Численный анализ характеристик пакета волн Толлмина Шлихтинга в пограничном слое на плоской пластине Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Т о м XV

1984

№ 2

УДК 532.526.013

ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ ХАРАКТЕРИСТИК ПАКЕТА ВОЛН ТОЛЛМИНА - ШЛИХТИНГА В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ НА ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЕ

Приводятся результаты численных расчетов характеристик пакета волн неустойчивости (волн Толлмина — Шлихтинга) в пограничном слое на плоской пластине.

В настоящее время разрабатываются разнообразные методы расчета точки перехода ламинарного пограничного течения в турбулентное на основе теории гидродинамической устойчивости [1]. Механизм турбулизиции течения в пограничном слое в свете современных представлений заключается в возбуждении волн неустойчивости, которые усиливаются вниз по потоку в соответствии с линейной теорией, достигают некоторой критической амплитуды, после чего наступает нелинейная стадия развития и происходит быстрый переход к турбулентному режиму. В связи с тем что задача о возбуждении волн Толлмина — Шлихтинга достаточно громоздка в вычислительном отношении, в ближайшее время будут, по-видимому, использоваться полуэмпирические методы типа [1]. Согласно, например, методу [1] рассчитываются коэффициенты усиления возмущений для различных частот и на основе экспериментальных данных определяется критическое значение коэффициентов усиления, соответствующее переходу ламинарного течения в турбулентное. При переходе к течениям сжимаемого газа задача становится многопараметрической, что исключает возможность создания таблиц, аналогичных приведенным в [2], пригодных в практических расчетах. В работе [3] было предложено анализировать в каждой точке обтекаемой поверхности возмущение, имеющее наибольшую скорость усиления, и по этим экстремальным значениям рассчитывать развитие возмущений вдоль направления вектора групповой скорости („метод огибающей“). Как показано в работах [4, 5], метод огибающей соответствует анализу развития пакетов волн Толлмина — Шлихтинга.

Рассмотрим волны неустойчивости в пограничном слое на плоской пластине. Координату х направим от передней кромки вниз по потоку, координату у—по нормали к обтекаемой поверхности пластины. Ось Ог будет направлена вдоль передней кромки. Развитие пакета волн Толлмина — Шлихтинга определяется интегралом [4, 5]:

где t — время; Ь — некоторая траектория в пространстве (х, г, ().

При независимых параметрах а, ¡3 частота <о находится из условия разрешимости задачи на собственные значения (см., например, [4]) и в общем случае

А. М. Ту мин

(1)

£

является комплексной. Обычно предполагается, что с — аналитическая функция переменных а, р. Интеграл в (1) вычисляется с помощью метода перевала [4, 5]. При этом основной вклад в интеграл дают a, g, удовлетворяющие уравнениям:

1га (о>а) = 1т (<ор) =0, (2)

где ша, «р — х- и «-компоненты групповой скорости. Траектория распростра-

нения пакета L, вдоль которой вычисляется интеграл, входящий в определение функции F из (1), задается уравнениями

dx dz /п\

= %> ----= “а- (3)

dt dt р Так как условия (2) соответствуют максимальному значению инкремента нарастания мг, то анализ интеграла (1) совпадает с анализом .огибающей“ [3] с точностью до множителя, слабо зависящего от координаты х.

В настоящей работе были выполнены расчеты характеристик пакетов волн Толлмина — Шлихтинга в пограничном слое на плоской пластине при различных числах М. Для этого был разработан пакет вычислительных программ расчета устойчивости пограничных слоев в сжимаемом газе. Исходные уравнения и методы расчета компонентов групповой скорости приведены в [4]. Во всех примерах в данной работе полагалось число Прандтля равным 0,72, температура торможения 310 К, показатель адиабаты 1,41. Условием окончания поиска экстремума было J Im (<*>Œ) |, | Ira (о>р) I-<4-10—4. На рис. 1 представлена зависимость .^-компонента групповой скорости распространения пакета <ла (в единицах

скорости набегающего потока U0) от величины R = У Voxl'1 (v—кинематический коэффициент вязкости в набегающем потоке) при числах М = 0,02, 0,6 (кривые

1, 2 соответственно). Видно, что групповая скорость растет с увеличением числа М и медленно убывает при возрастании R. На рис. 2 представлена зависимость as = «¿/Real (<оа) (в единицах УV0/vx ) от R при М =0,02, 0,6 (кривые 1, 2

соответственно). На рис. 3 приведено сравнение данных [6] для коэффициентов

х

усиления К (х, хп у) = j" asdx (хп у — точка потери устойчивости) монохрома-

хп. у

тических возмущений, соответствующих значениям частотного параметра F=o>4lUl: 44-10 в> 64-Ю-в и 88* 10—6 (кривые 1, 2, 3), и коэффициент усиления, рассчитанный по „методу огибающей“ (кривая 4). Из рис. 3 следует, что законо-

II ,2

0,5

0,3

200 500 то.

Рис. 1

Рис. 2

W tg Ф Ч-

3

2

1

0

tgtp

- г

- 1

L о

X /

/

/ 1

/ / — 1

200 500 WOO

Рис. 4

мерности развития волн неустойчивости в пакете существенно отличаются от закономерностей развития монохроматических возмущений. На это обстоятельство, как на известный экспериментальный факт, указывалось в работе [7],

Широко известен результат [8] (ссылка дается по работе [9]), заключающийся в том, что при М>1 экстремальное значение скорости нарастания возмущения может быть при ф = arctg (ß/a)-^0. На рис. 4 приведены зависимости tg ф (сплошная линия) и tg<t> = «>p/u>a (пунктирная линия) от величины R для чисел М=1,0 и 1,5 (кривые 1, 2 соответственно). Видно, что при R = 1500 значение ip достигает 27° (М = 1) и 51° (М = 1,5), в то время как величина Ф<3°.

Расчет вплоть до М = 3 также показал, что при R = 1500, как и в работе [8],

41 достигает значения 65°, но при этом угол Фя; 3°. Смысл этого результата заключается в том, что при М>1 для отдельного импульсного возмущения пограничного слоя в асимптотике возникает тенденция к расплыванию на два симметричных пакета с направлениями dzjdx ä ±tg3°. Однако величина угла между направлениями слишком мала, чтобы зарегистрировать ее в эксперименте прежде, чем произойдет переход к турбулентному режиму течения.

Как показывают результаты данной работы, „метод огибающей“, по-види-мому, позволяет дать оценку снизу для числа Рейнольдса перехода. Если

в реальных условиях переход ламинарного пограничного слоя в турбулентный будет вызываться монохроматическими возмущениями, то он произойдет,

вероятно, при больших числах Рейнольдса, чем рассчитанное значение для пакета волн неустойчивости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Jaffe N. A., Ok amura T. T., Smith A. M. Determination of spatial amplification factors and their application to predicting

transition. — AIAA J., 1970, vol. 8, N 2.

2. Л e в ч e h к о В. Я-, Володин А. Г., Гапонов С. А, Характеристики устойчивости пограничных слоев. — Новосибирск: Наука, 1975.

3. Srokowski A. J. Development of advanced stability theory

suction prediction techniques for laminar flow control. — NASA-CP-2036,

1978, Part 1.

4. Nayfeh A. H. Stability of three-demensiona! boundary

layers. — AIAA J., 1980, vol. 18,. N 4 (PTK, 1980, N 5).

5. Жигулев В. H. О возбуждении и развитии неустойчивостей в трехмерном пограничном слое. — Препринт № 3—82. Новосибирск: ИТПМ СО АН СССР, 1982.

6. Ту мин А. М., Шепелев В. Е. Численный анализ развития возмущений в несжимаемом пограничном слое на плоской пластине. Численные методы механики сплошной среды. — Новосибирск, 1980, т. 11, № 3.

7. Gaster М. Propagation of linear wave packets in laminar boundary layers. — AIAA J., 1981, vol. 19, N 4.

8. Mack L. M. — JPL Preprint 900-277, 1969.

9. Reshotko E. Boundary layer stability and transition. — Ann.

Rev. Fluid Mech., 1976, vol. 8.

Рукопись поступила 27/IX 1982 г.