CC BY
37
Оригинальная статья / Original article УДК 656.7.043, 004.942, 519.254 DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1 -54-62
ЭЛАСТИЧНОСТЬ ПОЛЕЗНОСТИ КАК ПОКАЗАТЕЛЬ КОРРЕЛЯЦИИ ПРИ АНАЛИЗЕ МНОГОМЕРНЫХ ДАННЫХ
1 9 Я
© Я.Г. Клюшин1, Е.В. Пестерев2, И.А. Тецлав3
Санкт-Петербургский государственный университет гражданской авиации, Российская Федерация, 196210, г. Санкт-Петербург, ул. Пилотов, 38.
РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Разработать метод формирования и анализа многомерной структуры данных, описывающей информацию о функционировании системы обслуживания рейсов в аэропорту. МЕТОДЫ. Использованы методы теории полезности, в том числе в качестве показателя корреляции выбран модифицированный коэффициент эластичности полезности; в качестве функции, отражающей уверенность в наступлении события, использована линейная функция полезности. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Выявлено, что при решении задачи регрессии многомерных данных, где в качестве регрессора выступает функция полезности, показателем корреляции является эластичность полезности. Для учета принципа доминирующих мотиваций при принятии решений статистические данные предложено хранить в структуре данных специального вида, состоящей из двух массивов: двумерного, отражающего информацию о появлении событий при выборе соответствующей альтернативы; трехмерного - для информации о тернарном появлении событий при выборе соответствующей альтернативы. Для анализа сформированных таким образом данных предложена модификация коэффициента эластичности. ВЫВОДЫ. По разработанной методике анализа многомерных данных проведено исследование тернарных связей между факторами производства в системе управления аэропортовой деятельностью. Ключевые слова: функция полезности, функция уверенности, статистические данные, многомерные данные, эластичность полезности, принятие решений, аэропортовая деятельность.
Формат цитирования: Клюшин Я.Г., Пестерев Е.В., Тецлав И.А. Эластичность полезности как показатель корреляции при анализе многомерных данных // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2017. Т. 21. № 1. С. 54-62. DOI: 10.21285/1814-3520-2017-1-54-62
UTILITY ELASTICITY AS A MEASURE OF CORRELATION IN MULTIVARIATE DATA ANALYSIS Ya.G. Klyushin, E.V. Pesterev, I.A. Tetslav
Saint-Petersburg State University of Civil Aviation,
38, Pilotov St., Saint-Petersburg, 196210, Russian Federation.
ABSTRACT. The PURPOSE of the article is to develop the method of forming and analyzing of a multivariate data structure, which describes the information on passenger service system operation in an airport. METHODS. The study uses the utility theory methods, in particular a modified coefficient of utility elasticity as a correlation indicator and a linear utility function as a function reflecting the confidence in the event occurrence. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. It is revealed that utility elasticity is a measure of correlation when solving the problem of multivariate data regression with the utility function as a regressor. To consider the principle of dominant motivations in decision-making it is proposed to store statistical data in a specified data structure consisting of two arrays: a two-dimensional array reflecting the information on event occurrence when choosing a corresponding alternative and a three-dimensional one for the information on ternary occurrence of events when choosing a corresponding alternative. A modified elasticity coefficient is introduced for the analysis of data formed this way. CONCLUSIONS. The developed method of multivariate data analysis enabled to study ternary relationships between the production factors in the airport management system.
Клюшин Ярослав Григорьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры прикладной математики, e-mail: [email protected]
Yaroslav G. Klyushin, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor of the Department of Applied Mathematics, e-mail: [email protected]
Пестерев Егор Васильевич, старший преподаватель кафедры управления воздушным движением, e-mail: [email protected]
Egor V. Pesterev, Senior Lecturer of the Department of Air Traffic Control, e-mail: [email protected]
3Тецлав Илья Александрович, старший преподаватель кафедры аэропортов и авиаперевозок,
e-mail: [email protected]
Ilia A. Tetslav, Senior Lecturer of the Department of Airports and Air Transportation, e-mail: [email protected]
Keywords: utility function, function of confidence, statistical data, multivariate data, utility elasticity, decision-making, airport management system
For citation: Klyushin Ya.G., Pesterev E.V., Tetslav I.A. Utility elasticity as a measure of correlation in multivariate data analysis // Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2017. Vol. 21. No. 1. С. 54-62. DOI : 10.21285/1814-3520-2017-1 -54-62
Введение
В работе [1] авторами предложен подход к анализу многомерных данных, основанный на использовании функции полезности. В таком виде он нашел свое приложение при формировании подсистемы анализа и обработки данных, являющейся частью единой системы поддержки принятия решений [2-5].
Как и в любой большой системе, в системе управления аэропортовым обслуживанием хранятся большие массивы данных своего функционирования. Примечательно, что они в неявном виде содержат информацию о наличии и уровне связей между факторами производства [6, 7]. Применение методов статистической обработки данных post factum не только не дает практических результатов при формировании систем поддержки принятия решений, но и не позволяет реализовать их потенциал в полной мере. Сами же методы классической «одномерной» статистики постепенно теряют свою актуальность, так как все системы характеризуются многомерным набором параметров.
Известно из [8, 9], что статистические данные можно разбить на две части: содержательная структура и шум. В многомерной статистике, кроме полезной части, тщательно анализируется часть, обусловленная случайной ошибкой (шумом). В многомерном же анализе большее внимание уделяется именно содержательной части, но при этом полностью не исключается анализ шума. Но если хемометрика обладает своим аналитическим аппаратом, то «распознавание образов» использует методы, нашедшие свое применение во многих областях, в том числе в OLAP-системах: кластерный, факторный, корреляционный анализы; байесовский подход и т.д. Перечисленные методы обычно используются для того, чтобы учесть влияние возможных факторов на результат. Но между этими факторами имеются свои связи (взаимосвязи), и именно они часто существенно влияют на ответ.
Методы и результаты
Коэффициент эластичности для анализа тернарных связей между факторами производства. При анализе статистических данных основным инструментом для выявления статистической связи в данной выборке между некоторыми величинами является корреляционный анализ. Помимо очевидных положительных черт показатели корреляции в отдельных случаях имеют некоторые недостатки. Помимо того что выявленные связи не являются причинно-следственными, сложность кроется в выборе функции, с помощью которой представляется регрессия. Выбор функции сводится не столько к анализу таких величин, как коэффициент детерминации, сколько исходя из теоретико-экономических построений [10].
В теории полезности для анализа комплексного влияния факторов на принимаемое решение вводится понятие эластичности, являющееся мерой того, как изменение одной величины влияет на изменение другой:
^ = (D
д ln( х)
Так как в работе [1] для регрессии данных используются следующие функции полезности: линейная функция, функция Кобба - Дугласа, функция Солоу:
(2)
показатели степеней Ь, и Л которых - это эластичность полезности, то выражение (1) для них преобразуется к виду:
В выражениях (2) и (3) /(х,) - полезность выбора альтернатив х,; Э\ - коэффициенты распределения; А - коэффициент шкалы; в - коэффициент замещения. Для использования функций (2) в качестве регрессора при анализе данных при принятии решения в работе [1] введено понятие функции уверенности. Будем считать, что исследуемое решение/свойство зависит от известного набора переменных. Математически сформулируем это следующим образом [11]: искомые решения (у-переменные) есть функция от наблюдаемых переменных (х-переменные), т.е. у = у(х), х, е X, у\ е У, / = 1,..., п, } = 1,..., т, где X - множество всех х; У - множество всех у. В результате серии наблюдений, каждой у-переменной ставится в соответствие вектор х-переменных. Пару (у, х) будем называть прецедентом [12].
Определение. Пусть дано некоторое множество х-переменных X и множество у-переменных У, на которых определено отношение предпочтения Тогда вещественная функция У ^ М называется функцией уверенности, если выполняется условие
При этом х-переменные являются сочетаниями элементов хк множества X из т по к, где т - количество элементов множества X; к = 1,., т.
В частном случае, когда множество X совпадает с множеством У и при этом к = 1, это определение не отличается от такового для функции полезности. Обозначим /((у,х)) = /(х), так как у-переменные однозначно определяются вектором х-переменных.
Следовательно, коэффициент эластичности является отношением скорости изменения уверенности / по х в точке к средней скорости. Если р > 1, то в среднем уверенность растет с увеличением количества появления х,-переменной; если Ь, < 1, то более частое появление х,-переменной ведет к уменьшению уверенности; при Ь, = 1 никакого влияния в среднем не оказывается.
Таким образом, коэффициент эластичности может служить показателем влияния х-переменной на у-переменную. С этой задачей успешно может справиться и любой из показателей корреляции. Но в соответствии с принципом доминирующих мотиваций, применяемым при изучении физиологии мозга [13] и активно используемым в качестве подхода в задачах поддержки принятия решений [14], факторы имеют разные веса в зависимости от того, в паре с чем они появляются. Возникает задача поиска не столько уровня связи между х-переменными и у-переменными, сколько между тернарным появлением х-переменных и между у-переменными. Для этих целей введем два массива. Первый - двумерный массив х(2) с элементами х^ (/ = 1,., п;} = 1,., Р). Это информация о том, сколько раз встречалась х^переменная при выборе у-переменной. За т = к - 1 обозначим количество х-переменных. Второй - массив р(1) с элементами (/ = 1,., т), где его /-й элемент будет говорить о количестве принимаемых значений каждой х-переменной. В дальнейшем верхний индекс у переменной, взятый в круглые скобки, будет говорить о мерности массива. Под суммой всех эле-
yity2 <=> /((Ji,x))>/((j2,x)), Vx g X, yx,y2 g Y.
(4)
ментов рг(1) будет пониматься количество всевозможных значений, принимаемых х-переменными: Р = ^ ™1рг(1)- Множество у-переменных запишем в массив Ь(1) с элементами (/ = 1,..., п). Здесь п - количество у-переменных. Для тернарной связи введем массив х(3) с элементами х^ (/ = 1,., п;} = 1,., Р; к = 1,., Р), который говорит о том, сколько раз появлялась
хк-переменная вместе с х^переменной в ситуации, когда выбиралась /-переменная.
Для предложенных данных коэффициент эластичности (3) потерпит изменения. Прежде чем их внести, остановимся на функциях (2). Для расчета коэффициента эластичности необходимо знать значение /(х). Но все функции, кроме линейной, содержат в себе коэффициент эластичности. Выход видится в использовании более простых функций на первых этапах расчета [15]. Чтобы провести первичный анализ, для определения £ используем линейную функцию в виде
р
/и (х(2), х(3)), =хуе (5)
к=1
Так как количество появлений события - величина конечная и минимальное приращение, которое может потерпеть х-переменная, равно единице, то выражение (3) необходимо сформулировать в конечномерных разностях.
Далее в качестве приращения будем использовать разность не между предыдущим и текущим значениями, а между текущим и следующим, которое получится инкрементировани-ем соответствующих переменных. Это решение имеет право на свое существование, так как в соответствии с вышесказанным, нет необходимости знать эластичность с предыдущего шага, поскольку она не входит в определение линейной функции. Эластичность (3) принимает следующий вид:
( f (x(2) +1,x(3) +1)- f (x(2),x(3))
_:_7 Jj_:_H ( v(3) +Л (6)
j f.(x(2) +1, x(3) +1) ( Xj + ^ (6)
-(3) _
Здесь в(3)к - элементы массива эластичностей е(3) (/ = 1,., п; \ = 1,., Р; к = 1,., Р).
На каждую /-переменную х-переменная влияет в разной степени, поэтому сформируем двумерный массив эластичностей ё(2) с элементами е^ (/ = 1,., п;} = 1,., т), являющимися коэффициентами эластичности х^переменной для /-переменной при заданном количестве х-переменных:
1 р(1) ( 1 Р ^
= 4>1| -1) (7)
(i) ¿—I р
Pi 1=1 V P
k=1
Выражение в скобках - средний коэффициент эластичности одного из принимаемых значений х^-переменной, где первый множитель в скобках - средний коэффициент эластичности каждой из хк-переменной, случающихся с х/-переменной, второй - количество х-переменных, влияющих на х/-переменную.
Анализ данных статистики обслуживания рейсов в аэропорту. Рассмотрим полученный метод на примере статистики обслуживания рейсов в аэропорту «Пулково» за 2012-2015 гг. В качестве у-переменных выступают задержки в минутах при отправлении рей-
сов. В качестве х-переменных: авиакомпания (АК); маршрут следования; месяц вылета; час вылета; день недели вылета; количество пассажиров на рейсе; рейсов в час, в который произошел вылет; рейсов в день, в который произошел вылет; рейсов в неделю, в которую произошел вылет. В результате получаем следующие значения коэффициента эластичности, изображенные на рис. 1.
.AK / Airline
• Маршрут / Route
•Месяц I Mountti
"Время суток / Time of a day •День недели / Day of the 'Пассажиры / Passengers
• Рейсов в час/ Flights per hour Рейсов вдень/ Flights per day
•Рейсов в неделю / Flights per week
Рис. 1. Зависимость коэффициента эластичности связи всех x-переменных
и соответствующих x-переменных от y-переменных Fig. 1. Dependence of the elasticity coefficient of the relationship of all x-variables and corresponding x-variables on y-variables
Значения на оси ординат - коэффициент эластичности, рассчитанный по формуле (7) и говорящий о том, насколько сильно влияют появившиеся вместе с соответствующей x-переменной все остальные x-переменные на выбор определенной у-переменной (ось абсцисс).
Из графика, представленного на рис. 1, видно, что переменные авиакомпания, маршрут и количество пассажиров имеют наибольшие значения коэффициента эластичности, то есть важнее всего смотреть на появление факторов именно с этими x-переменными. Но в то же время не ясно, какой вес придает одновременное появление всех х-переменных и какие из них вносят больший вклад? Чтобы найти эту зависимость, будем убирать каждую из х-переменных и смотреть на то, как в процентом отношении от суммы всех коэффициентов эластичности изменится значение для определенной х-переменной. На графике рис. 2 приведен пример удаления х-переменных для авиакомпании. Значения на оси ординат - доля коэффициента эластичности авиакомпания при отсутствии соответствующих х-переменных.
Из графика (см. рис. 2) видно, что качественно х-переменные не влияют на коэффициент эластичности, кроме параметра количество пассажиров. Для задержек более 20 минут можно сделать вывод, что именно факторы количество пассажиров в связке с авиакомпанией дают наибольший вклад. Это кажется закономерным, поскольку количество пассажиров сопряжено с направлениями полетов, которые в свою очередь связаны с авиакомпаниями. Тогда и влияние факторов количество пассажиров с маршрутом не должно качественно отличаться от представленных на графике рис. 2 данных, что и наблюдается вплоть до поведения ломаной для связки авиакомпании с маршрутом при всех задержках (рис. 3).
Рис. 2. Зависимость доли коэффициента эластичности связи всех x-переменныж без соответствующих ж-переменных и «авиакомпании» от y-переменных Fig. 2. Dependence of the proportion of the elasticity coefficient of relationship of all x-variables without corresponding x-variables and "airline" on y-variables
0.29 0.28 0.27 0.26 0.25 0.24 0.23 0.22 0.21 0.2 0.19 0.18
\ _ _
\
/ / * 4 s
Л и * T> >
/ v F _ ч
_J ь r-lf П ¿s \\ _ ï « •
L. m t * I
• 4 4 M
г
Of w
Г»
H &
•P
P
9
, БезАК/ WO an airline Без месяца / WO a month Без времени суток / WO time of a day , Без дня недели / WO a day of the Без пассажиров / WO passengers . Без рейсов в час / WO flights per hour Без рейсов в день / WO flights per day • Без рейсов в неделю / WO flights per week
Ф # & P Ф ❖ Ф У v v # ¥ # & $ ¥ # ¥
Рис. 3. Зависимость доли коэффициента эластичности связи всех х-переменных без соответствующих х-переменных и «маршрута» от y-переменных Fig. 3. Dependence of the proportion of the elasticity coefficient of relationship of all x-variables without corresponding x-variables and "route" on y-variables
Подобные закономерности не наблюдаются так выраженно для месяца вылета (рис. 4). Но обращает на себя внимание большая разница маршрута по сравнению с авиакомпанией, поскольку первоначально (см. рис. 1) связка всех х-переменных с авиакомпанией была наибольшей, пусть и близкой к маршруту. Отсюда следует, что авиакомпания в меньшей степени влияет на связь с месяцем, так как его отсутствие не дало большого роста коэффициента эластичности, чего стоило ожидать ввиду высокой зависимости всех х-переменных и авиакомпании.
Без AK / WO an airline Без маршрута / WO a route
Без времени суток/ WO time of a day Без дня недели / WO a day of the week Без пассажиров / WO passengers Без рейсов в час / WO flights per hour Без рейсов в день / WO flights per day Без рейсов в неделю / WO flights per week
Рис. 4. Зависимость доли коэффициента эластичности связи всех x-переменных без соответствующих x-переменных и «месяца вылета» от y-переменных Fig. 4. Dependence of the proportion of the elasticity coefficient of relationship of all x-variables without corresponding x-variables and 'departure month" on y-variables
Помимо тенденций, связанных с x-переменными в общем, прослеживается особое влияние на отдельные y-переменные. Так, на графике (рис. 4) отсутствие времени суток для задержки от 10 до 30 минут приводит к резкому скачку коэффициента эластичности, т.е. неучет этого фактора для рассматриваемого промежутка может привести к нарушению связей между сочетаниями х-переменных и y-переменных.
Заключение
В статье была рассмотрена проблема анализа многомерных данных на примере статистических данных об обслуживании рейсов в аэропорту «Пулково» Санкт-Петербурга. Анализ связей между факторами производства рассматривался с точки зрения доминирующих мотиваций. Для этого было предложено использовать аппарат теории полезности, а именно -функцию полезности и эластичность полезности. Сформированные в специальном виде статистические данные обрабатывались методом, основанном на этих показателях. Произведен анализ полученных результатов, на основании которого сделаны выводы о тернарных связях между производственными факторами при обслуживании рейсов в аэропорту.
Библиографический список
1. Пестерев Е.В., Клюшин Я.Г. Моделирование принятия решения на основе анализа многомерных данных // Кибернетика и программирование. 2016. № 3. С. 54-65. DOI: 10.7256/2306-4196.2016.3.18956
2. Тецлав И.А., Пестерев Е.В. Информационная система поддержки принятия решений при обслуживании пассажиров в аэровокзале // Вестник СПбГУГА. 2016. № 3 (12). С. 121-134.
3. Зайцев Е.Н., Коникова Е.В., Тецлав И.А., Шайдуров И.Г. Методологические основы исследования системы «коммерческой готовности рейса» как элемента транспортно-логистического комплекса // Проблемы летной эксплуатации и безопасность полетов. 2016. Т. 10. С. 137-156.
4. Зайцев Е.Н., Коникова Е.В. Единый методологический подход формирования системы комплексного оперативного управления наземным обслуживанием воздушных судов при взаимодействии аэропортового предприятия и авиакомпании // Проблемы летной эксплуатации и безопасность полетов. 2013. Т. 7. С. 130-137.
5. Зайцев Е.Н., Коникова Е.В., Тецлав И.А., Шайдуров И.Г. Методология формирования комплекса взаимодействия систем «Аэропорт-Авиакомпания-УВД» // Проблемы летной эксплуатации и безопасность полетов. 2015. Т. 9. С. 88-105.
6. Романенко В.А. Имитационная модель технологических процессов наземного обслуживания перевозок в аэропорту // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. 2011. № 1 (17). С. 79-94.
7. Новиков А.А., Голубева К.И. О влиянии обслуживающих элементов на пропускную способность аэровокзального комплекса // Логистика. 2015. № 2 (99). С. 52-55.
8. Померанцев А.Л. Метод главных компонент (PCA) [Электронный ресурс] // Российское хемометрическое общество. URL: http://rcs.chemometrics.ru/Tutorials/pca.htm (07.09.2016).
9. Esbensen K.H. Multivariate Data Analysis In Practice. An Introduction to Multivariate Data Analysis and Experimental Design. 5th edt. Oslo: CAMO Process AS, 2010. 598 p.
10. Фёрстер Э., Рёнц Б. Методы корреляционного и регрессионного анализа; пер. с нем.; предисл. В.М. Ивановой. М.: Финансы и статистика, 1983. 304 с.
11. Фомин Я.А., Тарловский Г.Р. Статистическая теория распознавания образов. М.: Радио и связь, 1986. 264 с.
12. Местецкий Л.М. Математические методы распознавания образов: курс лекций [Электронный ресурс] // МГУ, ВМиК, FRC: Forecasting, Recognition, Classification. URL: http://www.ccas.ru/frc/papers/mestetskii04course.pdf (26.04.2016).
13. Судаков К.В. Доминирующая мотивация. М.: Изд-во РАМН, 2004. 236 с.
14. Крыжановский Г.А., Купин В.В. К вопросу формализации предпочтений активных элементов в системе организации воздушного движения // Научный вестник МГТУ ГА. 2011. № 171. С. 114-120.
15. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение трехфакторной производственной функции с переменными эластично-стями замещения // Труды Средневолжского математического общества. 2009. Т. 11. № 1. С. 90-100.
References
1. Pesterev E.V., Klyushin Ya.G. Modelirovanie prinyatiya resheniya na osnove analiza mnogomernykh dannykh [Decision-making modeling based on multivariate data analysis]. Kibernetika i programmirovanie [Cybernetics and Programming]. 2016, no. 3, pp. 54-65. (In Russian) DOI: 10.7256/2306-4196.2016.3.18956
2. Tetslav I.A., Pesterev E.V. Informatsionnaya sistema podderzhki prinyatiya reshenii pri obsluzhivanii passazhirov v aerovokzale [Information decision support system of passenger service at an air terminal]. Vestnik SPbGUGA [Bulletin of Saint Petersburg State University of Civil Aviation ]. 2016, no. 3 (12), pp. 121-134. (In Russian)
3. Zaitsev E.N., Konikova E.V., Tetslav I.A., Shaidurov I.G. Metodologicheskie osnovy issledovaniya sistemy "kom-mercheskoi gotovnosti reisa" kak elementa transportno-logisticheskogo kompleksa [Methodological bases of the research of the system of "flight commercial" as an element of a transport and logistic complex]. Problemy letnoi eksplu-atatsii i bezopasnost'poletov [Problems of flight operation and flight safety]. 2016, vol. 10, pp. 137-156. (In Russian)
4. Zaitsev E.N., Konikova E.V. Edinyi metodologicheskii podkhod formirovaniya sistemy kompleksnogo operativnogo upravleniya nazemnym obsluzhivaniem vozdushnykh sudov pri vzaimodeistvii aeroportovogo predpriyatiya i aviakom-panii [Single methodological approach of forming the system of integrated operational management of land servicing of aircrafts under airport-airline interaction]. Problemy letnoi ekspluatatsii i bezopasnost' poletov [Problems of flight operation and flight safety]. 2013, vol. 7, pp. 130-137. (In Russian)
5. Zaitsev E.N., Konikova E.V., Tetslav I.A., Shaidurov I.G. Metodologiya formirovaniya kompleksa vzaimodeistviya sis-tem "Aeroport-Aviakompaniya-UVD" [Formation methodology of the interaction complex of the "Airport-Airline-Air Traffic Control" systems]. Problemy letnoi ekspluatatsii i bezopasnost' poletov [Problems of flight operation and flight safety]. 2015, vol. 9, pp. 88-105. (In Russian)
6. Romanenko V.A. Imitatsionnaya model' tekhnologicheskikh protsessov nazemnogo obsluzhivaniya perevozok v aero-portu [Simulation model of technological processes of transportation land service in an airport]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedenii. Povolzhskii region. Tekhnicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Engineering sciences]. 2011, no. 1 (17), pp. 79-94. (In Russian)
7. Novikov A.A., Golubeva K.I. O vliyanii obsluzhivayushchikh elementov na propusknuyu sposobnost' aerovokzal'nogo kompleksa [On the influence of serving elements on air terminal capacity]. Logistika [Logistics]. 2015, no. 2 (99), pp. 52-55. (In Russian)
8. Pomerantsev A.L. Metod glavnykh komponent (PCA) [Principal component analysis (PCA)]. Rossiiskoe khemo-metricheskoe obshchestvo [Russian chemometric society]. Available at: http://rcs.chemometrics.ru/Tutorials/pca.htm (accessed 7 September 2016).
9. Esbensen K.H. Multivariate Data Analysis In Practice. An Introduction to Multivariate Data Analysis and Experimental Design. 5th edt. Oslo: CAMO Process AS, 2010, 598 p.
10. Ferster E., Rents B. Metody korrelyatsionnogo i regressionnogo analiza [Methods of correlation and regressions analysis: translation from German]. Moscow, Finansy i statistika Publ., 1983, 304 p.
11. Fomin Ya.A., Tarlovskii G.R. Statisticheskaya teoriya raspoznavaniya obrazov [Statistical theory of pattern recognition]. Moscow, Radio i svyaz' Publ., 1986, 264 p. (In Russian)
12. Mestetskii L.M. Matematicheskie metody raspoznavaniya obrazov [Mathematical methods of image recognition]. Available at: http://www.ccas.ru/frc/papers/mestetskii04course.pdf (accessed 26 April 2016).
13. Sudakov K.V. Dominiruyushchaya motivatsiya [Dominating Motivation]. Moscow, RAMN Publ., 2004, 236 p. (In Russian)
14. Kryzhanovskii G.A., Kupin V.V. K voprosu formalizatsii predpochtenii aktivnykh elementov v sisteme organizatsii vozdushnogo dvizheniya [To the question of the active elements preferences formalization in the air traffic management system]. Nauchnyi vestnik MGTU GA [Scientific Bulletin of MSTU CA]. 2011, no. 171, pp. 114-120. (In Russian)
15. Gorbunov V.K., L'vov A.G. Postroenie trekhfaktornoi proizvodstvennoi funktsii s peremennymi elastichnostyami za-meshcheniya [Creation of a three-factor production function with variable elasticity of substitution]. Trudy Srednevolzh-skogo matematicheskogo obshchestva [Proceedings of Middle Volga mathematical society]. 2009, vol. 11, no. 1, pp. 90-100. (In Russian)
Критерии авторства
Пестерев Е.В., Клюшин Я.Г. разработали метод формирования и анализа многомерной структуры данных, описывающей информацию о функционировании системы обслуживания рейсов в аэропорту. Пестерев Е.В., Тецлав И.А. произвели обработку и анализ данных статистики обслуживания рейсов в аэропорту. Пестерев Е.В. провел обобщение и написал рукопись. Пестерев Е.В., Клюшин Я.Г имеют равные авторские права на метод формирования и анализа многомерной структуры данных. Пестерев Е.В., Тецлав И.А. имеют равные авторские права на результаты обработки и анализ данных статистики обслуживания рейсов в аэропорту. Пестерев Е.В. несет ответственность за плагиат.
Authorship criteria
Pesterev E.V., Klyushin Ya.G. have developed the method of forming and analyzing a multivariate data structure which describes airport passenger service system operation. Pesterev E.V., Tetslav I.A. processed and analyzed statistical data on flight servicing in the airport. Pesterev E.V. summarized the material and wrote the manuscript. Pesterev E.V., Klyushin Ya.G. have equal author's rights on the method of multivariate data structure formation and analysis. Pesterev E.V., Tetslav I.A. have equal author's rights on the processing results and analysis of statistical data of flight servicing in the airport. Pesterev E.V. bears the responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
Статья поступила 10.11.2016 г. The article was received 10 November 2016
