Вращение твердого тела относительно скользящей точки Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Т о м IX

197 8

№ 1

УДК 531.38

ВРАЩЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ОТНОСИТЕЛЬНО СКОЛЬЗЯЩЕЙ ТОЧКИ

С. А. Юхименко

Выведены точные и приближенные дифференциальные уравнения плоского движения твердого тела, которое вращается вокруг собствннной произвольной точки, безотрывно скользящей с трением по направляющей линии подвижной платформы. Получены аналитические формулы для расчета параметров вращательного движения тела при частных упрощающих условиях.

1. Общая задача. Исследуется плоское относительное движение твердого тела с двумя степенями свободы {фиг. 1). Тело может вращаться с трением вокруг шарнирной опоры и одновременно скользить на этой опоре вдоль прямой линии неинерциальной платформы. Направляющая линия и платформа рассматриваются как жесткие тела с жесткой взаимосвязью. Связь тела и платформы по нормали к направляющей предполагается двусторонней, неупругой и без-люфтовой.

Применяются три системы отсчета (фиг. 2): Оху — основная, П£)Л —связанная с платформой, Т/,//—связанная с телом (везде первая буква обозначает начало системы, вторая и третья буквы соответствуют продольной и вертикальной осям координат). Для произвольной точки К используется обозначение К°, а координатные оси, также как и все векторные величины, отмечаются стрелкой вверху. Каждая система отсчета дальше обозначается взятой в круглые скобки

Фиг. 1

Фиг. 2

одной буквой, которая соответствует началу системы, т. е. основная система координат сокращенно обозначается символом (О), связанная с платформой — символом (П), связанная с телом — (Т).

Все применяемые системы отсчета являются правыми, прямолинейными и прямоугольными. Одновременно предполагается, что (О) является инерциаль-ной системой, а (П) и (Т) — центральные, т. е. П° и Т° являются центрами масс

платформы и тела. При этом ось D параллельна направляющей линии платформы

и направлена в сторону движения тела (следовательно, h является нормалью к направляющей линии). Взаимная ориентация (О), (П), (Т) в произвольный момент времени t показана на фиг. 2.

Абсолютное движение тела, т. е. изменение положения (Т) относительно (О),

представляется параметрами г, v, w, 6, <•>, г, где г — ОТ, v = r, w=^v=r,% —

= jcZ.,(о = 0, е = ш = 0. Параметры, описывающие абсолютное движение платформы, т. е. перемещение (П) относительно (О), обозначаются теми же символами, что и соответствующие характеристики тела, с индексом (П) внизу:

Л

■—^ ^

Га, vn, Wп, 0П, <0П> ЕП. где га = on, en = xD.

Позиционные и кинематические характеристики тела в относительном движении, т. е. при перемещении (Т) относительно (П), представляются символами

Р> и. J, т). Л i> которые обозначают последовательно радиус-вектор, линейные скорость и ускорение, угол тангажа, угловые скорость и ускорение тела. При

Л

—> ___^ ->-->• .... -> -*■

этом р = ПТ, t\ — DL, ч = 7), i = v = ■<], для проекций векторов р, и, j на оси D, h

применяются обозначения D = pD, D — uD, D = jD, h=рл, Л=«д, h = jh. Используемые параметры относительного движения центра шарнирной опоры тела, т. е. характеристики перемещения С° относительно (П), обозначаются теми же символами, что и соответствующие параметры для Т°, с индексом С внизу: рс и, jCt —> ________^

где рс = ПС. При этом Dc = рС£), Ьс — uCD, Ьс=ус£), hc— pCft , hc=uck, hc=jc/l_ Положение С0 в системе (Т) представляется радиус-вектором Rc = ТС,

-*■ —>■

для проекций которого на оси L, Н используются обозначения Lc = RCL , НС — ^СН"

Для какой-либо другой векторной величины В проекция на произвольную

ось k обозначается В* [исключение делается для силы Q (см. ниже) при проек-

тировании на оси D и h, здесь используются символы P=QD и N = Qh]-

Для инерционных характеристик тела и для действующих сил применяются следующие обозначения: т, I— масеа и центральный (относительно Т°) момент

инерции тела; F, М— главный вектор и главный центральный момент свободных сил (в понятие свободных включены силы, действие которых не зависит от того, имеется ли механический контакт тела и платформы или он отсутствует), при этом предполагается, что динамические факторы, обусловленные нестацио-нарностью (т. ф 0, 1ф 0) инерционных характеристик тела, включены в значения

F, М\ Q, А — главный вектор и главный центральный момент контактных сил (сил реакции, возникающих при физическом соприкосновении тела и платформы);

Ас — суммарный опорный момент контактных сил (относительно С° — здесь учтено, что шарнирная опора тела в общем случае не является математической точкой, а представляет физический объект конечных размеров).

В рассматриваемой задаче по абсолютному движению платформы необходимо определить относительное движение тела. Для решения этой задачи используются следующие равенства, характеризующие зависимость между параметрами движений тела и платформы:

w = W+j, s = E + i„ (1)

где Е = Г = »п + епХр + мпХКХр) + 2“п Х^- Величина W является суммой переносного и кориолисова ускорений.

Если какой-либо вектор г перпендикулярен плоскости, в которой рассматривается движение системы тело—платформа, то для анализируемого плоского

—> —►

движения можно использовать условное равенство г —г, где z = |£lsign2 является алгебраической величиной. Это замечание учтено в (1) и дальше для г£{Ас, А, М, Е, е„, <*>„, е, и, /, ч}.

В дополнение к кинематическим соотношениям (1) записываются также уравнения абсолютного движения несвободного тела

mw = F + Q, h = М -f- А. (2)

Из (1), (2) следуют векторные уравнения плоского относительного движения несвободного тела

/= -L (?+ Q)-W, i=-L(M+A)-E. (3)

т I

В (3) параметры Q и А неизвестны, для определения этих величин рассматривается также относительное движение С°, которое описывается векторными равенствами

Рс = Р + ^с> ис = и-\-ч X Rc> /с =./+ гX v X(v X )• W

Анализируемое одноопорное движение (см. фиг. ]) характеризуется следующими уравнениями связи тела с платформой:

h = hc — RCh, А = — 1) RCd’ h = ~ ^Rcd + rfRch' (5)

где Rcd = Lc cos 7j — Hq sin 1I> ^сл — ^c sin к; -\-Hc costj. Уравнения (5) получены

посредством проектирования (4) на h при условиях Ас = const, Лс = 0, 'hc = 0

Входящий в (3) вектор А определяется равенством А = Ас + Rc Х<?> откуда А = Ас + Rcd Qh — RCh Qd. С учетом последней формулы и ранее принятых обозначений Qd = Р, Qh = N, jD = D, = A, i = tj, из (3) вытекают следующие дифференциальные уравнения:

D = ±-(Fd+P)-Wd, h = -L(Fh+N)-Wh, ^ = -i-(M+lc+RCDN-RChP)-E. (6>

Зависимости (6) совместно с последним равенством в (5) образуют систему четырех уравнений с шестью неизвестными D, A, ц, Ас, Р, N. Система записывается с помощью зависимостей

р^р^М+Р', PN = — kp sign (Nuc), Ac = A^f N -)- A^., Ac =— kA sign (N4), (7)

где PN, A'p — параметры, учитывающие влияние нормальной реакции N на продольную реакцию Р и опорный момент Ас контактных сил; kp, kA — коэффициенты трения скольжения и вращения; Р\ Лс — составляющие, которые не зависят от величины N.

Параметры Р', Ас, £д, kp в исследуемой задаче предполагаются заданными, а относительная скорость для С° при условии Лс=0 определяется

“с = £>с = UD ~~ ^сн-С учетом (7) система (6) заменяется на следующую

D = ±-(Fd + PnN + P')-Wd, v = ±-(M + AnN+A')-E, (8)

где An = А^ + Rcd - RCh PN, A' = Ac - Rch P'.

9—Ученые записки № 1 129

Второе уравнение из (6) не перенесено в (8) не только потому, что оно не изменяется при переходе от (6) к (8), но еще из-за того, что соответствующий параметр однозначно определяется последним из уравнений связи (5). Из третьего уравнения в (5) и второго в (6) следует равенство —

— + — (/7а + ЛГ)=0. Подставляя сюда к)’=/(ЛГ) из (8), получим фор-

мулу нормальной реакции

+ т^сои

/+т/?со А» ^

где Фк = Рк-т{ХГк + ^Яск), и = М + Л'-Е1.

Уравнения (5), (8), (9) образуют искомую математическую модель относительного движения. При этом интегрируется только (8), а (5) рассматривается как система конечных соотношений.

Подставляя величину N из (9) во второе равенство в (8), получим уравнение движения твердого тела при вращении вокруг скользящей точки

Ц — Фй АЛ'

/ + тЯсо Лл

л. пг. 00)

2. Частная задача. Рассматривается приближенная модель вращательного движения несвободного тела при следующих упрощающих условиях:

1) в момент t = to тело не вращается относительно платформы и его продольная ось параллельна направляющей, следовательно, •»1о = 0, и)о = 0, /?соо = = Ьс, /?СА 0 = Нс, Л0 = Лс — Нс, при этом индексом ,0“ внизу отмечаются начальные значения параметров;

2) силы трения можно не учитывать, т. е. принимается (£р, £д, Ас,Р') = 0

или , А^, А^, Р') = 0, следовательно, А'у = Я.со, А'= 0, (1 -|- т^0) =М—

“ ^СО — Е1\

3) параметры Нс, к], т] малы, следовательно, ^со = ^С' ^С + ^С< чт0

позволяет с учетом 1), 2) и (5) записать равенства Л = Л0— ^с, к — — -фс, А = = - '-фс, (/ + 1*с) ^ = М - 1с (/=* - тЧРь) - Е1;

4) свободные силы задаются формулами М = МТ, Рь =б/г + Ртн< — = — О сое (&0 + 0П), РТь= Р'гСт> ГДе й — mg — модуль силы тяжести, &0 — угол тангажа системы (О) относительно плоскости горизонта, Рг—модуль суммарной

Л

силы тяги двигателя, ^Т = ЬРТ — угол силы тяги относительно продольной оси тела (этот угол здесь принимается малым), Мт— главный центральный момент силы тяги; величины О, д0, Рг, Мт предполагаются известными;

5) параметры движения платформы а/п х< ®п)» 9т “т еп малы, следовательно, на основании (1) с учетом 3) и 4) имеют место зависимости = •&>„ у + еп П +

2 мп и0, йь-йу — 0ПО^, где йх = — Овт&д, =—бсовй,-,.

При отмеченных условиях уравнение (10) приводится к виду

I = а + 6,

где а — составляющая, которая не зависит от движения платформы (уравнение г =а характеризует вращение твердого тела при одноопорном скольжении по стационарной платформе), 8 — составляющая, которая зависит только от движения платформы.

Величины о, 8 определяются формулами

а = 1е g + IС7ЧГ-{- 1МгМт, Ъ = *'Гп У®Пу + 11пвп + 1'Юп “п + I п Еп.

С т Л1 т ту

где приняты обозначения Р = — ткр соэ &0, I —Р-ркр> * * пу=—ткр ,

9 (ц ^ 1

/ п= г п = — 2кр ив т, « п = — !гм1 — ИР От, км =-------------, кр =

I + т1?с

= ~км Ь с■

При i = const искомые решения с учетом обозначения z = t — tQ представ-ляются простейшими формулами tj = —, ч = iz.

Если движение платформы является синусоидальным, т. е.

Чп = Aq sin (bq t + <fq),

где q„ равно вп или уп, при этом (Aq, bq, <fq) = const, то воздействие на движение твердого тела со стороны качающейся платформы с учетом q„ = bq cos (bqt + <pq), <7n =— qa b* описывается формулой

8 = «е Аьsin (*e t + Ь + Хе) + ny Ау sin (.by t + Ту)-

w 2

При выводе последней зависимости приняты обозначения ny = — i ПУ Ьу *

l/б S 2 Ш i°n bR

и6 = (‘ " — 1 П 6в)2 + (*‘ " *б)2 > 18 = arctS------

/0п_/еп Ь\

2те

Если т: < Tq, где Tq = --—, то можно принять 8 (t) = 50 = const. Полученные ч

формулы дают решение рассмотренной в статье А. А. Кузнецова* важной для технической практики частной задачи механизма твердого тела. При этом в указанной публикации допущен ряд ошибок (краткий анализ ее выполняется дальше на основе обозначений настоящей статьи).

В той части указанной работы, где отдельно исследуется эффект неодно-временности схода опор с неподвижной платформы, ошибка заключена в формировании математической модели вращения летательного аппарата вокруг скользящей точки на основе уравнений вращательного движения твердого тела относительно стационарной точки.

В том разделе рассматриваемой публикации, где исследуется только влияние угловой качки платформы о>п, ошибкой при определении абсолютной угловой скорости ш летательного аппарата является применение кинематической модели единого твердого тела к системе двух твердых тел (стартующий аппарат — подвижная платформа), связанных скользящим шарниром. Там же приняты

неверные допущения о том, что при шп^0 для абсолютной скорости v центра

масс аппарата проекция на нормаль к радиус-вектору р в момент схода первой опоры с направляющей равна аналогичной проекции в момент схода второй опоры и что на основе этого равенства можно определить искомое приращение м=/(а>п) относительной угловой скорости.

Однако, если рекомендации А. А. Кузнецова по учету влияния подвижности (когда wn, £„, <оп ф 0) платформы на одноопорное движение летательного аппарата неверны, то для стационарных платформ (или движущихся прямолинейно и равномерно) применение соответствующих формул из рассмотренной публикации может и не приводить к заметным погрешностям в инженерных расчетах, если корректно представить сумму моментов всех сил относительно опорной точки аппарата, если можно пренебречь силами трения, если для инерционных характеристик аппарата можно записать неравенство / + mL(. > тН2с . Последние два условия для технических объектов, которые исследованы в рассмотренной публикации, как правило, выполняются.

В заключение автор настоящей статьи выражает признательность В. А. Ильину и А. П. Леутину за обсуждение результатов исследований.

* Кузнецов А. А. Определение начальных условий при старте летательного аппарата с подвижной платформы. В сб. под ред. Остославского И. В. „Исследования по динамике полета*. М., .Машиностроение*, 1965.

Рукопись поступила 291X1 1974 г. Переработанный вариант поступил 17jll 1977 г.