CC BY
54Математические методы и модели
УДК 519.865.7
ВЫБОР ЭФФЕКТИВНЫХ РЕШЕНИЙ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СУБЪЕКТОВ СФЕРЫ ЖИЛИЩНО-КОММУНАЛЬНОГО ХОЗЯЙСТВА ПРИ ОТСУТСТВИИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИИ ПОЛЕЗНОСТИ*
Сергей Николаевич Ларин,
кандидат технических наук, старший научный сотрудник,
Центральный экономико-математический институт Российской академии наук, Москва, Российская Федерация
Николай Александрович Соколов,
кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Центральный экономико-математический институт Российской академии наук, Москва, Российская Федерация [email protected]
Людмила Ивановна Герасимова,
научный сотрудник, Центральный экономико-математический институт Российской академии наук, Москва, Российская Федерация [email protected]
Предмет/тема. Исследована деятельность экономических субъектов сферы ЖКХ, а также поиск эффективных решений многокритериальных задач моделирования их взаимодействия в условиях отсутствия неопределенности на основе инстру-
* Статья подготовлена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 14-06-00009а «Формирование методологии эффективного развития и модернизации сферы ЖКХ на основе внедрения инновационных моделей, организационно-экономических механизмов и вероятностных технологий взаимодействия ее субъектов».
ментария теории полезности. На этапе модернизации сферы ЖКХ обоснование подходов к решению этой проблемы представляется весьма актуальной задачей.
Цели/задачи. Основная цель исследования заключается в адаптации существующего методологического подхода использования функции полезности к поиску практических решений многокритериальных задач эффективного взаимодействия экономических субъектов сферы ЖКХ с учетом разнонаправленности предпочтений их предпринимательской деятельности.
Методология. В качестве методологического подхода к решению задачи использованы особенности применения функции полезности для формализации предпочтений субъектов сферы ЖКХ в процессе их взаимодействия. Рассмотрены особенности формализации предпочтений экономических субъектов сферы ЖКХ при двух- и многокритериальной постановке задачи. Показана возможность использования инструментария построения кривых безразличия для получения численных значений функции полезности. Доказано существование аддитивной функции полезности при условии взаимонезависимости критериев по предпочтению. Обоснована целесообразность использования принципа справедливого компромисса для учета предпочтений экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства.
Результаты. К основным результатам исследования следует отнести обоснование целесообразности применения функции полезности для формализации предпочтений субъектов сферы ЖКХ в процессе их взаимодействия; формирование предпочтений экономических субъектов сферы ЖКХ при решении двух- и многокритериальных задач; обоснование возможности применения аддитивной функции полезности с учетом предпочтений экономических субъектов; целесообразность использования принципа справедливого компромисса в процессе взаимодействия экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства.
Выводы/значимость. Проанализированные подходы предназначены для применения в условиях отсутствия неопределенности и могут использоваться при моделировании взаимоотношений экономических субъектов сферы ЖКХ. Их практическая реализация будет способствовать получению эффективных решений многокритериальных задач в условиях отсутствия неопределенности с учетом разнонаправленного воздействия комплексной совокупности факторных критериев.
Ключевые слова: сфера жилищно-коммунального хозяйства, экономические субъекты, эффективные решения, многокритериальные задачи, моделирование, функция полезности, формализация предпочтений, кривые безразличия, аддитивная функция полезности, принцип справедливого компромисса
Введение
Реформирование сферы жилищно-коммунального хозяйства и переход ее экономических субъектов на рыночные принципы хозяйствования повлекли за собой не только качественное изменение состава экономических субъектов этой сферы, но и возникновение принципиально новой системы взаимоотношений между ними на всех уровнях управления. С указанных позиций сферу ЖКХ в
современных условиях можно представить в форме сложной динамической системы, в которой одновременно функционирует множество экономических субъектов и осуществляется комплекс разнонаправленных взаимодействий между ними.
В качестве экономических субъектов сферы ЖКХ выступают органы местного самоуправления; ресурсоснабжающие, обслуживающие и коммунальные предприятия; инвесторы и бизнес-структуры; управляющие компании; собственники и наниматели жилья и другие хозяйствующие субъекты. При этом практика показывает, что каждый экономический субъект преследует свои цели и имеет свои интересы предпринимательской деятельности в этой сфере. Так, целью органов местного самоуправления является создание благоприятных условий для эффективного функционирования всей совокупности экономических субъектов сферы ЖКХ в регионе или муниципальном округе. Ресур-соснабжающие, обслуживающие и коммунальные предприятия заинтересованы в предоставлении качественных жилищно-коммунальных услуг (ЖКУ) и поступлении своевременной оплаты за эти услуги. Инвесторы и бизнес-структуры заинтересованы в извлечении прибыли из участия в различных бизнес-проектах. Управляющие компании преследуют цели предоставления ЖКУ надлежащего качества, а также эффективной эксплуатации существующего жилищного фонда. Кроме того, они заинтересованы в своевременной оплате поставленных ЖКУ и надлежащем содержании жилищного фонда. Собственники и наниматели жилья заинтересованы в повышении качества предоставляемых им ЖКУ при незначительном росте тарифов на их оплату.
Поскольку цели хозяйственной деятельности экономических субъектов сферы ЖКХ в основном имеют разнонаправленный характер и определяются различными интересами, то в процессе их взаимодействия очень часто возникает необходимость поиска эффективных решений многокритериальных задач при отсутствии неопределенности. Примером такой задачи может быть установка тарифов на ЖКУ, когда ресурсоснабжающие, обслуживающие и коммунальные предприятия заинтересованы в их росте, собственники и наниматели жилья, напротив, заинтересованы в их снижении, а органы местного самоуправления и управляющие компании - в разумном балансе интересов двух первых групп экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства. При этом, как правило,
у каждого субъекта сферы ЖКХ имеются свои предпочтения относительно получения конечного результата. В связи с этим вполне резонно возникает вопрос: можно ли каким-то образом формализовать эти предпочтения и на этом основании упорядочить процесс выбора эффективного решения применительно к предпочтениям того или иного субъекта сферы ЖКХ, а также их некоторой совокупности, определяемой условиями решаемой задачи?
Представляется очевидным, что при этом необходимо учитывать многие важные свойства сферы ЖКХ как неоднородной динамической системы, которые проявляются непосредственно в ходе взаимодействия ее экономических субъектов. Именно этим свойствам как специфическим особенностям сферы ЖКХ следует уделить повышенное внимание при формировании экономико-математических моделей их функционирования. Вместе с тем сделать это на практике оказывается не так просто, поскольку механизмы и характер процессов взаимодействия экономических субъектов этой сферы, наличие или отсутствие у них определенных стимулов, разнонаправленное действие комплексной совокупности факторов вызывают существенные трудности при моделировании их взаимодействий. В частности, они проявляются в невозможности однозначной идентификации состава переменных, характеризующих состояние всей системы в целом, а также при ее декомпозиции на отдельные функциональные блоки и выявлении причинно-следственных связей между ними. Тем не менее формирование и практическое применение экономико-математических моделей для формализации взаимодействия экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства в современных условиях становится одним из эффективных подходов к реформированию и модернизации этой сферы в целом.
Обоснование целесообразности применения функции полезности
При отсутствии неопределенности для формализации предпочтений субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства в процессе их взаимодействия целесообразно использовать функцию полезности. Она представляет собой некую скалярную функцию f(q1,..., qn), при построении которой каждому вектору q ставят в соответствие одно число f так что каждое решение можно оценивать именно этим числом. Рассматривая функцию полезности
на множестве эффективных решений применительно к предпочтениям того или иного субъекта сферы ЖКХ, можно оптимизировать ее решение, определяя максимальное значение этой функции для предпочтений конкретного экономического субъекта. Естественно, что такое решение будет в максимальной степени соответствовать предпочтениям только одного конкретного субъекта. Для получения оптимального решения, удовлетворяющего предпочтения всего множества экономических субъектов, можно изначально скаляризировать векторный критерий качества функции полезности без предварительного выделения множества эффективных решений. Однако такой подход может привести к получению заведомо неэффективных решений, что является нецелесообразным с экономической точки зрения.
Рассмотренным случаем не ограничиваются все возможности практического применения функции полезности для формализации предпочтений субъектов сферы ЖКХ в процессе их взаимодействия. Допустим, что в рассматриваемой задаче имеется только один критерий q1 (и) оценки эффективности ее решения и, и он выражен в денежном эквиваленте. Это может быть величина ожидаемого дохода от реализации того или иного решения или, наоборот, финансовые издержки, связанные с реализацией. Применительно к величине дохода q1 (и) ясно, что она становится тем больше, чем более эффективным окажется принимаемое решение и, т.е. зависимость полезности решения f от величины дохода q можно рассматривать как монотонную. Однако это не линейная монотонность, поскольку для величины дохода экономического субъекта в 100 тыс. руб. его прирост на 1 тыс. руб. будет значительно менее ценным, чем тот же прирост, если доход субъекта составляет всего 10 тыс. руб. Таким образом, зависимость f в общем случае является нелинейной.
При этом и ее монотонность не является обязательной. Действительно, в случае с выбором строительного материала по процентному содержанию в нем определенного ингредиента его качество определяется конкретным процентом или диапазоном его изменения, которое принято называть нормальным. В этом случае как снижение нормы содержания данного ингредиента в составе конкретного материала, так и ее увеличение однозначно снижают его качество, значит, и полезность решения по выбору этого материала.
Как видно, даже самые простые примеры приводят к необходимости исследования зависимости
полезности от величины даже одномерного критерия или, другими словами, построения функции полезности. Эта проблема достаточно широко освещается в специальной литературе [1, 2, 4, 7-9, 11-24], но при этом она никак не связывается с практикой взаимодействия экономических субъектов сферы ЖКХ [3, 5, 6, 10]. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть подходы к ее решению с учетом предпочтений экономических субъектов этой сферы.
Для ясности дальнейших рассуждений остановимся на основных определениях.
Так, под функцией полезности будем понимать некую числовую функцию, посредством которой можно провести свертку векторного критерия качества решения. Следовательно, если q = (др д2,..., ди) - набор критериев качества решения (векторный критерий), то функция полезности f (д) должна позволить преобразовать этот вектор в число таким образом, чтобы в максимальной степени учесть набор предпочтений всех взаимодействующих экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства.
Далее, будем предполагать, что для любых двух векторов д(1) и д(2) критериального набора в реальности существует одна из трех возможностей:
1) q(1) > д(2) (вектор д(1) лучше, чем вектор д(2));
2) q(1) < д(2) (вектор д(1) хуже, чем вектор д(2));
3) q(1) = д(2) (вектор д(1) равнозначен вектору
д(2)).
Такой подход позволит четко указать набор критериев относительно предпочтений любых двух экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства.
Если этого не сделать, то можно столкнуться с необходимостью решения слабо структурированной задачи, которая пока лежит за рамками данного исследования.
После формулировки определений остановимся на некоторых случаях практического применения функции полезности.
Формирование предпочтений экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства на основе функции полезности при наличии двух критериев
Наличие двух критериев (д1, д2) представляет собой наиболее простой случай. При этом будем
считать, что они ориентированы положительно, и в случае фиксированных значений одного из критериев большие значения другого критерия считаются предпочтительными. Для наглядной интерпретации этих условий на плоскости (qp q2) можно построить кривую безразличия (см. рисунок).
Она проходит через пары точек (qp q2), для которых выполняется условие f (qp q2) = const, где f (q*) - искомая функция полезности. Другими словами, можно утверждать, что любая кривая безразличия представляет собой одну из линий соответствующего уровня функции полезности. Если считать, что функция полезности является гладкой и обе ее производные не обращаются в нуль одновременно, то можно найти уравнение для кривой безразличия.
Для этого предположим, что на кривой без-
df * различия (q1, q2) = f (q ) ф 0. Тогда для этой
dq2 2
кривой можно получить следующее дифференциальное уравнение:
П(М2>= (1)
dq2 Л2(^ q2)
Однако искомая функция (1) может быть определена и путем опроса заинтересованных экономических субъектов. Для этого применительно к заданной точке (q1, q2) каждый из заинтересованных экономических субъектов сферы ЖКХ должен ответить на вопрос: если критерий q2 будет увеличен на у единиц, то на сколько нужно уменьшить критерий q1, чтобы компенсировать это увеличение критерия q2, не изменяя при этом исходную полезность пары (q1 - у, q2 + у)? Такой подход позволяет получить оценку для функции n (q1, q2) в выбранной точке (q1, q2). После этого становится возможным сделать шаг и найти новую точку (q1, q2), уточнив, что она будет иметь ту же полезность, что и предыдущая точка. Повторив описанную ранее процедуру действий несколько раз, получим искомую оценку для функции n (q1, q2) в виде дискретного набора ее значений, расположенных вдоль фиксированной кривой безразличия. После построения функции n (q1, q2) можно проинтегрировать дифференциальное уравнение (1) и найти уравнение кривой безразличия для некоторого уровня функции полезности. Для этого примем значение функции полезности для построенной кривой безразличия равным произвольной константе, допустим, единице. Такой подход просто фиксирует точку отсчета и масштаб для функции полезности. При этом изменение шка-
92
лы измерений не может изменить структуру предпочтений экономических субъектов.
Далее выбираем новую пару , q*), не лежащую на построенной кривой безразличия, и определяем для нее значение функции полезности. Повторив описанную ранее процедуру, получаем новую кривую безразличия, которая соответствует новому значению функции полезности - новую линию ее другого уровня. Продолжая этот процесс, можно получить достаточно густую сетку кривых безразличия, которая заполнит всю область возможных изменений значений обоих критериев в некотором пространстве на плоскости. В результате каждая точка этой сетки окажется на той или иной кривой безразличия и при этом будет иметь свое значение функции полезности. Тем самым получаем набор значений функции полезности на точках дискретной сетки плоскости q2). Имея в распоряжении эти данные, можно при помощи методов аппроксимации получить формулу и для функции полезности.
Описанная процедура представляется достаточно сложной даже для простого случая, когда в рассмотрении участвуют всего два критерия. При наличии многокритериальности такая схема становится практически нереализуемой, поскольку вместо обычных дифференциальных уравнений в этом случае требуется решать уравнения с частными производными.
По этой причине в практических условиях взаимодействия субъектов сферы ЖКХ обычно предпринимаются попытки найти более простое описание функции полезности при оптимизации предпочтений всех участников. В этих целях отдается предпочтение исследованию таких случаев, когда функцию полезности можно выразить в более простом виде, а именно:
Направление возрастания функции полезности
9i
Графическая интерпретация кривых безразличия
f (9i, q2,..., qn) = Ё f(q X
(2)
k=1
где /к - одномерная (частная) функция полезности, которая зависит только от одного переменного.
Функции вида (2) принято называть аддитивны-
ми. Определим условие, когда функция полезности в случае наличия двух критериев может стать аддитивной.
Для этого рассмотрим следующую четверку: q1 = а, q1 = Ь, q2 = с, q2 = d. Кроме того, допустим, что введенная ранее функция п q2) является производной кривой безразличия. Принято утверждать, что выполнено условие соответственных замещений, если для любого набора q1 = а, q1 = Ь, q2 = с, q2 = d выполняется следующее равенство:
П(а, с) = п(Ь, с) (3)
п(а, d) п(Ь, d)
Можно доказать, что функция полезности при наличии двух критериев является аддитивной тогда и только тогда, когда справедливо условие соответственных замещений (3).
Если функция полезности аддитивна, то с большой долей вероятности очевидно выполнение данного условия. Обратное утверждение доказывается несколько сложнее.
Для проверки выполнения условия (3) рассмотрим некоторый интервал [а, Ь] значений критерия q1. Примем утверждение, что точка г (а < г < Ь) является средней по полезности точкой интервала [а, Ь], если при любом значении второго критерия q2 из условия (а, q2) ~ (г, q2 - h) следует условие (г, q2) ~ (Ь, q2 - h). Естественно, что при этом h зависит от q2. Другими словами, если экономический субъект сферы ЖКХ готов пойти на компромисс предпочтений и перейти из точки а со значениями первого критерия в точку г со значениями этого же критерия на таких же условиях, что и при переходе из точки г в точку Ь, то точка г будет считаться сред-
ней по полезности точкой интервала [а, Ь]. Существование на рассматриваемом интервале средней по полезности точки равносильно выполнению условия соответствующих замещений (3).
Формирование предпочтений экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства на основе функции полезности в условиях многокритериального подхода
В условиях многокритериального подхода формирование предпочтений экономических субъектов сферы ЖКХ связано с возможностью построения аддитивной функции полезности. Рассмотрим кратко условия для возникновения такого рода ситуации, а также особенности поиска эффективного решения для экономических субъектов.
Сначала разобьем всю совокупность критериев на два подмножества:
А = {а} = (яР q2, ..., q); В = {Ь} = ^^ qs+2, .. qn).
Можно утверждать, что набор критериев а' е А условно предпочтительнее набора критериев ап е А при фиксированном Ь е В, если (а', Ь) > (ап, Ь).
Множество критериев А независимо по предпочтению от дополняющего множества В в том и только в том случае, если структура условного предпочтения для критериев из множества А при фиксированном Ь е В не зависит от Ь. Это условие можно записать формально следующим образом:
(а', Ь) > (ап, Ь) ^ (а', Ь) > (ап, Ь) для всех (а', ап) е А, Ь е В.
Если множество критериев А не зависит по предпочтению от дополняющего множества критериев В, то
(а, Ь') > (а, Ьп) ^ (а', Ь) > (а', Ьп) для любого а - а'.
Приведенные утверждения означают, что структура условного предпочтения в пространстве критериев В при фиксированном а е А связана с а только через поверхность безразличия. Кроме того, для этого случая функция полезности f (а, Ь) зависит от Ь только через функцию полезности / (а) для подвектора а.
Если множество А не зависит по предпочтению от множества В, а множество В в свою очередь не зависит по предпочтению от множества А, то структуры предпочтений экономических субъектов в пространствах А и В могут рассматриваться от-
дельно друг от друга, и тогда функция полезности примет следующий вид:
f (а,Ь) = ^(^ (а), (Ь)), где/ (а),^ (Ь) - функции полезности для соответствующих подвекторов.
На практике это означает, что экономические субъекты сферы ЖКХ могут независимо друг от друга структурировать свои предпочтения по любому из двух критериев, как по а, так и по Ь. В этом случае набор из двух критериев применительно к деятельности того или иного экономического субъекта сферы ЖКХ определяется в зависимости от конкретной исследуемой ситуации. Описание даже простой ситуации взаимодействия экономических субъектов сферы ЖКХ займет достаточно много места, и по этой причине ее опускаем. Кроме того, в данном случае исследуются главным образом теоретические положения взаимодействия экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства в условиях многокритериального подхода и отсутствия неопределенности.
Теперь исследуемую задачу можно легко свести к ранее рассмотренному случаю двух критериев, в качестве которых выступают функции полезности соответствующих подвекторов. Дальнейшие действия можно представить следующим образом.
Вновь разобьем всю совокупность критериев на два подмножества:
А = {а} = (др q2, ..., q ); В ={Ь} = qs+2,qn).|t
Выберем типичные значения я*, д3,..., д*, * * 2 д+2, д+3,.., Чп и рассмотрим структуру условных
предпочтений в пространстве (д1, дж+1). Эту задачу
может проанализировать любой экономический
субъект.
Предположим, что в этом пространстве (д1,
Тогда в пространстве функций полезности для соответствующих подвекторов/а (а),^ (Ь) получим следующее выражение:
(/а я я*,..., я* X Л (я - (/а (я¡, я*,..., я*X Л (я!^ я*+2,..., я*)).
Смысл этого выражения означает, что любой экономический субъект может построить кривые безразличия в пространстве функций полезности для соответствующих подвекторов/ (а),^ (Ь), рассмотрев предварительно замещения для двух выбранных им компонент при фиксированных значениях оставшихся не рассмотренными других компонент.
Далее предположим, что имеются условия для существования аддитивной функции полезности. Их наличие позволяет утверждать, что критерии q1, q2, ..., qn взаимонезависимы по предпочтению, если каждое подмножество этого множества критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения. Другими словами, аддитивная функция полезности существует тогда и только тогда, когда критерии взаимонезависимы по предпочтению. Следует отметить, что для конкретных экономических субъектов сферы ЖКХ взаимонезависимость критериев по предпочтению во многом определяется рассматриваемой ситуацией, описание которой даже для относительно простого случая займет достаточно много места. По этой причине в данной статье обоснование примерного состава таких критериев не приводится. Кроме того, поскольку тема исследований рассчитана еще на один год, то есть все основания описать конкретный пример в отдельной статье.
Основной недостаток этого утверждения заключается в том, что число условий независимости по предпочтению, которое необходимо проверить, оказывается намного больше числа всех пар критериев, которые должны быть независимы по предпочтению от соответствующих им дополнений (п (п-1) / 2). Кроме того, необходимо проверять на взаимонезависимость еще тройки, четверки и другие комбинации критериев в этой же последовательности.
Однако при определенных условиях объем работ по проверке можно значительно сократить. Попытаемся их найти. Для этого сделаем следующее утверждение.
Пусть А и В представляют собой пересекающиеся подмножества множества критериев, но при этом ни одно из них не содержится в другом, а их объединение не совпадает со всем множеством критериев. Если каждое из подмножеств А и В не зависит по предпочтению от своего дополнения, то любое из приведенных множеств критериев:
1) А и В;
2) А п В;
3) А \ В, В \ А;
4) (А \ В) п (В \ А)
независимо по предпочтению от своего дополнения.
Проиллюстрируем это утверждение следующим примером. Допустим, что имеются q = q2, q3, q4), А = q2), В = q3). Для таких условий
представляется вполне очевидным, что ни одно из множеств (А, В) не содержится в другом множестве, а их объединение не совпадает с множеством критериев q. Если далее предположим, что А и В независимы по предпочтению от q4) и q4) соответственно, то сделанное ранее утверждение будет конкретизировано следующим образом:
1) А и В = q2, q3) не зависят по предпочтению
от q4;
2) А п В = ^2) не зависят по предпочтению от (ql, qз, q4);
3) А \ В = В \ А = ^3) не зависят по предпочтению от своих дополнений;
4) (А \ В) и (В \ А) = q3) не зависят по предпочтению от своего дополнения q4). Рассмотренный пример подтверждает, что из
сделанного ранее утверждения вытекает важное следствие, а именно: если каждая пара критериев не зависит по предпочтению от своего дополнения, то критерии являются взаимонезависимыми по предпочтению.
Для построения мультипликативного интегрального показателя в условиях многокритериального подхода формирования предпочтений экономических субъектов сферы ЖКХ можно использовать обобщенную функцию полезности Харрингтона -Мечера [20]. В основе ее построения лежит идея преобразования натуральных значений частных показателей в безразмерную шкалу желательности или предпочтения. При помощи этой шкалы устанавливается соответствие между количественными и качественными значениями критериальных показателей. Шкала Харрингтона является интервальной и относится к «сильным» шкалам, поскольку имеет определенные расстояния между числовыми интервалами. Как правило, она задается уравнением экспоненты, когда по оси ординат установлены предпочтения экономических субъектов (обычно в пределах от 0 до 1), а по оси абсцисс указаны значения отклика на то или иное предпочтение. В результате функция полезности Харрингтона - Ме-чера обладает такими полезными свойствами, как непрерывность, монотонность и гладкость.
Однако практическое применение функции полезности Харрингтона - Мечера сопряжено со следующими проблемами:
- при интервальной калибровке шкалы откликов на предпочтения практически всегда получается неравномерная и достаточно произвольная шкала;
- большие затруднения вызывает интерпретация откликов на предпочтения, распределение которых не совпадает с экспоненциальной кривой, например, при нормальном законе распределения;
- в предложенной функции все отклики на предпочтения признаются равновесными, хотя на самом деле это далеко не так.
Указанные проблемы существенно затрудняют использование функции полезности Харрингтона -Мечера в условиях многокритериального подхода формирования предпочтений экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства, хотя и не во всей массе случаев. При совпадении распределения откликов на предпочтения с функцией экспоненты могут быть получены вполне приемлемые результаты.
Возможности применения аддитивной функции полезности с учетом информации, которой располагают
экономические субъекты сферы жилищно-коммунального хозяйства
Аддитивная функция полезности складывается для экономического субъекта из функций полезности по каждому критерию, что отражает следующее выражение:
f (u)=1 f (q («)),
i
где f (qi (u)) - частные функции полезности отдельных критериев.
Наиболее распространенными типами частных функций полезности являются линейные, которые можно выразить следующей зависимостью: f (q.(u)) = aiqi +ß.. Это условие можно записать таким образом:
f (q.(u)) = Х a.qi(u).
i
В этом случае задача поиска эффективного решения сводится к определению значений коэффициентов a Иногда их достаточно просто определить на основании естественных предположений. Так, если полезность эквивалентна стоимости, то коэффициент ai может выражать стоимостной эквивалент конкретного критерия.
Существуют и другие пути получения значений коэффициентов ai. Например, их можно получить через оценку значений функций полезности при различных альтернативах (ограничениях). В частности,
при решении задач линейного многокритериального программирования для каждого критерия q. (и) можно определить альтернативы и. (+) и и. (-), максимизирующие или, наоборот, минимизирующие qi (и), оценить 2п значений функций полезности в этих точках/. (+) и/. (-), а затем решить следующую систему уравнений:
аЛ (и, (+)) + = ¡г (+);
ад, (и, (-)) + Р,. = (-).
На практике чаще всего минимальные значения критериев не представляют интереса для экономических субъектов сферы ЖКХ. В таких случаях в качестве и. (-) принимают его альтернативы, значения которых обеспечивают разумный минимум значения критерия. Также можно построить матрицу qi(и. (+)), координаты крайних точек которой принадлежат множеству Парето. В этом случае в качестве и. (-) целесообразно принять альтернативу, соответствующую минимальному значению критерия в ,'-й строке.
Однако практически все из описанных способов требуют от экономических субъектов достаточно большого объема количественных данных об абстрактной полезности той или иной альтернативы. По этой причине все они находят свое применение в достаточно узкой области.
Более выигрышным в подобной ситуации представляется способ парных сравнений, требующий от экономических субъектов только качественных ответов для сравнения всех пар в зависимости от важности установленных целей их сравнения.
Для применения этого способа обозначим через к.. ответ на вопрос: какая из целей , или ] представляется экономическому субъекту более важной?
1, если важнее . - я цель;
0, если важнее ] - я цель;
^а = 1
0,5, если обе цели признаются
равнозначными по важности.
При этом всего требуется определить т (т - 1) / 2 значений к.., после чего можно получить значения коэффициента а. по следующей формуле:
аа =Ъка.
1
Метод парных сравнений легко обобщается в случае использования группы экспертов, а также при неполном числе ответов или в случае, когда для экономического субъекта оказывается затруднительно сравнить некоторые цели.
Необходимо отметить, что предположение о линейном характере зависимости функции полезности от критериев иногда оказывается неоправданным упрощением. В таком случае вместо линейной аппроксимации используется степенная, логарифмическая или любая другая, которая достаточно близко соответствует реальной ситуации.
Взаимодействия экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства на основе принципа справедливого компромисса
В случае двухкомпонентного критерия экономический субъект обычно руководствуется установкой, согласно которой при небольшом отклонении от наилучшей альтернативы (она пока еще неизвестна) относительное ухудшение первого критерия будет компенсировано относительным улучшением второго. Другими словами, альтернатива и* обладает таким свойством, что при отклонении от нее на Ли изменения критериев Ля1 и Ля2 связаны следующим соотношением:
Aqi
Äq2
qx(u ) q2(u )
или
q2 (ы*) Aq1 + q1 (u*) Aq2 = 0.
Если предположить, что на всем множестве значений векторного критерия Q приращение Af (q) определяется из выражения Af (q) = q2(u) Aq1 + q1 (ы) Aq2, а в пределе df (q) = q2 (ы) dq1 + q1 (ы) dq2 есть полный дифференциал функции двух переменных q1 и q то функция полезностиf (q) примет следующий вид:
f (q) = q1 (ы) q2(u).
Таким образом, принцип справедливого компромисса реализуется в следующей задаче: f (q (ы)) = q1(ы) q2(ы) ^ min (ые Uf), qx (ы) > 0, q2(ы) > 0, где Uf с U - множество эффективных решений.
Используя аналогию с двухкомпонентным критерием, в условиях многокритериального подхода также можно использовать принцип взаимной компенсации относительных изменений критериев при их отклонении от наилучшей альтернативы, а именно:
A q qi(u*)
+... +
A q„, qm (u')
= 0.
Из этого выражения можно получить уравнение для определения функции полезности для многокритериального подхода:
/(я) = П я, (и), я, (и) > 0.
г
В качестве еще одной положительной особенности использования принципа справедливого компромисса в условиях многокритериальности можно отметить, что выбор наилучшей альтернативы не зависит от единиц, в которых она измеряется.
Дополнительным положительным качеством этого принципа может стать его интерпретация в качестве применения аддитивной функции полезности при/ (я,) = 1п я. При этом более применимым в практике взаимодействия экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства будет обобщение принципа на неравнозначные критерии. В этом случае аппроксимация функции полезности примет следующий вид:
Л(я) = Х аг 1П я, (и).
г
Для определения значений коэффициентов а. здесь также могут быть использованы описанные методы и подходы с учетом их аппроксимации в условиях многокритериальности.
Заключение
В результате проведенного исследования некоторых из существующих принципиальных подходов к поиску эффективных решений многокритериальных задач, наиболее часто применяемых при формировании комплексных инновационных моделей взаимоотношений экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства, проанализирован комплексный инструментарий решения такого рода задач на основе применения функции полезности при отсутствии неопределенности.
Практическая реализация данного инструментария будет способствовать получению эффективных решений многокритериальных задач в условиях отсутствия неопределенности с учетом разнонаправленного воздействия комплексной совокупности факторных критериев, оказывающих свое воздействие на взаимоотношения экономических субъектов сферы жилищно-коммунального хозяйства.
Список литературы
1. Вентцель Е.С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М.: Наука, 1988. 206 с.
2. Вечканов Г.С., Вечканова Г.Р. Микроэкономика. СПб: Питер, 2004. 288 с.
3. Евсеева С.А. Проблема несогласованности интересов субъектов хозяйствования в системе менеджмента организаций ЖКХ // Проблемы современной экономики. 2012. № 4. С. 299-303.
4. Кини Р.Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. M.: Радио и связь, 1981. 560 с.
5. Ларин С.Н. Пути инновационного развития сферы жилищно-коммунального хозяйства региона // Региональная экономика: теория и практика. 2012. № 6. С. 24-35.
6. Ларин С.Н. Модернизация сферы ЖКХ на основе внедрения инновационных подходов в управление и повышение эффективности воспроизводства жилищного фонда // Национальные интересы: приоритеты и безопасность. 2013. № 8. С.36-47.
7. Ларичев О.Н., Никифоров А.Д. Аналитический обзор процедур решения многокритериальных задач математического программирования // Экономика и математические методы. 1986. T. XXII. Вып. 3. С. 508-523.
8. Ларичев О.Н. Теория и методы принятия решений. М.: Логос, 2002. 392 с.
9. Липсиц И.В. Экономика. М.: Омега-Л, 2006. 656 с.
10. Макареня Т.А. Организационный и институциональный базис формирования механизма регулирования современной сферы жилищно-коммунальных услуг. URL: http://www.nsu.ru/xmlui/ handle/nsu/2827.
11. Макконнелл К.Р., Брю С.Л. Экономика: принципы, проблемы и политика. М.: ИНФРА-М, 2009. 916 с.
12. Микроэкономика. Теория и российская практика. М.: КноРус, ГНОМ и Д, 2000. 544 с.
13. Мэнкью Н.Г. Принципы микроэкономики. СПб: Питер, 2007. 592 с.
14. Ногин В.Д. Принятие решений в многокритериальной среде: количественный подход. М.: Физматлит, 2002. 144 с.
15. Нуреев Р.М. Курс микроэкономики. М.: Норма, 2006. 576 с.
16. Писарук Н.Н. Исследование операций. Минск: БГУ, 2013. 272 с.
17. Самуэльсон П.Э., Нордхаус В.Д. Экономика. М.: Вильямс, 2007. 1360 с.
18. Сломан Дж. Экономикс. СПб: Питер, 2007. 608 с.
19. Соболь И.М. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими критериями. М.: Дрофа, 2006. 175 с.
20. Федорченко С.Г., ДолговЮ.А., КирсановаА.В., Менчер Э.М., Помян С.В., Нижегородова М.В., Андрианова Е.И., Колоскова Н.В., Колегов А.В., Башкатов А.М. Обобщенная функция полезности и ее приложения. Тирасполь: Приднестровский государственный университет, 2011. 196 с.
21. Черноруцкий И.Г. Методы оптимизации в теории управления. СПб: Питер, 2004. 256 с.
22. Штойер Р. Многокритериальная оптимизация: теория, вычисления и приложения. М.: Радио и связь, 1992.504 с.
23. Экономическая теория. М.: Экзамен, 2004. 592 с.
24. Steuer R.E., Na P. Multiple criteria decision making combined with finance: A categorized bibliographic study // European Journal of Operational Research. 2003. № 150. Р. 496-515.
Economic Analysis: Theory and Practice Mathematical Methods and Models
ISSN 2311-8725 (Online) ISSN 2073-039X (Print)
CHOOSING THE EFFECTIVE SOLUTIONS TO MULTI-CRITERION PROBLEMS OF INTERACTION OF THE HOUSING AND UTILITIES SECTOR'S ECONOMIC ENTITIES UNDER THE ABSENCE OF UNCERTAINTY BASED ON A UTILITY FUNCTION
Sergei N. LARIN, Nikolai A. SOKOLOV, Lyudmila I. GERASIMOVA
Abstract
Importance The article explores the operations of economic entities of the housing and utilities sector, and searches for effective solutions to multi-criterion problems of modeling their interaction in absence of uncertainty based on the utility theory tools. At the stage of the housing and utilities sector modernization, the substantiation of approaches to solving this problem seems to be a very urgent task. Objectives The main objective of the study is to adapt the existing methodological approach involving the utility function to searching for practical solutions to multi-criteria problems of effective interaction of economic entities operating in the housing and utilities sector given the diverse preferences of their business activities.
Methods As a methodological approach to the problem, we used the specifics of the utility function to formalize the preferences of economic entities of the housing and utilities sector during their interaction. We considered the features of their preferences formalization for two- and multi-criteria problem setting. Furthermore, we showed the possibility of using the tools for constructing indifference curves to obtain the numerical values of the utility function.
Results The main results of the study include the rationale for the use of utility functions for the formalization of preferences of the housing and utilities sector' entities in the process of their interaction; the formation of preferences of economic entities of the housing and utilities sector in solving two-and multi-criteria tasks; the rationale for the use of the additive utility function taking into account the preferences of economic entities; the feasibility of using the fair compromise principle in the interaction of economic entities of the housing and utilities sector. Conclusions and Relevance The analyzed approaches are designed to be used in the absence of uncertainty and
may be applied in modeling the interaction of economic actors of the housing and utilities sector. Their practical implementation will contribute to effective solutions to multi-criteria problems in the absence of uncertainty, taking into account the multi-directional impact of the complex totality of factor criteria.
Keywords: housing and utilities sector, economic entities, effective solutions, multi-criteria, problems, simulation, utility function, formalization, preference, indifference curves, additive utility function, fair compromise principle
References
1. Venttsel' E.S. Issledovanie operatsii: zadachi, printsipy, metodologiya [Exploring the operations: objectives, principles and methodology]. Moscow, Nauka Publ., 1988, 206 p.
2. Vechkanov G.S., Vechkanova G.R. Mikroe-konomika [Microeconomics]. St. Petersburg, Piter Publ., 2004, 288 p.
3. Evseeva S.A. Problema nesoglasovannosti interesov sub"ektov khozyaistvovaniya v sisteme menedzhmenta organizatsii ZhKKh [The problem of non-coordinated interests of business entities in the management system of housing and utilities sector operations]. Problemy sovremennoi ekonomiki = Problems of Modern Economics, 2012, no. 4, pp. 299-303.
4. Keeney R.L., Rife H. Prinyatie reshenii pri mnogikh kriteriyakh: predpochteniya i zameshcheniya [Decisions with Multiple Criteria: Preferences and Substitution]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1981, 560 p.
5. Larin S.N. Puti innovatsionnogo razvitiya sfery zhilishchno-kommunal'nogo khozyaistva regiona [Ways of innovation development of the housing and utilities sphere of a region]. Regional 'naya ekonomika: teoriya i praktika = Regional Economics: Theory and Practice, 2012, no. 6, pp. 24-35.
6. Larin S.N. Modemizatsiya sfery ZhKKh na osnove vnedreniya innovatsionnykh podkhodov v upravlenie i povyshenie effektivnosti vosproizvodstva zhilishchnogo fonda [Modernizing the housing and utilities sphere through the introduction of innovative approaches to management and improvement of housing stock functioning]. Natsional'nye interesy: prioritety i bezopasnost' = National Interests: Priorities and Security, 2013, no. 8, pp. 36-47.
7. Larichev O.N., Nikiforov A.D. Analiticheskii obzor protsedur resheniya mnogokriterial'nykh zadach matematicheskogo programmirovaniya [An analytical review of procedures for solving multi-criteria tasks of mathematical programming]. Ekonomika i matem-aticheskie metody = Economics and Mathematical Methods, 1986, vol. 22, iss. 3, pp. 508-523.
8. Larichev O.N. Teoriya i metody prinyatiya reshenii [The theory and methods of decision-making]. Moscow, Logos Publ., 2002, 392 p.
9. Lipsits I.V. Ekonomika [Economics]. Moscow, Omega-L Publ., 2006, 656 p.
10. Makarenya T.A. Organizatsionnyi i institutsio-nal'nyi bazis formirovaniya mekhanizma regulirov-aniya sovremennoi sfery zhilishchno-kommunal'nykh uslug [Organizational and institutional basis of building the regulation mechanism for the modern housing and utilities sector]. Available at: http://www.nsu.ru/xmlui/ handle/nsu/2827. (In Russ.)
11. McConnell C.R., Brue S.L. Ekonomika: printsipy, problemy i politika [Economics: principles, problems, and policies]. Moscow, INFRA-M Publ., 2009, 916 p.
12. Mikroekonomika. Teoriya i rossiiskayapraktika [Microeconomics. Theory and Russian practice]. Moscow, KnoRus, GNOM i D Publ., 2000, 544 p.
13. Mankiw N.G. Printsipy mikroekonomiki [Principles of Microeconomics]. St. Petersburg, Piter Publ., 2007, 592 p.
14. Nogin V.D. Prinyatie reshenii v mnogokri-terial'noi srede: kolichestvennyi podkhod [Multi-criteria decision-making environment: a quantitative approach]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2002, 144 p.
15. Nureev R.M. Kursmikroekonomiki [A microeconomics course]. Moscow, Norma Publ., 2006, 576 p.
16. Pisaruk N.N. Issledovanie operatsii [Researching an operation]. Minsk, BSU Publ., 2013, 272 p.
17. Samuelson P.E., Nordhaus W.D. Ekonomika [Economics]. Moscow, Vil'yams Publ., 2007, 1360 p.
18. Sloman J. Ekonomiks [Economics]. St. Petersburg, Piter Publ., 2007, 608 p.
19. Sobol' I.M. Vybor optimal'nykh parametrov v zadachakh so mnogimi kriteriyami [Choosing the optimal parameters in multi-criteria tasks]. Moscow, Drofa Publ., 2006, 175 p.
20. Fedorchenko S.G., Dolgov Yu.A., Kirsanova A.V., Mencher E.M., Pomyan S.V., Nizhegorodova M.V., Andrianova E.I., Koloskova N.V., Kolegov A.V., Bashkatov A.M. Obobshchennayafunktsiya poleznosti i eeprilozheniya [The generalized utility function and its applications]. Tiraspol, Trans-Dniester State University Publ., 2011, 196 p.
21. Chernorutskii I.G. Metody optimizatsii v teorii upravleniya [Methods of optimization in the management theory]. St. Petersburg, Piter Publ., 2004, 256 p.
22. Steuer R. Mnogokriterial'naya optimizatsiya: teoriya, vychisleniya i prilozheniya [Multi-criteria optimization: theory, computation and applications]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1992, 504 p.
23. Ekonomicheskaya teoriya [Economic theory]. Moscow, Ekzamen Publ., 2004, 592 p.
24. Steuer R.E., Na P. Multiple criteria decision making combined with finance: A categorized bibliographic study. European Journal of Operational Research, 2003, no. 150, pp. 496-515.
Sergei N. LARIN
Central Economics and Mathematics Institute, RAS, Moscow, Russian Federation [email protected]
Nikolai A. SOKOLOV
Central Economics and Mathematics Institute, RAS, Moscow, Russian Federation [email protected]
Lyudmila I. GERASIMOVA
Central Economics and Mathematics Institute, RAS, Moscow, Russian Federation [email protected]
Acknowledgments
The article is supported by the Russian Foundation for Basic Research, project No. 14-06-00009a Building a methodology of effective development and modernization of the housing and utilities sector based on the introduction of innovation models, organizational and economic mechanisms and probabilistic techniques of its entities'interaction.
