диапазоне т е[0,50], т2 е[0, 50]. Видно, что данная функция имеет достаточно пологий минимум, который может быть найден с помощью стандартных методов. Проведенные вычисления привели к результату т1 « 32.7, т2 « 3.9. Полученные при этих значениях констант функции Т1 (а) и Т2 (а) также представлены на рис. 5.
Результаты моделирования с использованием предлагаемой математической модели зависимостей динамических производных тОа и т+ т^а от угла атаки представлены на рис. 6.
о ю 20 СС, град
Рис. 5. Результаты идентификации постоянных запаздывания
Рис. 6. Моделирование зависимости от частоты результатов вынужденных колебаний по тангажу с малой амплитудой
Результаты моделирования для различных частот колебаний показаны линиями различного типа. Соответствующие экспериментальные результаты показаны различными маркерами. Можно утверждать, что предлагаемая математическая модель удовлетворительно описывает наблюдаемые в динамическом эксперименте результаты во всем исследованном диапазоне углов атаки и частот колебаний. Важно, что модель описывает развитие зоны антидемпфирования при углах атаки а = 15 — 25° и правильно отражает расслоение производных по частотам.
4. С использованием разработанной математической модели (4) и (5) можно попытаться моделировать и результаты вынужденных колебаний с большими амплитудами. Некоторые характерные результаты представлены на рис. 7. В верхних частях графиков сплошными линиями показаны результаты моделирования в сравнении с динамическими экспериментальными результатами (маркеры) для динамических зависимостей тг (^). Там же пунктирными линиями показаны результаты измеренных статических зависимостей т2 (а). В нижних частях всех графиков показаны соответствующие зависимости от времени (сплошные линии) для динамических составляющих от отрыва потока на ПГО Ат2 (^). Там же пунктирными линиями показаны статические составляющие этих зависимостей Атгг (а). Нижние графики демонстрируют вклад дифференциального уравнения с запаздыванием (4) в общую математическую модель (5).
На рис. 7, показаны результаты моделирования динамических эффектов при среднем угле атаки а0 = 18° для колебаний по тангажу с амплитудой Аа = 10° и малой частотой / = 0.5 Гц. При этом для углов атаки в районе а = 18° сохраняется антидемпфирование в смысле традиционного подхода математического моделирования с использованием только динамических производных. Об этом свидетельствует поведение динамической петли. При увеличении амплитуды колебаний область антидемпфирования практически исчезает как в эксперименте, так и в резуль-
татах математического моделирования (рис. 7, б). При увеличении частоты колебаний запаздывание отрыва потока нарастает, приводя к существенному расширению гистерезисной петли. Этот эффект в экспериментальных результатах и при математическом моделировании представлен на рис. 7, в. Следовательно, предлагаемая математическая модель качественно и количественно правильно описывает и результаты при колебаниях с большой амплитудой.
Рис. 7. Моделирование динамических зависимостей результатов вынужденных колебаний по тангажу
с большой амплитудой:
а — а0 = 18°, А* =45°, / = 0.5 б — а0 = 18°, Ах =ВД°, / = 0.5 в — а0 = 18°, Аа ='20°, / = 1.5
5. Таким образом, разработана нелинейная математическая модель коэффициента момента тангажа модели трансзвукового пассажирского самолета, учитывающая запаздывание развития отрыва потока на ПГО при неустановившихся продольных движениях на больших углах атаки с помощью дополнительного обыкновенного дифференциального уравнения. Модель зависит от ряда параметров, которые были идентифицированы по результатам различных трубных испытаний при вынужденных колебаниях с малой амплитудой по тангажу. Показано, что полученная таким образом математическая модель описывает наблюдаемые в эксперименте динамические эффекты, включая зависимость от частоты производной продольного демпфирования в диапазоне углов атаки, при которых развивается отрыв потока на ПГО, а также различные гистерезисные зависимости для коэффициента момента тангажа при колебаниях с большими амплитудами.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mialon В., Khrabrov A., Da Ronch A., Cavagna L., Zhang M., Ricci S. Benchmarking the prediction of dynamic derivatives: wind tunnel tests, validation,acceleration methods // AIAA Paper 2010-8244, AIAA Atmospheric Flight Mechanic Conference, 2 — 5 August 2010, Toronto, Ontario, Canada.
2. Аэродинамика, устойчивость и управляемость сверхзвуковых самолетов / Под ред. Г. С. Бюшгенса. — М.: Физматлит, 1998, 811 с.
3. Goman M., Khrabrov A. State-space representation of aerodynamic characteristics of an aircraft at high angles of attack // J. of Aircraft. 1994. V. 31, N 5.
4. Vinogradov Yu., Abramov N., Khrabrov A. Mathematical modeling of aircraft unsteady aerodynamics at high incidence with account of wing-tail interaction // AIAA Paper 2004-5278. AIAA Atmospheric Flight Mechanics Conference. 2004.
5. Khrabrov A. N. Mathematical modeling of aircraft unsteady aerodynamics at high angles of attack in the problems of flight dynamics // European Conference for Aerospace Sciences (EUCASS-2005). — Moscow, Russia, July 4 — 7, 2005.
6. Беговщиц В. Н., Колинько К. А., Миатов О. Л., Храбров А. Н. Использование метода линейной регрессии для обработки данных нестационарного аэродинамического эксперимента // Ученые записки ЦАГИ. 1996. Т. XXVII, № 3 — 4, с. 30 — 38.
7. Жук А. Н., Колинько К. А., Миатов О. Л., Храбров А. Н. Методика исследования нестационарных аэродинамических характеристик на режимах отрывного обтекания при колебаниях с большими амплитудами // Ученые записки ЦАГИ. 1996. Т. XXVII, № 3 — 4, с. 51 — 58.
8. Petot D. Differential equation modeling of dynamic stall // Rechearch Aerospaciale. 1989. N 5.
Рукопись поступила 12/IV 2011 г.
