CC BY
1Механика
УДК 531.36
ВРАЩЕНИЕ РАВНОГРАННОГО ТЕТРАЭДРА В ЦЕНТРАЛЬНОМ НЬЮТОНОВСКОМ ПОЛЕ СИЛ: КОНУС ШТАУДЕ
А. А. Буров1, Е. А. Никонова2
Рассматривается конус Штауде в задаче о движении однородного равногранного тетраэдра в центральном ньютоновском поле сил. Изучается характер вырождения конуса Штауде в случае, когда равногранный тетраэдр близок к правильному. Показывается, как уравнения конуса Штауде могут быть получены в рамках теории Рауса.
Ключевые слова: конус Штауде, перманентные вращения, твердое тело с неподвижной точкой в центральном поле сил, равногранный тетраэдр, теория Рауса.
The Staude cone is considered in the problem of motion of a homogeneous equilateral tetrahedron in a central force field. The character of the degeneracy of the Staude cone is studied in the case when an equilateral tetrahedron is close to a regular one. It is shown how the equation of the Staude cone can be obtained in the framework of Routh theory.
Key words: Staude cone, permanent rotations, rigid body with a fixed point in the central force field, an equilateral tetrahedron, Routh theory.
1. Основные обозначения и соотношения. Рассмотрим движение твердого тела B вокруг неподвижной точки O в осесимметричном силовом поле с направленным вдоль оси симметрии единичным вектором y = (71,72,73)^• Пусть I = diag(/i, I2,13) — тензор инерции тела относительно точки O, ш = (wi,Ш2,Шз)т — вектор угловой скорости тела, Un = Un(y) — потенциал силового поля. Здесь и далее все векторы и тензорные величины задаются в подвижной системе отсчета Ox 1X2X3, оси которой направлены вдоль главных осей инерции тела, задаваемых собственными векторами I
т т , dUN .
LU) = LU) X Ш + 7 X -, 7 = 7 X W. (1)
oy
Как известно (см., например, [1, 2]), при перманентных вращениях угловая скорость твердого тела неизменна как в абсолютных осях, так и в осях OX1X2X3, связанных с телом, и ш = wy = const. Согласно уравнениям Эйлера-Пуассона (1) положение осей перманентных вращений определяется уравнениями
0 = Л7Х7 + 7Х^. (2)
Iy
5(7) = 0, 5(7)= (l7,7 х^), (3)
задающее конус Штауде3 S в пространстве R3(y)• Скалярное умножение левой и правой частей (2) на Iy х y дает равенство
0 = Сш(7) = W2 (I7 X 7,17 х 7) + Со(7), 0,(7) = (7 X Щ^-, I7 х 7) , (4)
1 Буров Александр Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, вед. науч. сотр. отдела 24 ФИЦ ИУ РАН; проф. каф. высшей математики НИУ "Высшая школа экономики", e-mail: jtmQyandex.ru.
2Никонова Екатерина Александровна — ст. преп. каф. высшей математики НИУ "Высшая школа экономики"; мл. науч. сотр. ФИЦ ИУРАН, e-mail: nikonova.ekaterina.aQgmail.com.
Burov Alexander Anatol'evich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Leading Researcher, Federal Research Center "Computer Science and Control"; Professor, Department of Higher Mathematics, HSE University.
Nikonova Ekaterina Alexandrovna Senior Lecturer, Department of Higher Mathematics, HSE University; Junior Researcher, Federal Research Center "Computer Science and Control"
З3десь и далее для краткости говорится о конусе Штауде, хотя правильнее было бы его называть обобщенным конусом Штауде.
определяющее коническую поверхность Сш, зависящую от величины угловой скорости w. Так как w2 ^ 0, то соотношение (4) налагает ограничение
-Coin) = (l х 7 х I7) ^ 0.
выделяющее из конуса Штауде множество динамически допустимых осей перманентных вращений (см., например, [3]).
Согласно (4) угловая скорость вращения тела вокруг вектора 7, не совпадающего с главной осью инерции, определяется соотношениями
и = ±
(7 х 7 х l7) / (l7 х 7,17 X 7)
1/2
кроме случая, когда вращение осуществляется вокруг той или иной главной оси инерции: вращение вокруг такой оси может совершаться с произвольной по величине постоянной угловой скоростью.
Ставится задача изучения конусов S а Сш для однородных тел в виде равногранного тетраэдра и прямоугольного параллелепипеда, в частности их пересечения со сферой Пуассона V, задаваемой геометрическим интегралом
J = (7,7) - 1 = 0. (5)
2. Конус Штауде для равногранного тетраэдра. Пусть твердое тело B — однородный равногранный тетраэдр, совершающий вращение вокруг закрепленного центра масс в центральном ньютоновском поле сил с центром притяжения в точке N. Пусть Ox 1Ж2Ж3 — связанная с равно-гранным тетраэдром система отсчета, оси которой направлены вдоль его бимедиан; последние, как известно [4], пересекаются и попарно перпендикулярны. Эти оси — главные оси инерции тетраэдра. Если 2ai, 2й2, 2йз — длины бимедиан, то вершины тетраэдра A, B, C и D в этой системе отсчета задаются радиусами-векторами
ra = OA = (ai, -a2, -аз)т, rb = OB = (-ai, -02, аз)т, rc = OC = (-ai, a2, -аз)T, rd = OD = (ai,02,03)T.
Если размерные единицы выбраны так, что расстояние NO, а также гравитационная постоянная и масса притягивающего центра равны единице, то разложение потенциала притяжения в ряд по компонентам вектора 7 принимает вид
Un = U + U3 + U4 + ..., U2 = {44 + a272 + аз7з) > U3 = -а^азЪЪЪ,
U = -
| (7 (аЫ + ab24 + ^7з4) - 6 (af-y? + 4Ü + ahí)) ~
{а\а22 (712 + 722 - 7712722) + 44 (7г2 + 732 " Н4з) + аза? Ы + 7? - Н4))
а главные центральные моменты инерции, отнесенные к массе тетраэдра, записываются следующим образом:
к = ~ {4 + а23), г2 = - {4 + 4) , ¿з = т (а? + 4) ■
Конусы S и Сш определяются функциями (3) и (4), а именно:
¿>(7ъ 72) 7з) = Y^ {ai(a3 - аг)727з (^?7i (li + 7) ~ а2а3ъЪ
(1,2,3)
(6)
2
Сш(71,72,7з) = 25 7i72(ai-«г)2+ Со(7Ь72,7З), (7)
(1,2,3)
где
Со(71,72,73) = £ {¿7i2722 [а?а| ((872 - 5 (72 +7з2)) а2 + (872 - 5 (7l2 +7з2)) а2)
(1,2,3) ^
-3 (7|а^ + jfaf) + ^ (а? - а2)2(45а? + 45а\ + 25а^ - 42)] +
+ ^72727з aia2a3 (5727з aia2a3 + 7i(2a2 - - a2))
Функции (6) и (7) в общем случае задают конусы пятого и шестого порядков соответственно, в случае правильного тетраэдра эти функции тождественно равны нулю.
Равногранный тетраэдр при повороте на угол п вокруг любой из осей Oxi, Ox2, OX3 переходит в себя. Поэтому функции f € {S, Ош} обладают следующими симметриями:
f(7i,72,73) = f (7ii 72j -Y3) = f (-71,72, -Y3) = f (-7ъ -72,73). (8)
Отсюда для каждой из функций f € {S, Сш} при любых значениях ai, a2, a3
f (±1, 0, 0) = f (0, ±1, 0) = f (0, 0, ±1) = 0,
и конусы содержат оси, на которых тетраэдр "смотрит" на притягивающий центр серединами
своих ребер.
Введем на сфере Пуассона (5) координаты (^>,0):
7i = sin 0 sin 72 = sin 0 cos y3 = cos 0.
Для функций S и Сш в этих координатах, которые в дальнейшем будут играть вспомогательную роль, воспользуемся обозначениями s = s(^>, 0) и сш = еш(^>, в) соответственно. В силу симметрий (8) для каждой из функций f € {s, еш} имеем
f (^ 0) = f (р + п, 0) = f (^ -0), f (п/2 + р, п/2 + 0) = f (п/2 - р, п/2 - 0).
Это означает, что в пересечении сферы Пуассона с конусами S и Сш, изображаемыми на плоскости (^>, 0), получаются кривые Г и Гш, центрально-симметричные относительно точки (п/2, п/2) и
проходящие через эту точку в силу равенства / , —^ = 0, имеющего место для любых значений параметров ai, a2, a3.
Функция s(^>, 0) такова, что s(^>, 0) = sin2 0 ■ s*(^>, 0), причем
s*(^>, 0) = s1 sin 2^ + s2 cos 2^ + s3, «1 = \ («2 - ai) ((«2 - ai) a\ - a22a\ + ^a^ , s2 = ^aia2a3 (a2 + a2 - 2a^) , s3 = ^aia2a3 (a2 - a2) .
Если выполнено условие
S3
Ф+81
< 1, (9)
то кривая Г пересекает прямую 0 = 0 в точках
<£>„ = ^ ((-l)ra+1as + ac + 7rn) , neZ;
• / S3 \ ^ / Si
= arcsm — , ac = -f arccos
+ V Vsi + S2
и не пересекает ее вовсе в противном случае.
Для еш (<£, в) = sin2 в (с0 + u2c1) аналогичным образом находим с\ = ^(а2 — а2)2 cos2 в — sin2 в (а2 — а^)2 cos4 ^ — (2 (а2 — а2) cos2 0 — а2 + а2) (а2 — cos2 ,
Со(^, 0) = С01 sin 2^ + С02 cos 2^ + Соз,
где
Coi = -^010203 (а? + «2 - 2аз) ,
С02 = ^ (-al + al) (^(aj + а$) + aja22 - ^aíj(22(a? + а22) - 21а§) - |(а? + a¡ - ,
соз = (3 (а1 + аз) ~ 8аз) + \ (а? + а2) (jaia2 + у «з) - ^«з (а! + - \^а\а\а\-
откуда получаем, что кривая Го на плоскости в) пересекает прямую в = 0 в точках
V = \{(-l)n+1í3s+í3c + 7rn), п £ Z;
со3 со1
Ps = arcsm — : , Pc = zF arceos
при выполнении условия
\ л/С01 + С02 / \ л/с01 + С02,
со3
^ 1 и не пересекает ее вовсе в противном случае.
л/с01 + С02
Возвращаясь к переменным (71,72,73), на Рис- 1 изобразим проекции изучаемых кривых на плоскости (71,72): слева показан пример таких кривых для случаев, когда выполнено условие (9), справа — когда это условие не выполнено. При выбранных в качестве примеров значений параметров видимые на рисунках кривые располагаются в области динамически допустимых осей. Заметим, что для принадлежащей конусу Штауде оси с 7 = (0, 0, ±1) координаты 0) однозначно не определены.
3. Конус Штауде для равногранного тетраэдра, близкого к правильному. Рассмотрим семейство равногранных тетраэдров, задаваемых соотношениями
а1 = а(1 — а), а2 = а, а3 = а(1 + а),
где, как и предполагалось ранее, безразмерный параметр а мал по сравнению с единицей. Разложение функции 5 по этому параметру дает
5 = 2а6 (5б + а^т + ...),
где
5б = 27272 — 7272 — 7272 = 27? — 274 — 2Т2т! — 72 + 724, 5т = 727371 (7? + 72 — 2722) + 72 (7? — 732) /2-
Равенство 56 = 0 определяет на плоскости (71,72) кривую в виде восьмерки — след конуса Штауде
а=0
Аналогичное разложение функции Сш по этому же параметру дает
Сш = а6 (Со + , Со = Соб + аСо7 + - - -,
где
С06 = -717273 (-7? + 7з) ~ (7172 + 4717з + 727з) , Сот = \ Ы ~ 7з) (2724 " 27127| " 72) + ^717273 (7? " Н + 7з') + 7з") 72-
Рис. 1. Примеры конуса Штауде, когда условно (9) выполнено (слева) и не выполнено (справа): а а! = 0.01 а2 = 0.05, а3 = 0.09; б — а! = 0.01 а2 = 0.005, а3 = 0.009; в — а! = 0.01 а2 = 0.05, а3 = 0.001;
г — а! = 0.0001 а2 = 0.05, а3 = 0.009
Конусу Штауде 5 в пределе при а — 0 отвечает кривая Г Ее проекция на плоскость (71,72) вдоль третьей оси связанной с телом системы отсчета изображена на рис. 2. Получившаяся в проекции симметричная кривая на самом деле сдвоена: оба экземпляра соединены между собой общими точками 71 = — 1 и 71 = 1. На этом рисунке символом * отмечены решения, па которых тетраэдр обращен к притягивающему центру вершиной или центром храни (ср. [5]), при этом слева изображена кривая при 7э > 0 справа — при 73 < 0.
ь 1 - Ь 1 -
А [ I 0.5 АБС АВй | 0.5 В \
-|1 -0.5 \ 0.5 1 Ух - 1 -0.5 0.5 )ъ
-0.5 \ У -0.5 -
А СБ -1 с В -1 вси
Рис. 2. Проекция пересечения конуса Штауде со сферой Пуассона в проекции па плоскость (71,72) в
пределе при а — 0 слева — 73 > 0, справа — 73 < 0
4. Определение конуса Штауде исходя из теории Рауса. В механике тяжелого твердого тела конус Штауде, задающий возможные положения осей перманентных вращений (см. [6], а также, например, [7, 8]), и его обобщения обычно определяются непосредственно из уравнений Эйлера-Пуассона. Покажем, как уравнения обобщенного конуса Штауде можно получить в рамках теории Рауса.
Согласно общей теории (см. [9, 10], а также [2]) установившимся движениям изучаемой системы отвечают критические точки приведенного (amended) потенциала
2
U = Uc + UN, Uc = -Г, (Ю)
2(Iy, Y)
рассмотренного как функция на сфере (5). Здесь и далее Uc = Uc(y; Р) — потенциал центробежных сил.
Для изучения установившихся движений введем новые переменные (a, b, c):
a = 7i2 + Y2 + Y2, b = IiY2 + /2Y2 + I3Y3, c = Un (Y)- (11)
В R3(y) величины (a, b, c) функционально независимы там, где якобиан
отличен от нуля. Он обращается в нуль на конусе Штауде, задаваемом соотношением (3).
Исходя из теории Рауса покажем, что вне конуса Штауде перманентных вращений нет. В переменных (a, b, c) приведенный потенциал (10) имеет вид
и = £+е. аз»
a=1
из соотношений
dW . n dW p2 n dW 1 п ^
^ = Л = 0' ~9Ь = = ~1 = °' (14)
где W = U + A(a — 1).
Ввиду первого уравнения (14) неопределенный множитель A равен нулю, а оставшиеся два
a b c
оси перманентных вращений не могут располагаться вне конуса Штауде J = 0. Замечание 1. Если в случае однородного поля сил с потенциалом
Un = di Yi + d2Y2 + d3Y3
соотношение (3) определяет классический конус Штауде, то в случае, когда тело совершает движение в центральном ньютоновском поле сил и неподвижная точка совпадает с центром масс, потенциал имеет вид (см., например, [11, 12])
uN = ^ (hll + /2Y22 + hll)
и определитель матрицы Якоби (12) обращается в нуль тождественно, т.е. переменные (11) неприменимы. С одной стороны, это указывает на возможность существования установившихся движений, отличных от перманентных вращений (см. [13-15]). С другой стороны, в качестве новых переменных могут быть использованы слагаемые более высокого порядка в разложении потенциала ньютоновского притяжения в ряд по гармоническим многочленам [11, 16].
Замечание 2. Изучение конуса Штауде и его обобщений привлекало внимание многочисленных исследователей. Основные их результаты собраны в монографии [3] (см. также [17]), где, в частности, можно найти обстоятельный обзор литературы, относящейся к рассматриваемому кругу вопросов. В развитие идей P.C. Суликашвили, касающихся установившихся движений правильных
многогранников в центральном ньютоновском поле сил (см., например, [5]), исследование существования и устойчивости перманентных вращений параллелепипедов, близких к кубу, с помощью
теории Рауса было предпринято в работах [18, 19].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Рубановский В.Н., Самсонов В.А. Устойчивость стационарных движений в примерах и задачах. М.: Наука, 1988.
2. Карапетян A.B. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998.
3. Холостова О.В. Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2008.
4. Прасолов В.В., Шарыгин И.Ф. Задачи по стереометрии: Серия "Библиотека математического кружка". Вып. 19. М.: Наука, 1989.
5. Суликашвили Р. С. О стационарных движениях тетраэдра и октаэдра в центральном поле тяготения // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ АН СССР, 1987. 57-66.
6. Staude О. Über permanente Rotationsachsen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt // J. reine und angew. Math. 1894. 118. 318-334.
7. Ламб Г. Теоретическая механика. T. 3. M.; Л.: Ol ITH ГКТП, 1936.
8. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики. Т. 2. Ч. 2. М.: ИЛ, 1951.
9. Routh E.J. Treatise on the Stability of a Given State of Motion. Cambridge: Cambridge University Press, 1877.
10. Routh E.J. The advanced part of a treatise on the dynamics of a system of rigid bodies. L.: McMillan, 1884.
11. Дубошин Г.H. Небесная механика. Основные задачи и методы. М.: Наука, 1968.
12. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М.: Наука, 1965.
13. Чаплыгинъ С.А. О некоторыхъ случаяхъ движешя твердаго тела въ жидкости. Статья вторая (продол-жеше) // Матем. сб. 1898. 20, № 2. 173-246.
14. Карапетян A.B. Инвариантные множества в задаче Клебша-Тиссерана // Прикл. матем. и механ. 2006. 70, вып. 6. 959-964.
15. Субханкулов Г.И. Об устойчивости некоторых стационарных движений твердого тела в жидкости // Задачи устойчивости, управления, колебания: Сб. тр. 5-й Четаевской конф. М.: ВЦ АН СССР, 1990. 50-56.
16. Doubochine G.N. Sur le développement de la fonction des forces dans le problème de deux corps finis // Celest. Mech. 1976. 14. 239-281.
17. Холостова O.B. Об устойчивости перманентных вращений Штауде в общем случае геометрии масс твердого тела // Нелинейная динамика. 2009. 5, № 3. 357-375.
18. Нараленкова И.И. О ветвлении и устойчивости положений равновесия твердого тела в ньютоновском поле. Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1995. 53-60.
19. Карапетян A.B., Нараленкова И.И. О бифуркации равновесий механических систем с симметричным потенциалом // Прикл. матем. и механ. 1998. 62, вып. 1. 12-21.
Поступила в редакцию 29.06.2020
УДК 532+532.529.5
СВЯЗЬ ТЕОРИИ НЕСЖИМАЕМЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ С ТЕОРИЕЙ ПСЕВДООЖИЖЕНИЯ
Я. Д. Янков1
Предлагается математическая модель дисперсных систем с постоянными значениями числовых плотностей дисперсной и несущей фаз (несжимаемая дисперсная система). Эта модель позволяет построить физически содержательную и математически корректную теорию движения пузырей в кипящем (псевдоожиженном) слое.
1 Янков Янко Добрев — канд. фнз.-мат. наук, науч. сотр. каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: yankov.yankoQyandex.ru.
Yankov Yanko Dobrev — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Scientific Researcher, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Aeromechanics and Gas Dynamics.
