CC BY
29
УДК 519.4
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-11-1012-1015
ФОРМАЛИЗАЦИЯ КРИТЕРИЯ В ЗАДАЧЕ МНОГОМЕРНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ОБЪЕКТОВ
С. В. Микони
Санкт-Петербургский институт информатики и автоматизации РАН, 199178, Санкт-Петербург, Россия E-mail: [email protected]
Рассматривается проблема формулирования критериев, являющаяся важной составляющей методов многомерного оценивания. Формализация понятия критерий позволила установить взаимосвязь методов, разработанных в рамках разных теорий, и разделить методы выбора на две группы.
Ключевые слова: многомерное оценивание, критерий, функция полезности
Введение. Оценивание качества приборов, как и объектов любой природы, осуществляется по многим критериям. Важной составляющей методов многомерного оценивания является формулирование критериев. В литературе по принятию решений приводятся различные варианты определения критерия [1—5]:
— средство для вынесения суждения, стандарт для сравнения, правило для оценки, мера близости к цели;
— показатель привлекательности свойства объекта для участников процесса выбора;
— правило, позволяющее отличать оптимальные решения от неоптимальных;
— функция f Y^R, обладающая свойством выявления предпочтения типа: yi>yj либо
Уг*У}.
В связи с этим актуальным представляется определение критерия, использование которого позволит объединить вышеприведенные трактовки этого ключевого понятия оптимизации и классификации. Для решения этой задачи в работе [6] предложена формальная модель критерия в виде двухместного предиката — предпочтения в задаче оптимизации и соответствия в задаче классификации. Рассмотрим, как использование этой модели позволяет установить связи между ключевыми понятиями выбора и разделить методы выбора на две группы.
Формализация критерия. Отношения между понятиями, связанными с критерием, представлены на рисунке, где шкалы, применяемые при методах оценивания по критерию и функции полезности, объединены.
Оси абсцисс графика соответствует шкала [y/,min, У/,тах] j-го признака объекта, а оси ординат — шкала [-1, +1] полезности/неполезности. В целях общности в график включена отрицательная полуось [-1, 0], отражающая возможные потери, связанные с несоответствием j-го признака предъявляемым требованиям. Если в задаче выбора потери отсутствуют, то используется только полуось полезности [0, +1]. Объект xi может оцениваться как по шкале признака [y/,min, У/,тах], так и по шкале полезности/неполезности [-1, +1].
Точкой С/ обозначено целевое значение j-го признака, называемое идеальной целью, если оно совпадает с одной из границ шкалы [y/,min, У/,тах]: С/=у/,тах или c/=y/,min; в противном случае (y/,min < С/ < У/, max) оно называется реальной целью c/. Точками Уд и у/2 обозначены значения j-го признака для объектов x1, x2: Уд = fj(x1) и у_/2 = fj(x2).
На шкале j-го признака задается двухместное отношение предпочтения f(x\) У fj(x2) либо fj(x2) У f(x1); оно описывается двухместным предикатом Pr>(^(x1), fj(x2)) либо Pr<(^(x1),
fj(xi)).
Отношение предпочтения, обобщенное на всю шкалу j-го признака, представляет собой критерий оценивания Pr>(jx), cj). В этой формуле Pr> обозначает предикат предпочтенияfj(x) по отношению к Cj. Его первый аргумент f (x) представляет оцениваемое значение j-го признака объекта x, а второй аргумент Cj является целевым значением j-го признака в роли базы сравнения. В работе [6] критерий Pr>(jx), cj) называется целевым при Cj=yj,min (Cj=yj,max) и ограничительным при у-,min < Cj < yj,max.
Предикат предпочтения через области определения и значений выражается оценочной функциейpf. Yj х C ^ [0, 1]. При совпадении базы сравнения cj с одной из границ шкалы она представляет собой целевую функцию jx) ^ max (fj(x) ^ min). С позиции оценивания критерий можно рассматривать как бесконечнозначную логическую функцию p, позволяющую оценить степень соответствия j-го свойства объекта x поставленной цели.
С точки зрения оптимизации целевая функция является частным случаем оценочной функции, когда предикат предпочтения Pr>(jx), Cj) представляет собой предикат превосходства (Pr>(jx), Cj), Pr<(f(x), Cj)). Для отношений равенства и принадлежности интервалу он представляет собой предикат соответствия (Pr=(f(x), Cj), Pr][(f(x), c-,н, c-,в)), применяемый в задаче классификации [6].
Для критерия превосходства должно выполняться условие монотонного роста (убывания) предпочтительности объекта при увеличении показателя yj при фиксированных значениях остальных п-1 показателей.
Функция полезности. Под функцией полезности понимается отображение u-. Y- ^ [0, 1]. На рисунке в качестве примера приведены линейная, кусочно-линейная и нелинейная функции полезности. По отношению к шкале полезности [0, 1] не имеет значения вид функции Uj. В простейшем случае ею является нормирующая функция j-го критерия. В задаче максимизации j-го признака ею является восходящая линейная функция 8max(y(x)).
, , . у i(x)7 у i ,min ^ max (Уj ( x)) = —-~-, (1)
yj ,max yj ,min
а в задаче минимизации — нисходящая линейная функция 8mm(y(x)).
г г г w yj,max _ Уj(x)
5min (yj (x)) = —-—-, (2)
yj ,max yj ,min
Поскольку нормирующие функции критерия линейны, их можно рассматривать как частный случай нелинейной функции полезности. Отсюда и многокритериальное оценивание можно рассматривать как частный случай многомерного оценивания по полезности, ограниченный использованием линейных функций, полученных на основе целевых критериев, и кусочно-линейных функций, полученных на основе ограничительных критериев. Нелинейные функции полезности формируются не на основе критериев, а непосредственно по предпочтениям экспертов и лиц, принимающих решение. По этой причине понятие критерий не используется в многомерной теории полезности.
Таким образом, для формирования предпочтений по j-му признаку имеются две шкалы — первичная шкала [>jmm, у/,max], имеющая любые единицы измерения, как качественные, так и количественные, и вторичная числовая шкала [0, +1], измеряемая в относительных единицах. Обработка предпочтений по шкале признака ограничивается логическими операциями. Обработка предпочтений по шкале полезности требует выполнения вычислительных операций.
По типу шкалы, используемой для упорядочения объектов по многим признакам, в работе [6] впервые было предложено разделить методы многомерного оценивания на методы критериального и функционального выбора. Для первой группы методов характерно использование только шкал признаков и логическая обработка предпочтений, а для второй группы — применение функций полезности и численная обработка предпочтений.
Заключение. Формализация понятия критерий позволила установить связь между его нормирующей функцией и функцией полезности и разделить методы выбора на две группы. Принципиальная разница между ними заключается в способе обобщения частных оценок — покоординатном и скалярном. Это различие положено в основу классификации методов [7], которая, в свою очередь, позволяет выбирать метод, в наибольшей степени соответствующий требованиям задачи многомерного оценивания качества приборов и систем различного назначения.
Исследования, выполненные по данной тематике, проводились при финансовой поддержке РФФИ (грант № 17-01-00139), Министерства образования и науки РФ (госзадание № 2.3135.2017/К), в рамках бюджетных тем № 0073-2014-0009, 0073-2015-0007.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Технология системного моделирования / Под ред. С. В. Емельянова и др. М.: Машиностроение, 1988. 520 с.
2. Ларичев О. И. Теория и методы принятия решений, а также Хроника событий в волшебных странах. М.: Логос, 2000. 294 с.
3. Анфилатов В. С., Емельянов А. Л., Кукушкин А. А. Системный анализ в управлении. М: Финансы и статистика, 2002. 368 с.
4. Петухов Г. Б., Якунин В. И. Методологические основы внешнего проектирования целенаправленных процессов и целеустремленных систем. М.: Изд-во АСТ, 2006. 501 с.
5. Черноруцкий И. Г. Методы принятия решений: Учеб. пособие. СПб: БХВ-Петербург, 2005. 408 с.
6. Микони С. В. Теория принятия управленческих решений: Учеб. пособие. СПб: Лань, 2015. 448 с.
7. Микони С. В. Аксиоматика методов многокритериальной оптимизации на конечном множестве альтернатив // Тр. СПИИРАН. 2016. Вып. 44. C. 198—214.
Сведения об авторе
Станислав Витальевич Микони — д-р техн. наук, профессор; СПИИРАН, лаборатория информационных
технологий в системном анализе и моделировании; E-mail: [email protected]
Рекомендована лабораторией Поступила в редакцию
информационных технологий 29.09.17 г.
в системном анализе и моделировании
Ссылка для цитирования: Микони С. В. Формализация критерия в задаче многомерного оценивания объектов // Изв. вузов. Приборостроение. 2017. Т. 60, № 11. С. 1012—1015.
CRITERIUM FORMALIZATION IN THE PROBLEM OF MULTIDIMENSIONAL ESTIMATION OF OBJECTS
S. V. Mikoni
St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences,
199178, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
The problem of criterium formulation is considered as an important part of multidimensional estimation methods. The proposed formalization of the concept of criterium allows to establish a relation between methods developed in the framework of different theories and to separate the selecting methods into two groups.
Keywords: multidimensional estimation, criterion, utility function
Data on author
Stanislav V. Mikoni — Dr. Sci., Professor; St. Petersburg Institute for Informatics and Automation of the Russian Academy of Sciences, Laboratory of Information Technologies in System Analysis and Modeling; E-mail: [email protected]
For citation: Mikoni S. V. Criterium formalization in the problem of multidimensional estimation of objects. Journal of Instrument Engineering. 2017. Vol. 60, N 11. P. 1012—1015 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2017-60-11-1012-1015
