CC BY
11
РУХОМИЙ СКЛАД
УДК 531.38
Мосияш Т.А., к.ф.-м.н., доцент кафедры высшей математики Коваль В.И., к.ф.-м.н., доцент, Донбасская Национальная академия строительства и архитектуры
О ПОЛОЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА В ЧАСТНЫХ СЛУЧАЯХ РАВНОМЕРНОГО ВРАЩЕНЯ
Исходные соотношения. Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела, опирающегося на неподвижную точку О, в векторном виде запишем в обозначениях работы [1]:
= В хф + (п хг0)0 , = п хф, (1)
& &
где п = (£, т], д) - неподвижный в пространстве единичный вектор, направленный из точки опоры вертикально вверх; г0 = (х0,у0,20)- вектор, указывающий положение центра тяжести гироскопа; ф = (фх ,фу )- вектор угловой скорости; В = (Афх,Бфу,Сф)- вектор мгновенного вращательного импульса, а А, Б, С - главные моменты инерции гироскопа; G - вес гироскопа. Вращения твердого тела, при которых компоненты векторов В и п во время движения сохраняют постоянные значения, называют стационарными или перманентными. В этом случае выражения правых частей уравнений (1) удовлетворяют условиям
В ХФ+ (п х г0)0 = 0, п хф = 0. (2)
Гироскоп совершает перманентные вращения вокруг вертикали с угловой скоростью
юх = ю£, <а = юц, сог = юд, (3)
где ю - модуль угловой скорости тела, а компоненты вектора п удовлетворяют геометрическому интегралу
+ П + д2 = 1. (4)
Учитывая (3), из первого равенства (2) получаем п х (г0О - Бю) = 0. Отсюда следует, что вектор п, а значит и вектор <, лежит в плоскости векторов г0 и Б . Поскольку эта плоскость содержит вектор вертикали п , то
векторы г0 и Б расположены в вертикальной плоскости. Нахождение оси вращения определяемой вектором п в системе координат связанной с гироскопом при известном распределении масс А, В, С и заданном положении центра масс Г0 является прямой задачей, решение которой имеется в [1] и там же отмечено, что векторы п и г0 лежат на образующих конуса Штауде
(В - С)с<2Х0 + (С - А)т<ху0 + (А - В)ю<уг0 = 0 . (5)
В настоящей работе решается обратная задача, состоящая в определении центра тяжести тела при заданных моментах инерции, весе и известной угловой скорости перманентного вращения гироскопа.
Центр масс тела. С целью определения координат вектора г0 проектируем первое векторное равенство (2) на оси координат 0ху£, связанные с гироскопом:
(С - В)ю 2дц = (пез - дв2 )ф, (С - А)< 2д£ = (£еъ - дех ,
(В - А)<П = (^ -п)Ф . (6)
Одно из этих уравнений является линейной комбинацией двух других. В связи с этим из (6) при условии д ф 0 находим координаты
х Г£0 - (С - А)< ^ У _ {£0 - (С - В)< ^ (7)
л0 _ ь ^ 5 У0~ Ч ^ • У)
\ д О ) д О )
При внесении этих значений в (5) получаем тождество, из которого координату z0 нельзя выразить как функцию числовых характеристик задачи. Ее можно найти из интеграла энергии
0.5 • (Ла2х + Bo2y + Ca2z) + (Х0^ + yn + = к',
но при этом в задаче появляется еще одна произвольная величина к 'константа интегрирования, или из более простого соотношения
Х02 + У02 + z2 = (8)
полагая r0 известной величиной. Положение вектора r0 определим через его направляющие косинусы - координаты единичного вектора e = (e1,e2, e3), при этом имеют место равенства
Х0 = Г0е1 , y0 = r0e2 , z0 = r0e3 . (9)
Векторы n и e находятся в центральной вертикальной плоскости и образуют угол в:
n • e = cose. (10)
Если cose> 0, то центр масс тела находится выше точки опоры, при значении cose< 0 он будет ниже опоры, центр масс расположен в горизонтальной плоскости неподвижного пространства, когда cos = 0, а значения cose =
= ±1 указывают на то, что центр масс находится на оси вращения.
Пусть моменты инерции гироскопа удовлетворяют неравенствам
Л < B < C . (11)
Учитывая зависимости (7) и (9), равенство (8) запишем в виде
e32 -2e3g(u£2 + vrf) + g2(u2£2 + vV -1) = 0, (12)
при этом использованы новые параметры
2 2
u = (C-A)^, V = (C-B)^, (13)
r0G r0G
принимающие при условии (11) положительные значения
0 < v < u . (14)
Обращение к таким параметрам неслучайно. Если считать х0 = _у0 = 0, то центр масс гироскопа находиться на главной оси Oz и равномерные вращения его вокруг этой оси будут устойчивыми при выполнении условий [2]: (C - A)m2 - z0G > 0, (C - B)a2 - z0G > 0 или в обозначениях данной работы эти условия выглядят так u > 1, v > 1.
Уравнение (12) имеет действительные корни
e3 =дЫ2 + vn2 ±V(u£2 + vn2)2 -u2£2 -v2tf +1], (15)
если выполнено условие 0 < (u£2 + vn2)2 -u2%2 -v2n2 +1. Записывая (7) в виде
e1 = £0з/ S-u), e2 = П0з/ S-V). (16)
и учитывая (15), вычисляем (10):
cose = ±j(u£2 + vn2)2 -u2£2 -VV +1 (17)
Таким образом, при фиксированных значениях u, v положение центра масс в центральной плоскости относительно вертикали, проходящей через неподвижную точку, зависит от значения функции f (£,n) = (u£2 + vn2)2 -u2%2 - -v2n2 +1, удовлетворяющей условиям 0 < f(£,n) < 1. Исследование существования решения (15), (16) будет проведено ниже в случае
u 2£2 + v 2n2 = 1. (18)
В первой четверти плоскости параметров Ouv выделяем множество точек (u; v), удовлетворяющие условию (14) и принадлежащие области W, которая ограничена прямыми линиями v = 0 и u = v . Равенство моментов инерций C = B и A = B выполняются соответственно на лучах v = 0 и u = v , а в точке начало координат имеем A = B = C. Соотношениями (13) связаны
шесть числовых характеристик, определяющих равномерное вращение гироскопа. Выбирая точку (и; V) в области Ж, из уравнений (13) можно определить две величины из шести. Для заданного распределения масс (11) в области Ж соответствует луч, выходящий из начало координат и имеющий тангенс угла наклона:
лС — Б V /1<л\
**> = ^^ = - • (19)
С — А и
Положение точки (и; V) на этом луче зависит пропорционально от значения квадрата угловой скорости вращения с2 и обратно пропорционально произведению г00. В частности, полагая известными угловую скорости со2, вес G и выбирая параметр и, из выражения (19) находим величину V = и ■ ■tgX, а из первого равенства (13) определяем длину вектора г0:
Г0 =
co2(C - A) uG
Центр масс в координатной плоскости. При условии д = 0 вектор n находится в главной плоскости Oxy и две его соответствующие координаты удовлетворяют равенству %2 +ц2 = 1, а из уравнения (5) или первых двух уравнений (6) получаем один и тот же результат e3 = 0, приводящий к соотношению e\ + e2 = 1 и показывающий, что центр масс находиться в той же плоскости. В (6) осталось неиспользованным третье уравнение, содержащее координаты % и п, которые не могут одновременно обратиться в нуль. Чтобы воспользоваться этим уравнением, исключим из рассмотрения равенство %e2 -пе1 = 0. Оно имеет место для векторов параллельных n и e. Рассмотрим два возможных решения обратной задачи, считая в первом случае заданными координаты %, п и угол в, а во втором случае заменим в величиной r0.
Решение первое. Пусть вектор n образует с осью Ox угол в и имеет координаты % = cos в, п = sin в, а с неколлинеарным вектором e - угол в. Положение центра масс будет определено, если указать значения величин e1, e2, r0, когда угол в изменяется в интервале (0; п).
Из системы уравнений e2 + e2 = 1 и (7), находим координаты вектора e: e1 = cos(e+e), e2 = sin(e+e), а из третьего уравнения (6) определяем модуль вектора 70:
1 = 7— • (2°)
О 7 -щ
при этом учитываем значение выражения в знаменателе: 7е2 -Щ = + sinв. Для значений 7 > 0, п> 0 и
е = оо*в-9), е2 = 8т(в-0), (21)
выражение 7е2 -п = - sinв принимает отрицательные значения и в связи с этим величина г0 не будет положительной. Она станет таковой, если вектор п заменить противоположным вектором -п , который составляет угол п-в с вектором е. Сохраняя величины 7> 0, п> 0 и заменяя координаты (21) следующими
е = cos(в + в), е2 = мЦв + в), (22)
находим значение выражения 7е2 -п = sinв> 0. Теперь величина г0 положительная и центр масс гироскопа определяется соотношениями (22), (20). При выборе значения угла в в интервале (0;п) следует учитывать, что этому интервалу принадлежат два угла в1 < в2, для которых выполняется условие sinв1 = sinв2 > 0. Для меньшего значения в1 е (0; п/2) центр масс гироскопа находиться выше точки опоры, для большего значения в2 е (п/2;/) он расположен ниже ее, а при равенстве этих величин в1 =в2 =п/2 центр масс и точка опоры лежат на одной горизонтальной прямой.
Рассмотрим в (20) выполнение условия 7п< 0. Для значений 7 < 0, ц> 0 перманентное вращение гироскопа возможно только тогда, когда центр масс гироскопа находится на прямой линии, которая определена направляющими косинусами (21), а для величин 7> 0, п< 0 рассматриваемое движение осуществляется для вектора е с координатами (22).
Решение второе. К числовым характеристикам гироскопа, заданным и использованным в предыдущем решении, присоединим еще величину г0, а угол в считаем произвольной величиной определяемой из соотношения
sine = %п(B - A>2. (23)
r0G
Исключим из рассмотрения случай sin в = 0. Это условие реализуется, во-первых, при значении % = 0 или п = 0, приводящие к равномерному вращению вокруг координатной оси Oy или Ox соответственно, на которых расположен центр масс гироскопа; во-вторых, при равенстве B = A , характеризующее симметричный гироскоп; в-третьих, при значении с = 0, означающее отсутствие вращения; в-четвертых, при значении r0 ^ю, которое физически не выполнимое. Учитывая зависимость
l = r0 sin в, отмечаем, что расстояние l, на котором осуществляется действие силы тяжести, находится для известного значения угла в . Из системы уравнений
%e1 +ne2 = cos в, %e2 -Щ\ = sin в, (24)
находим координаты (22) вектора e. Если величины %, п в (24), (22) заменим противоположными -%, -п, тогда имеем вектор -e и его координаты такие e1 = -^(в + в), e2 =- sine + в). Эти значения совпадут с (21), если учитывать, что угол между векторами -e и n равен п-в.
Функция sin в является ограниченной, поэтому этого требуем от выражения в правой части (23):
(2%2 -1)2 -1 + 4[В^] > 0. (25)
^(B - А)с J
Условие является верным при любых значениях % на множестве (-1;0) и (0; 1), когда начальные числовые характеристики рассматриваемого движения гироскопа удовлетворяют неравенству
(B - А)С < 2r0G (26)
и принимает вид u - v < 2 в обозначениях (11). Гироскоп с такими числовыми характеристиками совершает равномерные вращения аналогичные тому, которые описаны в первом решении. В случае, когда
(B - А)с2 > 2r0G (27)
выражение в левой части (25) раскладывается на множители (7-7-2) •
•(7-7-1) • (7-7+1) • (7-7+2),
где
7-! 0.5)-2 - 0.25 , 7+1 = >/ 0.5 -у1(и - V) - 0.25 , 7-2 = -0.5 + )-2 -0.25 , 7+2 = ^0.5 + - V)-2 - 0.25 .
Равномерное вращение гироскопа существует при условии sinв> 0, если выполнено неравенство 7п> 0. В этом случае вектор п находится в первой четверти системы координат Оху и его первая координата 7 е (0;7+1) ^ (7+2;1), а противоположный вектор -п имеет координату 7е (-1;7-2) ^ (7-1;0) в третьей четверти. Во втором случае, когда 7п< 0, для значений 7 < 0, п> 0 вектор п расположен во второй четверти для значений 7 < 0, п> 0 и окажется в четвертой четверти при значениях 7 > 0, п< 0. Согласующийся с условием sinв< 0 выбор значений координат 7 и п проводиться аналогичным образом. Итак, при выполнении условия (27) выбор значений 7 и п, определяющих положение оси равномерного вращения гироскопа, уменьшается по сравнению с тем, который имеется при условии (26).
Частные решения обратной задачи. Пусть координаты 7, п и параметры и, V удовлетворяют равенству (18). Тогда из соотношения (15) получим два значения третьей координаты вектора е :
е3 = 0, (28)
ез = 2д(и72 + vЛ2), (29)
при этом угол между векторами п и е вычисляется таким образом
^в = ±(и72 +П). (30)
Значения ^в = ±1 получим при условии и72 + П = 1. Вычитая это равенство из (18) имеем
(и - 1)и72 + (V - 1)п2 = 0. (31)
Полагая и > 1, V > 1 получаем 7 = П = 0, что соответствует равномерному вращению гироскопа вокруг третьей координатной оси, центр масс
которой не принадлежит. Имеем противоречие, так как равенство cose = ±1 определяет параллельность векторов n и e . Учитывая (14) теперь считаем u > 1, v = 1. Равенство (31) имеет место при значениях £ = 0, п ^ 0. Тогда из (16) следует e1 = 0 и в случае (28) находим e2 = -щ = -1, а значит д = 0, что противоречит предположению д^ 0. Воспользовавшись значением (29), получаем e2 = п(2Щ -1). При этих значениях равенство e2 + e32 = 1 выполняется, если Щ = 1 и д = 0, что вновь приводит к противоречию. Для значений u > 1, v < 1 из системы уравнений (18), (31) вычисляем решение ri 1 - v 2 u -1 ^
£ =-, п =-. Для определения координаты д проверяем
(u - v)u (u - v)v
выполнение условия £2 + Щ ^ 1 и получаем 1 < v, что не совпадает с предполагаемым условием. Полученные противоречия показывают, что при использовании соотношения (18) векторы n и e не могут быть параллельными и это соответствует выполнению неравенства
u£ + vn2 < 1. (32)
Рассмотрим два варианта выбора положения оси вращения (вектора n) при этом условии. В первом варианте при заданных значениях u, v из уравнений (4), (18) находим координаты
£ = u_1cosr, п = v_1sinr, д2 = 1 -u-2 cos2 т- v_2sin2 т, (33)
где т угол между осью Ox и проекцией вектора n на плоскость Oxy, который принимает значения в интервале [0;2^]. Значения \£\ = 1 или Щ\ = 1
исключим из рассмотрения в связи с тем, что приводят к обращению в нуль третей координаты д. Поскольку \£\< 1 и Щ < 1, то параметры
удовлетворяют ограничениям u > |cos т| и v > |sin т| или u2 + v2 > 1.
Во втором варианте считаем еще известным угол в и формируем систему уравнений (4), (17), (18). Решением ее являются значения
£2 = 1 - (±cose)v щ2 = (±cose)u - 1 д2 = 1 (u + v)(±cose) -1 (34)
(u - v)u (u - v)v uv
Ограничения на выбор параметра в, зависящие от величин u, v, будут указаны ниже.
Решение первое. При условии д ^ 0 и значении (28), когда центр масс расположен в главной плоскости Oxy, направляющие косинусы (16) имеют вид е1 = -u£, e2 =-vq и для оси вращения (33) принимают соответствующие значения e1 = - cos т, e2 = - sin т, определяя прямую линию, которая несет точку центра масс и лежит на пересечении плоскостей Oxy и u£e2 - vr¡ex = 0. Последнее уравнение плоскости получим из (5) при условии (28) [3]. Учитывая (32) и то, что центр масс гироскопа расположен ниже его точки опоры:
cos0 = -K2 +V), (35)
при значениях (33) выражение в правой части (35) удовлетворяет неравенству -(u ^ cos2 т + vsin2 т) > -1, из которого следует
sin2 т< (u - 1)v/(u - v). (36)
Условие выполняется при значениях u > 1, а равенство (u - 1)v/(u - v) = 1 имеет место для величины v = 1. Полагая v > 1, получаем (u - v)/(u - 1)v < 1 и неравенство (36) является верным при условии sin2 т< 1 и параметр те[0;2п], кроме значений т = ±П2. Если параметры (13) удовлетворяют неравенству (u - 1)v/ (u - v) < 1, которое можно преобразовать к виду 0 < (1 - v)u, то оно реализуется при значениях v < 1.
Рассмотрим геометрическую интерпретацию полученных условий. Уравнения (4), (18) при заданных значениях параметров u, v в пространстве переменных O£r¡g описывают поверхности второго порядка: сферу и эллиптический цилиндр соответственно. Для значений 0 < v < u < 1 сфера расположена в полости цилиндра и поверхности не пересекаются, а при значении u = 1 цилиндр касается внешней поверхности сферы в точках (±1;0;0), которые принадлежат экваториальной окружности +rf = 1. Как показано выше, равномерные вращения гироскопа вокруг оси с направляющим вектором n = (±1; 0;0) невозможны.
Поверхности (4), (18) пересекаются по замкнутым линиям L и L при условии u > 1. Свойство этих кривых удобно изучать на сфере (4) при разных значениях v. Если выполнено неравенство v > 1, то кривая L обхватывает положительную полуось Og, симметрична относительно координатных плоскостей O£g, Or¡g, а относительно плоскости O£r¡ имеет симметричную кривую L. Обозначим эти кривые соответственно L+ и L-.
Эллиптический цилиндр и сфера сближаются вдоль оси Оц, когда v ^ 1, а поэтому кривые L+ и Lg тоже сближаются. При достижении равенства v = 1
эллиптический цилиндр касается внутренней поверхности сферы в точках (0; ±1;0), которые также окажутся общими точками для кривых L+ и L-.
Ранее доказано, что ось вращения не может проходить через эти точки. Если параметры u ^ю, v ^ю, то кривые L+g, L- уменьшаются в размере и
стягиваются к точкам (0; 0;1), (0;0; -1) соответственно, которые принадлежат оси Од. Эту ось не будем брать в качестве оси вращения гироскопа, чтобы определить положение его центра масс, поскольку координаты указанной точки 7 = 0, п = 0 не удовлетворяют равенству (18).
Возьмем параметр v е (0;1). В этом случае поверхности второго порядка образуют пересечение по новым линиям L+ и L-. В обозначениях этих кривых используем индекс 7, указывая на то, что эти линии обхватывают ось О7. Так же как предыдущие линии L+, Lg они обладают свойством симметричности и еще характеризуемы условием
0 < sin2 т< (u2 - 1)v2/(u2 - v2), (37)
которое найдено из (4), (18) при значении д = 0. Если уменьшать параметр u так, чтобы u ^ 1, то меньшая полуось эллипса (18) увеличивается, а это приводит к уменьшению кривых L+, L- и каждая из них стягивается к
своей точке (±1;0;0), которые принадлежат оси О7. Через эти точки ось вращения проходить не может, так как координата д= 0 , что противоречит обратному предположению.
Итак, точка (33) принадлежит кривой L+g или Lg, когда параметры
u > 1, v > 1, и находится на кривой L+ или L-, если выполнены условия u > 1, v < 1, в случае v = 1 кривые L+, L-g и L+7, L- совпадают и имеют общие точки (0; ±1;0), с которыми точка (33) совпадать не может, но другие позиции на кривых может занимать. Множество всех положений оси вращения образуют конус равномерных вращений
(u2 -1)7+(v2 - 1)п -g=0, (38)
при этом кривые L или L являются его направляющими линиями, когда u > 1, в случае v > 1 полости конуса принадлежит ось Oz, а если v < 1, то -ось Ох, при значении v = 1 конус распадается на две плоскости
Прямые линии, заданные уравнениями и = 1 и v = 1, разделяют область W на подобласти W1 = {(и; v): 0 < и < 1,0 < v < и}, W2 = {(и; v):1 < и ,0 < v < 1}, W3 = {(и; v):1< и ,1 < v < и}. В области W1 обратная задача решения не имеет. Для каждой точки (и; v) eW2 ось вращения является образующей конуса (38) с направляющей линией L+ или L-, а множеству точек подобласти W3 соответствуют оси вращения конуса (38) с направляющей линией L+ или Lg.
Во втором варианте выбора оси вращения соотношения (34) принимают вид
= 1 - (-cos0)v п2 = (-cüs^)u - 1 = 1 (и + v)(-cost) -1 (39)
(и - v)u (и - v)v uv
Первые две координаты положительные и д ф 0 при выполнении условий
и > 1, v > 0, и <- cos в <v~l, (и + v)-1 < - cos в < (1 + uv)(u + v)-1.
Неравенство (1+uv)(u + v)-1 > 1 имеет место при значениях v > 1. Поскольку (1+uv) • (и + v)-1 > v_1, то угол в выбираем из условий и-1 <- cosв< v. Если величина v < 1, то получаем 1 > v^ > (1+uv)(u + v)-1 и угол в удовлетворяет неравенствам и-1 <-cose<(1+uv) (и + v)-1. Итак, выбирая значения параметров и, v в областях W2, W3 и угол в согласно указанным неравенствам, определим по формулам (39) положение оси вращения, которая будет проходить через кривую L+ или L , как и в предыдущем варианте.
Решение второе. Пусть образующая конуса (38) с направляющей линией L^ является осью вращения гироскопа и принадлежит первому
квадранту пространства Oxyz, тогда ее направляющие косинусы (33) принимают значения 7 > 0, п> 0, д> 0. Кривая L- существует при условиях и > 1, 0 < v < 1 и (37), при этом значению sin2 т„= (и2 -1)v2 /(и2 - v2) соответствует равенство д = 0, а поэтому образующая с таким направляющим косинусом не будет в рассматриваемом случае осью
вращения гироскопа. Значение (29) третьей координаты вектора e внесем в (16) и определим вид первых двух координат
e1 = £(2(u£2 + vr¡2) - u), e2 = n(2(u£2 + vr¡2) - v) . (40)
При этих значениях выражение (24) принимает вид cosQ = u£2 + vr¡2, а это значит, что центр масс гироскопа находится на образующей конуса Штауде (5) выше точки опоры гироскопа. Положение вектора e будет определено, если указать знаки его координат для выбранной оси вращения. С этой целью в (40) достаточно определить знаки следующих разностей 2(u£2 + vrj2)-u, 2(u£2 + vrj2)- v. Учитывая (33), их представим в виде
. 2 (u2 -2)v . 2 (uv-2)v ,ллл
sin2 т ---—, sin2 т ---—. (41)
2(u - v) 2(u - v)
и отметим, что первое выражение положительное при значениях u е (1; V2], а второе выражение - при условии v < 2/u. Так как в области W2 указаны не все точки (u; v) положительности этих выражений, то это можно установить с помощью следующих справедливых в W2 неравенствах
(uv - 2)v < (u2 - 1)v2 < (u - 1)v < 1 и (uv - 2)v < (u2 - 2)v (42)
2(u - v) u2 - v2 u - v 2(u - v) 2(u - v)
Выбираем значение sin^ в интервале (0^т2т„). Разности (41) равны нулю при условиях v = 2u sin2 т/(ы2 - 2cos2 т), u = 2vcos2 т/(v2 - 2sin2 т)
соответственно. Эти зависимости в области W2 представлены кривыми q2, p2 и разделяют область на подобласти W2q , W2qp и W2p . Область W2q ограничена линиями v = 0, v = 1, u = 1 и q2, при этом последняя пересекает прямую v = 1 и асимптотически сближается с прямой v = 0, когда u . Разности (41) в области W2q положительные, а поэтому координаты ex, e2
то же положительные. На кривой q2 координата ex = 0. Кривые q2, p2 и прямая v = 1 образуют границу открытой области W2qp. Горизонтальная асимптота v = sinт кривой p2 лежит в области W2 в том случае, когда значение sin2 т< 0.5. Для точек (u; v) eW2qp имеем ex < 0 и e2 > 0, так как первая разность (41) отрицательная, а вторая разность сохраняет прежнее
значение. На кривой p2 координата e2 = 0. Координаты ex, e2 принимают
отрицательные значения в области W2 , которую ограничивают кривая p2 и
прямая v = 1. Область W2 вместе со своей границей отсутствует при
значениях sin2 т > 0.5 .
Пусть осью вращения будет образующая конуса Z+, который
получаем при условиях u > 1, v > 1, и определена для значения sin2 т е [0; 1]. Области W3 принадлежат кривые p1, p2 и q2, имеющие общую точку (V2;V2). Укажем частные случаи расположения этих кривых. Кривая q2 и прямая u = V2, а так же кривые p2 и p1 совпадают при значении sin т = 0, а в случае sin2 т = 1 кривая q2 и p2 совпадают соответственно с линиями p1 и v = V2. Кривые q2, p2 разделяют область W3 на подобласти W3q, W3qp, W3p и
для каждой из них и указанных линий покажем расположение центра масс гироскопа. Он находиться в плоскости Oyz или Oxz, если точка (u; v) взята на кривой q2 или p2. Прямые v = u, v = 1 и кривая q2 образуют границу замкнутой области W3q. Для координат ее точек выражения (41) положительные, а поэтому координаты e1, e2 и 7, п принимают значения одинаковых знаков. В незамкнутой области W3 , часть границы которой образуют линии v = u и p2, разности (41) отрицательные в каждой точке и значения e1, e2 и 7, п имеют противоположные знаки. Область W3qp будет замкнутой для значений sin2 т< 0.5, при этом прямая v = 1 и кривые q2, p2 образуют ее границу, и окажется незамкнутой для значений sin2 т> 0.5. В последней области величины ex и 7 противоположные по знаку, а e2 и п -одинаковые.
Рассмотрим второй вариант выбора оси равномерного вращения при известном угле в между осью вращения и прямой с центром масс:
„2 1 - v ■ cose 2 u ■ cose-1 2 , (u + v)cose-1
72 =-, п =-, g = 1 ^^---.
(u - v)u (u - v)v uv
(44)
Из не отрицательности выражений в числителях каждого отношения в (44) находим ограничения на изменении cose состоящие в том, что при условиях 0 < v < 1 и v > 1 выполняются соответственно неравенства
1 /-. 1 + uv 1 „ 1 ÍAt.\
— < cose <- и — < cose^. (45)
u u + v u v
Направляющий вектор e прямой с центром масс имеет координаты
e1 = £(2cos^- u) , e2 = n(2cos^- v), e3 = 2g- cose .
Выводы и практические рекомендации. Если изучить принимаемые значения выражениями 2cos#- u и 2cose- v при выполнении условий (45), то получим те же результаты, что имели место при выборе оси вращения в первом варианте. Такое совпадение подтверждает правильность выполненного анализа положения центра масс с одной стороны, а с другой показывает, что вместо параметра т можно использовать величину в. Таким образом, проведенные исследования позволили получить новые результаты, дополняющие ранее известные [1].
Полученные результаты могут быть использованы при проектировании измерительных гироскопических приборов высокой точности для применения в вагонах-лабораториях различных служб железнодорожного транспорта.
Список литературы
1. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. В 2-х т. Т.1. М. - Л.: Изд-во ин. литер. - 1952. - 347 С.
Румянцев В.В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела// Прикл. математика и механика. - 1956. - 20, вып.1. - С.50-66.
3. Мосияш Т.А, Коваль В.И. Положение оси равномерного вращения несимметричного тяжелого гироскопа с неподвижной точкой//Збiрник наукових праць Дон1ЗТ. - 2005. - С.84-97.
