CC BY
50
^ ОБЩЕТЕХНИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ И ПУТИ ИХ РЕШЕНИЯ
УДК 519.816
Отладка типовых одномерных функций полезности в модели многомерной полезности *
С. В. Микони 1, Д. П. Бураков 2
1 Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации Российской академии наук, Российская Федерация, 199178, Санкт-Петербург, 14-я линия В. О., 39
2 Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I, Российская Федерация, 190031, Санкт-Петербург, Московский пр., 9
Для цитирования: Микони С. В., Бураков Д. П. Отладка типовых одномерных функций полезности в модели многомерной полезности // Известия Петербургского университета путей сообщения. -СПб.: ПГУПС, 2019. - Т. 16, вып. 2. - С. 301-314. 001: 10.20295/1815-588Х-2019-2-301-314
Аннотация
Цель: Решение задачи по созданию одномерных функций полезности (ценности) показателей, адекватно отражающих предпочтения лица, принимающего решение (ЛПР), является наиболее наукоемким и трудоемким этапом разработки многомерной модели полезности объекта. Методы: При ограниченных трудовых и временных ресурсах на практике прибегают к упрощенному построению одномерных функций полезности, в частности, на базе параметризации типовых функций с последующим уточнением значений параметров на основе известного ЛПР порядка объектов (обучающей выборки). Используются методы теории многомерной полезности, основанные на выявлении склонности (несклонности) ЛПР к риску. Параметризация функций осуществляется путем определения условий изменения мест в рейтинге, характеризующем порядок объектов. Результаты: Предложенный подход позволяет значительно сократить время создания одномерных функций полезности оцениваемых показателей, адекватных предпочтениям ЛПР, даже с учетом увеличения времени на отладку многомерной модели полезности. Практическая значимость: Описанный подход ориентирован на оценивание качества и технического уровня сложных объектов при наличии ограничений на трудовые и временные ресурсы, отводимые на разработку моделей оценивания. Он может быть также применен в практике оценивания качества изделий массового применения ЛПР, не обладающими высокой квалификацией в области теории принятия решений.
Ключевые слова: Критерий, предпочтения, склонность к риску, функция полезности, логистическая функция, многомерная полезность, рейтинг.
Введение
Одним из подходов к решению задач многокритериального оценивания альтернатив (объектов) является оценивание их по полез-
ности [1]. Под полезностью объекта в таких задачах понимается степень его соответствия цели, поставленной лицом, принимающим решение (ЛПР). В методах скалярной многокритериальной оптимизации полезность
* Исследования, выполненные по данной тематике, проводились при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 17-01-00139 и 19-08-00989) в рамках бюджетной темы № 0073-2019-0004.
объекта вычисляется путем обобщения значений одномерных функций полезности (ФП) показателей (признаков), характеризующих оцениваемые объекты. ФП в таких задачах играют двойственную роль: с одной стороны, они отражают предпочтения ЛПР, а с другой - выполняют нормирование значений разнородных признаков [2], приводя их к единой шкале с целью последующего агрегирования в обобщенную оценку полезности объекта.
Построение ФП, адекватно отражающих предпочтения ЛПР, представляет собой отдельную сложную задачу. К одному из первых способов создания одномерных ФП относится построение ее по точкам [3]. В этой работе в качестве модели предпочтений, связанных с риском потерять вложенные средства, использовалась лотерея. Метод опроса ЛПР базируется на основе решения уравнения, определяющего условия его отказа от участия в лотерее в пользу получения гарантированного выигрыша. В результате опроса ЛПР находятся значения ФП на некотором множестве точек шкалы показателя, на основе чего строится ее график.
Экспериментально было установлено, что в общем случае ФП нелинейна, более того, она может иметь и отрицательные значения, отражающие риск потерь. На основе отношения безразличия между участием в лотерее и получением гарантированного выигрыша было сформулировано условие склонности ЛПР к риску: оно не склонно к риску, если предпочитает получить наверняка ожидаемый выигрыш вместо участия в любой невырожденной лотерее. Мера склонности (несклонности) ЛПР к риску отражается формой ФП: она выпукла на областях склонности к риску, линейна на областях безразличия к риску и вогнута там, где ЛПР склонно избегать риска (проявляет осторожность).
В работе [4] рассмотрены аналитические способы построения одномерной монотонной ФП, учитывающие меру склонности (несклонности) ЛПР к риску. Отмечено,
что линейная ФП, соответствующая нормирующей функции критерия, отражает нейтральное отношение (безразличие) ЛПР к риску. Анализ риска был распространен и на немонотонные ФП.
В работе [5] был предложен алгоритм построения ФП относительно реальной цели, заданной на шкале показателя. Целевое значение показателя разбивает его шкалу на два смежных интервала. Для каждого из них строится своя ФП с учетом склонности (несклонности) ЛПР к риску. Метод расширяется на несколько участков.
Оригинальные методы построения одномерных ФП излагаются в [6-9]. Работа [6] посвящена ранним этапам создания функций многих атрибутов при отсутствии априорных предположений о структуре предпочтений ЛПР; в ней предлагается практический метод оценивания взаимодействий монотонных функций. В [7] рассматривалось широкое семейство функций, представляющих различные структуры предпочтений. Построены интерактивные алгоритмы поиска наиболее предпочтительной структуры, соответствующей предпочтениям ЛПР. Сближение алгоритмов достигается путем постепенного уменьшения пространства решений на базе информации о предпочтениях, получаемой от ЛПР с учетом свойств ФП.
В статье [8] рассматривается альтернатива непараметрическим сегментарным вогнутым формам, удовлетворяющим теоретическим свойствам ФП, связанным с монотонностью и вогнутостью. Предлагается использовать приближение к произвольной форме ФП, основанной на плавном смешивании функций Кобба-Дугласа. Соответствие ФП предпочтениям ЛПР оценивается с помощью байесовского подхода. Для экспериментальной проверки используется метод Монте-Карло, где в качестве истинной формы ФП принято симметричное обобщение Макфаддена. Предложенный метод применялся к большому банковскому набору данных США, а также к набору глобальных банковских данных. Байесовский под-
ход использован также в работе [9], предлагающей метод оценивания соответствия предпочтениям ЛПР ФП, построенных по точкам на основе ответов ЛПР на вопросы о его предпочтениях.
Анализ публикаций [3-9] позволяет охарактеризовать приведенные в них методы построения одномерных ФП как наукоемкие и трудно реализуемые на практике. Поэтому при решении многих практических задач оценивания объектов с большим количеством показателей прибегают к упрощенным способам построения одномерных ФП. В частности, в [10] одномерные ФП показателей задаются балльными оценками.
В работе [11] было предложено трактовать ФП как функцию, характеризующую частичное достижение цели: ЛПР задает на шкале показателя целевое значение (точечное или интервальное), далее определяется склонность или несклонность ЛПР к риску относительно этого значения. Такой подход дает возможность перейти от трудоемкого создания ФП по точкам к параметризации обоснованной типовой функции [2].
Приведем монотонные ФП, принятые за типовые, параметризация которых будет рассматриваться в данной работе:
umax(y; а) =
y - у
ymax ym
(1)
логистическими, также монотонны и имеют точку перегиба при y = с, с е [ymin; ymax], uL (c; c, в) = 0,5. Параметр в определяет их нелинейность и задается следующим образом: в = m • ln (d _1-1), где d е (0; 0,5) соответствует предельному отклонению от граничных значений 0 и 1 на концах отрезка [c - m; c + m], симметричного относительно точки с, [c - m; c + m] с [y . ; y ].
7 L 7 J — ^ mm7 ^ maxJ
Графики типовых ФП (1)-(4), определенных на отрезке [1; 9], приведены на рис. 1.
При выборе ФП на основе склонности (несклонности) ЛПР к риску открытым остается вопрос задания параметров, характеризующих ее нелинейность. В [14] рассматривается подход к уточнению параметров ФП на основе известного упорядочения оцениваемых объектов. Нужный порядок объектов достигается изменением параметров нелинейности ФП.
Тот факт, что функции (1)-(4) выполняют приведение всех признаков к общей шкале и унифицируют критерии к виду u (y) ^ max, j = 1, n, позволяет вычислять обобщенную оценку uO (x) для объекта x, характеризуемого вектором значений разнородных показателей.
В многомерной теории полезности для обобщения значений одномерных ФП преимущественно применяются аддитивные (АОФ) и мультипликативные (МОФ) обобщающие функции соответственно:
min / \
uP (y; а) =
ymax y
(2)
Ul
VУmax ymin )
Ч y; с, ß) = (1 + exp (-ß • (y - с)))-1, (3) in(У; с, ß) = (1 + exp (ß • (y - с)))-1. (4)
Функции (1), (2) - степенные монотонные, где степень а > 0 регулирует их нелинейность: при а > 1 они выпуклы, а при а е (0; 1) - вогнуты. Отрезок [уш.п; ушах] является их областью определения, а [0; 1] - областью значений. Функции (3), (4), называемые
/ \
uo(x) = uA(x;w)=Ewj• uj(yj(x)), (5) j=i
n
un(x) = um(x;w)=П uj(yj(x))w . (6)
j=i
Здесь w = (нр ..., ну, ..., нп) - вектор важности (весов) показателей, н . > 0, w ^ 0, а у (х) - значение у'-го показателя для объекта х, у = 1, п . Учитывая сводимость МОФ к АОФ путем ее логарифмирования [12], для получения обобщенных оценок полезности будем использовать только АОФ.
Рис. 1. Типовые монотонные ФП:
1 - upmax (y; 1); 2 - u^ (y; 3); 3 - upmax (y; 1/3); 4 - uLmsx
7 - u„mm (y; 1/3); 8 - uLmn
(y; 5, 1/3); 5 - up (y; 5, 1/3)
mm(y; 1); 6 - u„mm
(y; 3);
Постановка задачи
Условия обмена мест объектов
Будем решать задачу, исходными данными которой являются:
• одномерные ФП, выбранные из списка типовых на основе известных целевых значений показателей и склонности ЛПР к риску на смежных к этим значениям участках шкалы;
• ожидаемый рейтинг контрольного множества объектов с наибольшей уверенностью в местах лучших и худших объектов.
Требуется приблизиться к данному рейтингу от рейтинга, полученного на множестве объектов при начальных условиях оценивания, изменяя параметры типовых ФП (1)-(4), заданных ЛПР, используя для этого значения обобщенной полезности АОФ (5).
Приближение рейтинга к ожидаемому можно выполнить, осуществляя последовательный обмен местами объектов с близкими оценками обобщенной полезности. Для этого определим условия обмена местами объектов с близкими оценками.
Рассмотрим условия обмена мест двух объектов х. и хк в общем рейтинге объектов, основанные на нелинейности монотонной ФП. Места объектов р (х) измеряются в ранговой (порядковой) шкале. Ранги объектов определяются на основе соотношения многомерных оценок полезности [13]: объект х. займет в рейтинге более высокое место, чем объект хк, если его многомерная оценка полезности будет иметь большую величину:
ио(х ) > ио(хк ) ^ Р(х ) < Р(хк ).
Согласно [12, 14], обобщающие функции (5) и (6) монотонны относительно отношения доминирования Парето, поэтому обмен мест объектов х и х возможен только
г к
в случае, если они взаимно недоминируемые (принадлежат одному уровню доминирования). Поэтому предварительным этапом определения возможности обмена мест двух
объектов является установление их принадлежности одному уровню доминирования Парето. Если они находятся на одном уровне, добиться взаимного изменения мест можно за счет изменения соотношения вкладов по каждому из признаков-аргументов АОФ, меняя веса или значения ФП.
Пусть при начальных условиях, заданных ЛПР, соотношение полезностей объектов следующее: ио (0) (хг) > ио (0) (хк), и, таким образом, хг У хк . Рассмотрим условия изменения этого соотношения на обратное ио(1)(хг) < < ио (1) (хк) за счет изменения соотношения полезностей и1 (у (х.)) и и1 (у (хк)) этих объектов по -му признаку, для этого выделим вклад полезности по -му признаку в многомерную аддитивную оценку:
/ \
ио( х) = Е • и]\У](х))+ щ • и (у(х)).
7=1, 1* 7
Чтобы получить обратное предпочтение хг < хк, необходимо изменить соотношение вкладов в пользу объекта хк путем изменения полезности объектов х. и хк по /-му признаку: АиИ = и1 (1) (у/ (х.)) - и1 (0) (у/ (х.)) и Ли ш = и1 (1) (у 1 (хк)) - и 1 (0) (у/ (хк)). Эти разности могут быть как положительными, так и отрицательными. Поскольку весовой коэффициент щ полагается неизменным, необходимым условием изменения соотношения вкладов является положительная разность изменения полезности объектов х, и х. по
-му признаку:
Au,, - Au,. > 0.
lk h
(7)
Применив условие (7) по отношению
Однако условие (8) может оказаться недостаточным для обмена мест объектов х. и хк, поскольку изменение вкладов в многомерную полезность объектов х. и хк по -му признаку приведет к изменению соотношения относительных вкладов V (х) и по остальным признакам 7 = 1, п, 7 * 1, что следует из формулы
V,. (x) =
wj ■и.
(y. (x))
UO(x) + Wl ■ Auix
(9)
Добавление взвешенной полезности по 1-му признаку в знаменателе (9) уменьшает вклад в многомерную оценку объекта остальных признаков. Отмеченное изменение соотношения относительных вкладов V. (х) по остальным признакам учитывает разность новых многомерных оценок объектов ио (1) (хк) - ио (1) (х). Эта разность должна быть не меньше разности начальных оценок данных объектов:
Uo (1) (xk) - Uo (1) (x) >
> Uo (x,.) - Uo (xk).
(10)
Таким образом, условие (10), усиливающее условие (8), является необходимым и достаточным для обмена мест объектов х
и x,.
k
к разности начальных общих оценок ио (0) (х.) - ио (0) (хк), получим необходимое условие обмена местами объектов х и х за счет
к.
изменения соотношения их полезности по -му признаку:
Щ-(AUik -AUii) > Uo)(xt)-Uo)(xk). (8)
Поскольку значения признаков у (хк) и у 1 (х.) на шкале 1-го признака остаются постоянными, то при неизменном типе ФП и разницы в приращениях полезности Ли 1к и АиК можно добиться только за счет варьирования параметров, влияющих на ее нелинейность.
В качестве регулируемого параметра М выберем параметр, определяющий нелинейность функции и.. Для степенной функции в качестве М принимается показатель степени (М = а). Начальным значением степени для выпуклой степенной функции будем считать М (0) = 2, а для вогнутой степенной функции - М (0) = 0,5. Нелинейность выпуклой функции возрастает с увеличением М, а во-
гнутой функции - с уменьшением М > 0. Для логистической функции, зависящей от трех параметров сразу, в качестве регулируемого параметра выберем параметр т, влияющий на скорость ее изменения около целевого значения с. Средней нелинейности логистической функции отвечает величина
(0) |т — с| М (°) = _!-!_ = 1/3.
Л
"Уп
Определение претендентов на обмен местами
Очевидно, что далеко не все взаимно недоминируемые объекты могут обменяться местами только за счет изменения нелинейности ФП. Согласно правой части условия (8), наибольшую возможность по обмену местами имеют объекты х. и х, с минималь-
г к
ной начальной разностью многомерных оценок:
( xi, хк ) —
= arg mm
i ei, N-1 ;
u,
(0)
(Xi ) - uo(0\xk ). (11)
к е г+1, N
К ним относятся соседние объекты в рейтинге, рассчитанном на основе многомерных оценок полезности с начальными значениями параметров нелинейности М (0), 7 = 1, п . Для обнаружения пары (х., хк), отвечающей условию (11), необходимо выполнить N• (N - 1)/2 операций сравнения многомерных оценок полезности и0 (х.), г = 1, N.
Однако условие (8) необходимое, но недостаточное для определения возможности обмена местами объектов хг и хк, поскольку оно не учитывает новые значения многомерной полезности и0 (1) (х.) и и0 (1) (хк), а следовательно, и их разности АиО (х.) = и0 (1) (х.) - и0 (0) (х.) и Аи0 (хк) = и0 (1) (хк) - и0 (0) (хк). Последние в зависимости от изменения нелинейности ФП и1 могут быть как положительными, так и отрицательными. Это зависит как от исходной нелинейности рассматриваемой ФП, определяемой начальным значением М{ (0),
так и от направления изменения ее нелинейности.
Очевидно, что изменение параметра нелинейности M ФП ul (y (х)) до его граничного значения M (M ) может и не привести
l, max 4 l, mm7 А
к выполнению условия (10) для пары объектов (х., хк), отвечающей условию (8). В этом случае следует перейти к анализу ФП и. другого признака, участвующего в оценивании объектов, j = 1, n, j ^ l. Максимальное число попыток удовлетворить условие (7) при двунаправленном изменении параметра Mj до граничных значений будет равно 2-n. Естественно, оно увеличится при подборе промежуточных значений параметра Ml.
Таким образом, удовлетворение условия (7) для найденной по условию (11) пары объектов (х., хк) сводится к моделированию изменений нелинейности n ФП. При этом следует иметь в виду, что может использоваться любая из типовых ФП. Рассмотрим возможности сокращения объема моделирования.
Определение возможности обмена объектов местами
Согласно левой части условия (8), наибольшую возможность по обмену мест для объектов x. и xk получает признак с максимальной разностью изменений полезности при варьировании параметра нелинейности M:
Г = arg max (Ди1к — Дий ). (12)
le 1, n
Для нахождения f-го признака, отвечающего условию (12), нужно выполнить 2-n операций вычисления разности изменений полезности по l-му признаку, имея в виду необходимость изменения параметра Mt в обе стороны от его начального (типового) значения M} (0).
Сокращения объема вычислений можно добиться за счет предварительного анализа вариантов изменения величин Диш и ДиК для
объектов хк и х. при варьировании значения параметра М} с М1 (0) на М1 (1). Имеют место следующие варианты направленности изменений полезности объектов хк и х. по -му признаку:
1) Ли к > 0, Ли к > 0;
2) Ли ш > 0, Ли. < 0;
3) Ли ш < 0, Ли к > 0;
4) Лиш < 0, Ли. < 0. Положительной разности Ли соответствует приращение полезности по -му признаку, а отрицательной - ее уменьшение.
Наибольший интерес представляют варианты 2 и 3 с разнонаправленным изменением полезности. Из них вариант 2 является наиболее перспективным для обмена мест, поскольку он увеличивает разность изменений полезности. Как следствие, возрастает разность полезности и1 (у (хк)) - и1 (у (х.)) объектов х. и хк по -му признаку в пользу объекта хк. Для варианта 3 имеет место обратная картина. Разность полезности и1 (у (хк)) -- и 1 (у (х.)) объектов х. и хк по 1-му признаку увеличивается в пользу объекта х.. Поэтому вариант 3 следует исключить из рассмотрения.
Разнонаправленное изменение полезности имеет место только для логистической ФП (3), (4), если значения признака у (х.) и у 1 (хк) находятся по разные стороны от ее точки перегиба с (рис. 1). Если же они расположены по одну сторону от этой точки, то анализ сводится к вариантам 1 и 4, присущим функциям (1), (2), не имеющим точек перегиба. Эти варианты отражают однонаправленное изменение полезности. В них все зависит от величины разности (7) независимо от одновременного увеличения или уменьшения полезности.
Таким образом, из четырех возможных вариантов изменений полезности объектов хк и х. по -му признаку рассматриваются три варианта и в первую очередь наиболее перспективный вариант 2. На основе изложенного сформулируем алгоритм анализа возможности изменения мест объектов в рейтинге.
Алгоритм анализа изменения мест
Исходными данными для алгоритма являются характеристики у. (х) объектов xеX по п признакам и величины ФП и7 (у7 (х)) этих признаков при установленных начальных значениях М (0) параметров нелинейности М, 7' = 1, п . Алгоритм состоит из следующих шагов:
1) на множестве X оцениваемых объектов задается отношение доминирования Парето ЯП с X х X и выполняется ранжирование графа этого бинарного отношения нар > 1 уровней;
2) определяются подмножества объектов Хг, относящихся к одному, г-му, уровню ранжирования, являющихся по отношению друг к другу взаимно недоминируемыми, X = ^Р=1 Хг . Обмен местами в рейтинге может выполняться для любой пары объектов этого множества;
3) вычисляются многомерные оценки полезности и0 (х), I = 1, N;
4) выполняется ранжирование объектов по их многомерным оценкам полезности;
5) относительно условия (11) находится пара (х., хк) объектов-претендентов на обмен местами, ке {1, ..., N1;
6) выбирается признак у, 1 е {1, ..., п}, с различными оценками претендентов на обмен местами;
7) анализируется возможность обмена мест в паре объектов (х., хк) за счет изменения величины параметра нелинейности М' ФП и (у (х)) в сторону уменьшения либо увеличения;
8) если такая возможность существует, вычисляются многомерные оценки полезности ио (н) (х.) и ио (н) (хк) с новым значением параметра нелинейности М (1);
9) если по -му признаку удовлетворяется условие (8), то пара (х., хк) считается пригодной для обмена местами, если оно не удовлетворяется, то осуществляется переход к 1 + 1-му признаку.
Поскольку изложенный алгоритм выполняет анализ возможности изменения мест по
всем признакам, а вариация параметров ФП относится ко всем объектам, он позволяет обнаружить все возможные изменения исходного рейтинга объектов в пределах его устойчивости, задаваемых отношением доминирования ЯП.
Пример
Изложенный алгоритм проиллюстрируем на примере семи электронных книг, оцененных ЛПР по пяти существенным для выбора признакам, приведенным в табл. 1.
Для получения линейного порядка на множестве выбранных книг применим метод оптимизации, основанный на многоатрибутной теории полезности. С этой целью установим:
• границы шкал признаков;
• тип ФП для каждого признака;
• важность признаков.
Очевидно, что на изменение мест могут оказывать влияние только те признаки, зна-
чения которых находятся на нелинейных участках ФП. Это условие не выполняется прежде всего для тех признаков, которые имеют только два различных значения, поскольку они совпадают с границами выборочной шкалы. В примере к таким признакам относится признак у1 «Разрешение дисплея по горизонтали, пиксель». Приведем границы [у ш.п; у. тах] выборочных и теоретических шкал признаков у., . = 1,5, определенные по состоянию рынка электронных книг на 2015 г.:
1)у1: по выборке [600; 758], теоретически [480; 1080];
2)у2: по выборке [2; 13], теоретически [1; 20];
3)у3: по выборке [1331; 4096], теоретически 31000; 5000];
4)у4: по выборке [164; 218], теоретически [100; 300];
5)у5: по выборке [3840; 6990], теоретически [2700; 7000]. _
ФП и (у. (х)), 7 = 1,5, заданные для каждого признака на основе предпочтений ЛПР по умолчанию, показаны на рис. 2.
ТАБЛИЦА 1. Характеристика электронных книг
e с % Электронные книги Признаки
У1 У 2 у3 У4 у 5
Разрешение дисплея по горизонтали, пиксель Поддерживаемые форматы, шт. Встроенная память, Мб Вес, г Средняя стоимость, руб.
1 Sony PRS-T3 758 4 2048 200 5990
2 PocketBook Touch 624 600 13 4096 191 5490
3 PocketBook Aqua 640 600 12 4096 170 6990
4 Amazon Kindle 6 600 6 4096 191 4890
5 Sony PRS-T2 600 4 1331 164 5000
6 Barnes & Noble Book 600 2 2048 212 4190
7 Digma T645 758 9 4096 218 3840
Рис. 2. Принятые формы одномерных ФП электронных книг
Обоснуем выбор типовых ФП для каж-
*
дого из признаков .
1. Признак у «Разрешение дисплея по горизонтали». Предпочтение отдадим большему разрешению. Учитывая отсутствие промежуточных значений признака, это предпочтение выражается возрастающей линейной ФП (1) при а = 1, следовательно, и (у^) = = и™х (у1; 1).
2. Признак у2 «Количество поддерживаемых форматов». За приемлемую цель примем количество форматов не менее 9. До этого значения полезность признака должна расти медленно, отражая склонность ЛПР к риску, а свыше его - расти быстро, отражая несклонность ЛПР к риску. Этим условиям соот-
* Пример и ФП электронных книг подготовлены А. И. Зверевой.
ветствует возрастающая логистическая ФП (3) с точкой перегиба с = 9, следовательно, и (у2) = и™х (у2; 9, 1/3).
3. Признак у «Объем встроенной памяти». Поскольку значение нижней границы шкалы объема внутренней памяти в 1000 Мб неявляется приемлемым, выберем выпуклую возрастающую степенную ФП (1), характеризующую склонность ЛПР к риску при а > 1, следовательно, и (у3) = (у3; 2).
4. Признак у «Вес». Поскольку значение верхней границы шкалы веса в 300 г не является приемлемым, выберем выпуклую убывающую степенную ФП (2), характеризующую склонность ЛПР к риску при а > 1, следовательно, и (у4) = иртт (у4; 2).
5. Признак у5 «Средняя стоимость». За приемлемую цель принята средняя стои-
мость не более 4850 руб. До этого значения полезность признака должна убывать медленно, отражая несклонность ЛПР к риску, а свыше его - убывать быстро, отражая склонность ЛПР к риску. Этим условиям соответствует убывающая логистическая ФП (4) с точкой перегиба с = 4850, следовательно, и (у5) = и™ (у5; 4850, 1/3).
Линейное упорядочение объектов по многомерным оценкам полезности выполним с помощью АОФ (5). Для ее вычисления определим вектор важности признаков w = = (0,1; 0,2; 0,3; 0,3; 0,1). Значения ФП признаков, многомерные оценки полезности и ранги объектов приведены в табл. 2.
Определив при заданных условиях отношение доминирования Парето на множестве векторных оценок книг, установим, что они принадлежат одному и тому же (первому) уровню этого отношения и, следовательно, могут занять любое место в рейтинге. Поэтому в качестве кандидатов на изменение мест можно рассматривать любую пару книг.
Условию (11) (шаг 7 алгоритма анализа изменения мест) отвечает пара книг Sony PRS-T2 и Barnes & Noble Book, занявших места 5 и 6 в рейтинге. Их общие оценки uO различаются на наименьшую величину 0,015. Определение возможности обмена местами у этих книг начнем с анализа табл. 2.
По признаку y1 значение ФП для этих книг одинаковое, по y2 различие значений ФП достигает 0,007 (в пользу Sony PRS-T2), по y3 величина ФП для Barnes & Noble Book в 10 раз больше, чем у Sony PRS-T2, по y4 разница значений полезности достигает 0,27 в пользу Sony PRS-T2, а по y5 - 0,51 в пользу Barnes & Noble Book. Поэтому, чтобы обменять их местами, необходимо увеличить значение полезности uO для Barnes & Noble Book, уменьшив его для Sony PRS-T2, таким образом, чтобы было выполнено условие (8).
Проще всего этого добиться, изменив параметр нелинейности ФП, заданной по признаку y5: так как значения этого призна-
ТАБЛИЦА 2. Оценки многоатрибутной полезности и ранги объектов
Значения функций полезности признаков
«(у) «(У2) «(y3) «(УА) «(y5)
Электронные книги Разрешение дисплея по горизонтали, пиксель Поддерживаемые форматы, шт. Встроенная память, Мб Вес, г Средняя стоимость, руб. Оценка полезности uO(x) Ранг р(х)
PocketBook Aqua 640 0,200 0,747 0,600 0,423 0,001 0,50 1
PocketBook Touch 624 0,200 0,858 0,600 0,297 0,117 0,50 2
Digma T645 0,463 0,253 0,600 0,168 0,961 0,45 3
Amazon Kindle 6 0,200 0,038 0,600 0,297 0,469 0,37 4
Sony PRS-T2 0,200 0,009 0,007 0,463 0,383 0,23 5
Barnes & Noble Book 0,200 0,002 0,069 0,194 0,890 0,21 6
Sony PRS-T3 0,463 0,009 0,069 0,250 0,026 0,17 7
ка для указанной пары книг расположены по разные стороны от целевого значения 4850, уменьшив параметр m для логистической ФП, настроенной по этому показателю, легко добиться, чтобы падение величины полезности по нему для книги Sony PRS-T2 будет не меньше, чем возрастание полезности для книги Barnes & Noble Book.
Изменив параметр M5 от начального значения M5 (0) = 1/3 до M5 (1) = 0,2, добиваемся изменения мест у этих объектов в рейтинге за счет того, что полезность книги Sony PRS-T2 уменьшается на 0,072, а полезность книги Barnes & Noble Book возрастает на 0,079. Произведенное изменение ФП по показателю y5 не затронула места остальных книг в рейтинге за счет малого веса этого показателя.
Рассмотренный пример подтверждает приведенные теоретические положения о возможности изменения многомерных оценок и в итоге рангов объектов путем изменения нелинейности выбранных типовых ФП и демонстрируют результативность алгоритма, реализующего эту задачу.
Заключение
Нелинейность монотонной непрерывной ФП можно трактовать как непрерывное изменение величины предпочтения на всех участках шкалы показателя. Это позволяет использовать параметры нелинейности функции для изменения соотношения величин предпочтений сопоставляемых показателей. В работе сформулированы и обоснованы условия обмена объектами мест в рейтинге объектов за счет изменения параметров нелинейности функции.
Трудоемкая процедура построения одномерной ФП показателя упрощается за счет задания его целевого значения и последующим выбором типовой ФП, удовлетворяющей склонность (или несклонность) ЛПР к риску в зависимости от его желания отдалить (или сблизить) оценки объектов на разных участках шкалы показателя. Параметры
нелинейности типовых ФП уточняются на заключительном этапе процедуры в процессе установления ожидаемого порядка многомерных оценок, что можно трактовать как обучение модели.
Предложенный подход позволяет значительно сократить трудоемкость начального этапа построения модели многомерной полезности с переносом уточнения промежуточных точек полезности на этап отладки модели.
Библиографический список
1. Микони С. В. Оценивание альтернатив по полезности как завершающий этап их многокритериальной оптимизации / С. В. Микони // Труды СПИИРАН. - 2013. - Вып. 31. - С. 6-19.
2. Бураков Д. П. Использование функций полезности при многокритериальном оценивании объектов / Д. П. Бураков // Сб. науч. трудов IV Меж-дунар. конференции «Информационные технологии в науке, управлении, социальной сфере и медицине» : в 2 ч. - Томск : Томск. политех. ун-т, 2017. - Ч. 1. - С. 12-15.
3. Нейман Дж. фон. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Морген-штерн ; пер. с англ., под ред. Н. Н. Воробьева. -М. : Наука, 1970. - 707 с.
4. Кини Р. Л. Принятие решений при многих критериях : предпочтения и замещения / Р. Л. Кини, X. Райфа ; пер. с англ. В. В. Подиновского и др., под ред. И. Ф. Шахнова. - M. : Радио и связь, 1981. - 560 с.
5. Микони С. В. Итеративное проектирование функций полезности / С. В. Микони, Д. П. Бураков // Сб. науч. трудов Междунар. науч. конференции ISDMCI'2011 : в 2 т. - Херсон : ХНТУ, 2011. - Т. 1. - С. 188-192.
6. Karakaya G. Interactive algorithms for a broad underlying family of preference functions / G. Karakaya, M. Koksalan, S. D. Ahipa^aoglu // European Journal of Operational Research. - 2018. - Vol. 265, iss. 1. - P. 248-262.
7. Данько Е. В. Функция субъективной неопределенности инвестиционных решений в усло-
виях информационной неопределенности и метод оценки ее параметров / Е. В. Данько // Вестн. Новосибирск. гос. ун-та. Сер. Информационные технологии. - 2015. - Т. 13, № 4. - С. 24-32.
8. Tsionas M. G. Smooth approximations to monotone concave functions in production analysis : An alternative to nonparametric concave least squares / M. G. Tsionas, M. Izzeldin // European Journal of Operational Research. - 2018. - Vol. 271, iss. 3. -P. 797-807.
9. Gu M. Nonparametric estimation of utility functions / M. Gu, D. Bhattacharjya, D. Subramanian // URL : https://arxiv.org/abs/1807.10840v1 (дата обращения : 05.09.2018).
10. Семенов С. С. Оценка качества и технического уровня сложных систем. Практика применения экспертных оценок / С. С. Семенов. - М. : Ленанд, 2015. - 350 с.
11. Микони С. В. Функции частичного достижения цели / С. В. Микони, Д. П. Бураков // Труды Конгресса IS&IT'13. Дивноморское. 2-9.09. 2013. - М. : Физматлит, 2013. - Т. 1. - С. 30-38.
12. Бураков Д. П. Исследование структуры предпочтений ЛПР с использованием типовых обобщающих функций / Д. П. Бураков, М. И. Гарина // Вестн. Томск. гос. ун-та. Управление, вычислительная техника и информатика. - 2017. -№ 38. - С. 11-16.
13. Dyer J. S. MAUT - Multiattribute Utility Theory / J. S. Dyer // International Series in Opérations Research and Management Science. - 2005. - Vol. 78. -P. 265-295.
14. Микони С. В. Теория принятия управленческих решений / С. В. Микони. - СПб. : Изд-во «Лань», 2015. - 448 с.
Дата поступления: 22.03.2019 Решение о публикации: 15.04.2019
Контактная информация:
МИКОНИ Станислав Витальевич - доктор техн. наук, профессор, вед. науч. сотрудник, smikoni@ mail.ru
БУРАКОВ Дмитрий Петрович - канд. техн. наук, [email protected]
Setting up the typical one-dimensional utility functions in a multi-dimensional utility model*
S. V. Mikoni1, D. P. Burakov 2
1 Saint Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences (SPI-IRAS), 39, 14th line, Saint Petersburg, 199178, Russian Federation
2 Emperor Alexander I Petersburg State Transport University, 9, Moskovsky pr., Saint Petersburg, 190031, Russian Federation
For citation: Mikoni S. V., Burakov D. P. Setting up the typical one-dimensional utility functions in a multi-dimensional utility model. Proceedings of Petersburg Transport University, 2019, vol. 16, iss. 2, pp. 301-314. (In Russian) DOI: 10.20295/1815-588X-2019-2-301-314
Summary
Objective: Solving the problem of creating one-dimensional utility (value) functions of attribute that adequately present the preferences of a decision maker (DM) is the most knowledge-intensive and time-consuming stage in the development of a multidimensional utility model of an object. Methods: With limited labor and time resources, the usual practice is to resort to simplified construction of one-dimensional utility functions, in particular, basing on parameterization of typical functions with subsequent refinement of parameter values based on the known order of objects (it is understood as a training sample). The meth-
* This subject matter has been studied with the financial support of the Russian Foundation for Basic Research (RFBR, Grants N 17-01-00139 and 19-08-00989) as part of subsidized subject N 0073-2019-0004.
ods of the theory of multidimensional utility, based on the identification of the propensity (inclination) of a DM to risk, are used. Parameterization of functions is carried out by determining the conditions for changing ranks in the rating, which characterizes the order of objects. Results: The proposed approach can significantly reduce the time to create one-dimensional utility functions of the estimated attributes that are adequate to the preferences of a DM, even taking into account the increase in time to debug the multidimensional utility model. Practical importance: The described approach focuses on evaluating the quality and technical level of complex objects in the presence of restrictions on labor and time resources devoted to the development of estimation models. It can also be applied in the practice of evaluating the quality of wide-use products by DMs who are not highly qualified in the field of decision theory.
Keywords: Criterion, preferences, risk inclination, utility function, logistic function, multidimensional utility, rating.
References
1. Mikoni S. V. Otsenivaniye al'ternativ po po-leznosti kak zavershayushchiy etap ikh mnogokri-terial'noy optimizatsii [Evaluation of alternatives by utility as the final stage of their multi-criteria optimization]. SPIIRAS Proceedings, 2013, iss. 31, pp. 6-19. (In Russian).
2. Burakov D. P. Ispol'zovaniye funktsiy po-leznosti pri mnogokriterial'nom otsenivanii ob"yektov [Usage of utility functions for multicriteria objects estimation]. Sb. nauch. trudov IVMezhdunar. konfe-rentsii "Informatsionnyye tekhnologii v nauke, uprav-lenii, sotsial'noy sfere i meditsine" [Proceedings of the 4th International conference "Information technology in science, management, social sphere and medicine"]. In 2 pt. Tomsk, Tomsk Polytechnic University Publ., 2017, pt 1, pp. 12-15. (In Russian).
3. Von Neumann J. & Morgenstern O. Theory of games and economic behavior. 3rd ed. Princeton, Princeton University Press, 1953, 641 p. (Russ. ed.: Von Neumann J., Morgenstern O. Teoriya igr i eko-nomicheskoye povedeniye. Moscow, Nauka Publ., 1970, 707 p.)
4. Keeney R. L. & Raiffa H. Decisions with multiple objectives: preferences and value tradeoffs. New York et al., Wiley Publ., 1979, 545 p. (Russ. ed.: Keeney R. L. & Raiffa H. Prinyatiye resheniypri mnogikh kriteriyakh: predpochteniya i zameshche-niya. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1981. 560 p.).
5. Mikoni S. V. & Burakov D. P. Iterativnoye proyektirovaniye funktsiy poleznosti [Iterative design of utility functions]. Sb. nauch. trudov Mezhdunar. nauch. konferentsii ISDMCI'2011 [Proceedings of In-
ternational conference ISDMCI'2011]. In 2 vol. Kherson, Kherson National Technical University Publ., 2011, vol. 1, pp. 188-192. (In Russian)
6. Karakaya G., Koksalan M. & Ahipaçaoglu S. D. Interactive algorithms for a broad underlying family of preference functions. European Journal of Operational Research, 2018, vol. 265, iss. 1, pp. 248262.
7. Dan'ko E. V. Funktsiya sub'yektivnoy neopre-delennosti investitsionnykh resheniy v usloviyakh in-formatsionnyy neopredelennosti i metod otsenki eye parametrov [The function of subjective uncertainty of investment decisions in the conditions of information uncertainty and the method of evaluating its parameters]. Vestnik Novosibirskogo gos. universiteta, seriya "Informatsionnyye tekhnologii " [Novosibirsk State University Journal of Information Technologies, series "Information technologyes"], 2015, vol. 13, no. 4, pp. 24-32. (In Russian)
8. Tsionas M. G. & Izzeldin M. Smooth approximations to monotone concave functions in production analysis: An alternative to nonparametric concave least squares. European Journal of Operational Research, 2018, vol. 271, iss. 3, pp. 797-807.
9. Gu M., Bhattacharjya D. & Subramanian D. Nonparametric estimation of utility functions. Available at: https://arxiv.org/abs/1807.10840v1 (accessed: 05.09.2018).
10. Semenov S. S. Otsenka kachestva i tekh-nicheskogo urovnya slozhnykh sistem. Praktikaprime-neniya ekspertnykh otsenok [Evaluation of the quality and technical level of complex systems. The practice of applying expert estimations]. Moscow, Lenand Publ., 2015, 350 p. (In Russian).
11. Mikoni S. V. & Burakov D. P. Funktsii chastich-nogo dostizheniya tseli [Functions of partial achievement]. Trudy kongressa IS&IT'13 [Proceedings ofIS&IT'13 congress]. Divnomorskoye. 2-9.09.2013. Moscow, Fizmatlit Publ., 2013, vol. 1, pp. 30-38. (In Russian).
12. Burakov D. P. & Garina M. I. Issledovaniye struktury predpochteniy LPR s ispol'zovaniyem ti-povykh obobshchayushchikh funktsiy [Analysis of decision maker's preferences structure with standard aggregative functions]. Vestnik Tomskogo gos. uni-versiteta. Upravleniye, vychislitel'naya tekhnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science], 2017, no. 38, pp. 11-16. (In Russian)
13. Dyer J. S. MAUT - Multiattribute Utility Theory. International Series in Operations Research and Management Science, 2005, vol. 78, pp. 265-295.
14. Mikoni S. V. Teoriya prinyatiya upravlen-cheskikh resheniy [Management Decision Theory]. Saint Petersburg, Lan' Publ., 2015, 448 p. (In Russian)
Received: March 22, 2019 Accepted: April 15, 2019
Author's information:
Stanislav V. MIKONI - D. Sci. in Engineering, Professor, Leading Researcher, [email protected] Dmitry P. BURAKOV - PhD in Engineering, [email protected]
