CC BY
29
Механика жидкости и газа
УДК 532.5
И. П. Завершинский, В. Н. Кнестяпин
ВТОРИЧНАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ТРЕХМЕРНОГО НЕРАВНОВЕСНОГО СЖИМАЕМОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
Проведено исследование устойчивости нелинейных пространственных волн (вторичной неустойчивости), распространяющихся в сжимаемом неравновесном сверхзвуковом пограничном слое плоской пластины под углом к основному потоку. Найден инкремент развития вторичной неустойчивости течения.
Проблема устойчивости пограничных слоев (ПС) в силу своего большого прикладного значения является одной из центральных в теории газодинамической устойчивости. В равновесных средах эта проблема решалась как для несжимаемых, так и для сжимаемых возмущений [1]. Выделяют следующие этапы перехода к турбулентности в равновесном пограничном слое. При амплитуде начальной турбулентности £i < 0,1e*, где в* ~ (Read)23 — пороговая амплитуда возмущения, начиная с которой необходим учет нелинейных членов в критическом слое, выделяют следующие области: ламинарное течение при числах Рейнольдса для пограничного слоя Re < Rec и волна Толлмина-Шлихтинга, возникающая после потери ПС устойчивости при Re > >Rec, где амплитуда возмущения в < в*, в которых справедлива линеаризованная теория; область нелинейного критического слоя (НКС) при в > в*; а при в >> в* зона первичного стационарного решения и область вторичной неустойчивости (ОВН). Далее возникают пятна Эммонса и, наконец, формируется турбулентное течение.
В неравновесных средах исследования устойчивости пограничных слоев в неравновесных средах актуальны в связи с интенсивными экспериментальными и теоретическими исследованиями, связанными с воздействием плазмы на потоки, обтекающие тело. В [2] показана возможность уширения зоны неустойчивости волн Толлмина-Шлихтинга, возникающих после потери пограничным слоем устойчивости при Re > Rec, при обтекании плоской пластины в аэродинамической трубе под нулевым углом атаки потоком колебательно возбужденного газа. В [3] найден сдвиг Rec для двумерных возмущений при условиях свободного обтекания пластины потоком колебательно возбужденного газа. Показано, что наличие релаксационных процессов в равновесной среде приводит к увеличению критического числа Рейнольдса, а в неравновесных— к его понижению. В [4] найдены зависимости Rec для трехмерных возмущений от степени неравновесности S и числа Маха невозмущенного потока М¥ при различных углах распространения волн. В [5] получено уравнение, описывающее эволюцию возмущения на нелинейной стадии его развития. Показано, что, как и в равновесных средах, рост амплитуды возмущения на данной стадии развития турбулентности носит взрывной характер, а характерное время неустойчивости уменьшается с ростом степени неравновесности. Формирующееся первичная нелинейная волна, в свою очередь, становится неустойчивой по отношению к мелкомасштабным пульсациям — развивается так называемая вторичная неустойчивость пограничного слоя [6, 7], развитие которой ранее проводилось только для несжимаемых равновесных сред. В [6] найдена кривая нейтральной устойчивости для данного типа возмущений на плоской пластине. В [7] проведен численный расчет параметров первичной нелинейной волны и найдены условия возникновения вторичной неустойчивости. В данной работе найдены условия возникновения вторичной неустойчивости неравновесного сжимаемого пограничного слоя на плоской пластине.
1. Первичная нелинейная волна. Исходную систему уравнений релаксационной газодинамики, включающую уравнения непрерывности, Навье-Стокса, состояния газа, переноса тепла и релаксационное уравнение в переменных, обезразмеренных на величины, относящиеся к набегающему потоку (скорость набегающего потока U¥, давление P¥, плотность р¥, температу-
ру T¥): р = р/р¥ , T = T/T¥ , P = Р/Р¥, u = Vix/U¥ , v = v¡7/U¥ , w = v¡z/U¥ , E = E/To, q = QS/U¥T¥ представим в виде
-1--vp+-^aV, p = pT,
\2 ^
^p+v(pV ) = o, pf—+(Vv)V
Эt
Re
ЭР • • p
— + vVP + g¥ PVv + -t-Эt
Eo - E
CT0 -AT, ^ + VVE = ^0-1
+ q.
(i)
cV¥ t Pr-Re dt t
Здесь использованы координаты x = x/d, y = y/d, z = z/d, обезразмеренные на локальную толщину пограничного слоя d и время t = td/U¥,. Здесь h = h/h¥ Pr = h-/*— Re = U¥d/h¥ , M¥ = = UJuS¥ — числа Прандтля, Рейнольдса и Маха набегающего потока соответственно, v = (u, v, w), uS- = (ср¥Т0/с^т)1/2 — замороженная скорость звука, m — масса молекулы, E —
колебательная энергия в расчёте на одну молекулу, Ee = E\ — ее равновесное значение,
UV =T0
t— время колебательной релаксации, Q — мощность внешнего источника накачки в расчете на одну молекулу, необходимая для поддержания условия E > Ee, сР-,, сV- - замороженные теплоемкости при постоянном объеме и давлении соответственно. В используемой релаксационной модели не конкретизируется природа источника накачки. Кроме того, полагается, что можно пренебречь зависимостью мощности источника накачки от температуры и плотности среды.
Для получения уравнений, описывающих первичную нелинейную волну, будем искать решение системы (1) в виде u=u0(y)+ u(1), v=v(l), w=w^r\ T=To(y)+?r>, p=po(y) + p(1), Р=Роо+Р(Г>, E=Eo(y)+E(1), где возмущения имеют вид бегущей волны, движущейся со скоростью с в направлении, характеризующимся углом 0, определяемым соотношением tg0 = P / a :
Ni
p(1) (x,y,z,t)= ^ p(„1) (y)exp(inax + inbz-inact) (2)
n=-Ni
и т.д. Перейдем в систему координат, связанной с бегущей волной, направленную под углом 0 к основному потоку X = (x - ct) cos 0 + y sin 0, y = y,
z = -( x - ct )sin 0 + z cos 0, рис. 1, где компоненты скоростей связаны соотношениями u = u cos 0 + +w sin 0, v = v, W = -usin0 + wcos0. Собирая слагаемые при одинаковых Фурье-экспонентах, получим систему нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для мод: л /
ia
Р и с. 1. Схема пространственного обтекания плоской пластины
_Л_
Re
ґ d2 2 b
~2 -ft«-b dy
u(1) + /a «
U0 e
To b
M¥ a„U0 - e 1 dvV
-
T0 D„
i
(U° )У + m¥ a„ U0 - e
v(1) +
T0 b„ ~ ~~'„ = N
m¥ a„U0 - e dy u ’
_h_
Re
' -b2
dy
_h
Re
vfl + /«„ ((0 - e ) - Mrd
m¥ dy
-go
/a„u„1) +
dïV
dy
D„
r/1)
/a„ (U0 - e )
= ,(3)
~~2 “a„-P2
dy
w<n} + /a„ (U 0 - e ) w(n} + (U0 У tgev„1) = Nw
с граничными условиями неприлипания на стенке (0) = V® (0) = (0) = 0 и затухания воз-
мущений на бесконечности йП\™) = Vn\™) = W(1)(^) = 0. Здесь an = na/cos0 ; U0 = U0cos0; c = ccos 0 , cV0 = cV¥ + cK + StT, cP0 = cP¥ + cK + S(tT - tp) — низкочастотные теплоемкости при
72
постоянном объеме и постоянном давлении соответственно; 5 = Qт/T0 — степень неравновес-ности среды (для колебательно возбужденного газа 5 = (Е0 - Ее) / Т0); ап = Су0 + /ап х0 (0 - с),
константы, характеризующие влия-
Ь. = ^ + г*Л (о - с), В„ > 0 -()(То (
СР¥ Су„(1 + /( То (о - С ))
ние процессов релаксации в неравновесной среде на структуру возмущений в ПС (в отсутствие источника накачки в низкочастотном пределе 5=0, <%п+бТо << 1 имеем случай [3]
Су0 = Су¥ + ск, ап = 1, Ьп = 1, Эп = 0);
Т0 Р0 (СР0 - СР~ ))р + NЕ + СУ¥ (1 + ’%пТ0 (70 - С))Мр
К = N +
N = К, -
/а п
У¥М¥ ап
Т) с
у¥ м¥ Су
су¥Р0><%п (0 с)
р0 (Р0 - СР~))р + МЕ + су¥ (1 +/ап Т0 (70 - С )) МР СУ¥Р0/ап (70 - с)
— нелинейные слагаемые, а функции N определяются соотношениями:
Ми = I
з=-М1
-зип1-)зиз1) + ,п1-)з-
N1 /
I: /(* зUn1-)зV
- И з V
Су
Р0
.(л\ рп-з, ( 0 У Р0
М(Р . 7 ^ рп^1)Л
—— + га, ((0 - с )п з з Су Л 0 ^ Р0
К = I
з=-М1
Т+/а, ( - с))р5+ (Ч «О Р0
Р(1) ,(1) Л Уп-з з
МР= I
N1
I
з=-М1
. рп1)зиЗ1) 1
га+
С (р(п^31))
Р0
Р0 СУ
N.
с1Е(1) скТ(-\ - Еп-3 газип-зЕГ + ^-з — + К п-3
№ Е(!) + ,(!)
п_ с с _ *
-I 9
з=-Nl
Су Т0
Т (1) Т (1) Т (1) Р(1)
и___с-^ с и__сМ с
Р Р0
+ Тт
Т3(1)
//
■‘'р^ р^1) р(1^ ^
™ п-3 3 I ™ п-зКз I ™ Кп-^3
аТТ 2 +арТ „ гг +арр 2
0
р0Т0
^ = I
з=-N1
/а и(1) Р(1) + ,(1) СРз(1) - Р0 СКТп-з - Еп-)з 1к%зип-зГз ^ п-з ,
Су Су¥ Т0
Р0
' рзц
Тр —— + ТТ
N1
+ х
з=-N2
Т(1) Т(1) Т(1) р(1) р(1) р(1)
м п-з з I л» п-згз , ™ гп-^з
^ТТ 2 рТ р
рр р2
рп-з
Т(1)
Р0
0
//
СкТз(1) - Ез1)
' Р? + Т Т‘
Р Р0 Т
(1)
0 р0Т0 Р0 1У» 10 Р0 ^0
Система (3) решалась в [6, 9] в несжимаемой равновесной среде при условии (ап Яе >> 1 методом сращиваемых асимптотических разложений и численно в [7] при любых значениях (ап Яе. В [5] методом сращиваемых асимптотических разложений было получено решение, описывающее начальную стадию развития первичная нелинейная волна в неравновесном газе. Из этого решения и третьего уравнения системы (3) следует оценка скачка профиля скорости
в так называемом критическом слое:
17 0'
= —70—г 1ё0А,п1)
/%п (0 - с)
где 8с = (ис'аЯу113 - толщина критического слоя,
ис ^с ” ^ п_
с с 0- г§08с
К,с" =
''и' Л
7 с Тс
V /
3Р " (тт л1 Ъс"
(7с )2 с
1
. 16Тс7с".
с
— скачок фазы решений при переходе через критический слой,
__ 3p I hwTw ~ wc Уис
W __—
64 V a n Rec
Uc "
Tw +
M¥ <?2 (g¥_A„w)
TpTb
nW
1 + TC' Uc
16TCUc"
штрих означает дифференцирование по переменной у, индексом «С» обозначается значение функций при у = yC, а индексом «W» — при у = 0, Лп = anlbn.
2. Вторичная неустойчивость. Поскольку профиль скорости имеет большие гради-
112
енты (порядка tg0(an Re) ), [1, 6], то следует ожидать, что ПНВ сама неустойчива по отно-
шению к возмущениям с масштабом ~ 81 an+sRe, то есть порядка толщины критического слоя.
Для исследования устойчивости решений системы (3) будем искать решение системы (1) в виде р(х,у,z,t) = р0 (у) + р(1)(х,у,z,t) + p(2)(x,у,z,t) и т.д., где p(1)(x,у,z,t) определено в (2).
Линеаризуем систему (1) относительно возмущений р(2) и т.д., перейдя в систему координат, связанную с бегущей волной. В этой системе координат решения для ПВН имеют вид
#1
р(1) (х,у,z,t)= £ p(nX) (у)exp(inaxt)
n=-Nx
и т. д. то есть они периодичны по x , но не зависят от z и t. Последнее утверждение позволяет, следуя [10], для поиска величин р(2) и т.д. использовать метод Флоке, представляя соответствующие величины в ОВН в виде
N
р(2) (х,у,z,t) = exp(/8• ax + ibz) ^ р(п2) (у)ехр(ax + <5nt) (4)
n=-N 2
и т.д, где, вообще говоря, N2 > Ni, 8 — расстройка первичного волнового числа.
Подставим разложения (4) в систему (1) и снова, как и в разделе 1, соберем слагаемые при одинаковых Фурье - экспонентах. Тогда получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений для мод:
[»«n+5 (0 _ c ) _S n ) _ ibUQtge] U'n) + (U 0 )y v
(2)
+ ia
_ B
Tq An
ia n+5«n2)++ibwn]
dy
Г,(2)
ia
I+5((f%0 _ c)_sn )_ ibUQtgS
_h_
Re
-(«n+5 + b2 )
U (2) + eN,,
M¥ dy
ia n+5un2) + ddy- + ibw(n]
dy
+ —V(2) An n
ian +5^0 _c)_ibUQtgq
_h_
Re
d 2 ~dp
’(« n+5 + b2)
v (2) + eN
[/■(Xn+s(0 _ c)_ ibUQtg6 + <5n ]w(n2) +(U0 )y tgqvn2) + ib
_ Bn
Tq An
i«,+5-;<2>+^+'Ч2)
dy
D
An
(5)
■ (2)
M¥
ia n+s(0 _ c )_ ibUQtg6 + <5 n
_h_
Re
dy
( 2+5 + b2 )
w(2) + eNw
с граничными условиями
и{п) (0) = ,{п) (0) = яп2) (0) = 0, ип2) (¥) = (¥) = яп2) (¥) = 0,
где выражения для NJ имеют структуру
N =- £
п=-N 2
^-.и™+л ^-и"'21+с -л21++о<% _,«±~+ян-,"“'
«У
«у
«у
а коэффициенты Крпи т.д. есть функции решений для первичной нелинейной волны,
Ап = -У0 + Г/«п+5 (О - с ) + бп - /Ь О0*801 ^0 , Вп = — + — + Г/ап+5 (О - с ) + <5п - /Ь О0*80] Х0 .
су¥ ср¥ су¥
В двухмерном случае (0 = 0) система уравнений (5), (6) с точностью до вида величин Ап и Вп совпадает с системой для нерелаксирующего равновесного газа [7], где т0 = 0, 5 = 0 и
Ап = Вп = 1 •
Аналогичные по форме уравнения получены в [3, 4] при анализе устойчивости двух - и трехмерных волн Толлмина-Шлихтинга в неравновесном газе. Поэтому для получения аналитических решений системы (5), (6) может быть использован тот же метод, впервые предложенный в [8].
Если ап+5 Яе >> 1, то согласно [3, 4, 8] фундаментальная система решений системы (5) может быть составлена из так называемых невязких решений {и, V, w} = {¥, Ф,Ж} и линейно независимых вязких решений {и,V,w} = {/3,фз,^}, а также и вязких тепловых решений, которыми согласно [8] при небольших сверхзвуковых скоростях можно пренебречь. Здесь использованы общепринятые в теории устойчивости течений обозначения.
Уравнения для определения невязких решений следуют из системы (5) и имеют вид:
ап +5 (0 Сп ) "(2) «
п «у
1 +
а П+5
)(2)
-(0 - (С)
У- Вп
г,(2)
/
2
\
1 + ~2~ ч а п+5 ,
- м¥ ~аП(с%0 - с, )2
1 «у
( 0 )у (¡70 - <*, )м¥ Вт+Т0 Т
пп «¥ пп
;(2)
а
п+5
1 + -
- М¥ А ( 0 - Сп )2
- = еч„
(7)
-(2) и -(2)
;-------------и, ;-
а
п+5
/б п + ьи0^0
где Сп = с + ‘°п^, Дп = Б-У¥В
/ап+5 (°0 Сп )
Ь (О) у
а
- + *80
п+5
"(2) = eN
а
- + *80
п+5
ап+5 ап+5 О0 С
Систему (7) при е << 1 будем решать методом Линштедта-Пуанкаре. Пренебрегая в исходном приближении слагаемыми в правой части, получаем общее решение первого уравнения
системы (7) в виде Ф(п0) = £1пф(°)(у) + ^2пф20п)(у) , где
ф((0) = ((0 - Сп) X и (у) £ а„"5 Н 2т (у), ф(20) = ( - сп) з„ (у) £ а,^5 ^2^+1 ( у ).
т=0 т=0
В этих рядах величины Хп, Нт, Кт определяются следующими выражениями:
у Д у (
Ь
Xп (у) = ехрГВ^Х, Н0 = 1, Н1 =} (°0 тСп)2 Xп (X)«X,
1 Вп У¥ 0 т0
0п
н 2 = 1
(О - Сп)2
--м¥ А в,
К =
(О - с, )2
--м¥ А вп
Х п (Х)
К3 = 1
(О0 - Сп )2
К2 = | (О
0
А, К2
Вп X п ©
0 т0
0п
т0
«X, ...
-X п (Х)К1« X,
Величины Нт, Кт отличаются от соответствующих величин в нерелаксирующем газе наличием коэффициентов Ап, Вп и функции Хп(у).
В следующем по £ порядке теории возмущений первое уравнение системы (7) можно переписать в виде
*я+5 (0 Сп ) ф (1) И
(1) --
Иу
И ф(1)
( -С,))--(и0),
1+-
п+5
ф(1)-(0 -Сп)-=^~ф(1) 1 0 ЧБ
1+-
п+5
Частное решение этого уравнения имеет вид
у т(0)
5ф п (У ) = е
ф(0) (У ЛСІШХ) и ф (у )Г^ЮМХ) и X
ф2п (у)0 гГ (X) ^(у)0 гГ (X) ^
(8)
где
Ип (Х) = -
"і -^л + *п+5
- м¥ А ((0 - Сп )2 .
N, У() =ф(0„)
ф("ф0) Иу 2п Иу
а общее решение первого уравнения системы (7) с точностью до слагаемых порядка е1 запишется так:
ФП (у) = СшЧССУ) + 02п [ф2°п)(У) + 8Фп (у)] . (9)
Для поиска вязких решения системы (6) введем переменную V =
\2/3
х(ап+5 Яе )13, где значение ус определяется условием и0 = с . В нулевом порядке по параметру
_1/3
(<ХИ +5 Яе) первые два уравнения системы (8) сводятся к виду
И 4ф(0) И 2ф(0) Р
ф_0-
и 0 - сп
3 у Р0 - Сп
N-1/3
л
Иу1
(10)
Решение первого уравнения системы (10), убывающее на бесконечности, приведено в [8] и записывается соотношением
й’=1 <* v\4iH I1/11
!«)3/2
И V,
(11)
где Н(3 — функция Ханкеля порядка 1/3.
Вязкие и невязкие решения связаны друг с другом. Эта связь следует из граничных условий на поверхности пластины и для моды с номером п сводится к виду [8]
фп (0) _ф3„ (0)
(0) /3п (0)'
С одной стороны, из (10), (11) следует при у = 0 условие
ф3п (0) _ІР(г)(1 + 1)Сл
/3п (0)
где — функция Титьенса,
> _ 3ц1/2Рш ' У Сп - и0 2с1/2 і
л
ИХ-1, ^ _-С(у _ 0) _
3 7 Сп - Р
N.2/3
и X
'п 0
С другой стороны, из второго уравнения системы (7), (8) и (9) следует
(«п+5 Яе)
1/3
(12)
(13)
фпш '
Тш фШ + Сп м2ршВ^- - Т0 (0)м¥ ^-Є^
фпШ БпШ БпШ
Чп (0) _ _±_
фп (0) ап+5
где из (9) получаем отношение фпШ '/фпШ
к +«п+5у
- м
2 АіШ
-1
Б,
пШ
(14)
а ф'
,(0)
ау
У=1
У=1 _
Фп (1)
аФШ + С2п
ау
У=1
О,
1п
а<$> + а §Ф п
ау у=1 ау у=1
С + О1 (ф20п) (0)+§Ф п (0))
О1п
-1
. (15)
Получим отношение О2п/О1п. Для возмущений, распространяющихся относительно внешнего потока с дозвуковой фазовой скоростью в предположении однородности набегающего потока, должно выполняться на границе пограничного слоя условие [8]
аФ ". + ^Фп (1) = 0,
у=1
ау
где Фп = ап+5 11 - М» А( )(1 - Сп)2 , М = М¥оо80. Тогда из (15) следует
Вп (»)
О
О,
2п
1п
а ф'
ау
+ ^п ф((0)(1)
у=1
а ф'
ау
-1
а 8ф,
у=1
ау
у=1
+ ^п (ф20п)(1) + §Фп (1))
Подставляя (15) в (14) с учетом этих выражений, в пределе (ап+5 << 1) получаем соотношение для определения собственных значений:
= 1 +-
70(0)
аФ(0)
ау
-^«ф(0)(1)
у =1
-Ыи (0) . (16)
(1 + 1)^(г) а„+5с„ (и0)(0) ф +а8фп + ^ (ф20)(1) + 8Фп(1))
ау ау Л п' 2 п '
* у=1 ^ у=1
Полагая 1 = 1(0) + 51, Сп = С(0) +5Сп, 1 = 1(-п) и замечая, что 1(0) определяется урав-
нением
- = 1 +
Т)(0)
((0) +1) (г) <*п+5сп0) (и0 )у (0)
а ф'
ау
+^пФ10)(1)
у=1
а ф
ау
-1
+ ^пф20п)(1)
у=1
решение которого известно [3, 8], для величины бп в соответствии с методом Линштедта-Пуанкаре получаем соотношение
<5п = 5сп =
70(0)
а 5Ф п
ау у=1
Ф)
ау у=1
+ ^п5Фп (1) + ^пф(0)(1)
- + сп0)N (0)
«п+5(и0)у (0)
. (17)
[ г (сг)]
3
— + 2
С(0) у), (0) N-1/2 2 С(°)3/2
-Г0ах-зд
I (спо) - и0 )аX
Выше указывалось, что скорость ^(1) терпит скачок порядка (ап+5 Яе) 1/2, что и приводит к высокочастотной вторичной неустойчивости волны. Поэтому для оценки величины инкремента вторичной неустойчивости в слагаемых ~ 5Ф п достаточно сохранить члены пропорциональные а^п1}/ ау . Выделяя мнимую часть выражения при Ь ~ 1 [7], ап+5 << 1, получим выражение для инкремента вторичной неустойчивости Г п = ап +5^[бп ]:
с(иш'Хп (1)'
Вп У-
М» Ап
К] (1) + Тш-^В - К:(Х)
(1)Вп
[ г (Г )]■
4
Вп У»
Хп (Х)(и0 (X)- -п У(0) (X)
а X
(18)
В низкочастотном пределе ап+5Т0 << 1 коэффициенты Ап = су0 / су», Вп = сР0 / сР» и Бп действительна!, а выражение для действительной части функции Нп (X) принимает вид
1 +
®и+5
-M¥ A (о - ^ )2
Tq^
у В.
s=-№, а2
1 +
a2+5
dw^L
dy
Величина инкремента определяется амплитудой г-компоненты ПВН
н,(1) и степенью неравновесности 5. Зависимость инкремента от 5 и н,(1) при ап+5 = 0,1 приведена на рис. 2. Приведенные зависимости инкремента от н,(1) и п качественно совпадают с полученными в [6, 7] для равновесной несжимаемой среды. Угол 0 соответствует углу распространения наиболее опасных первичных возмущений малой амплитуды, и, как показано в [4], слабо падает с ростом степени нерав-новесности, причем 0(5=0) » 56°, [6, 11].
Р и с. 2. Зависимость инкремента неустойчивости наиболее неустойчивой в зависимости от степени неравновесности 5 и амплитуды г - й проекции
скорости течения w
,(1)
10.
11.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Жигулев В. Н., Тумин А. М. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука. Сиб. отделение, 1987. 282 с.
2. Bertolotti F. P. The influence of rotational and vibrational energy relaxation on boundary-layer stability // Journal of fluid mechanics, 1998. Vol. 372. P. 93-118.
3. Молевич Н. Е. Асимптотический анализ устойчивости плоскопараллельного пограничного слоя сжимаемого релакси-рующего газа // Известия РАН. МЖГ,
1999. № 5. С. 82-87.
Завершинский И. П., Кнестяпин В. Н. Устойчивость трехмерных возмущений малой амплитуды в неравновесном сжимаемом пограничном слое // ТВТ, 2007. Т. 45, № 2. С. 1-8.
Завершинский И.П, Коган Е.Я., Кнестяпин В.Н. Нелинейный критический слой в неравновесном газе // ТВТ,. 2007. Т. 45, № 4. С. 243--247.
Жигулев В. Н., Киркинский А. И., Сидоренко Н. В., Тумин А. М. К вопросу о механизме вторичной неустойчивости и его роли в процессе возникновевозникновения турбулентности // Аэромеханика. Сб. науч. тр. М.: Наука, 1976. С. 118-140.
Koch W., Bertolotti F. P., Stolte A., Hein S. Nonlinear equilibrium solutions in a three-dimensional boundary layer and their secondary instability // Journal of fluid mechanics, 2000. No. 406. P. 131-174.
ЛиньЦ. Ц. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958. 196 с.
Benney D. J., Bergeron R. F. A new class of nonlinear waves in parallel flows // Stud. Appl. Math., 1969. Vol. 48, No. 2. P. 181-193.
Herbert T. Secondary instability of boundary layers // Am. Rev Fluid Mech., 1988. Vol. 20. P. 487-526.
Гапонов С. А., Маслов А. А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск: Наука, 1980. 144 с.
Работа поддержана грантом РФФИ (проект 07-01-96608) и аналитической целевой программой «Развитие научного потенциала высшей школы» (2006 - 2008 гг.).
Поступила 25.09.2006 г.
