CC BY
191
Бутиков Евгений Иванович
ПРЕЦЕССИЯ И НУТАЦИЯ ГИРОСКОПА
Гироскопом называют тело вращения (например, диск), приведенное в быстрое вращение вокруг оси симметрии. Первое знакомство с гироскопом обычно происходит в раннем детстве при наблюдении за необычным поведением известной игрушки - детского волчка или юлы. Пока волчок быстро вращается, он может устойчиво стоять на остром конце своей оси, сохраняя вертикальное положение оси и не падая на горизонтальную плоскость, хотя центр тяжести волчка расположен выше точки опоры. Если же ось вращающегося волчка отклонена от вертикали, то под действием силы тяжести ось описывает в пространстве круговой конус с вертикальной осью, так что угол наклона оси остается неизменным. Такое движение волчка называют вынужденной прецессией (рис. 1). В этой статье приводится теоретическое
объяснение вынужденной прецессии, которое иллюстрируется небольшой моделирующей компьютерной программой. Программа помещена на диске, прилагаемом к этому номеру журнала.
РЕГУЛЯРНАЯ ПРЕЦЕССИЯ ВОЛЧКА
Необычное на первый взгляд поведение гироскопа объясняется законом изменения момента импульса под действием внешних сил. Согласно этому закону, скорость изменения момента импульса Ь (называемого иначе угловым моментом) любого тела относительно некоторой точки равна суммарному моменту N действующих на тело внешних сил:
йг
= N.
(1)
Рисунок 1. Установившаяся (регулярная) прецессия гироскопа под действием силы тяжести
Когда волчок вращается вокруг собственной оси, вектор момента импульса Ь направлен вдоль этой оси, так как ось симметрии - одна из главных осей инерции. Направление Ь связано с направлением вращения волчка правилом правого винта. Будем указывать направление оси волчка в пространстве (от точки опоры к центру масс) с помощью единичного вектора и0 (рис. 1). Пусть /0 - момент инерции волчка относительно оси симметрии (например, для однородного диска или цилиндра /0 = \l2mR2, где т - масса, Я - радиус), а ®0 - угловая скорость вращения вокруг собственной оси (положительная при вращении против часовой стрелки). Тогда вектор момента импульса волчка можно представить в виде Ь = 10со0п0.
Наклоненный к вертикали волчок пре-цессирует, то есть помимо вращения вокруг собственной оси поворачивается еще и вокруг вертикальной оси. При быстром собственном вращении эта прецессия (поворот вокруг вертикальной оси) происходит настолько медленно, что с хорошей точностью можно пренебречь той составляющей момента импульса, которая обусловлена прецессией вокруг вертикали. Иными словами, приближенно можно считать, что вектор полного момента импульса I и в этом случае направлен вдоль оси волчка: I @ Ь0 = /0ю0и0. Именно такой быстро вращающийся вокруг собственной оси волчок и называют гироскопом. В приближенной теории гироскопа, основанной на законе изменения момента импульса (1), как раз и предполагается, что вектор I равен Ь0 и все время направлен вдоль собственной оси волчка. Поэтому описываемое уравнением (1) поведение вектора I говорит и о том, как ведет себя в пространстве ось гироскопа.
В случае тела, имеющего неподвижную точку (у детского волчка это точка опоры о горизонтальную плоскость), уравнение (1) удобно применять именно к этой точке. Будем называть эту точку полюсом. При выборе полюса в точке опоры момент силы реакции, действующей на волчок как раз в этой точке, обращается в нуль. В правой части уравнения (1) остается только момент N силы тяжести mg, который в каждый момент времени перпендикулярен вектору I. Поэтому сила тяжести может изменить только направление I, но не его длину, то есть вызвать поворот вектора I, а вместе с ним и поворот оси волчка вокруг вертикали, как это показано на рис. 1.
Пусть а - расстояние от точки опоры до центра тяжести. Тогда момент силы тяжести можно записать как векторное произведение вектора п0а, проведенного из точки опоры вдоль оси волчка в центр тяжести, на силу mg: N = п0а X mg. Вектор N лежит в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно вектору п0, то есть перпендикулярно оси волчка. Движение конца оси гироскопа происходит в направлении момента N силы тяжести, а не в на-
правлении самой силы тяжести mg. Этим и объясняется «необычное» поведение гироскопа. Согласно уравнению (1), за каждый малый промежуток времени йг вектор момента импульса I получает под действием силы тяжести приращение йЬ = N¿1, направленное вдоль N, то есть лежащее в горизонтальной плоскости перпендикулярно оси волчка. Отсюда следует, что вектор I и вместе с ним ось волчка равномерно поворачиваются (совершают прецессию) вокруг вертикали, проходящей через точку опоры.
Угловую скорость юпр этой прецессии можно найти, подставив I @ Ь0 = 10ю0п0 в левую часть уравнения (1) и N = п0а X mg -в правую часть. Пренебрегая трением, угловую скорость собственного вращения со0 будем считать постоянной и вынесем за знак производной. В результате уравнение (1) принимает вид: йп0
10с0 = п0а X mg , или йп0 am
(2)
= ®пр Х п0,
®пр =■
10с0
g .
Вектор угловой скорости прецессии спр при ю0 > 0 (то есть при вращении гироскопа против часовой стрелки) направлен противоположно вектору g, то есть прецессия происходит тоже против часовой стрелки. Как следует из уравнения (2), величина угловой скорости прецессии обратно пропорциональна угловой скорости собственного вращения с 0 и прямо пропорциональна расстоянию а от точки опоры до центра тяжести. Она не зависит от угла наклона оси волчка к вертикали.
Описываемое уравнением (2) поведение оси гироскопа называют регулярной прецессией. Это вынужденная прецессия, так как она происходит под действием момента силы тяжести. Все точки волчка, лежащие на его оси, равномерно движутся по круговым траекториям, центры которых лежат на вертикали, проходящей через точку опоры волчка. На рис. 2 приведена иллюстрация регулярной прецессии гироскопа с помощью компьютерной программы. Программа строит траекторию, которую прочерчивает конец оси (на экране - красная окружность), а также петлеобразную траекто-
рию некоторой точки волчка, не лежащей на оси. Для наглядности строится траектория точки, находящейся на конце тонкой стрелки, выходящей из центра масс за пределы диска волчка. Можно представлять себе эту стрелку как жестко связанную с телом волчка («воткнутую» в него). Все точки такой стрелки описывают геометрически подобные траектории. Траектория конца стрелки крупнее всех остальных, что позволяет наблюдать характерные особенности таких траекторий в увеличенном масштабе.
Замечательно, что регулярная прецессия, угловая скорость которой рассчитана выше на основе приближенной теории гироскопа, в действительности является одним из возможных точных решений динамического уравнения (1). Покажем это. В точной теории гироскопа необходимо принимать во внимание, помимо собственного момента импульса Ь0, дополнительный вклад в полный момент импульса I, обусловленный участием гироскопа во вращениях вокруг других осей. В случае регулярной прецессии такой вклад создается дополнительным вращением волчка вокруг вертикали. Обозначим через Ьпр соответствующий вектор, пропорциональный угловой скорости прецессии юпр и совпадающий с ней по направлению, как показано на рис. 3.
При учете Ьпр вектор полного момента
импульса L уже не направлен точно по оси волчка (см. рис. 3). Но легко понять, что при регулярной прецессии волчка горизонтальные составляющие векторов Ь и Ь0 равны. Концы векторов Ь и Ь0 синхронно описывают одинаковые окружности, показанные на рисунке 3 штриховыми линиями. Это означает, что скорости изменения этих векторов равны. Иначе говоря, равны производные Ь и Ь0 по времени: йЬ/йХ = йЬ0/йХ. Оба вектора совершают прецессию вокруг вертикали с одной и той же угловой скоростью юпр, то есть их изменение с течением времени описывается одинаковыми уравнениями:
йЬ0
= Ю
пр
г йЬ
X Ь0, ^ = ю
пр
X Ь . (3)
Рисунок 2. Моделирование регулярной прецессии гироскопа. Показаны круговая траектория конца оси и петлеобразная траектория точки волчка, не лежащей на оси.
Однако вынужденная регулярная прецессия волчка - это не единственно возможное точное решение уравнения (1), когда в правой его части стоит момент силы тяжести. Регулярная прецессия будет происходить только при строго определенных начальных условиях: чтобы получить такое движение, нужно не только раскрутить волчок вокруг собственной оси, но и сообщить этой оси вращение вокруг вертикали с нужной угловой скоростью, а именно, угловой скоростью юпр, с которой должна происходить дальнейшая прецессия волчка. В определенном смысле можно сказать, что сила тяжести, стремящаяся опрокинуть волчок, фактически не вызывает, а лишь поддерживает регулярную прецессию.
Роль силы тяжести при регулярной прецессии гироскопа можно сравнить с ролью силы натяжения нити при равномерном движении по окружности привязанного к ней шарика. Сила натяжения тянет шарик к центру окружности, но шарик при этом все время движется перпендикулярно к силе. Сила натяжения нити не создает, а лишь поддерживает равномерное движение шарика по окружности. Чтобы получить такое движение, шарику необходимо со-
общить начальную скорость в поперечном направлении. Если иметь в виду эту аналогию, то поведение оси гироскопа при регулярной прецессии представится, возможно, не таким уж странным, каким оно кажется на первый взгляд.
НУТАЦИЯ ОСИ ГИРОСКОПА
Чтобы понять, каким будет движение гироскопа при произвольных начальных условиях, в общем случае не обеспечивающих возникновения регулярной прецессии, рассмотрим сначала следующую вспомогательную задачу. Представим себе, как будет двигаться волчок, совершающий регулярную прецессию под действием силы тяжести, если в некоторый момент времени сила тяжести внезапно исчезнет. Практически такую ситуацию можно получить, если, начиная с некоторого момента, дать возможность всей установке (волчку вместе с подставкой) свободно падать, так что волчок, совершавший до этого момента регулярную прецессию, внезапно окажется в состоянии невесомости.
Очевидно, что для ответа на этот вопрос нужно вспомнить задачу о симметричном волчке, вращающемся «по инерции», то есть в отсутствие внешних сил. Такая задача была подробно рассмотрена в статье автора «Свободное вращение твердого тела», опубликованной ранее в этом журнале1. Там было показано, что при несовпадении на-
Рисунок 3. Вектор Ь момента импульса волчка при регулярной прецессии
правления момента импульса с осью симметрии волчка движение волчка можно представить как результат сложения двух вращений: вращения вокруг собственной оси (сохраняющей неизменное направление в теле волчка) с угловой скоростью а>0 и одновременного вращения этой оси вокруг неизменного в пространстве направления вектора момента импульса Ь. Ось волчка при этом описывает круговой конус вокруг направления вектора Ь. Такое равномерное движение оси волчка по конусу в отсутствие внешних сил представляет собой свободную прецессию. Применительно к гироскопу ее принято называть нутацией.
Итак, вектор полного момента импульса Ь нашего волчка, совершающего регулярную прецессию, не совпадает по направлению с осью волчка, как это можно видеть на рис. 3. В момент «выключения» силы тяжести вектор Ь мгновенно останавливается, но ось волчка продолжает движение. Скорость оси в этот момент нужно рассматривать как начальную скорость для дальнейшего движения волчка в отсутствие силы тяжести. Картина этого движения показана на рис. 4. Это нутация, в процессе которой ось волчка (вектор и0) описывает круговой конус с вершиной в точке опоры вокруг вектора Ь полного момента импульса.
Существованием нутаций объясняется еще одна особенность поведения гироскопа, которая может показаться парадоксальной. Согласно уравнению (1) момент импульса гироскопа Ь изменяется только тог-
в отсутствие силы тяжести
1 Журнал «Компьютерные инструменты в образовании». 2006, № 1, стр. 10-18.
да, когда на гироскоп действуют внешние силы и их момент N отличен от нуля. Если действие внешних сил прекращается, как в рассматриваемом нами примере, то в тот же момент времени прекращается изменение вектора Ь и, следовательно, прекращается прецессия гироскопа. Казалось бы, ось гироскопа с этого момента должна стать сразу неподвижной. Вместе с осью и центр масс волчка, во время прецессии двигавшийся по окружности, также должен мгновенно остановиться. Не противоречит ли такая безынерционность поведения волчка закону инерции?
Это противоречие действительно существовало бы, если отмеченная безынерционность относилась бы к движению оси гироскопа, а не вектора Ь. Вектор Ь ив самом деле ведет себя безынерционно, прекращая изменяться сразу в тот момент времени, когда прекращается действие внешних сил, как это следует из уравнения (1). К ложному заключению о безынерционности оси волчка приводит приближенная теория гироскопа, в которой предполагается, что вектор Ь всегда направлен вдоль оси гироскопа. В действительности у прецессирую-щего волчка вектор Ь отклонен от оси на некоторый угол, и при прекращении действия силы сразу возникает нутация вокруг неизменного в пространстве направления Ь. Скорость центра масс в момент возникновения нутации как раз равна той скорости, с которой он двигался до этого момента, то есть пока происходила прецессия. Таким
Рисунок 5. Наложение нутации вокруг направления вектора Ь1 на вынужденную прецессию
образом, учет нутации устраняет противоречие с законом инерции.
ПРЕЦЕССИЯ ВМЕСТЕ С НУТАЦИЕЙ
Теперь можно перейти к исследованию вопроса о том, как будет вести себя вращающийся волчок под действием силы тяжести при начальных условиях, не обеспечивающих немедленного возникновения регулярной прецессии. Из разобранного выше примера можно заключить, что в общем случае движение волчка должно представлять собой суперпозицию вынужденной регулярной прецессии и нутации.
Рассмотрим для определенности наиболее характерную ситуацию, когда мы сначала, во время раскручивания волчка, удерживаем его от падения за верхний конец наклоненной оси. Для этого мы должны к верхнему концу оси приложить силу, направленную вертикально вверх. Момент этой силы относительно точки опоры компенсирует момент силы тяжести. Если бы мы отпустили верхний конец оси до того, как привели волчок во вращение, ось стала бы просто падать вниз, ускоренно поворачиваясь вокруг точки опоры в вертикальной плоскости. Но как будет вести себя волчок, если мы отпускаем ось после того, как раскрутили его?
Очевидно, что в этом случае в начальный момент вектор момента импульса Ь направлен вдоль оси волчка. Как только мы отпускаем ось, появляется момент силы тяжести, и под действием этого момента вектор Ь, в соответствии с уравнением (1), начинает изменяться, стремясь двигаться по конусу так, как это происходит при регулярной прецессии. Но если прецессия вектора Ь вокруг вертикали с угловой скоростью <апр начинается сразу, безынерционно, то ось волчка, как и находящийся на ней центр масс, в начальный момент еще неподвижны, то есть их начальная скорость равна нулю. Исходя из таких начальных условий, попробуем представить себе дальнейшее движение волчка как суперпозицию вынужденной прецессии и нутации.
Участие волчка в вынужденной прецессии означает, что у вектора полного момента импульса I должна быть вертикальная составляющая 1пр, обусловленная вращением волчка вокруг вертикали с угловой скоростью юпр. Выделим 1пр из полного момента импульса, то есть представим I в виде суммы 1пр + и будем рассматривать оставшуюся часть Iг как вклад собственного вращения волчка в полный момент импульса (см. рисунок 5). Легко понять, что если отвлечься от вынужденной прецессии волчка и сосредоточиться на его собственном вращении, то связанный с этим вращением момент импульса Ьг уже не направлен точно вдоль оси волчка: вектор I! отклонен от вертикали сильнее, чем ось волчка. Отклонение Ьг от оси волчка означает, что одновременно с медленной вынужденной прецессией будет происходить быстрая нутация волчка, то есть ось волчка будет описывать конус (с малым углом раствора) вокруг направления прецес-сирующего вектора 1Г Сложение этих двух движений дает для начального момента времени требуемую начальными условиями нулевую скорость оси волчка (и центра масс).
Чтобы начальная скорость оси действительно получилась равной нулю при сложении двух движений, вектор Ьг должен быть отклонен от оси волчка (от вектора и0) на вполне определенный угол, зависящий от угла наклона оси волчка и отношения угловых скоростей нутации и прецессии. Именно этим углом между I и п0 определяется раствор конуса нутации.
Итак, отпущенная ось волчка (вектор п0 на рисунке 5) одновременно совершает два движения: по вертикальному конусу вынужденной прецессии (рис. 5, а) и по конусу нутации вокруг вектора Ьг (рис. 5, Ь). Первому из этих движений соответствует траектория верхнего конца оси в виде горизонтальной окружности, которая показана штриховой линией на рисунке 5, а; второму - малая ок-
ружность, перпендикулярная вектору Ьг и показанная на рисунке 5, Ь. Оба движения начинаются в момент отпускания оси - до того волчок просто вращался вокруг неподвижной оси. Сложение этих движений дает для верхнего конца оси траекторию, напоминающую циклоиду, то есть кривую, которую рисует точка на ободе колеса, катящегося без проскальзывания. Моделирующая программа строит траекторию конца оси (синяя линия на рис. 6) именно для таких начальных условий. Красная окружность показывает траекторию конца вектора
Обратите внимание, что в первый момент, как только мы отпускаем ось волчка, под действием силы тяжести она действительно начинает падать вниз, что вполне согласуется с нашими интуитивными представлениями. Но по мере того, как ось набирает скорость, траектория ее верхнего конца все сильнее отклоняется от вертикали. Вскоре движение оси становится горизонтальным, как и при регулярной прецессии, но скорость этого движения больше той, что нужна для регулярной прецессии. Траектория конца оси начинает отклоняться вверх. Поднявшись до исходной высоты, ось «замирает» - ее скорость обращается в нуль. Затем все повторяется сначала. Но теперь мы понимаем, что такое своеобраз-
Рисунок 6. Демонстрация вынужденной прецессии под действием силы тяжести вместе с нутацией,
сопровождающей прецессию при освобождении оси раскрученного гироскопа.
ное поведение, когда конец оси движется по циклоидальной траектории, объясняется сложением двух движений - нутации волчка вокруг вектора момента импульса Ь1 с одновременной вынужденной прецессией этого вектора вокруг вертикали.
При других начальных условиях сложение прецессии и нутации может порождать траектории верхнего конца оси волчка петлеобразного и волнообразного (синусообраз-ного) вида. И только тогда, когда начальная скорость как раз равна скорости оси при регулярной прецессии, волнообразная траектория полностью разглаживается, превращаясь в окружность, описываемую концом оси при регулярной прецессии (см. рисунок 2).
Когда нутации малы, вынужденную прецессию называют псевдорегулярной. Для быстро вращающихся гироскопов, применяемых в технике, псевдорегулярная прецессия практически не отличается от регулярной. В таких случаях нутация проявляет себя как едва заметное мелкое и частое дрожание оси гироскопа. Кроме того, мелкомасштабные нутации быстро затухают под действием сил трения, и псевдорегулярная прецессия переходит в регулярную.
Компьютерная программа позволяет проследить затухание нутаций под действием трения и сглаживание траектории конца
оси. На рисунке 7 отчетливо видно, как изломы на этой траектории разглаживаются (синяя линия), и она постепенно приближается к окружности, соответствующей установившейся вынужденной прецессии. Эту окружность, показанную красной линией на рисунке 7, вычерчивает конец вектора Ьг Когда нутации полностью затухнут и установится регулярная вынужденная прецессия, вектор Ь1 момента импульса, связанного с собственным вращением волчка, будет направлен вдоль оси волчка.
Представление о том, по каким траекториям движутся точки волчка, не лежащие на оси симметрии, дает рисунок 8. Жестко связанная с волчком стрелка («воткнутая» в тело волчка) образует небольшой угол (15 градусов) с его осью. Траектория острия этой стрелки лежит на сферической поверхности с центром в неподвижной точке опоры волчка. При регулярной прецессии (см. рисунок 2) петлеобразная траектория стрелки получается как результат сложения вращения волчка вокруг собственной оси и равномерного движения этой оси по конусу прецессии. Все петли такой траектории одинаковы. При добавлении нутаций ось волчка совершает колебания около среднего положения, соответствующего конусу установившейся прецессии (см. рисунок 8). Из-за таких колебаний оси волчка траектория конца стрелки заметно усложняется.
УПРАВЛЕНИЕ ПРОГРАММОЙ
Программа позволяет изменять параметры моделируемой системы и условия наблюдения. Для удобства наблюдения изображение в окне можно поворачивать вокруг вертикальной и горизонтальной осей - вращать куб, в центре которого находится волчок. Этим достигается возможность смотреть на изображение трехмерных объектов с разных точек, например, сбоку, сверху или снизу. Для изменения точки зрения нужно привести указатель мыши в пределы окна, нажать левую кнопку и, не
Рисунок 7. Затухание нутаций под действием трения и постепенный переход псевдорегулярной прецессии волчка в установившуюся регулярную прецессию
отпуская ее, перемещать («перетаскивать») указатель в ту или иную сторону, добиваясь наиболее удобного для наблюдения расположения осей координат и объектов на экране. Если при этом одновременно удерживать нажатой кнопку «Control» на клавиатуре, то мышью можно сдвигать изображение в желаемом направлении. Если же удерживать нажатой кнопку «Shift», то при перемещении указателя мыши будет изменяться масштаб изображения - предметы будут приближаться либо удаляться от наблюдателя.
Вращение волчка можно отображать в удобном для наблюдения масштабе времени. Изменение временного масштаба достигается введением задержки, которую можно изменять с помощью движка в нижней части панели управления. Назначение других органов управления на этой панели интуитивно понятно. Самая верхняя кнопка служит для пуска и приостановки моделирования. Вторая кнопка позволяет выполнять моделирование пошагово. Третья кнопка восстанавливает начальные условия, а четвертая - задаваемые по умолчанию значения параметров.
При первом знакомстве с программой можно не утруждать себя вводом параметров, а ограничиться выбором заранее заготовленных примеров из предлагаемого списка. Этот список можно открыть, поставив «галочку» в соответствующем боксе на панели управления. Для детального изучения вынужденной прецессии следует проделать моделирование при разных значениях параметров. Изменять параметры можно перемещением движков на панели управления, либо вводя нужные значения с клавиатуры. Предварительно нужно приостановить моделирование кнопкой «Пуск/Пауза». При вводе какого-либо параметра с клавиатуры поле ввода становится ярко желтым. Завершать ввод нужно нажатием клавиши «Enter», при этом поле ввода принимает прежний цвет.
Инертные свойства гироскопа определяются продольным и поперечным моментами инерции относительно осей, проходящих через точку опоры. В программе момент инерции относительно поперечной оси можно изменять перемещением диска, то есть изменением расстояния от точки опоры до центра масс (параметр «Высота диска»). С увеличением высоты диска возрастает угловая скорость вынужденной прецессии и увеличивается отношение периода нутаций к периоду собственного вращения гироскопа. Программа допускает изменение значений расстояния от точки опоры до центра масс в пределах от 0,5 до 1,25 (в относительных единицах).
Еще один параметр, который можно изменять в программе - это наклон оси гироскопа, то есть угол, который ось волчка образует с вертикалью. На панели управления он обозначен как «Наклон». Значение угла наклона нужно вводить в градусах. Допустимые значения лежат в интервале от 0 до 120 градусов. Величину угловой скорости собственного вращения гироскопа можно изменять в пределах от 4,0 до 20,0 (в относительных единицах, параметр «Скорость вращения»). Чтобы программа отображала влияние трения на поведение гироскопа, нужно поставить «флажок» в боксе «Трение».
Рисунок 8. Траектории оси волчка и точки, не лежащей на оси, при переходе псевдорегулярной прецессии в установившуюся регулярную прецессию
Как уже было сказано выше, программа моделирует поведение гироскопа для начальных условий, соответствующих освобождению оси с нулевой начальной скоростью. При этом неизбежно возникает нутация. Но если поставить «флажок» в боксе «Без нутации», то будут заданы начальные условия, при которых сразу будет происходить регулярная прецессия без нутации.
Чтобы включить построение траектории какой-либо точки волчка, нужно выбрать положение этой точки относительно оси волчка (ввести в градусах значение параметра «Угл. положение») и поставить «флажок» в боксе «Траектория точки». Если снять «флажок» в самом нижнем боксе панели управления, можно сделать светлым фон окна, в котором программа отображает движение гироскопа.
© Наши авторы, 2006 Оигаи1Ьюг5, 2006.
Бутиков Евгений Иванович, профессор физического факультета СПбГУ.
