Положение оси равномерного вращения несимметричного тяжелого гироскопа с неподвижной точкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Список литературы

1.ДСТУ 32.001-94. Галузевий стандарт Украши. Викиди забруднюючих речовин з вщпрацьованими газами тепловозних дизелiв. Норми та методи визначення.

2.А.В. Станиславский. Техническое диагностирование дизелей. Донецк: Высшая школа, 1983.-136с.

3.Ю.В. Черняк, А.М. Гущин, Ю.В. Кривошея. Определение коэффициента избытка воздуха.- Вюник ДДАБА, 2003 - 4 (41), с.102 - 110.

4. Теплотехника: Учебник для студентов втузов /А.М. Арзаров, С.И. Исаев и др.: Под общ. ред. В.И. Крутова . -М. 6 Машиностроение, 1986. - 432с.

УДК 531.38

Мосияш Т.А., к.ф.-м.н., доцент (ДонИЖТ) Коваль В.И., к.ф.-м.н., доцент (ДонНАСА)

ПОЛОЖЕНИЕ ОСИ РАВНОМЕРНОГО ВРАЩЕНИЯ НЕСИММЕТРИЧНОГО ТЯЖЕЛОГО ГИРОСКОПА С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ

Исходные соотношения. Дифференциальные уравнения движения тяжелого твердого тела, опирающегося на неподвижную точку О, в векторном виде запишем в обозначениях работы [1]:

= Б Х0+ (п х ¥0)О , (1)

&

_ _

— = п х со , (2)

Ж

где п = (%,ц,д)- неподвижный в пространстве единичный вектор, направленный из точки опоры вертикально вверх;

г0 = (х0,у0,z0)- вектор, указывающий положение центра тяжести

гироскопа;

С = (сх ,су ) - вектор угловой скорости;

Б = (Лшх,Бшу,Саг)- вектор мгновенного вращательного импульса; А, Б, С - главные моменты инерции гироскопа; G - вес гироскопа.

Вращения твердого тела, при которых компоненты векторов Б и п во время движения сохраняют постоянные значения, называют стационарными или перманентными. В этом случае выражения правых частей уравнений (1), (2) удовлетворяют условиям :

Б хШ + (п х г0)О = 0, (3)

п хШ = 0. (4)

Известный факт [1], что гироскоп совершает перманентные вращения вокруг вертикали, получаем из равенства (4), а свойство параллельности векторов п и Ш представим в виде:

шх = ш%, шу =шп, =шд, (5)

где ш - модуль угловой скорости тела и компоненты вектора п удовлетворяют геометрическому интегралу :

+П +С2 = 1. (6)

Учитывая (5), из (3) получаем п х (r0G - БШ) = 0. Отсюда следует, что вектор п, а значит и вектор Ш, лежит в плоскости векторов г0 и Б . Поскольку эта плоскость содержит вектор вертикали п , то векторы г0 и Б расположены в вертикальной плоскости. Свойство компланарности трех векторов г0, Ш, Б нашло отражение в уравнении конуса Штауде:

(Б - С)ШуШ;Х0 + (С - Л)ШШХУ0 + (Л - Б)ШхШу20 = 0 . (7)

Анализ его свойств выполнен в [1] и, в частности, отмечено, что векторы Ш и г0 лежат на образующих конуса. Выясним зависимость между этим соотношением и векторными равенствами (3), (4).

Проектируем эти равенства на оси координат 0ху2, связанные с гироскопом, и записываем две группы уравнений:

(А - Б)схсу + (у,£- х0п)О = 0, (8)

= 0. (9)

По два недостающих уравнения в группах получим из соотношений (8) и (9) циклической перестановкой в каждом из них следующих символов А, В, С, х, у, z, ¿;,ц,д. При условиях (5) уравнения группы (9) обращаются в тождества. В системе (8) независимыми будут любые два уравнения, при этом одно из них можно заменить уравнением Штауде, так как (7) является линейной комбинацией группы уравнений (8).

Определение координат п, д вектора п , указывающего в гироскопе вертикальную ось равномерного вращения, и величины угловой скорости с его вращения используя известное распределение масс гироскопа, а именно: центральные моменты инерции А,В,С; положение центра масс х0, у0, z0 и вес гироскопа G, считается прямой задачей [1]. В указанной

работе представлено решение этой задачи и показано, что положение оси вращения зависит от двух произвольных заданных чисел и значения неизвестного множителя, который находится в процессе вычислений.

В данной работе вначале проводится количественная оценка используемых заданных чисел и доказывается, что одно из них является независимым, а второе определяется из равенства, которое они образуют. Затем прямая задача решается в случае особого распределения масс и находятся два ее решения. В первом решении ось равномерного вращения и центр масс принадлежат одной плоскости, а во втором - они располагаются в разных плоскостях.

Анализ решения Штауде. Координаты £,ц,д вектора п и величина угловой скорости с находятся из уравнения (6) и двух независимых равенств (7), (8):

(В - С)пдх0 + (С - Аду0 + (А - В)п = 0, (10)

(А - В)С{п + (у0£-х0п)О = 0, (11)

которые изменены при условиях (5) и с2 ^ 0. Из (11) вычисляют угловую скорость:

С = М-М^, (12)

(В - А)£п К }

если будут известными координаты %,п,д. Для определения последних вначале изложим в неизменном виде действия, описанные на стр. 224 работы [1]:

«Пусть вертикальная плоскость, в которой лежит перманентная ось вращения, проходит через ось z, следовательно, положение этой плоскости в системе осей (x; y; z) определяется отношением %: п. В таком случае мы можем принять, что

% = к%', п = кп', где %%, п' суть заданные числа; к- пока неизвестный множитель.

Подставив эти значения % и п в уравнение (28) (см. формулу (10) этой работы), мы найдем сначала значение:

= к ' = к (B - А)%'п\ ^ ^ К (B - C)пЧ + (C - А)%Уо '

а затем из соотношения

%2 +П + д2 =к2(%'2 +П + д'2) = 1

определим множитель к. Тем самым мы определим точное положение перманентной оси вращения во взятой плоскости и, кроме того, будем знать значения %, п и д. »

Анализ начнем с введения сферических переменных а и в равенствами:

д = cosa, % = sin a- cos в, п = sin а- sin в, (13)

где угол а, который образует вектор n в вертикальной плоскости с осью Oz, а угол в составляют вертикальная плоскость и положительное направление оси Ox .

Два последних соотношения в (13) можно использовать в выше изложенном решении. В связи с этим имеем %' = cos в, п' = sin в и

к = sina. (14)

Поскольку £: п = £': п', то для заданных чисел £', п' вычисляем радикал

тождество. Неизвестный множитель к определим из первого уравнения (13). Учитывая зависимости д = кд' и (14), из указанного уравнения получаем к2 = (1 + g'2)-1. Штауде задавал две величины £' и П произвольными, а проведенные исследования показывают, что независимой является одна из них и ее значение по модулю меньше 1, а вторая величина находится из равенства £'2 +ц'2 = 1.

Для значений £' = ±1 (или п' = ±1) имеем п' = 0 (или £' = 0) и находим величины g = cosa, £ = sina, п = 0 (или £ = 0, п = sina). В этом случае ось вращения гироскопа принадлежит главной плоскости Oxz (или Oyz). Теперь равенство (10) будет выполненным, если в заданном распределении масс будет равна нулю координата y0 (или x0 ) и тогда получим, что в той же плоскости находиться центр масс гироскопа. В противном случае, когда y0 ^ 0 (или x0 ^ 0), равенство (11) не будет выполненным и значения ±1, 0

величинами £', п' не достигаются. Положение центра масс гироскопа на главных координатных плоскостях и осях называют особым распределением масс [1]. Ниже рассматривается решение прямой задачи в случае, когда имеет место такое распределение масс.

Соотношением 70 = r0e определим модуль вектора |rj| = r0 x02 + y02 + z02 и единичный вектор e = (e1,e2,e3). Вычисляем угол в между векторами n и e :

а затем по формуле I = г0ътв находим расстояние удаления от оси вращения параллельной ей прямой действия силы тяжести. Зависимость величины с2 от радиуса I, при котором центр масс описывает окружность, задается соотношением:

Особое распределение масс. В [1] оно рассматривается более простым и, в частности, допускающим центр масс лежащим на одной из главных плоскостей, а именно: z0 = 0. При этом условии уравнение Штауде (7) имеет вид

Значения (13) обращают (6) в

cos в = £ex + + ge.

(15)

((Б - С )щ + (С - Л)^)? = 0,

и совместное его решение с уравнением (6) изучается в следующих случаях:

а) ? = 0, (Б - С)пе+(С - Л)^в2 = 0, б) 0, (Б - С)пе + (С - Л)^в2 = 0, в) ? = 0, (Б-С)пе + (С-Л)^в2 *0.

Случай а). Пусть моменты инерции несимметричного гироскопа удовлетворяют условиям

Л < Б < С . (16)

В пространстве переменных ОП? единичный вектор оси вращения п лежит на пересечении двух плоскостей П и П2, а именно: главной плоскости д = 0 и перпендикулярной к ней

плоскости

(Б - С)цех + (С - Л)^е2 = 0. (17)

При условии е2 * 0 из (17), (6) находим координаты вектора п :

, = (С - Е)ех = (С- Л)е2 (18)

^0 — I-—-' '0 — I-—-ГТ ' \±0/

4(С - Б)2 е2 + (С - Л)2 у](С - Б)2 е2 + (С - Л)2 е2

как функции параметров распределения масс. Для заданных значений е1, е2 знаки «+» и «-» в (18) определяют две оси вращения, при этом вектор е образует с одной из них острый угол, а с другой тупой. Этот угол в0 между векторами п , е определим из (15)

= ± (С - БК + (С - Л)е2 , (19)

4(С - Б)2 е2 + (С - Л)2 е\

и знаки «+» и «-» в этом выражении соответствует тому, что центр масс гироскопа находится выше или ниже точки опоры. Вносим значения (18) в (12) и находим величину угловой скорости вращения:

2 _ Л (С - В)2 е,2 + (С - Л)2 е2 (20)

с0 = + т0С-. (20)

0 0 (С - В)(С - Л) У 7

Отсюда следует, что в рассматриваемом случае гироскоп совершает равномерные вращения вокруг вертикали с угловой скоростью с02 > 0, когда его центр масс находиться ниже точки опоры.

Случай б). При условии д ^ 0 вектор е остается в плоскости Ц, а вектор п ее покидает, сохраняя свое положение в плоскости П2. Значения (13), (14) подставляем в (6),(15),(17):

(В - Спе + (С - Л)£е2 = 0, (21)

к2(Г2 +п2) + д = 1, (22)

0080 = (£ех +Пе2)к , (23)

при этом для угла между векторами п и е выполняется условие :

0>0. (24)

Уравнениям (21), (23) удовлетворяют значения

(С - В)е! 008 0 п = кП= (С - Л)е2 0086 (25) 6 6 (С - В)е2 + (С - Л)еГ ' (С - В)е2 + (С - Л)е2 ' ^ 7

Из равенства к2 =£2 + rf находим

2 2_(C - B)2 e2 + (C - A)2 e22

к1 = cos2 в--—--. (26)

[(C - B)e2 + (C - A)e2]2 V }

Полагаем к2 < 1, так как в случае к2 = 1 имеем д = 0. Учитывая условие (24) и соотношение (19), из (26) получим неравенство cos2 в < cos2 в0, а из (22) вычислим третью координату вектора n :

д = ±

1 . (27)

cos в0

Соответствующая значениям (25) угловая скорость гироскопа

(С - Б)е,2 + (С - Л)е2 2^ 0 (С -Б)(С - Л) соъв 0 соъв

(28)

будет положительной при условии соъв <0, а значит ве (ж/2;ж-в0]. Величина угловой скорости ш2 ^^, когда в ^ ж/2, и равна наименьшему значению (20) на правом конце интервала в = ж-в0.

Итак, тяжелый несимметричный гироскоп с заданным распределением масс совершает равномерные вращения с угловой скоростью (28) вокруг вертикальной оси, которая лежит в плоскости П 2 и имеет направляющие косинусы (25), (27), если величина в0 вычисляется

по формуле (19), а параметр в, определяющий угол между осью вращения и прямой с центром масс, удовлетворяет ограничению

ж/ 2 <в<ж-в0.

Случай в). Теперь векторы п и е находятся в плоскости П^ а их координаты удовлетворяют равенствам е^ + е22 = 1 и

где И - некоторая постоянная.

Для удобства изложения дальнейших рассуждений вначале считаем, что центр масс находится на плоскости Оху в первой четверти и полагаем ех > 0, е2 > 0. Первые два равенства (29) заменяем эквивалентными уравнениями:

где Я2 = (С - Б)2 е2 + (С - Л)2 е22.

Исключаем из рассмотрения значения И = (С - -Б)ех и И = -(С -Л)е2, так как в этих случаях уравнения (31), (32) имеют нулевые корни £ = 0 и П = 0, а этого не может быть, поскольку величины п находятся в знаменателе формулы (12).

Пусть И принимает положительные значения. Тогда уравнение (31) имеет действительные корни:

(Б - С)пе + (С - Л)^е2 = И, +п2 = 1,

(29)

(30)

£2Я2 - 2£(С - Л)е2И + И2 - (С - Б)2е2 = 0, П2Я2 + 2п(С - Б)е1И + И2 - (С - Л)2 е22 = 0,

(31)

(32)

_ (С - Л)е2 И + (С - Б)ех4я2 - И2 _ (С - Л)е2 И - (С - Б)ех4я2 - И2 (33) 4 _ я2 ' 4 _ Я2 ' (33)

при условии И < Я, а уравнение (32) обладает ненулевыми корнями

_ -(С - Б)е1И + (С - Л)е2У Я2 - И2 _ -(С - Б)е1И - (С - Л)е2 Уя 2 - И2 (34)

п+_ Я2 ' п-_ Я2 ' (34)

если верно неравенство И < (С - Л)е2. Поскольку (С - Л)е2 < Я, то решение (33), (34) системы (31), (32) существует при значениях И е (0;(С-Л)е2). Для отрицательных значений И, когда выполнено условие -(С - Б)ех < И, уравнение (31) имеет действительные, ненулевые корни (33), а соответствующие им корни (34) находим из уравнения (32) при неотрицательном дискриминанте Я2 - И2 > 0. Учитывая условие - Я <-(С - Б)ех„ получаем еще один интервал изменения величины И е (-(С - Б^;0).

Равенства значений £+ _ 4+, п+ _ п0+ и _ Е,-, п _ п0 получим из формул (33), (34) и (18) при значении И _ 0.

Отдельно для значений И > 0 и И < 0 определим на окружности (30) множества, образованные точками (4+ ;п+) и (4 ). Каждая такая пара точек получается в результате пересечения прямой (29) и окружности (30). Сначала используем решение (18) и указываем положение точек, когда И _ 0 , а затем, меняя значения И и отслеживая параллельное перемещение прямой (29) относительно прямой (17), проследим за изменением положения точек в двух вариантах:

а) 4_ (С-Б>е,>б) 4_ <С-Б)е.> 1.

П0 (С - Л)е2 П0 (С- Л)е2

Вариант а). Числовые характеристики распределения масс удовлетворяют неравенству (С - Л)е2 < (С - Б)ех. Направляющий вектор

п _ (4,п0) прямой, которая определена зависимостью (17) и проходит через начало координат О, принимает одно из двух положений п+ _ (4+ ,п0+) или п _ (4, ,п-) в случае И _ 0. Эти векторы находятся соответственно ниже и выше биссектрис первого и третьего координатных углов плоскости Оху. Для значения И из интервала (0;(С - Л)е2), координаты векторов п+ _ (4+ ;п+) и п _ (4) изменяются. Их значения, вычисленные по формулам (33),

(34), удовлетворяют условиям 0+ > 00+ , п+ < По+ и 0- > 00 , п+ < п0. Если взять возрастающую последовательность значений к, то последовательности значений первых координат векторов п+ и п будут увеличиваться, а значения вторых координат - уменьшаться. Когда величина к ^ (С - А)е2, имеем 0+ ^ 1, п+ ^ о, а вектор п стремится к предельному вектору п = (0- ;п-), где

0* = (С - А)2 е2 - (С - Б)2 е\ * = -2(С - А)(С - Б)ее (35)

Я2 ' Я2 ' У '

На дугах окружности (30) первой и третьей четверти предельными точками выделяются множества М1+ = {(0, п): 00+ < 0 < 1,0 < п < п+} и М~ = {(0,п): 00- < < 0 < 0-,п0- < п < п-}, которые соответствуют к > 0.

На этих множествах определим значения угловой скорости (12):

®2 = 0е2 -щ . (36)

0 (Б - А)0п 4 }

Произведения координат 0+п+ и 0_п_ точек соответственно из множеств М+ и М1- будут положительными для значений к > 0 . Выражение в числителе (36) положительно на множестве М1- и угловая скорость со2 > 0 в каждой точке этого множества. Это выражение, вычисленное для точки

(0+ ,п+ )

0+е2-п+е1 = Я-2{[(С - А)е22 + (С - Б)е2]к - е^(Б - А)л/Я2 - к2}, (37)

является неотрицательным для величин к е [(Б - А)е1е2;(С - А)е2). Соответствующие им значения угловой скорости принадлежат интервалу

Г

[0;да), а точки (0+ ,п+) образуют подмножество М® = {(0,п): е1 <0 < 1,0 <п<е2}

множества М1+.

Для отрицательных значений к е (-(С - Б)е1;0) координаты вектора п+ удовлетворяют условиям 0+ < 00+, п+ > п+ и первая из них убывает, а вторая возрастает, если к уменьшаются. Когда к ^ -(С - Б)е1, координаты 0+ ^ 1, п+ ^ 0. Следовательно, значениям к из указанного интервала соответствует множество М+ = {(0,п):0<0<00+ ,п0+ < п< 1} точек дуги первой четверти единичной окружности. Для точек этого множества не

существует равномерных вращений гироскопа, так как выражение в числителе (36) принимает отрицательные значения.

Изучим множество положений на единичной окружности (30) вектора п , когда величина И отрицательная. Интервалу (-(С - Б)е1;0) принадлежит значение И _ -(С - Л)е2, при котором координата п _ 0. Это значение нельзя использовать в (35) при вычислении угловой скорости, поэтому указанный интервал преобразуем и записываем в виде (-(С - Б)е1; -(С - Л)е2) и (-(С - Л)е2; 0). Значениям И из интервала (-(С - Л)е2;0) соответствуют координаты вектора п , принадлежащие множеству М2- _ {(4п): -1 <4 <4,0 <п<%}, удовлетворяющие условиям 4- < 4-, п >п- и меняющиеся так же, как координаты вектора п+. Когда величина И ^-(С - Л)е2, имеем 4^-1, 0 и вектор п сближается с отрицательной полуосью Ох. Если значения И ^ 0, то вектор п_ перемещается в начальное положение (40,п0). Для координат 4- < 0, п < 0 знак величины т2 в (36) зависит от знака выражения :

4е2 -пе1 _ Я 2{е1е2(Б - Л)>/Я2 - И2 - [(С - Л)е22 + (С -Б)е2](-И)} . (38)

Оно принимает неотрицательные значения, когда И е [-(Б - Л)е1е2;0). Для этого интервала на множестве М- выделяем подмножество

М-т_ {(4,п): -е: <4 <

<4-,-е2 <п<п-} всех положений оси равномерного вращения гироскопа, угловая скорость которого принимает значения [0;т02).

Принадлежность величины И интервалу (-(С - Б)е1; -(С - Л)е2) приводит к тому, что обе координаты вектора п только увеличиваются, когда

И ^ -(С - Б)е1, и стремятся к значениям:

-2(С - Л)(С - Б)е1е2 „ (С - Б)2 е2 - (С - Л)2 е22

4- _-Я2—^, п- _-Я-, (39)

а в другом предельном переходе И ^ -(С - Л)е2, получаем 4-^ 1, 0. Принимаемые координатами 4-, п значения на множестве М3- _ {(4,п): -1 < <4 <4-'*,0 <п<п*- } имеют разные знаки. Поэтому существование равномерного вращения обеспечивается отрицательностью выражения (37)

и выполняется при значениях к е (-(С - Б)е1; -(С - А)е2). На множестве М3-угловая скорость гироскопа будет такой ®2 е[с*2*;да), при этом значение с*2* получаем из (36) при условиях (38).

Таким образом, выделены множества М® и М®= М1- иМ-®иМ-, точки которых определяют положения перманентной оси вращения гироскопа, при этом центр масс его для множества М® находиться выше точки опоры и ниже ее для множества Мю, а в случаях к = ±(Б -А)е1е2 он

располагается на оси вращения, но тогда угловая скорость ® = 0.

Вариант б). Теперь числовые характеристики распределения масс удовлетворяют неравенству (С - Б)е1 < (С - А)е2. В связи с этим меняется начальное положение векторов п+ и п . Первый вектор находится между положительной полуосью Оу и не ниже биссектрисы первого координатного угла, а второй вектор - между отрицательной полуосью Оу и не выше биссектрисы третьего координатного угла. Для вектора п+

интервал определения величины к не изменяется и равен (-(С - Б)е1;(С - А)е2), а для вектора п соответствующий интервал имеет вид

(-(С - Б)е1;(С - Б)е>) и ((С - Б)ех ;

;(С - А)е2) и отличается от предыдущего. Положение начального вектора п+ = (00 ,п0+) в первой четверти плоскости не сказывается на формировании множеств М +, М® и, в рассматриваемом случае, остаются прежними, то есть М® е М +. Составные элементы М1- = {(0, п): 00- < 0 < 0, -1 < п < п-}, М2- = = {(0,п):0 <0 <0-*,-1 <п <п-*}, М3- = {(0,п):0-** <0 <00-, п0-<п< п-*}множества М- = М1- и М- и М3- теперь принадлежат дугам окружности третьей и четвертой четверти. Следовательно, положение множества на

единичной окружности (30) зависит от того, как в третьей четверти плоскости Оху расположен вектор п = (00- ,п-). Выполним анализ сложившейся ситуации.

Векторы п+ и п образуют с осью Ох углы в+ и в-, равные в при значении к = 0. Угол в+ стремится к нулю, когда к ^ (С - А)е2, а угол в- ^ ^ 2в. Скалярное произведение векторов п*, п* равно нулю, если их

координаты определяются соотношениями (35), (38). В связи с этим

_ —**

векторы будут ортогональными, угол между вектором п и положительной полуосью Оу равен 2в и множество М- располагается на дуге длиной П2. Если угол в<П4, то точка (0-;п-) лежит на дуге единичной окружности третьей четверти, а точка (0-** п*) принадлежит

дуге второй четверти. В противном случае, когда в>П4, указанные точки соответственно находятся на дугах четвертой и третей четвертях, а при

4 эти точки будут граничными для множества М~ и ему не принадлежат.

Гироскоп с центром масс ниже точки опоры совершает равномерные вращения вокруг вертикали, если она проходит через точку множества Мт_ М-и М-, имея при этом следующую угловую скорость т2 е[т*2*; да)

р» 22 с» 22 2 г л п с* 22

соответственно в случае 4- <- или 4- >- и т е[0;да], когда 4- _-ех.

В завершении исследования случая в) остается изменить положение центра масс, заменив одну четверть плоскости другой. Из уравнения (17) получаем равенство:

4 _ (С - Б)е1 .

п0 (С - Л)е2

При условии (16) из него следует, что отношение координат векторов п и е имеют одинаковые знаки, поэтому указанные векторы будут находиться в одной или в противоположных четвертях плоскости Оху. Такое положение векторов соответствует тому, что центр масс расположен выше точки опоры гироскопа или ниже ее. Изменение знака у одной из координат или двух приводит к смещению множества М + в ту четверть плоскости Оху, в которой находится центр масс.

Следовательно, случаи а) и в) равномерного вращения гироскопа можно объединить в один и прямая задача имеет решение при выбранном значении И .

Вывод. Проведенные исследования позволили получить новые результаты, дополняющие общую теорию гироскопа [1]. Применение полученных результатов в практике железнодорожного транспорта напрямую связано с движением колесной пары, которая, как известно, представляет собой гироскоп.

Список литературы

1. Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения. В 2-х т. Т.1. М. - Л.: Изд-во ин. литер. - 1952. - 347 С.