Расчет чисел Рейнольдса перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный на основе линейной теории устойчивости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том XX

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ПАГИ 1989

№ 2

УДК 629.735.33.015.3.025.1 : 532.526

РАСЧЕТ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА ПЕРЕХОДА ЛАМИНАРНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ В ТУРБУЛЕНТНЫЙ НА ОСНОВЕ ЛИНЕЙНОЙ ТЕОРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

А. В. Федоров

Рассматриваются методы расчета чисел Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода с позиций линейной теории устойчивости. Дана физическая интерпретация е''1'-метода. С помощью упрощенного варианта этого метода обработаны данные экспериментов, выполненных на пластинах, конусах и аэродинамических профилях при дозвуковом обтекании. Получено удовлетворительное согласие с экспериментом.

Экспериментально и теоретически установлено [1, 2], что при достаточно низком уровне внешних возмущений возникновение турбулентности в пограничном слое обусловлено развитием возбуждаемых волн неустойчивости. Зона ламинарно-турбулентного перехода, как правило, содержит протяженный участок, на котором возмущения развиваются по законам, соответствующим линейной теории, и относительно короткий участок их нелинейной эволюции. Поэтому можно развивать методы расчета чисел Рейнольдса перехода на основе линейной теории гидродинамической устойчивости. В амплитудном методе [2, 3] решается задача о возбуждении волн неустойчивости и рассчитывается их нарастание вниз по потоку вплоть до пороговых значений амплитуды, при которых начинаются сильно нелинейные процессы.

В результате исследований последних лет [2] поняты ключевые особенности механизмов возбуждения неустойчивости, получены качественные оценки влияния различных типов внешних воздействий на ламинарно-турбу-лентный переход. Однако с практической точки зрения, нельзя рассчитывать на исчерпывающую информацию о внешних возмущениях. Поэтому полезно применение полуэмпирических методов, основанных на линейной теории устойчивости. Для практических приложений представляет интерес е^-метод. Обработка экспериментальных данных, полученных на аэродинамических профилях, конусах, пластинах и телах вращения, показала [4], что в малошумных аэродинамических трубах и в натурных условиях е^-метод предсказывает местоположение перехода с относительной погрешностью приблизительно 11%. Обзор результатов применения данного метода для расчета положения точки перехода на стреловидных крыльях большого удлинения дан в [5].

В настоящей работе с позиций амплитудного метода рассмотрена физическая -модель ламинарно-турбулентного перехода, которая согласуется с е^-методом. Использован упрощенный вариант е^-метода, позволяющий нам-

ного сократить трудоемкость расчетов чисел Рейнольдса перехода. С его помощью обработаны данные экспериментов, выполненных на пластинах, конусах и аэродинамических профилях при дозвуковом обтекании.

1. Рассмотрим трехмерное течение в пограничном слое на стреловидном крыле большого удлинения,обтекаемого потоком со скоростью и«,. Ортогональная система координат х, у, г показана на рис. 1, кривая /—линия

тока на внешней границе пограничного слоя. Предполагается, что хорда крыла с, его размах / и толщина пограничного слоя 6 удовлетворяют условию б'СС'С/. В этом случае неустойчивые возмущения фиксированной частоты со, амплитуда которых мала, а характерная длина волны А,~8, описываются квазиволновыми решениями линеаризованных уравнений Навье — Стокса [6]

Здесь А — комплексная амплитуда, а, р— комплексные волновые числа, I—время. Вещественная часть ф определяет пульсации некоторой физической величины. Далее полагается, что Ие(ф) соответствует пульсациям ^-компоненты скорости.

Физический смысл имеют только те квазиволны, траектория которых лежит в области вещественных значений х, г [6], т. е.

где соа= д(о/дх, (1>р=да)/(?р — компоненты групповой скорости. Соотношение

(1) совместно с дисперсионным соотношением <1) = й>(а, р) дают три условия для определения четырех величин <Хг, а„ Р; (индексы г, г обозначают вещественную и мнимую часть комплексных величин соответственно). Следовательно, одна из них произвольна. Пусть это будет вещественная часть волнового числа в ¿-направлении рг. Тогда допустимые квазиволновые решения образуют семейство, зависящее от независимых параметров м, рл. Используя (1), представим квазиволну, начинающую развитие из точки хо, в виде

Инкремент нарастания волны в ¿-направлении определяется соотношением

0= — 1Ш (а+ р(1>|)/а>а) .

В е -методе расчет положения точки ламинарно-турбулентного перехода х* выполняют следующим образом [4 — 6] (здесь и далее х* — координата

V.

Рис. 1

(} = А(х,у,г, а, р, (о) ехр І і ^ асіх + і $ р(іг —

V *0 г0

— І<ДІ І .

(О

(2)

ю

точки начала перехода, конкретное значение которой зависит от способа измерений и выбирается каждый раз в соответствии с обрабатываемым экспериментом). Для заданных со, рг вычисляют кривые нарастания отдельных квазиволн, начиная от точки потери устойчивости д:п.у(со, рЛ)

Точку начала перехода определяют из условия N(x+, со*. ßr*) = N*, где ю,, ß<-* — частота и волновое число, при которых впервые достигается критическое интегральное усиление N+. Величину N+ находят с помощью обработанных экспериментальных данных. Параметры со*, р,* определяют графически, выстраивая огибающую семейства кривых N(x, со, ßr).

Рассмотрим следующую физическую модель. Пусть внешние возмущения возбуждают квазиволны с почти одинаковой начальной амплитудой, слабо зависящей от х, z, со, ßr. Возбуждение происходит со случайной фазой, так что между отдельными волнами нет корреляции. Переход к турбулентности вызывается квазиволной, которая первой достигает пороговой амплитуды е*. Проанализируем данную модель с позиций амплитудного метода. Предположим, что амплитуда возбуждаемых квазиволн пропорциональна амплитуде фоновых возмущений ef. Тогда амплитуда А в (2) имеет вид A — eF qoAs(a, со, ß„ х, у, г), где qo—коэффициент преобразования фонового возмущения в квазиволну, j4s — собственная функция, такая, что max,,|/4S|= 1. Максимальная по у амплитуда пульсаций в квазиволне определяется соотношением

Точка начала перехода дс*, в которой волна достигает критической амплитуды е*, определяется из уравнения

Параметры дг0*, со*, соответствуют квазиволне, которая первой достигает критической амплитуды, и выбираются из условий максимума по хо, и, Рг левой части уравнения (3). В результате приходим к системе уравнений для определения точки перехода

X

N= ( о(со, ß„ x)dx.

*п.у (“•(>«■)

Х*

(3)

(4)

**

J а(со, ßr, x)dx= N*, Xq = xn у (со, ßr),

(5)

(6)

(7)

Видно, что процедура решения системы (5) — (7) соответствует е^-методу при заданном эмпирическом значении N+. Таким образом, установлено соответствие между е -методом и рассмотренной физической моделью. Эмпирическая константа определяется соотношением (4) в рамках амплитудного метода. Она слабо (по логарифмическому закону) зависит от коэффициента <7о, уровня фона ef и критической амплитуды е*. Это оправдывает применяемое на практике предположение N* = const для условий обтекания с близкими по порядку величины интенсивностями фона.

Оценим порядок N* для двумерного пограничного слоя, когда переход обусловлен развитием волн Толлмина — Шлихтинга. Из теоретических расчетов [7], выполненных для пограничного слоя на плоской пластине, следует, что <7о~Ю-2. В малотурбулентных аэродинамических трубах амплитуда среднеквадратичных фоновых пульсаций составляет ef«10“4 от скорости набегающего потока. Критические амплитуды для волн Толлмина — Шлихтинга е*«10-2 [1, 2]. Следовательно, Л^ж1п • 104 = 9,2, что согласуется с эмпирическими значениями УУ* = 9— 11 [4].

2. Расчеты положения точки перехода по е^-методу в полной постановке требуют больших затрат машинного времени, особенно при рассмотрении трехмерного пограничного слоя на стреловидном крыле. Поэтому в приложениях часто используют усеченные варианты е^-метода, вводя упро-* щающие предположения. Для двумерных пограничных слоев при дозвуковых скоростях обтекания обычно рассматривают только плоские возмущения, принимая ß = 0. При расчетах характеристик устойчивости трехмерных пограничных слоев предполагают, что вектор групповой скорости неустойчивых квазиволновых решений направлен вдоль линии тока на внешней границе слоя. Тем самым исключают процедуру расчета (оа, top в каждой точке. При анализе развития неустойчивости поперечного течения вблизи передней кромки стреловидного крыла ограничиваются рассмотрением возмущений с нулевой частотой, учитывая тот факт, что инкременты роста для со = 0 близки к максимальным значениям.

Широко распространен усеченный вариант ^-метода, получивший название «метод огибающей» [8]. В нем предполагается, что линии равного уровня до /dßr = const слабо зависят от продольной координаты х. Тогда интегральное условие (7) можно заменить локальным условием до/д$г(х)— 0. Т. е. в методе огибающей при расчете возмущений фиксированной частоты выбирают в каждой точке х такие волновые числа ßr, которые соответствуют максимальным инкрементам роста. Однако даже в этом случае процедура расчета остается слишком громоздкой.

Естественно сделать следующий шаг в упрощении метода, заменив интегральное условие (6) локальным соотношением до/дсо(дг)=0. Тогда вместо семейства кривых нарастания N(х, w, ßr) достаточно вычислить одну кривую N(х, со*, ß,*), для которой параметры со*, ßr* выбираются из условия максимума инкрементов нарастания в каждой точке х. Количество определяющих параметров резко сокращается, что позволяет заранее рассчитать достаточно подробные таблицы максимальных инкрементов роста ат для различных типов неустойчивости и по ним вычислять ожидаемую точку перехода х* [9]. Критические значения N* будут здесь значительно больше, чем в строгом варианте е^-метода. Однако для практических целей важна не сама величина JV*, а погрешность в определении положения точки перехода при фиксированном значении УУ*.

Для реализации метода использовались таблицы максимальных инкрементов нарастания волн Толлмина — Шлихтинга в двумерном пограничном слое сжимаемого газа на теплоизолированной поверхности [9]. Таблицы составлены по следующим параметрам: местное число Маха Ме; параметр градиента давления Ле=2l,dUе/дЬ,/Uе, I = \х0реи e\iedx (Ue, ре, Це — скорость, плотность и динамическая вязкость на внешней границе пограничного слоя); число Рейнольдса Re = {Uepex/\ie)1/2- Температура торможения Го =310 К, число Прандтля 0.72, показатель адиабаты 1.4.

Для расчета положения точки перехода выполнялась следующая последовательность вычислений. По заданной геометрии профиля рассчитывалось внешнее невязкое обтекание сжимаемым газом с помощью пакета программ

[10]. Местные параметры пограничного слоя вычислялись интегральным методом вплоть до точки ламинарного отрыва, если таковой имелся [10]. С помощью квадратичной аппроксимации таблиц характеристик устойчивости определялись максимальные инкременты нарастания ат(дс) и рассчитывалась кривая интегрального усиления

X

N( х) = ^ omdx.

v,

Для определения критического значения N* выполнена обработка экспериментов, проведенных в малошумных дозвуковых аэродинамических трубах на плоской пластине. Результаты экспериментов разных авторов взяты из

[11]. Найдено среднее значение N*=19, которое затем использовалось для расчета положения точки перехода при дозвуковом обтекании конусов и аэродинамических профилей. В тех случаях, когда происходил отрыв ламинарного пограничного слоя прежде, чем достигалось критическое усиление N*, за точку перехода принималась точка ламинарного отрыва. Ее координата определялась из условия Ае=— 0,1988.

На рис. 2 показан результат расчета положения точки перехода на профиле NACA 0012, обтекаемом при нулевом угле атаки. Результат сравнивается с экспериментом, выполненным в малошумной аэродинамической трубе. Число Маха набегающего потока Моо = 0,25, число Рейнольдса, рассчитанное по хорде профиля, Rec= ¿/00р<х,с/ц<х> = 7Х 106. Кривая /— распределение коэффициента давления ср = 2(р —p00)/(p<x,í/L) на верхней поверхности профиля, 2—кривая нарастания волн Толлмина — Шлихтинга. Здесь и далее стрелкой отмечено экспериментальное значение jc*, горизонтальная и вертикальная (рис. 3, 4) линии со штриховкой—ограничения по критерию Nm и по отрыву ламинарного пограничного слоя соответственно. На рис. 3 показан результат обработки натурного эксперимента, выполненного на манжете с ламинаризованным профилем' [12]. На верхнем графике точками изображено экспериментальное распределение давления на верхней поверхности, сплошная линия — результат расчета. Обтекание соответствует коэффициенту подъемной силы с#=0,35, числу Маха Моо = 0,27, Rec = 12,6Х Ю6. Ниже показана кривая нарастания. Видно, что зона перехода располагается вблизи отрыва. Вследствие этого наблюдается резкий рост N(x). Рис. 4 иллюстрирует случай, когда переход обусловлен отрывом ламинарного пограничного слоя. Расчет выполнен для профиля крыла биплана [13] при натурных условиях су = 0, М«> = 0,25, Rec= 3.68Х 10'. Положение точки перехода в эксперименте определялась методом сублимирующих покрытий и соответствовало положению точки присоединения турбулентного слоя к обтекаемой

поверхности. Так как в расчете не учитывалась протяженность зоны отрыва, теоретическое положение точки перехода сдвинуто вверх по потоку от экспериментального.

Сводный график результатов сравнения теоретических Rer и экспериментальных Re3 чисел Рейнольдса перехода Re= приведен на рис. 5.

Режимы обтекания, соответствующие различным точкам, указаны в таблице. Видно, что наибольшее расхождение теории и эксперимента наблюдается для плоской пластины (круглые точки). Для градиентных течений на аэродинамических профилях погрешность расчета значительно ниже. Это связано с тем, что для пограничных слоев на профилях, как правило, происходит резкий рост интегральных кривых усиления Л^(дс) на участках положительного градиента давления (рис. 2,3). В результате большая погрешность в определении Л/* приводит к малой погрешности в расчете положения точки перехода.

Точки на рис. 5 Обтекаемое тело Условия эксперимента Ссылка на работу

О плоская пластина аэродин. трубы со степенью турбулентности <0,1% [И]

V конус с углом раствора 10° натурный эксперимент [15]

Л «С трансзвуковая аэродин. труба [15]

□ профиль NACA 0012 дозвуковая аэродин. труба [4]

V ламинаризованный профиль натурный эксперимент (12]

■е- профиль NACA 65-114 аэродин. труба 14]

При числах Рейнольдса 1?е<ЗХЮ6, переход обусловлен ламинарным отрывом (рис. 4). Из экспериментов [14] известно, что в зоне отрыва происходит быстрая турбулизация течения с последующим присоединением турбулентного пограничного слоя. Расстояние от точки отрыва до точки турбулентного присоединения обычно мало. Этим объясняется удовлетворительное согласование теоретических и экспериментальных чисел Рейнольдса перехода для точек, лежащих левее соответствующих точек режимов обтекания плоской пластины на рис. 5.

В заключение отметим, что несмотря на предположения, принятые в предлагаемом упрощенном варианте е^-метода, наблюдается удовлетворительное соответствие с экспериментами, выполненными в малОшумных аэродинамических трубах и в натурных условиях.

ЛИТЕРАТУРА

1. Качанов Ю. С., Козлов В. В., Л е в ч е н к о В. Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. — Новосибирск: Наука, 1982.

2. Жигулев В. Н., Т у м и н А. М. Возникновение турбулентности. Динамическая теория возбуждения и развития неустойчивостей в пограничных слоях. — Новосибирск: Наука, 1987.

3. М а с k L. М. A numerical method for the prediction of high speed boundary-layer transition using linear theory. — NASA SP-347, 1975.

4. J a f f e N. А., О к a m u г а Т. Т., S m i t h A. M. O. Determination of spatial amplification factors and their application to predicting transition.—AIAA J., 1970, N 2.

5. H e f n e r J. N.. В u s h n e 11 D. M. Application of stability theory to Laminar Flow Control.—AIAA Paper, 1979, N 265.

6. Nay f eh A. H. Stability of three-dimensional boundary layers.— AIAA J. 1980, vol. 18, N 4.

7. Федоров А. В. Возбуждение волн неустойчивости в пограничном слое сжимаемого газа под действием акустического поля. — В сб.: Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1982, т. 13, № 3.

8. Srokowski A., Orszag S. A. Mass flow requirements for LFC wing design. — AIAA Paper, 1977, N 1222.

9. Воинов Л. П., Жигулев В. Н.Лозино-Лозинский Г. Е. Проблемы создания инженерного метода анализа устойчивости пограничного слоя и расчета числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода. — Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, Препринт № 31, 1985.

10. Пономарев В. И., Глущенко Г. Н. Интегральный метод расчета плоского и осесимметричного сжимаемого пограничного слоя, основанный на комбинированном законе сопротивления трения и расчете эквивалентной пластины. —Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2265.

11. Поляков Н. Ф. Ламинарный пограничный слой в условиях «естественного» перехода к турбулентному течению.— В сб.: Развитие возмущений в пограничном слое. — Новосибирск, ИТПМ СО АН СССР, 1979.

12. Obara С. J. Flight-measured laminar boundary-layer transition phenomena including stability theory analysis. —NASA Tech. Paper, 1985, N 2417.

13. Holmes B. J., О b a r a C. J., Y i p L. P. Natural laminar flow

experiments on modern airplane surfaces. — NASA Tech. Paper, 1984, N 2256.

14. Довгаль А. В., Козлов В. В., Косорыгин В. С.,

Рамазанов М. П. Влияние возмущений на структуру течения в области

отрыва. —ДАН СССР, 1981, т. 258, № 1.

15. Harvey W. D. Some anomalies between wind tunnel and flight transition results. — AIAA Paper, 1981, N 1225.

Рукопись поступила 5/1 1988