Всплесковое (вейвлетное) разложение пространств периодических B-сплайнов второй степенина неравномерной сетке Текст научной статьи по специальности «Математика»

Ю. К. Демьянович, А. В. Зимин

ВСПЛЕСКОВОЕ (ВЕЙВЛЕТНОЕ) РАЗЛОЖЕНИЕ ПРОСТРАНСТВ ПЕРИОДИЧЕСКИХ В-СПЛАЙНОВ ВТОРОЙ СТЕПЕНИ НА НЕРАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ*

Вейвлетам посвящено большое количество работ (см., например, работы [1-3] и библиографию в них). Вейвлетные разложения вложенных пространств с локальным вейвлетным базисом на равномерной сетке рассмотрены I.Daubechies, A. Cohen, J.-C. Feaveri, W. Sweldens (библиографические ссылки можно найти в [3, стр. 271, 273, 275]). Для аппроксимации функций с особенностями необходимо использовать неравномерную сетку, а для эффективности вычислений требуется локальность и гладкость вейвлетного базиса. Непериодический случай на неравномерной сетке в определенной степени рассмотрен ранее одним из авторов настоящей работы (см. [4]).

Цель данной работы — предложить всплесковое (вейвлетное) разложение пространств периодических В-сплайнов второй степени на неравномерной сетке, определить гладкий (класса C1) локальный вейвлетный базис, а также вывести соответствующие формулы декомпозиции и реконструкции.

1. Некоторые обозначения

Пусть Z — множество всех целых чисел, а N — натуральное число; положим

Yn =f {0,1, 2,...,N — 1}, YN =f {1, 2,...,N — 1}. На вещественной оси R1 рассмотрим

для которой Ишу^_то ху = —то, Ишу^+то ху = +то. Отрезки [ху ,Ху+1 ] называются элементарными промежутками сетки X.

Полиномиальный В-сплайн второй степени ^ € ^), определяемый формулами

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №04-01-00692 и №04-01-00026).

© Ю.К.Демьянович, А.В.Зимин, 2006

сетку X =f {xj }jez,

X : ... < x_i < xo < xi < ...,

(1.1)

uf(t) = (t — xj )2(xj + 1 — xj) 1 (xj+2 — xj) 1 при t e [xj, xj + 1), (1.2)

шj (t) = (xj+2 — xj ) (xj+2 — xj+1) (xj+3 — xj + 1) x

X (xj — xj+2 — xj+3 + xj + 1) t — 2(xj+1 xj — xj+2xj+3) t + xjxj+1 xj+3

xjxj+2xj+3 + xjxj+1xj+2 xj+1 xj+2xj+3 при t e [xj+1 ,xj+2), (1.3)

uf (t) = (t — xj+3)2(xj+3 — xj+2)_1(xj+3 — xj + 1)_1 при t e [x j+2, xj+3 ], (1.4)

(так что supp uf = [xj,xj+3]), (1.5)

при t e (xk ,xk+1) удовлетворяет аппроксимационным соотношениям

k

j=k_2

k .

E «)■<. <L7>

j = k-2

k

У xj+ixj+2 (t) = t2. (1.8)

j = k-2

Аппроксимационные соотношения ( 1.6)—( 1.8), рассматриваемые при фиксированном t G (xk, xk+i) как система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных uf (t), j = к — 2,к — 1,k, однозначно определяют функции ш? (t) на промежутках (xk, xk+i) при любом к G Z. Как известно, функции ш? непрерывно дифференцируемы на Ri (см., например, [5, стр. 19-21]).

Пусть c — некоторое вещественное число, c G R1. На вещественной оси R1 рассмотрим сетку { x j }jeZ, где x j =f xj — с и при t G ( x k,x k+l) определим функции Ш j (t) тождествами

k

E шf(t) = i, (1.9)

j=k-2 k c c

E &?(«)■«. (1.10)

j=k-22

k

У x j+1 x j+2 шB (t) = t2. (1.11)

j=k-2

Из соотношений (1.6)—(1.8) при t + c G (xk, xk+l) имеем

k

]T j (t + c) = 1, (1.12)

j=k-2

k

j=k-22

k

У xj+ixj+2 (t + c) = (t + c)2. (1.14)

j=k-2

Из (1.13) с помощью (1.12) выводим

У {Xj+1 ~ С) t {Xj+2 ~ С) ujf(t + c) =t, (1.15)

2j

j=k-2

а переписывая (1.14) в виде У~]k=k-2 xj+ixj+2 uf (t + c) = t2 + 2c (t + c) — c2 и применяя

(1.12) и (1.13), находим J2j=k-2 xj+ixj+2 uf (t + c) = t2 + c ^j=k-2 (xj+i + xj+2) (t +

c)— c2 J2k=k-2 (t+c). Отсюда получаем ^k=k-2 (xj+ixj+2 —c(xj+i +xj+2)+c2j (t+

c) = t2 ; это эквивалентно тождеству

k

У, (xj+i — c)(xj+2 — c) (t + c) = t2. (1.16)

j=k-2

Используя обозначения для новой сетки X j = Xj — с, при t + с € (xk, Xk+i) (что эквивалентно импликации t € (X k, x k+i)) из (1.15) и (1.16) получаем

k С Iе

i: (i.i7)

j=k-2

k

E Xj + 1Xj+2 ij(t + C) = t2 (1'18)

j = k-2

Рассмотрим тождества (1.9)—(1.11) и (1.12), (1.17)—(1.18) как два варианта одной и той же системы линейных алгебраических уравнений: первый из них относительно неизвестных Не j (t), а второй — относительно неизвестных ijj (t + с). Учитывая соотношения supp i j = supp ij(• + с) = [X j, X j+з] и принимая во внимание единственность решения рассматриваемой системы уравнений, находим

(t + с) = ij (t) yt € R1. (1-19)

Определение 1. Пусть а — положительное вещественное число. Если Xj € [0,а)

при j € Yn и если Xj+N = Xj + а для всех j € Z, то сетку (1.1) будем называть

(а, N)-периодической сеткой.

В дальнейшем будем считать, что N ^ 4 и сетка X вида (1.1) является (1, ^-периодической сеткой, а кроме того, xo =0, xn = 1. Для такой сетки очевидно соотношение

Xj-N = Xj — 1 yj € Z. (1-20)

Пусть функции ij(t) построены по формулам (1.2)—(1.5) для только что упомянутой сетки. Возьмем с =1; согласно введенным обозначениям x j = Xj — 1, и благодаря (1.20) имеем

X j = Xj-N, ij (t) = ij-N(t) yt € R1. (1-21)

Воспользуемся соотношением (1.19) при с = 1:

ij (t + 1) = i j (t) ij (t) = i j (t — 1) yt € R1;

отсюда ввиду тождества в (1.21) находим ijj (t) = ijj—N(t — 1) yt € R1. Теперь легко получается тождество

(t) = ij+qN(t + q) yj,q € Z, t € R1. (1.22)

Пусть C1 —линейное пространство непрерывно дифференцируемых функций u(t) с периодом 1, u(t + 1) = u(t), t € R1. Рассмотрим 1-периодические функции üj(t), j € Yn, определяемые на промежутке [0,1) формулами

üj (t) = ijj (t) yt € [0,1) при j € Yn-2, (1.23)

üN — 2 (t) = ij—2 (t) yt € [xn-2, 1), üN—2 (t) = i—2 (t) yt € [0, XN-2), (1.24)

üN—i(t) = ij— i(t) yt € [xn—1, 1), üN —i(t) = i—i(t) yt € [0, XN—1). (1.25)

Из формул (1.22)—(1.25) следует, что

üj € C1, supp üj = У [xj + q, Xj+з + q]. (1.26)

qGZ

Вещественная ось Ri представляет собой абелеву группу относительно сложения, а Z является ее подгруппой; рассмотрим фактор-группу O1 d=fR1 /Z. Очевидно, что при каждом фиксированном t € [0,1) множество точек вида {t + q | q € Z} является элементом множества Oi, и элементы этого множества находятся во взаимно-однозначном соответствии с точками t промежутка [0,1). Отождествление правой предельной точки этого промежутка с его началом 0 порождает на Oi топологию окружности (окружность O1 можно считать ориентированной в соответствии с ростом параметра t € [0,1)). В дальнейшем 1-периодические функции будем считать заданными на окружности Oi и будем обозначать ее точки по-прежнему через t. Таким образом, функции üj (t) также считаются заданными на O1. Для удобства при каждом фиксированном j € Yn все узлы вида Xj+qN, q € Z, будем отождествлять между собой; при каждом фиксированном j € Yn определим также функции ü j+qN тождеством

üj+qN (t) = üj (t) yq € Z yt € O1 (1.27)

(последнее означает, что при каждом фиксированном j € Yn функция üj имеет также имена üj+qN, yq € Z).

2. Биортогональная система функционалов

В пространстве C1 рассмотрим линейные функционалы g(i), i € Yn, определяемые формулой

(g(t\u) d=f u(xj+i) + (xj+2 — Xi+i)u '('Xi+i)/2 yu € C1. (2.1)

Для удобства будем их записывать в виде дМ 2 — ж*+і)ж)

тождественный оператор, —оператор дифференцирования, означает подста-

\г—хі+і

, где I

t=xi+i

новку t = Xi+i (впрочем, внешние круглые скобки в этой записи будем опускать). Результат действия функционала g(i) на функцию и определяется значением этой функции и ее производной в точке Xi+i; эту точку называем носителем функционала g(i) и пишем supp g(i) = Xi+i. Для удобства дальше часто рассматриваем функционалы g(j) при всех j Є Z, а именно, при каждом і Є Yn полагаем g(i+qN) = g(i) Уц є Z.

Теорема 1. Система функционалов {g(i)}ieYw биортогональна системе B-сплайнов {Пв}jeYw, т. е. (g(i\ ) = 5i,j.

Доказательство. Используя соотношения (1.2) и (2.1) и введенные выше отождествления функционалов и узлов, при і = j имеем

(^1 + ~{xj+2 - Xj+1)— ^ , (t - Xjf^{Xj+2 - Xj) 1(Xj_|_ 1 - Xj)

(xj+1 - Xj) (xj+1 - Xj) + \{xj+2 - xj+1)2 (xj+2 - Xj) L(xj+1 - Xj) L. (2.2)

75

Из (2.2) получаем

<д^, О*) = 1. (2.3)

При вычислении значения функционала д(^+1) на функции О* воспользуемся формулой (1.4); находим

(дЬ+1)= (1+ ^(хпз -ж,-+2)^ ^^(¿-ж,-+з)2^х

х(Ху+3 — Ху+1 )-1(Ху+з — Х'+2)-1; (2)

из (2.4) выводим соотношение

<^'+1), О*) =0. (2.5)

Итак, рассмотрены случаи, когда г € {з + д,з + 1 + д | Уд € Ъ}. Для остальных г, г € {з+д,3 + 1+д | Уд € Ъ} можно выбрать инцидентный точке х^+1 промежуток (см. (1.26)), где функция О* (£) тождественно равна нулю, и потому с учетом отождествлений (1.27) для этих г можно записать

<9(г), О*) =0 при г / {з + ц,3 + 1 + д 1Уд € Ъ}. (2.6)

Соотношения (2.3), (2.5) и (2.6), установленные выше, доказывают теорему. ■

3. Построение вложенной сетки

Теперь положим

Х0Л=Х0, ХуЛ= Ху+1 при ] € ¥]у_1, £а=Ж1. (3.1)

Аналогично предыдущему, для удобства при фиксированном з € ¥^-1 введем на К1

узлы

^•+д(дг-1)=£^ + д Уд € 2 (3.2)

(в результате на К1 получается (1,М — 1)-периодическая сетка), а переходя на окружность О1, произведем их отождествление.

Периодические В-сплайны второй степени 0,^ , € ¥дг_1, построенные с исполь-

зованием новой сетки Х\, представляются теми же формулами (1.2)—(1.5) с заменой узлов Ху сетки X на узлы ~Ху сетки Х\, а также аналогами формул (1.23)—(1.25):

^(¿) = УЬ € [0,1) при 3 € ¥дг_3,

^ЛГ-з(^) = ^М-З^) У* € [хдг_з, 1), Г2дГ_з(4) = ЮВ_2{1) У* € [0, Ждг_з),

^N-2^) = ^N-2^) У* € \xn~2, 1), ^N-2^) =^ВЛг) У^ € [0, Ждг_2). (3.3)

Для удобства вводим для них дополнительную нумерацию, при фиксированном з €

¥^ -1 полагая

!)(*) = «?(*) У?е2 \fte01. (3.4)

Очевидно, что для _7 ^ {—2, —1,0} сплайны совпадают с рассмотренными ранее:

?^(*)=^(*), (*) = П# (*), ..., п£_4(*) = П%_3(1). (3.5)

При _7 € {О, N — 3, N — 2} сплайны могут быть представлены в виде линейной комбинации сплайнов ЦВ и ^|+1 (см. ниже теорему 2).

Согласно теореме 1 система функционалов {д(г\ и) =£и(х^1)-\-^(х^2 — х^\)и '(ж^х), О € ¥дг_1, биортогональна системе сплайнов {^2^}^е¥лг-1 • Нетрудно видеть, что

д(г) = д(г+1) при % € ¥^_2; (з.б)

заметим, что функционал = д^~2'> не содержится во множестве функционалов

{д(^)}jeYN, а функционалы д(-1) = д(м-1) и д(0) не содержатся во множестве функционалов {9М }*е¥лг_1-

4. Вспомогательные утверждения

В этом пункте рассматриваются представления сплайнов Г2 • , = —2,—1,0, через

сплайны , % = —2, —1,0,1. Здесь используются 1-периодичность рассматриваемых функций, (1, Ж)-периодичность сетки {х^} и (I, N — 1)-периодичность сетки {х^}, а также принятые ранее отождествления узлов {х^} с узлами {а^} (см. формулы (1.20),

(3.1), (1.27), (3.2)-(3.4)).

Лемма 1. Справедливо тождество

ыв2{г) = о,в2{г) + {х1-С){х1-х-1)-1о,в1{1) Шем1. (4.1)

Доказательство. Ввиду альтернативного задания функций Г2^2(£), 0J31(t)

и их 1-периодичности доказательство тождества (4.1) достаточно провести на четырех элементарных промежутках сетки X, содержащихся в носителе функции П_2,

supp 0^2 = [Х-2,Х2], т. е. на промежутках \х—2,х—\\, [ж_1,жо], [xo,xi], [жi, Ж2]-

1. Пусть t € [x-2,x-i]. Тогда левая часть соотношения (4.1) дается формулой (1.2), в которой j = —2, Xi = Xi, i G {—2, —1,0}, следовательно

^-2^) = (t - x-2)2(xo - ж_2)-1(х-1 - S-2)_1- (4.2)

Для первого слагаемого правой части соотношения (4.1) на промежутке t € [x_2,x-i] справедлива формула (1.2); ее перепишем с учетом равенств (3.1):

^Б2^) = (t - х-2)2(х0 - ж_2)-1(х-1 - Х-2)-1- (4.3)

Правые части формул (4.2)—(4.3) совпадают, следовательно Г2^2(^) = ^ ^

[x_2,x_i]. Для доказательства тождества (4.1) осталось лишь учесть, что второе слагаемое правой части при рассматриваемых t равно нулю, ибо supp i^i = [x_i, x2].

2. Пусть t € [x_i,xo]. Тогда левая часть соотношения (4.1) дается формулой

(1.3), где j = —2, Xi = Xi, i G {—2,-1,0,1}, и потому = (xq — Ж-2)_1(^о —

x^i)^1(xi —x_i)_1 (x—2 — xo — xi + x_i) t2 — 2(x-{x-2 — xqX\) t + x_2X-1X1 —ж_2Жо^1 + ж_2х-1^о — x-ixqxi . Первое слагаемое правой части вычисляется по формуле (1.3) при j = —2; перейдем в нем к обозначениям, используемым для узлов сетки Х\ (см.

(3.1)): f2^2(i) = (*о -ж_2)_1(жо -x_i)_1(^-x_i)_1 (ж_2 -жо -£ + ж_1) t2 -2(x_ix_2 -

жо£) ^ + х-2Х-\£ — ж_2^оС + Х-2Х-1Х0 — х_1ЖоС • Второе слагаемое правой части соотношения (4.1) вычисляется по формуле (1.2) при ] = —1; перейдем здесь тоже к новым обозначениям (3.1): П^-^) = (£ — ж-1)2(£ — ж_1)_1(жо — ж-х)-1. В соответствии с (4.1)

требуется доказать тождество ж_2ЖоЖі + ж_2Ж_іЖо — ж—іжожі

(х—2 —хо — жі + ж_і) і2 —2(ж_іж_2 —жожі) і + ж_2Ж_іжі —

? Г

(ж0 - ж_2)_1(^о - х-1)~1(х1 - х-іУ1^ (х—2 - ж0 - £ +

ж_х) Ь — 2(ж_1ж_2 — ^оС) ^ + ^-2^-1^ — х-2%о£ + ж_2Ж_хжо — ж_1Жо£ (жо — ж_г) (^о — ж_1)_1(£ — ж_1)-1 + (ж! — £)(ж1 — ж_1)_1(г — Ж-1)2(С — ж_1)_1(жо — ж_1)-1, где символ

?

= означает, что рассматриваемое тождество находится в процессе доказательства. Освободясь от знаменателей, видим, что достаточно установить тождество

(£ — ж_х) (ж_2 — жо — Ж1 + ж_х) ¿2 — 2(ж_1ж_2 — жожх) £ + ж_2Ж-1Ж1 — Ж_2Ж0^1+

+ж_2а:-іа:о — ж_іжожі

(жі - ж_і) (ж_2 - ж0 - С + х-і) і2 - 2(ж_іж_2 - х0£) і+

+ж_2ж-іС - ж_2ж0£ + ж_2ж_іж0 - ж_іжоС +(жі - £)(ж0 - х-2)(і - ж_і) .

(4.4)

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, убеждаемся в том, что левая часть последнего соотношения совпадает с правой; таким образом, соотношение (4.4)—верное тождество. Ввиду обратимости проделанных преобразований заключаем, что для £ € [ж_1,жо] тождество (4.1) доказано.

3. Рассмотрим теперь промежуток [жо,Ж1]. На этом промежутке левая часть соотношения (4.1) получается из формулы (1.4), где = —2, ж* = ж*, г = —1, 0,1:

2І^) — — ^і) (ж^ — ж—і) (жі — Жо)

(4.5)

Ту же формулу (1.4) используем и для функции 0^2, а затем произведем замены обозначений согласно формулам (3.1): Г2^2(£) = — £)2(£ — х-\)_1(£ — жо)_1- Наконец, для

функции ^В1 приходится использовать формулу (1.3) при ] = —1; произведя замены по формулам (3.1), получим

Г2^і(і) — (£ — ж_і) *(£ — жо) і(а:і — жо) 1 (ж-1 — С — жі + жо) і2-

_ 4-1/— — 4 — 1

—2(жож_і — £жі) і + ж_іжожі — ж_і^жі + ж_іжо£ — жо£жі

(4.6)

Из формул (4.5)и (4.6) видно, что для доказательства тождества (4.1) на рассматрива-

?

емом промежутке нужно установить тождество (£ — Ж1)2(Ж1 — ж_1)_1(ж! — жо)_1 = (£ — £)2(£ — х-1) 1(С~хо) 1 + (х1 — £)(ж1 ~ х-1) 1(£ — х-1) 1(£ — хо) 1(ж1—жо) 1 (ж_1— £ —

х\ + жо) і2 — 2(жож_і — £жі) і + ж_іжожі — ж_і£жі + ж_іжо£ — жо£жі

. Умножив последнее

соотношение на произведение {х\ — х-\){х\ — жо)(£ — ж_х)(£ — жо), получим

?

(£ — ж-1)(£ ~ хо)(1 ~ х^)2 = (х-1 — ж_1)(ж! — жо)(4 — С)2 + (Ж1 — С)х

X (ж_1 - ^ - Ж1 +Ж0) ¿2 - 2(Ж0Ж_1 -^Ж1) £ + Ж_1Ж0Ж1 - Ж_1^Ж1 + Ж_1Ж0£ - Ж0£Ж1 .

Раскрыв скобки и приведя подобные члены, убеждаемся в справедливости последнего соотношения. Ввиду эквивалентного характера проведенных преобразований приходим к выводу, что для Ь € [жо,Ж1] тождество (4.1) установлено.

4. Перейдем к последнему промежутку [ж1,ж2]. На этом промежутке для левой части соотношения (4.1) снова используем формулу (1.4) при ж* = ж*, где j = —2, г = —1, 0,1, так что получаем соотношение (4.5); используя ту же формулу при ] = —1, имеем ^^(Ь) = (Ь — ж2)2(ж2 — жо)-1(ж2 — ж1)-1, а ввиду обозначений (3.1) далее находим

Для доказательства формулы (4.1) на промежутке [ж1,ж2] осталось заметить, что на упомянутом промежутке первое слагаемое правой части равно нулю, а второе слагаемое представляется произведением выражения (х\ — £)(жх — ж_1)-1 на функцию (4.7); после упрощений приходим к выражению (4.5). Тождество (4.1) на промежутке [ж1,ж2] доказано. На этом заканчивается доказательство тождества (4.1) для всех Ь € К1. Лемма доказана.■

С учетом 1-периодичности рассматриваемых функций и отождествлений (1.27) и

(3.4) дадим эквивалентную формулировку доказанной леммы.

Лемма 1'. Справедливо тождество

Пвх(і) = (і - жі)2(жі - ж0) Х(ж1-£) 1.

(4.7)

^ЛГ-з(^) — ^N — 2^) + (Ж1 — £)(ж1 — ж-і) —1(^) Уї Є [0, 1]. (4.8)

Аналогично лемме 1 устанавливаются следующие утверждения. Лемма 2. Для любого Ь € К1 верно тождество

Г2_і(і) — (£ — ж_і)(жі — ж_і) 1П^1(і) + (ж2 — С)(ж2 — хо) § (і). (4-9)

Лемма 3. Имеет место представление

^0 (^) — (С — хо)(х2 ~ х0) (^) ^1 (^) ^ ^ К1.

(4.10)

5. Калибровочные соотношения Теорема 2. Справедливы соотношения

N-1

(5.1)

¿=0

где

(5.2)

для % — 1, 2,..., N — 4, J — 0,1, 2,..., N — 1,

(5.3)

(5.4)

j^2 — £ £ — X_\

dN-2,0 = n-----—, dN-2,j = о при j = 1, 2,..., N - 2, ¿дг-2,дг-1 = =-n—• (5.5)

X2 —Xq X\ — X-\

Доказательство непосредственно вытекает из формул (3.1) - (3.2) и из тождеств

(3.5), (4.8)-(4.10). ■

Соотношения вида (5.1) называются (см. [7]) калибровочными соотношениями, функции ilB называются калибрующими, а функции — калибруемыми функциями.

Калибровочные соотношения представим в виде матричного преобразования N -мерного вектора Qd= (CIq , Clf,..., в N — 1-мерный вектор Qd= (Cl0 ,С1^ ,..., QN_2)'.

Q, = DO,, где Dd= (dij), i G ¥дг_1, j G ¥дг.

6. Вейвлетное разложение

Положим PB (X) =f { и | и=f Y,N=o1 cj^B G R1 }. Пространство PB (X) будем

называть пространством 1-периодических B-сплайнов второй степени на сетке X, а функции Q.B — координатными функциями этого пространства.

В соответствии с этим определением VB (X1) является пространством 1-периодиче-ских В-сплайнов второй степени на сетке X\, VB (Xi) = { и \ и =f ^2j=02 CjQj Vcj Gl1}. Согласно теореме 2 справедливо включение VB(X\) С VB(X). Рассмотрим оператор Р проектирования пространства VB (X) на подпространство VB(X\), задаваемый формулой Ри= 2(9^\'й} Vw G Vb(X), и введем оператор Q = I — Р, где I —

тождественный оператор.

Пространством вейвлетов (всплесков) называется пространство Wi =f QPB(X). Итак, получаем прямое разложение

VB(X) =VB(X1)+W1 (6.1)

— сплайн-вейвлетное разложение пространства PB (X).

Пространство Wi одномерно; пусть ф —некоторый ненулевой элемент этого пространства, так что

W1 = {сф I c G R1}. (6.2)

Представляя ф как линейную комбинацию координатных функций Q,B, j G Y n : ф = hjQ.B, ввиду условий (д^г\ ф) = 0, i G ¥jv_i, получаем уравнение

Gh = 0 (6.3)

относительно вектора hd=f (ho, hi,..., hn-i); здесь G — прямоугольная матрица,

G

( (д{0\Пв) f) ... <3(0),^-i> \

(g^^o) f) ... (g^^Qf;^)

\(д^,пв) (g^,nf)

(6.4)

N-H

Лемма 4. Элементы матрицы G вычисляются по формулам

Qf) = Si+1J при г G ¥дг_2, j € ¥дг, (6.5)

(gr(w 2\ПВ)=0 при j G ¥дг_2,

(6.6)

-:M-. e1"-».««-,)-9-^=1. (6-7)

£-Ж_1 5-^-1

Доказательство. Сначала воспользуемся соотношениями д^ = д(г+1\ i G ¥дг_2 (см. (3.6)), и биортогональностью систем {</* ^¿'gYat и Имеем (д(г\С1?) =

(g(i+i), ) = 5i+\j при i € Yn-2, j € Yn• Соотношение (6.5) теперь получается с

помощью формул (3.1).

Рассмотрим теперь функционал (g^N~2\u) = и(хn—i) + (зд — xn—i)u'(xn—i)/2, и G С1. Согласно соотношениям (3.1) имеем xq = xq, Xj = Xj+1 при j G Y^_±; ввиду 1-периодичности м(ждг_1) = м(жо), а из-за (1, 7V — 1)-периодичности сетки {xj} получаем xN — xN-\ = х\ — хо = х2 — хо, и потому

(g(N-2\u) = и(х0) + (х2 - х0)и/(х0)/2. (6.8)

Поскольку Хо не является внутренней точкой отрезков supp QB П [0, 1] = [xj, Xj+3] при j = 0,1, 2, ...,N — 3, ввиду импликации ilB € C1 получаем формулу (6.6).

Осталось вычислить значения функционала ~glyN~'2'1 на функциях &^_2 и Г2^-_1.

1. Сначала вычислим этот функционал на функции 2. Из (6.8) видно, что справедлива формула {д(м~2\0,^_2) = 0.^_2(хо+0) + (х2 — жо)^0^-_2(жо+0)/2, а поскольку для t € (хо, xi) справедливо тождество &N-2(t) = wB2(t) (см. вторую из формул (1.24)), (<?(лг~2), Qb_2) = ujb2(xо + 0) + (х2 - x0)ftujB2(xо + 0)/2.

Обращаясь к формулам (1.2) - (1.5) при j = —2, видим, что для t € (хо, xi) следует использовать соотношение (1.4): = (t — xi)2(xi — xo)-1(xi — x_i)-i yt € (хо, xi).

Отсюда lob2(xо + 0) = (x\ — xq)(xi — x_i)_1, ^шв2(хо + 0) = —2{x\ — x_i)_1, и потому

(<?(дг~2), Qb_2) = (xi - x2)(x! - x_i)_1. (6.9)

2. Обратимся к вычислению выражения {g^N~2\ Q1^r_1). Представим это выражение в виде

(<?(дг~2), = Пв_1(х0 + 0) + (х2 - х0)^1%_1{х0 + 0)/2. (6.10)

В соответствии с формулами (1.25) при t € (xo,xi) получаем i(t) = ^Bi(t), и

благодаря непрерывной дифференцируемости функции w^i(t) из (6.10) находим

(g^N 2\i'lfi_l) = lü^-^ixо — 0) + (ж2 — жо)—с^^1(жо — 0)/2. (6-11)

Из формулы (1.2) при j = —1, t € (x_i, xo) имеем w^i(t) = (t — x_i)2(xo — x_i)-i(xi — x_i)-i; отсюда видно, что

^ifio) = (ж0 - x_i)(*i - x_i)_1, ^шБ1(х0) = 2(*i - x_i)_1. (6-12)

Из (6.11) и из (6.12) находим

(<?(ДГ~2), = (ж2 - х_1)(ж! - x_i)_1. (6.13)

Соотношения (6.7) получаются из (6.9) и (6.13) с помощью формул (3.1). ■

Благодаря формулам (6.5)-(6.7) видим, что матрица G системы (6.3) имеет полный ранг, что ее базисным минором служит минор, составленный из столбцов с номерами

1, 2,..., N — 1, и что базисом ненулевых решений системы (6.3) является вектор Н = (1,0,0,..., 0). Отсюда согласно фомулам (6.2) и (6.3) определяем искомое пространство вейвлетов: Ж1 = {с | Ус € М1}.

7. Формулы реконструкции

Пусть элемент м Є Vе (X) имеет вид

N-1

а3

3=0

РЇЇ=Е«і^*В> Яй=ЪоПо- (7.2)

а его проекции на Ж — 1-мерное подпространство Vе(Xі) и 1-мерное подпространство ^ таковы:

N-2 ¿=0

Пусть известны коэффициенты а,і и Ьо в представлениях проекций (7.2) элемента м. Из соотношений (7.1)-(7.2) получаем У^^р1 а^Е = 2 + ^о^сп используя (5.1),

— 1 глВ V—\-ZV-2— \7У —1 т г\В і слВ

находим 2^1=0 = 2^*=о а* а^і=о + с>о^, или после перестановки порядка

>3=0 аг3 — ¿^¿=о а 1^з=о “¿,3*3 ~т ьо^о суммирования ^2^=о1 аз^В = + Ьо&е. Отсюда имеем

N-2 N-2

а0 = Е а*^,о + &о, = Е а*с^' при Э 6 (7-3)

г=0 г=0

Формулы (7.3) называются формулами реконструкции.

Введем обозначения а=£ (ао,..., а^-1)Т, а=£ (ао, • • •, адг_2)т, Ь=£(Ьо, 0,..., 0 )т.

N —1 нулей

Формулы реконструкции могут быть представлены с помощью матрицы Вт, полученной транспонированием матрицы В:

а = Бта + Ь. (7.4)

Теорема 3. Для рассматриваемого сплайн-вейвлетного разложения (6.1) пространства Vе (X) В-сплайнов второй степени формулы реконструкции (7.3) имеют вид

адг-1 = адг_3(ж1 - £)(Х1 - ж_1)-1 + адг_2(£ - х^1)(х1 - ж_1)-1, (7.5)

а0 = адг_2(ж2 - 0(^2 - хоУ1 + а0(С - ж0)(ж2 - ж0)-1 + Ьо, (7.6)

аз = 1 пРи 3 ^ ¥]у_1. (7-7)

Доказательство. Доказываемые равенства (7.5)-(7.7) получаются подстановкой коэффициентов (¿¿^- из соотношений (5.2)-(5.5) в формулы (7.3). ■

8. Формулы декомпозиции

Пусть известны коэффициенты а^- в разложении элемента м € Vе (X) по элементам базиса ПЕ, а именно, и = Х^о* аз^В■ Требуется найти коэффициенты а* и Ьо сплайн-вейвлетного разложения (7.2).

Из очевидных равенств а* = (~д^г\ и) = (~д^г\ Qf)aj следует формула

а = Ga, (8.1)

где матрица G определяется соотношением (6.4). Из равенства (7.4) находим

b = a — DT Ga. (8.2)

Теорема 4. Для рассматриваемого сплайн-вейвлетного разложения (6.1) пространства VB(X) B-сплайнов второй степени справедливы формулы

a,j = a,j+i при j € Yn-2, (8.4)

адг-2 = [(С - Ж1)адг_2 + (ж! - z_i)o/v_i](£ - x_i)_1, (8.5)

bo = (х2 ~ хоУ1^ - x_i)_1[(x2 -ж0)(£-х_1 )а0-

— (С — хо)(£, — х—\)а\ + (ж2 — £)(ж1 — C)a-/v-2 — (Ж1 — a:-i)(a:2 — £)алг—i]- (8-6)

Доказательство. Из соотношения (8.1) выводим формулы (8.4)—(8.5), а из равенства (8.2) получаем формулу (8.6). Теорема доказана. ■

Формулы (8.4)—(8.6) называются формулами декомпозиции.

Summary

Yu. K. Demjanovich, A. V. Zimin. Wavelet decomposition of spaces of periodic B-splines of the second order for irregular grid.

Wavelet decomposition of spaces of periodic B-splines of the second order for irregular grid is presented, continuously differentiable local basis is done, formulae of decomposition and reconstruction are deduced.

Литература

1. Новиков И. Я., Стечкин С. Б. Основы теории всплесков // Успехи математических наук. 1998. Т. 53. №6 (324). С.53-128.

2. Чуи К. Введение в вейвлеты. М.: Мир, 2001. 412 с.

3. Малла С. Вэйвлеты в обработке сигналов. М.: Мир, 2005. 671 с.

4. Демьянович Ю. К. Всплесковые разложения в пространствах сплайнов на неравномерной сетке // Докл. РАН. 2002. Т. 382. №3. С.313-316.

5. Завьялов Ю. С., Квасов Б. И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

6. Малоземов В.Н., Певный А. Б. Полиномиальные сплайны. Л., 1986. 120 с.

7. Демьянович Ю. К. Калибровочное соотношение для В-сплайнов на неравномерной сетке// Математическое моделирование. 2001. Т. 13. №9. С. 98-100.

Статья поступила в редакцию 14 февраля 2006 г.