ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ОШСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА МАТЕМАТИКА. ФИЗИКА. ТЕХНИКА. 2024, № 1(4)

УДК 517.968

DOI: https://doi.org/10.52754/16948645 2024 1(4) 16

ВЫБОР ПАРАМЕТРА РЕГУЛЯРИЗАЦИИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА ПЕРВОГО РОДА С ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Зулпукаров Жакшылык Алибаевич, к.ф.-м. н., доцент

zulpukarov66@mail. ru Жороев Туйгунбек Жунусович ст. преподаватель,

E-mail. tuigun2003@mail.ru Ошский технологический университет им. М. М. Адышева Алиева Жаркынай Анарбаевна ст. преподаватель,

Zharkynay_71 @mail. ru Ошский государственный педагогический университет

Ош, Кыргызстан

Аннотация: В данной статье рассмотрен метод выбора параметра регуляризации решения системы линейных интегральных уравнений Вольтерра первого рода с тремя независимыми переменными в пространстве Cn(G).

Различные вопросы решения интегральных уравнений Вольтеррапервого рода широко исследованы в работах таких российских ученых, как А.Н. Тихонов М. М. Лаврентьев, В.К. Иванов, А.Л. Бухгейм, В.Г. Романов, а также рассмотрены кыргызскими учеными М.И. Иманалиевым, А.Асановым и другими. Построение регуляризации решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с одним неизвестным было рассмотрено и исследовано в предыдущих работах.

Ключевые слова: вектор-функция, ядро, пространство, уравнения, параметр, сингулярно-возмущенные, системы уравнений, теорема.

Y4 кез карандысыз eзгepмeлYY биринчи тYРдeгY сызыктуу

ВОЛЬТЕРРАНЫН ИНТЕГРАЛДЫК ТЕНДЕМЕЛЕР СИСТЕМАСЫНЫН РЕГУЛЯРИЗАЦИЯЛЫК ПАРАМЕТРИН ТАНДОО

Зулпукаров Жакшылык Алибаевич, ф.-м.и.к., доцент

zulpukarov66@mail. ru Жороев Туйгунбек Жунусович улук окутуучу

tuigun2003@mail. ru

Адышева М. М. атындагы Ош технологиялык университети Алиева Жаркынай Анарбаевна улук окутуучу

Zharkynay_71 @mail. ru Ош мамлекеттик педагогикалык университети

Ош, Кыргызстан

Аннотация: Бул макалада Cn(G) мейкиндигинде y4 коз карандысыз взгврмвЛYY биринчи тYрдвгY сызыктуу Вольтерранын интегралдык тецдемелеринин системасынын чечиминин регуляризациялык параметрин тандоо ыкмасы каралат.

Биринчи тYрдвгY Вольтерранын сызыктуу интегралдык тецдемелерин чечимдеринин бар болушу YЧYH ар кандай маселелери орус окумуштууларынын А.Н. Тихонов, М.М.Лаврентьев, В.К. Иванов, А.Л. Буххайм, В.Г. Романов, ошондой эле кыргыз окумуштуулары М.И. Иманалиев, А.Асанов жана башкалар. Биринчи тYрдвгY Вольтерра интегралдык тецдемесин бир белгисиз менен чечYYHYH регуляризациясын куруу мурунку эмгектерде каралып, изилденген.

Ачкыч свздвр: вектордук функция, ядро, мейкиндик, тецдемелер, параметр, тецдемелердин сингулярдуу козголгон системасы, теорема.

CHOICE OF THE REGULARIZATION PARAMETER OF THE SYSTEM OF A LINEAR INTEGRAL VOLTERRA EQUATION OF THE FIRST KIND WITH THREE

VARIABLES

Zulpukarov Zhakshylyk Alibaevich, Candidate of Ph. and Math. Sc., Associate Professor

zulpukarov66@mail. ru Zhoroev Tuygunbek Zhunusovich, Senior Lecturer

tuigun2003@mail. ru Osh Technological University named after M. M. Adysheva Alieva Zharkynai Anarbaevna, Senior Lecturer

Zharkynay_71 @mail. ru Osh State Pedagogical University Osh, Kyrgyzstan

Abstract:: This article considers a method for choosing the regularization parameter of a solution to a system of linear Volterra integral equations of the first kind with three independent variables in the space Cn(G).

Various issues of solving Volterra integral equations of the first kind are widely studied in the works of such Russian scientists as A.N. Tikhonov M.M. Lavrentiev, V.K. Ivanov, A.L. Buchheim, V.G. Romanov, and also reviewed by Kyrgyz scientists M.I. Imanaliev, A. Asanov and others. The construction of a regularization of the solution of the Volterra integral equation of the first kind with one unknown was considered and studied in previous works.

Keywords: vector function, kernel, space, equations, parameter, singularly perturbed systems of equations, theorem.

Рассматривается система

t t x

J K (t, x, y, s)u (s, x, y)ds + JJ N (t, x, y, s, z)u(s, z, y)dzds +

0 0 0

t x y

+ JJJM(t,x,y,s,z,w)u(s,z,w)dwdzds = f (t,x,y), (t,x,y)eG, (1)

0 0 0

где K(t, x, y, s), N(t, x, y, s, z) и M(t, x, y, s, z, w) - (nxn) - известные матрицы функции, а u (t, x, y) и f (t, x, y) - соответственно искомая и заданная n - мерные вектор-функции на G = {(t,x,y): 0 < t < T, 0 < x < X, 0 < y < Y j. Потребуем выполнение следующих условий:

а) ||K(t, x, y, s)|| e С(GJ, ||N(t, x, y, s, z)|| e С(G2), |M(t, x, y, s, z, w)\\ e С(G3),

||K(t,x,y,t)|| < N0A0(t) и A(t,x,y) > Л0(t) > 0 при (t,x,y)eG, 0<No-const, A(t,x,y)- определенна с помощью формулы (3.1.2), из [5] ло(t) e Lx(0,T),

G ={(t, x, y, s): 0 < s < t < T, 0 < x < X, 0 < y < Y j, G2 = {(t,x,y,s,z): 0<s<t<T, 0<z<x<X, 0<y<Yj, G ={(t,x,y,s,z,w): 0<s<t<T, 0<z<x<X, 0<w<y<Yj;

б) при t>тдля любых (t,x,y,s),(r, x, y, s) e Gi справедливо

t

||K(t, x, y, s) - K(т, x, y, s)|| < CJ Л0 (s)ds,

т

где 0<C - некоторый положительный скаляр;

в) при t>Tдля любых (t,x,y,s,z),(T,x,y,s,z) e G2 справедливо

N (г, X, у, s, 2) - N (т, X, у, s, 2)|| < С $А0 ^^,

т

где 0<С1 - некоторая постоянная и N(í,x,y,í,z)=0 при

(г,х,у,2)ев4 = {(г,X,у,2): 0<г<Т, 0<2<X<X, 0<у<У};

г) при г>тдля любых (I, X, у, 5,2, ^),(т, X, у, 5,2, V) е Оъ справедливо

г

||М(г, X, у, 5, 2, V) - М(т, X, у, 5, 2, У)|| < С о (5)^5,

т

где 0<С2 - некоторая постоянная и М^^уЛ^^)^) при

(г, х, у, г, w) е в5 = {(г, х, у, г, w): 0 < г < Т, 0 < 2 < х < X, 0 < w < у < У};

д) вместо точной правой части /(г, х, у) задано ее приближенное значение /5 (г, х, у ) из С (О) такое, что

||/(г, X, у) - / (г, X, у)||с <3, 3> 0 , (t,х,y)еG.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим следующие сингулярно-возмущенные системы уравнений:

г

X, у) +1 к (г, X, у, (5, X, у )аз + | | N (г, X, у, 5,

sus (t, х, y) + J K (t, x, y, s)us (s, x, y)ds + J J N (t, x, y, s, z )us (s, z, y)dzds +

0 0 0

t x y

JJJM(t,x,y,s,z,w)us(s,z,w)dwdzds = f (t,x,y) + su(0,x,y), (t,x,y)eG, (2)

0 0 0

t x y

+

0 0 0

и приближенно сингулярно-возмущенные системы уравнений

susS (t, x, y) + J K (t, x, y, s)usS (s, x, y)ds + J J N (t, x, y, s, z)ueS (s, z, y)dzds +

0 0 0

t x y

+ J J JM(t, x, y, s, z, w)usS (s, z, w)dwdzds = fs (t, x, y) + sus (0, x, y), (t,x,y) e G, (3)

0 0 0

где 0<s— малый параметр, u(t, x, y) - решение системы (1) и начальные условия решений

системы уравнений (1) и (3) связаны между собой следующим образом:

||u(0,x,y) -us(0,x,y)|| <CxJd, x e[0,X],y e[0, Y], (4)

где 0<С - некоторая постоянная. Из (2) отнимаем (3), имеем

t

s[ue (t, x, y) - uss (t, x, y)] + JK(t, x, y, s)[us (s, x, y) - uss (s, x,y)]ds +

0

t x

+ JJ N(t, x, y, s, z )[ue (s, z, y) — ueS (s, z, y)]dzds +

0 0

t x y

+ J J J M(t, x, y, s, z, w)[us (s, z, w) — ueS (s, z, w)]dwdzds =

0 0 0

= f (t, x, y) — fs (t, x, y) + s[u(0, x, y) — us 0, x, y)]. (5)

Уравнение (5) преобразуем к следующему виду:

1 t

us (t, x, y) — usS(t, x, y) + - J K (s, x, y, s)[uE (s, x, y) — usS (s, x, y)]ds =

s 0

1 г

--1 [К(г, х, у, я) — К(я, X, у, я)] [и (я, х, у) — и 3 (я, х, y)]ds —

8 0

2 г X

1Л ^^, х, У, з, г)\ие (з, г, у) — ие5 (з, г, y)]dzds —

8 0 0

1 t X у

- М (г, х, у, з, г, м)\иЕ (з, г, м) — иЕЗ (з, г, w)]dwdzds

0 0 0

+ -[/(г, X у) — /8 (г, X у)] + и(0, X у) — и5 С0, x, у). 8

Отсюда, применив резольвенту матричного ядра как в § 3.1 из [5].

—К ( з, х, у, з) 8

аналогично имеем

ие (г, х, у) — ие8 (г, х, у) = | Н (г, х, у, з, 8)\ие (з., х, у) — ие8 (з, х, +

г х у

+11N (г, х, у, я, г, 8)[ив (я, г, у) — ие5 (я, г, +111Мх (г, х, у, я, 2, м>) х

0 0 0 0 0

х[и5 г, w) — иг, w)]dwdzds + ^ (г, х, у,е) + и (г, х, у, 8), (г,х,у) е О, (6)

где Н (г, х, у, я, 8) = — — X (г, х, у, я, 8)[ К (г, х, у, я) — К (я, х, у, я)] —

8

1 t

— |X(г, х, у, т, 8)К(т, х,у, т)\К(г, х, у, з) — К(т, х, у, , (г,х,у) еО (7)

82

1 1 г

N (г, х, у, я, 2,8) =--X (г, х, у, я, 8) N (г, х, у, я, 2 ) —-Г X (г, х, у, т, 8) х

8 8 s

х К (т, х, у, т)[ N (г, х, у, s, 2) — N (т, х, у, s, 2 )^т , (г,х,у)еО, (8)

1 1 г

М (г, х, у, я, 2, w,8) =--X(г, х, у, я, 8)М(г, х, у, я, 2, w) — Г X(г, х, у, т, 8) х

8 82 :

х К(т,х,у,т)\М(г,х,у,з,г,м) — Ы(т,х,у,з,г,м)^т , (г,х,у)еО, (9)

- - Г

^(г, х, у, 8) = — \/(г, х, у) — /3 (г, х, у)]--- I X^, х, у, з,8)К(з, х, у, з) х

8 8 0

х[/^, х, у) — ¡3 ^, х, у, (г,х,у)еО, (10)

- г

и (г, х, у,8) = и(0, х, у) — и3 (0, х, у)--1X (г, х, у, з,8)К (з, х, у, з) х

8 0

х \и(0,х,у) — и5 (0,х,у, (г,х,у)еО. (11)

В дальнейшем используем следующие оценки.

Как показано в леммах 3.1.1 из [5], в силу условий а)-д) для функций Н (г, х, у, 8), N (г, х, у, з, 8) и Мх (г, х, у, я, 2, w, 8) соответственно справедливы

||Н(г,х,у,з,8)\\ < Сз, (г,х,у,з)еО}, г>0, (12)

-(г,х,у,з,г,8)\ < С4, (г,х,улг)еО2, 8>0, (13)

\М-(г,х,у,з,г,м,8)\\ < С5, (г,х,у,з,г,м)еОз, 8>0, (14)

86

0

г х

где С = с4п(е-1 + N), С = (е+ N), с = С24П(е- + N), N0 > 0

G1={(t,х,y,s):. 0<5<г<Т, 0<х<Х, 0<у<У}, G2={(г,х,y,s,z): 0<5<г<Т, 0<2<х<Х, 0<у<У}, G3={(t,х,y,s,2,w): 0<5<г<Т, 0<2<х<Х, 0^<у<У}. Перейдем к оценке F(;, х, у, е) и U(;, х, у,е) .

Лемма 1. Пусть функция F(;, х, у,е) определена формулой (10) и выполняется условие д). Кроме того, Л0(;) > 0 при почти всех г е [0,Т]. Тогда для F(;, х, у,е) справедлива оценка

№(г,х,у,й<— (1 + ), е>0, (t,х,y)еG. (15)

е

Доказательство. Действительно, из (10) имеем

г

| X(г, X, у, 5,е)к(5, X, у, 5) X

р (г, X, у,е)| < --^ +

е е2

л ... ши Л/(^ х, у) - /— (^ х, у)|| с \\/(г, х, у) - /— (г, х, у)|| с

X [/(5, X, у) - /— (5, X, у)]|| < ^-^ + -^ X

X ^}||х(г,X,у,5,е)||||К(5,X,у,5)1 <11/(г■ху) - /—(г,ху)11 С X

е 0 е

1 '

п N^<1 -^(т) —п Глгч

X [1 +-I е 5 А0(5)й5] = — (1 + V nN0) . Лемма 1 доказана.

е 0 е

Лемма 2. Пусть функция и(;, х, у,е) определена формулой (11), при этом вектор-функции и (0, х, у) и и—(0, X, у) связаны между собой следующим образом ||и(0,х,у) - и8(0,х,у)|| < С14—, х е [0,X],у е [0,У]. Кроме того, Я0(г) > 0 при всех г е[0,Т ]. Тогда для Р (г, X, у,е) справедлива оценка

р(г,х,у,е)|| < С14— (1 + е>0, (t,х,y)еG, (16)

где 0<С1- некоторая постоянная, не зависящая от е и —

Доказательство. Аналогично доказательству предыдущей леммы 3.3.1. из [5], В силу оценок (12), (13), (14), (15) и (16), из (6) имеем

г

\У(;,х,у,£—)\\ < а(;,х,у,е,—) + {С3\\У(з,х,уе—)^, (17)

0

где V(г,X,у,е,—) = ие(г,X,у) - и—(г,X,у),

— ; х

а(;, х, у,е,—) = — + X— + С1) + II С4| V {з , I, у,£,—)\\dzds+

е 0 0

; х у

+ 111 С\ (з,2, w,s,— )|| dwdzds, (18)

000

На основании леммы 2.1.5 [5] из (17) получим

г

\\\(з, I, w,£,— )|| < а(;,х,у,е,—) + |С3вСз('-з)а(з,х,у,е,—^з.

0

0

Вместо а(г, х, у,8,8) положим выражение (18) и из последнего неравенства имеем

/Т г х

\\¥(г,х,у,е,8)\\ <у[8(1 + )(— + С1) + ЦС4\¥(я,2,у,Е,8)\\dzds +

8 0 0

г х у г Гё

111С V (я, 2, w,8,8)\\dwdzds + | С/з(г—s}{у-(1 + N,4")(— + С1)-

8

0 0 0 0

л' х я х у

-11 С IIV(я!, 2, у, 8,8)\\dzdSl ++11С51|V^,2, w,£, 8)|| dwdzdsl .

^ х ^ х у

0 0 0 0 0 Последнее неравенство интегрируем и применим формулу Дирихле, затем заменив г на Т пишем в виде

г х

V(г,х,у,8,8)\\ <48(1 + + С1 )еСт + Цс/3 V(я,2,у,8,8)\\dzds +

8 0 0

г х у

+||| С/С (||V(s, 2, w,8-)\\dwdzds . (19)

0 0 0

К неравенству (19) применим лемму 2.1.6 [5], и затем применяя формулу Дирихле, имеем

/Л г х

IIV(г,х,у,8,8)\\ <48(1 + ^4")(— + С1 )еСТ[1 + ||я(г,х,я, +

'0

8 0 0

г х у

+

СеСТ + IIС5еС}ТЯ(г,х,^,2У^!]|V(я,2,w,8,8)1 dwdzds , (20)

1 1 1 1

0 0 0 0 0

ы л ^(г стС(г — я)"^ — 2)п

где Я(г, х, я, 2) = ^{С4е3) 4/4 у

^ '4 ' (")

Из (20) получим следующее неравенство:

г х у

IIV(г, х, у, 8,8)1 <С6(8,8) + ЩС71V(я, 2, w, 8,8)1 dwdzds , (21)

0 0 0

где С (£,8) = 48(1 + N^4")(— + С1 )еСТ [1 + Я(Т, X, 0,0^ ]

8

С = Съе [1 + Я(Т, X, 0,0^].

К (21) применив лемму 2.1.7 [5], получим

г х у

IIV(г, х, у, 8,8)|| < С (8,8) + (г, х, у, я, 2, w)C6 (8,8)dwdzds, (22)

0 0 0

где на г V с „Л - (г — я)" (х — 2)" (у — w)"

где Я^г, х, у, я, 2, w) = ^ С"

Таким образом, (22) получим следующую оценку:

гт

\^(г,х,у,8,8)\\с <8 + Nо0)(^- + С1)С8, (23)

где С8 = еС,т [1 + Я(Т, X, 0,0)ТК][1 + Я (Т, X, У, 0,0,0)7X7].

Теперь рассмотрим уравнение (2). Его решение будем искать в виде

и5(г,х,у) = и(г,х,у) + %8(г,х,у), (г,х,у)еО, (24)

где и(, X, у) - решение системы уравнения (1).

Подставляя (24) в (2), после элементарных преобразований имеем

1 ' 1 '

(г, X, у) + -1К (у, X, у, я)^ (у, X, =--К (г, X, у, 5) - К (у, X, у, 5)] X

? S

Sn S

t x

х ^ (s, x, y)ds--UN(t, x, y, s, z)£e (s, z, y)dzds —

S 0 0 1 txy

—Hi M (t, x, y, s, z, w)ge (s, z, w)dwdzds — u(t, x, y) + u(0, x, y). (25)

00

t x y

1''', x, y, s, z, w )£„ (s, z, w )dwdzds — u(t, x, y) + u(0, x

S 0 0 0

Далее, в силу условия а), б), в), г), д) и теоремы 3.1.1из [5] и (25) имеем

(t,x,y)\\ < C£0(S), (t,x,y)eG, (26)

i

где C0(s) = 2(2N0 + 1)4^\\u(t,x,y)||ce~s1—3 + (N0 + 1)4Псй(s3\ 0 < / < 1, Q = eCT [1 + R(T, X, 0,0)TX][1 + R (T, X, Y, 0,0,0)TXY],

сс(s33) = sup u(q \u),x,y) — u(q) *(и0),x,y) , q (и) - обратная функция к

\u—U) <£

( x, y )g[0,X ]x[0,Y ] t

функции и = ф(г) = i\ (s)ds > 0 .

о

Если s выбираем в виде s = 4s , то в силу (26) и (23) имеет место

||u(t, ^ y) — UsS(t, x, с < ||u(t, x, y) — us (t, x, с + ||us (t, x, y) — us8(t, x, уЦс <

1

< 2(2N) + 1)уШс \\u(t,x,y)||c e Л + C8(N0 + 1)4Пс-и(S~1P) +

(1 + N))^^ + С1 С . (27)

Таким образом, доказана следующая

Теорема. Пусть выполняются условия а)-д), система (1) имеет непрерывное решение

u(t,x,y) на Cn(G). Тогда решение usS(t,x,y) уравнения (3) для s = -\[s сходится к непрерывному решению уравнения (1) в области G при <5^-0 и справедлива оценка (27).

Литература

1. Арсенин, В.Я. О применении метода регуляризации к интегральным уравнениям первого рода типа свертки / В. Я. Арсенин, Т.Н.Савелова // Журнал вычслит. матем. и матем. физики. -1969. - Т.9, №6. -С.204-210.

2. Асанов, А. Об одном классе систем интегральных уравнений Вольтерра первого рода на полуоси / А. Асанов // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1985. -Вып.18. -С. 17-20.

3. Асанов, А. Единственность решения интегрального уравнения Вольтерра первого рода с двумя независимыми переменными / А. Асанов, Т. О. Бекешов // Мат-лы. междунар. конф. «Актуальные проблемы матем. и матем. моделирования экологических систем», Алматы, окт. -Алматы, 1996. - С 47.

4. Иманалиев, М. И. Регуляризация, единственность и существование решения для интегральных уравнений Вольтерра первого рода / М.И. Иманалиев, А. Асанов // Исслед. по интегро-дифференц. уравнениям. - Фрунзе: Илим, 1988. - Вып.21. - С.3-38.

5. Зулпукаров Ж. А. Регуляризация и единственность решений интегральных уравнений Вольтерра первого рода с тремя независимыми переменными: диссертация кандидата физико-математических наук / Жакшылык Алибаевич Зулпукаров -Ош 2015. - 106 с.