Определение точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный на скользящем крыле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XX

198 9

№ 6

УДК 629.735.33.015.3.025.1 : 532.5.26

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТОЧКИ ПЕРЕХОДА ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ТУРБУЛЕНТНЫЙ НА СКОЛЬЗЯЩЕМ КРЫЛЕ

О. В. Карась, В. Е. Ковалев, В. А. Купарев

Кратко описана методика расчета устойчивости ламинарного пограничного слоя на скользящем крыле, включающая расчет внешнего обтекания, расчет ламинарного пограничного слоя и анализ устойчивости пограничного слоя. Анализ устойчивости проводится в линейном приближении. Рассматривается неустойчивость типа Толлмина — Шлихтинга и неустойчивость поперечного трения в пограничном слое. Приведены результаты тестовых расчетов устойчивости пограничного слоя на скользящем крыле с эллиптическим профилем.

В общепринятой постановке задача предсказания положения линии перехода ламинарного пограничного слоя на крыле летательного аппарата в турбулентный разбивается на три этапа:

1. Расчет внешнего невязкого обтекания.

2. Расчет ламинарного пограничного слоя на крыле.

3. Исследование устойчивости пограничного слоя.

В данной работе исследуется устойчивость пограничного слоя на скользящем крыле бесконечного размаха при дозвуковых скоростях набегающего потока. Внешнее обтекание профиля рассчитывается путем решения двухмерных уравнений потенциала, пограничный слой — путем интегрирования уравнений Прандтля. Для расчета характеристик устойчивости пограничного слоя используются приближение малых возмущений [1] и вариант метода огибающей [2].

1. Расчет внешнего сжимаемого невязкого течения осуществляется на основе численного интегрирования квазилинейной формы полного уравнения для потенциала <р

(а—скорость звука) в плоскости единичного круга а —г—е‘° , ге(0, 1], 8е[0,2 зх], на который отображается внешность профиля. При конечноразностной аппроксимации уравнения (1) в сверхзвуковых точках для производных второго порядка используются разности «против потока» (применяется невращающаяся разностная схема).

0)

Численное интегрирование осуществляется итерационным смешанным методом. При этом на итерации с номером п новые значения потенциала ср(п+1> определяются в два этапа. Уравнение (1), записанное в координатах г, 0 может быть промасштабировано таким образом, чтобы лапласиан составлял его линейную часть. На первом этапе промежуточные значения ф определяются из прямого решения уравнения Пуассона:

?ее + Пг 4- г2 = п (<р(»>),

где /?(ср(л))—нелинейные члены.

Шаги по схеме Пуассона обеспечивают высокую скорость сходимости в дозвуковых областях, но не гарантирует ее в сверхзвуковых. Для регуляризации процесса служит второй этап, на котором окончательные значения <р(л+1> определяются из <р однократным осуществлением релаксационного цикла. Использование смешанного метода в сочетании с интегрированием на последовательности сеток обеспечивает высокую оперативность расчета.

2. Профили скорости в пограничном слое определяются путем решения системы дифференциальных уравнений, описывающей течение газа в пограничном слое на бесконечном скользящем крыле [3]:

д_ дх

и ди

(р к2 и вт 6) ди

ду

(р V к2 бШ 6) = 0 :

л.

дх ду

= Ре

Це дие дх

— С1ё е к, и2е + сэс 6 к2 у/1 -ь кп ие №е) + ди\ ,

и дШ . ,,

Нх дх ду

+ Т,{

д№

ду] '

Р СЭС 0 и2 + р^21 =

= ре

^^ + С8С0 к, и1+к21ие

дх

, д ( дЧГ ду

и дН дН д

р — ------1- р V—• = —

дх ду ду

ц. дН Рг ду

+ [А 1 -------------------------------

Рг

А й.

ду 2

(2)

)

Здесь Рг — число Прандтля, £/*— полная скорость в пограничном слое, Я — полная энтальпия, а II, V, № •— компоненты вектора скорости вдоль осей х, у, г соответственно. Используемая в данной работе система координат изображена на рис. 1. В общем случае система координат криволинейная, косоугольная: /г2— метрические коэффициенты коорди-

натных линий; &2 — геодезические кривизны координатных линий; &12, ^21 — параметры, характеризующие используемую систему координат и зависящие от коэффициентов /г1; /г2, к\, кг.

Граничные условия для системы (2) имеют вид:

у = 0, и = V = IV = 0 , — =

ду

дН

ду

или Н = Н

У

(3)

у = г, и=ие(х), ч?-чг,(х), н=не

Система уравнений (2) с граничными условиями (3) решается двухточечным конечно-разностным методом [4] второго порядка точности. Первоначальные уравнения (2.) преобразуются к системе из восьми нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Затем с помощью центральных разностных отношений система дифференциальных уравнений сводится к системе нелинейных алгебраических уравнений относительно сеточных функций. Полученная система нелинейных алгебраических уравнений ре-*

Рис. 1

шается итерационным методом

Ньютона, который обеспечивает квадратичную сходимость при расчете ламинарного пограничного слоя.

• 3. Расчет устойчивости ламинарного пограничного слоя основан на решении уравнений линейной теории устойчивости в приближении плоскопараллельного течения. Элементарное возмущение представляется в виде:

Здесь / — функция, описывающая возмущение, / — комплексная амплитуда, I — время, (о — комплексная круговая частота, а и р— действительные компоненты волнового вектора в направлении осей х, г. Подстановка (4) в линеаризованные уравнения Навье — Стокса для течения сжимаемой жидкости и наложение условий затухания возмущений при у-*-0 и у-*- оо приводит к задаче на собственные значения системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно ш. Решение этой задачи проводится методом матричной прогонки, как это описано в работе [5]. Получаемая таким образом зависимость со (а, р) используется в «методе огибающей» [2]: для фиксированной частоты возму-

толщина пограничного слоя) в каждом сечении крыла по нормали к хорде Х = Х1 находится максимум инкремента нарастания со± относительно волновых чисел а, р. Полученное значение ко, используется для расчета показателя нарастания возмущения

■фй— УГол между направлением групповой скорости и осью х, х0 —точка профиля, соответствующая началу нарастания возмущения заданной частоты Затем для каждого сечения крыла ищется максимум величин NF по всем частотам. Полученная таким образом функция М(х) представляет условный уровень возмущений в пограничном слое вдоль хорды крыла. Для определения положения точки перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный необходимо задать критическое

/(*, у, г, 0 =/00 ехр {і (ах + рг — а)*)}.

(4)

щений ---- (здесь (ог ■— действительная часть «и й = ?е 5 , б —

Ре

(5)

Здесь Уе =

— действительная групповая скорость,.

2—«Ученые записки» № 6

17

значение #кр, при достижении которого наступает переход. Это значение NKp определяется путем сравнения результатов расчетов с тестовыми экспериментами и может значительно меняться с изменением условий эксперимента. Поэтому в качестве результата расчета устойчивости целесообразно приводить не положение точки перехода, а всю зависимость #(*). В данной работе использовалось значение Агкр = 8, что дает хорошее согласование результатов расчета параметров устойчивости пограничного слоя Блазиуса с экспериментальными данными [6]. Прямая численная реализация метода огибающей требует затраты большого количества машинного времени, так как в процессе оптимизации «г необходимо многократное вычисление функции (о (а, р). В данной работе был использован упрощенный вариант метода огибающей, позволяющий значительно сократить затраты машинного времени. Суть его состоит в том, что в каждом сечении крыла дисперсионная зависимость со (а, р) аппроксимируется квадратичным полиномом и оптимизационная задача решается для аппроксимированной функции со (а, р). Изучение характера дисперсионной зависимости ©(а, р) показало, что такая аппроксимация не вносит большой погрешности в определение инкрементов нарастания, дающих основной вклад в интеграл (5). Для проверки правильности алгоритма был проведен тестовый расчет устойчивости пограничного слоя на плоской пластине, продольно обтекаемой несжимаемой жидкостью. Получено хорошее согласование с данными работы [7].

При исследовании устойчивости пограничного слоя на скользящем крыле необходимо учитывать два вида неустойчивости [8]. Неустойчивость Толлмина — Шлихтинга («вязкая» неустойчивость) характеризуется широким диапазоном волновых чисел и узким диапазоном неустойчивых частот. Этот вид неустойчивости подавляется в области отрицательного градиента давления (вблизи носовой части профиля) и является преобладающим на плоском участке профиля. Второй тип неустойчивости — неустойчивость поперечного течения («невязкая» неустойчивость) — связан с наличием точек перегиба в профиле скорости пограничного слоя в направлении, перпендикулярном местному направлению внешнего течения. Этот вид неустойчивости характеризуется широким диапазоном частот и узким диапазоном углов распространения неустойчивых возмущений. Неустойчивость поперечного течения проявляется в местах большого градиента давления и может приводить к ламинарно-турбулентному переходу вблизи передней кромки профиля. При расчетах неустойчивости поперечного течения в алгоритм поиска максимума инкремента нарастания добавляется условие перпендикулярности начального волнового вектора направлению внешнего течения.

4. Описанная методика была использована для расчета характеристик устойчивости пограничного слоя на скользящем крыле с эллиптическим профилем относительной толщины 10% под нулевым углом атаки (рис. 1). Выбор эллиптического профиля позволяет легко воспроизвести приводимые результаты и сравнить их с результатами расчетов устойчивости другими методами. Число Рейнольдса, вычисленное по хорде профиля, во всех расчетах полагалось равным 107, число Прандтля Рг = 0,72.

На рис. 2 изображены кривые нейтральной устойчивости волн Толлмина—Шлихтинга для крыла с углом стреловидности % = 30° при числах Маха набегающего потока Мсо = 0,1 и 0,8. Видно, что с увеличением числа М диапазон частот неустойчивых колебаний уменьшается, а область неустойчивости лежит при более низких безразмерных частотах.

Рис. 2

Рис. 3

На рис. 3 представлены нейтральные кривые для поперечной неустойчивости пограничного слоя при тех же параметрах течений. В отличие от предыдущего случая, увеличение числа М» приводит к расширению области неустойчивости. Отрицательные частоты неустойчивых колебаний свидетельствуют о том, что их фазовая скорость направлена к передней кромке крыла. Однако направление групповой скорости при этом не сильно отличается от направления течения, как и для волн Толлми-на —■ Шлихтинга. Максимум инкремента нарастания волн поперечной неустойчивости приходится на нулевую частоту («стационарные вихри»), что согласуется с данными работы [8]. На рис. 4 приведены зависимости показателей нарастания от , продольной координаты х для Х = 30° и 60° при Моо = 0,1. Как видно из рисунка, увеличение угла стреловидности приводит к уменьшению устойчивости пограничного слоя и перемещению точки перехода по направлению к передней кромке.

}

х/1.

га;

Рис. 4

—неустойчивость Толлмина — Шлихтин* --------- поперечная неустойчивость

Рис. 5

Обозначения кривых такие же, как на рис. 4

Особенно сильно возрастает неустойчивость поперечного течения, которая становится доминирующей ДЛЯ углов стреловидности Х>30°.

На рис. 5 приведены кривые N (х) для %=30° при Моо = 0,1 и Мос = = 0,8. Они показывают влияние числа Моо на устойчивость пограничного слоя на скользящем крыле. С ростом числа М» волны Толлмина — Шлихтинга становятся более устойчивыми. Напротив, поперечная неустойчивость с ростом Моо быстро возрастает, и именно она определяет положение точки перехода при Моо>0,1 на данном крыле.

Приведенные результаты расчетов устойчивости ламинарного пограничного слоя качественно согласуются с опубликованными данными и могут использоваться для сравнения различных методов расчета устойчивости. Рассмотренная в работе методика позволяет определять характеристики устойчивости ламинарного пограничного слоя на скользящем крыле с приемлемыми затратами машинного времени (расчет внешнего обтекания и пограничного слоя занимает несколько минут^ а расчет устойчивости пограничного слоя около 30 минут процессорного времени современной ЭВМ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. — М.: Наука, 1969.

2. S г о к о w s к і A. J., О г s z a g S. A. Mass flow reqierements for

LFC wing design. — AIAA P., N 77-1222, 1977.

3. Cebeci Т., Kaups K-, Ramsey J. A. A general method for calculating three-dimensional compressible laminar and turbulent boundary layers on arbitrary wings. —NASA CR 2777, 1977.

4. К e 11 er H. B. Numerical methods in boundary layers theory. — Ann. Rev. Fluid Mech., 1978, vol. 10.

5. M a 1 і к M. R., О r s z a g S. A. Efficient computation on the stability of three-dimensional compressible boundary layers. — AIAA P.,

N 81-1277, 1981.

6. Schubauer G. B., Skramstad H. K- Laminar boundary-layer oscillations and stability of laminar flow. —J. Aeronaut. Sci., 1947, vol. 14, N 2.

7. JI e в ч e h к о В. Я., Володин А. Г., Гапонов С. А. Характеристики устойчивости пограничных слоев. — Новосибирск: 1975.

8. М а с k L. М. On the stability of the boundary layer on a transonic swept wing.— AIAA P., N 79-0264, 1979.

Рукопись поступила 7jVII 1986 г.