CC BY
59
Gryazev Mikhail Vasilevich, doctor of technical sciences, professor, the Rector, chancellor, rector@tsu. tula. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 531.383
О СВОЙСТВАХ ДВИЖЕНИЙ СИММЕТРИЧНОГО ГИРОСКОПА ЭЙЛЕРА ПРИ ПРОИЗВОЛЬНЫХ НАЧАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЯХ УГЛОВ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С ПОМОЩЬЮ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ КИНЕМАТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПУАССОНА
П.К. Плотников
Показано, что регулярная прецессия в симметричном гироскопе Эйлера не является единственным видом движения, а соответствует только общеизвестным согласованным между собой начальным углам Эйлера. При любых других начальных углах возникают движения, отличающиеся от регулярной прецессии. Получены также решения в углах Эйлера-Крылова. В частности, найдены условия («сильный удар» когда нерегулярная прецессия симметричного гироскопа Эйлера в углах Эйлера-Крылова происходит в направлении действия вращательного импульса, а знак угловой скорости собственного вращения меняется на обратный. Аналитические результаты подкреплены математическим моделированием.
Ключевые слова: симметричный гироскоп Эйлера, прецессия, углы Эйлера, уравнения Пуассона, вращение, математическое моделирование, нутация, углы Эйлера-Крылова, угловая скорость, удар, дрейф.
Постановка задачи. Решение задачи о движении по инерции симметричного гироскопа Эйлера (СГЭ) хорошо известно и изложено во многих трудах, в частности, в [1-3]. Это движение является регулярной прецессией, характеризуемой постоянным углом нутации между осью кинетического момента, совмещённой с осью инерциального базиса, и осью собственного вращения СГЭ. При этом угловые скорости прецессии и нутации постоянны.
Указанные свойства нашли применение в [4] в процессе подготовки эксперимента по проверке общей теории относительности с применением СГЭ и телескопа на ИСЗ при решении вопроса о выборе соотношений между главными моментами инерции, обеспечивающих очень малые угловые скорости прецессии. В эксперименте [5, 6] угловые скорости дрейфов составили величины менее 10-11 угл. град/час, что обеспечило с погрешностью менее 1 % справедливость теории Эйнштейна.
19
Отметим, что решение задачи о регулярной прецессии оказалось возможно при следующих ограничениях на начальные углы Эйлера [2]:
где О - кинетический момент; г0 - компонент угловой скорости СГЭ по оси собственного вращения; С - главный момент инерции СГЭ вокруг этой же оси.
В отличие от [1-3] задача решена в два этапа. Первый этап состоит в определении угловых скоростей гироскопа, что достигается путём интегрирования динамических уравнений движения СГЭ, вокруг экваториальной оси которого подействовал вращательный импульс (удар). Начальные углы Эйлера нулевые, т.к. одна из осей инерциальной системы направлена по вектору кинетического момента СГЭ, а другие его оси в начальный момент времени были совмещены с двумя другими осями инерциальной системы координат. На этом же этапе для нулевых начальных условий определяются текущие эйлеровы углы после интегрирования кинематических уравнений Пуассона, коэффициентами которых являются найденные угловые скорости СГЭ. Формулы для углов Эйлера, найденные на первом этапе, свидетельствуют о нерегулярной прецессии. На втором этапе учитываются ненулевые начальные углы Эйлера. С помощью матричного метода выведены формулы для результирующих углов поворотов Эйлера, а также Эйлера-Крылова. Как частный случай для известных, взаимосогласованных начальных условий (см. предыдущий абзац) из них получены выражения для регулярной прецессии. Из них же получены формулы для углов нерегулярной прецессии для некоторых других произвольных начальных углов.
Что касается вопроса о влиянии начальных условий для кинематических уравнений на характер движений симметричного гироскопа Эйлера, то в данном случае ставится задача уточнить область значений начальных углов Эйлера для кинематических уравнений СГЭ, при которых они обращаются в тождества после подстановки в них аналитических их решений, приведённых в [3], а также решений динамических уравнений, приведённых в [2]. Так как указанные решения описывают регулярную прецессию, то речь идёт о том, при каких начальных условиях она наблюдается, а при каких нет.
Динамические уравнения для симметричного гироскопа Эйлера имеют вид [3]
y 0 = const; jo = 0; cos0 о = const
Cr
Adp + (C - A)qr = 0; dt v '
A— + (A - C)rp = 0;
dt
dr dr
C — = 0; — = 0; r = r0 = const.
dt dt 0
Кинематические уравнения Эйлера [3]
p = yy sin 0 sin ф + 0 cos ф; q = yy sin 0 cos ф-0 sin ф; r = yy cos 0 + tp. Решения этих уравнений, полученные в [3],
(2)
y = nt + y 0;
0 Cr
cos 0 = — =
G
ф = n1t + Ф0
n
=G
CГ = Cr^ G ~ G '
A
0 = 00 = const; П = Г0 - n cos 00.
(3)
Здесь r0, G - постоянные, G2 = (a2p2 + A2q2)+C
2 2 2 r2 '0 ■
sin 0'
Уравнения (2), решенные относительно y, 0, tp [2]
dy = (p sin ф+ q cos ф) dt d0 dt dф
dt , С учетом решений уравнений (1) и обозначений из [2]
= (p cos ф - q sin ф); = r - ctg0 • (p sin ф + q cos ф).
(4)
имеем
p = w = W10 sin vt; G2 = A2w?0 + C 2w20;
n = yy;
sinq
0
q = w = «10 cos vt; G = H; Awi0.
tan 0
0
r = r0 =w30; ф = ni = v; (5) Awi0
G Cw30
Подставив (5) в (4), получаем с учетом (3) для третьего уравнения формулы (4)
G sin сф t • sin(ф t + ф0) + cos ф t • cos(ф t + ф0)
r0 -Acos00 = r0-W10
tg00
G
A
sin 00 = -W10 cos(ф t + ф0 - фф t) = -W10 cos ф0;
G Aw
10
-«>10 cosф0 ^ -W10 = -W10 cosф0-
(6)
А G
Равенство (6) обращается в тождество при
ф0 = 0; ± 2пт (т = 1,2,3,...), (7)
т.е. угол фо должен быть нулевым. Для уравнения (2) системы (4) имеем
0 = wio (sin Фt' cosljpt + Фо) - cos ф ■ sin(cpt + ф0));
0 = wi о sin(cjt — сф t - фо) = -Wi о sin(jo). (8)
Равенство (8) обращается в тождество при углах ф о=0; ±pm (m = 1,2,3,...).
Для угла y о + nt из первого уравнения системы (4) имеем
n = (psin ф + q cos ф)/ = о/ (9)
/ С1-П Q- / Л- \J)
sin 0 /A С учётом (3) и (5) получим
G sin 0о = W10 cos(фt + фо — фф t ) = W10 cos фо;
A
G Awl0
— ^—T" = wl0 cosфо ^ wl0 = wl0 cosфо ,
AG
т.е вновь получаем соотношения (7). Это означает, что уравнение (9) обращается в тождество при 0 = 0о; ф = nit при любых значениях y 0. Из (9)
следует также, что при вариации Д0(о) начального значения угла 0о, т.е. при 0 = 0о +Д0(о), равенство (9) в тождество не обратится.
Из этих выкладок заключаем, что регулярная прецессия в симметричном гироскопе Эйлера возможна только при следующих начальных значениях углов:
Сгг\ /
Уо = const; фо = 0; cos 0о = const = °G • (10)
При любых других начальных значениях углов Эйлера уравнения (4) обратятся в тождества при других решениях, не совпадающих с функциями (3). Актуальность статьи подтверждается публикациями [4-7].
Решение задачи с помощью уравнений Пуассона для произвольных начальных углов Эйлера. Приведённые в статье [7] решения уравнений Пуассона для нулевых начальных углов в виде матрицанта (7) [7], содержащего периодические конечные соотношения, а также представленные результаты математического моделирования этот результат подтверждают - при отличных от (10) начальных значениях углов имеет место нерегулярная прецессия. Имеются также аналитические решения для
У о; фо = 0; cos 0о = const = 0/ , а также для Уо; фо = 0;—00, которые в
первом варианте начальных углов описывают регулярную, а во втором варианте - нерегулярную прецессии.
Выше показано, что регулярная прецессия СГЭ, характеризуемая формулами (5), возникает только при начальных значениях углов, описываемых соотношениями (10). При любых других начальных значениях этих углов имеет место нерегулярная прецессия. В частности, для нулевых начальных углов задача решена в [7, 8] аналитически: найден матрицант для дифференциальных кинематических уравнений Пуассона, т.е. преобра-
22
зующая матрица с формулами решений для единичной матрицы направляющих косинусов начальных углов. В той же статье представлены формулы для определения углов Эйлера - Крылова для указанного матрицан-та.
Ниже дается аналитическое решение этой же задачи для произвольных начальных углов Эйлера. Следуя [2], представляем схему углов поворотов Эйлера с изображением безынерционных рамок карданова подвеса согласно рис. 1. Как и в [7], с телом гироскопа связываем подвижную систему координат Оху7 (соответствующую системе координат Ох;у^3 в [2]), а также инерциальные системы координат: первую О^пС, с которой в начальный момент времени совпадает система координат Оху7, и вторую О^нпн^н, относительно которой система координат О^пС развернута на начальные углы ¥о,0о,Фо.
Схема поворотов введенных систем координат представлена на рис.1 и, по Ишлинскому А.Ю. [9], - соотношениями (1):
х Н 5 Н ^Чоф ^ ~х ^ "5" тоф • (11)
А = А1 А0,
где ¥о, 0о, Фо, Ао - начальные углы поворотов СГЭ и соответствующая им преобразующая матрица (матрица направляющих косинусов); 0;, Ф;, А1 - углы поворотов, соответствующие матрицанту А1, когда Ао=Е (Е -единичная матрица); V, 0, Ф, А - углы результирующего поворота и соответствующая им преобразующая матрица.
Рис. 1. Схема поворотов введенных систем координат
23
Как и в [7], найдем аналитическое решение для матрицы А1; в [3] принято обозначение и=А1. В указанной статье нахождение угловых скоростей p, q, г трактуется как решение динамических уравнений СГЭ, имевшего начальную угловую скорость Г(0)=Я, на который подействовал удар в ось фигуры гироскопа в виде вращательного импульса Мо вокруг оси Ох (далее обозначим Мо=Нх кинетический момент от удара).
Динамические уравнения Эйлера для гироскопов с динамической осью симметрии, в том числе для шарового гироскопа (С=А), имеют следующий вид:
d
Ъ + Од = ^ • ^[/(,)];
dt A dt к,
^-Ор = 0; dt у
* = 0; О dt
О-Л A '
(12)
где р, q, г - компоненты вектора угловой скорости вращения гироскопа в связанных с ним осях; I- единичная функция; Мо - момент количества движения, сообщенный гироскопу в результате нанесения удара.
Для начальных условий
1=0; р(0)=0; д(0)=0; г(0)=Я (13)
решения системы дифференциальных уравнений (12) с начальными условиями (13) имеют следующий вид соответственно:
М0
р = а соб Ш; q = а Бт Ш; г = Я; а
Л
(14)
В частности, для шарового гироскопа
р = а; q = 0; г = Я. (15)
Преобразование системы координат 0ху2 от исходного положения О^пС характеризуется формулами
[хуг]Т = АЧХпй Л1 = АФЛ®А*, (16)
где Аф, А®, А* - матрицы преобразования координат простейших поворотов. С другой стороны, эта матрица может быть определена путем интегрирования матричного кинематического уравнения Пуассона:
dA]
dt "-Р
а11 а1 а12 а1 а13
¡1 II а1 а21 а22 а23
а1 а31 а32 а33
= Р^)Л1; A1(t) = Е;
; P(t) =
' 0 - г
q
г
0
-р
- q р
0
(17)
(18)
Матрица направляющих косинусов углов Эйлера (см. рис. 1) при совмещении систем координат ХлС и Хн Лн С Н
24
г
cos Y cos 0j cos Fj - sin Yj sin Fj sin Yj cos 0j cos Ф + cos Yj sin Fj - sin 0j cos Fj A1 = - cos Yj cos 0j sin Fj - sin Yj cos Fj - sin Yj cos 0j sin Fj + cos Yj cos Fj sin 0j sin Fj (j9) cos Yj sin Qj sin Yj sin 0j cos Qj
Матрица направляющих косинусов углов Эйлера - Крылова (рис.2), равная матрице [9], имеет вид
cos j cos 0 sin y sin 0 cos j + cos y sin j - cosy sin 0 cos j + sin y sin j - sin j cos 0 - sin y sin 0 sin j + cos y cos j cos y sin 0 sin j + sin y cos j .(20) sin 0 - sin y cos 0 cos 0 cos y
Рис. 2. К выводу матрицы направляющих косинусов углов Эйлера - Крылова
Тензор угловых скоростей для гироскопов с динамической осью симметрии имеет вид
0 R - a sin Wt
- R 0 a cos Wt
a sin Wt - a cos Wt 0
2p
p(t )■■
(2j)
т.е. удовлетворяет условию P(t) = P(t +1); t =
W
В силу этого условия система (8) является приводимой по Ляпунову [10]. Действительно, подстановкой
2 = Ф(г) А1 (22)
система (8), (11) приводится к матричному эквивалентному дифференциальному уравнению с постоянными коэффициентами
^ = BZ. dt
cos Wt sin Wt 0 0 Rj 0
0(t)= - sin Wt cos Wt 0 ; B = - R 0 a
0 0 ! 0 - a 0
Z =
Z.
(23)
; R = R + W; (/, j) = !;2;3. (24)
Эквивалентность уравнений (18) и (23) подтверждается выполнением тождества Ф(г)-(РФ_l(t)-Ф_1(0)°В. Решением дифференциального линейного однородного уравнения (23) является формула Коши
Z (t ) = N(t)- N_1 (0)- Z (0), (25)
где N(t) - фундаментальная матрица решений; Z(0) - матрица начальных значений направляющих косинусов, причем по условию Z(0)=E. После нахождения фундаментальной матрицы и ряда преобразований решение (25) приобретает вид
12 a2 Ri . aR
7г-cosnt + — —sin nt -n2 n
Ri •
Z =--- sin nt cos nt —sin nt
I
1 (l - cos nt)
a
aR
I
1 (l - cos nt)
n
a
— sin nt n
2
2
n
a2 R12
— cos nt +-2-n2 n2
C
(26)
п* = а* + Я1; Я] = Я—.
11 Л
Из (22) следует, что А1 = Ф_1 (t) • 2, вследствие чего решением
уравнения (18) для гироскопа с динамической осью симметрии является матрица (матрицант)
„2 ^
+ Я
Л1 =
cos Wt
f ?
Ri a
—2cos nt + —2
v n n J
aR
cos Wt - sin nt-
1 (l - cos nt )cos Wt
n
n
R1
+—- sin nt - sin Wt n
с ? Ri2
sin Wt
R1
2
a
_ cos nt + . v n n J
R1
—sin nt - cos Wt n
aR1
- sin Wt - cos nt
R1
—sin Wt - sin nt + n
+ cos Wt - cos nt
a
--sin nt sin Wt
n
aR
1 (l - cos nt)sin Wt +
2
1 (l - cos nt)
a
-sin nt
n
n
n
a
+ — sin nt cos Wt n
a2 R?
—2 cos nt +--2
n2 n2
(27)
Матрица А в совокупности с (19) при Ао=Е есть решение первого этапа задачи[7] - нерегулярная прецессия. Для начальных углов Эйлера матрица Ао имеет вид
Л =
cos Y0 cos 0„ cos Ф0 - sin Y0 sin Ф0 sin Y0 cos 0„ cos Ф0 + cos Y0 sin Ф0 - sin Q0 cos Ф0 - cos Y0 cos 0„ sin Ф0 - sin Y0 cos Ф0 - sin Y0 cos 0„ sin Ф0 + cos Y0 cos Ф0 sin 0O sin Ф0 cos Y0 sin Q0 sin Y0 sin Q0 cos 0O
.(28)
Формулы для определения текущих углов Эйлера (решение 2-го этапа задачи)
a
I al
0
a3kak 2
32 _ k=1
tg¥ = — =
cos
a
31
a1 a0
3 a I a2kak3
0 = a33 = I a\kal; tgF = - ^ = - k=1
. (29)
a1kak01
^ а3как1 11 ^ а1к
к=1 к=1
Уравнениям Пуассона соответствуют следующие кинематические
уравнения Эйлера:
y (q sin Ф- p cos Ф)/ . Y = /sin 0' P = a cos Wt;
(0 = p sin Ф + q cosФ; q = a sin Wt;
Ф = r — (q sin Ф- p cos F)ctg0; r = R,
(30)
/ = /0; ^ ) = ^0; 0(/о ) = 0О; ф(/0 ) = Ф0. Применение полученных формул к случаю регулярной прецессии. Используем соответствующие данному виду прецессии начальные значения
Аа
Ф0 = = 0; =--в матрице Ао
*0
CR
cos 0о 0 — sin 0о 0 1 0 sin 00 0 cos 00 С учетом этого получаем a a
A =
a
1 a1 1
11 a12 a113
1 a1 a1
21 a22 a23
1 a1 a1
31 a32 a33
cos 00 0
sin 0 0
0 — sin 0 0
1 0
0 cos 00
a1 cos 00 + aj3 sin 00
41 1
a21 cos 00 + a23 sin 00
a31 cos 00 + a33 sin 00 a32
1 12 1 22 1
32
— a1 sin 00 + aj3 cos 00
11 1
- a21 sin 00 + a23 cos 00 -a31 sin 00 + a33 cos 00
tgY =
a
32
a31
a^ cos00 + a33 sin00
31
После преобразований
tgY =-
a
sin nt
n
cos 0
aR
0 ' 2 n
cos 00 =
1 (1 — cos nt)+ sin 00
CR
<a2 R2V
— cos nt + —2
n
n
Aa
H
sin 00 =--
_ Y = . = A,; Y = H = n.
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
(36)
1
Решение (26) совпало с классическим. Определим значение угла нутации 0:
cos 0 = Д33 = -«31 sin 00 + «3з cos 00. После выкладок имеем
RC
cos 0 = cos 00 =-. (37)
0 H
Решение по 0 по формулам (36) - (37) тоже совпало с классическим для регулярной прецессии. Рассмотрим решение по углу собственного вращения:
а^ - aL sin 0О + aL cos 0О tgF = -a23 =—1-0-23-0. (38)
a11 - a11sin 00 + a13 cos00 После выкладок имеем
tgF* = -tgWt
* * (39)
Ф* = -Wt, Ф * = -W.
Получены формулы, совпадающие с формулами классического решения, но с нулевыми начальными углами прецессии и собственного вращения.
Рассмотрим теперь вариант решения задачи для нерегулярной
прецессии, для начальных углов Ф0 = Y0 = 0; tg00 = —. Они отличаются от
CR
углов (35), порождающих регулярную прецессию, только знаком начального угла нутации. После преобразований формулы для определения углов Эйлера для СГЭ имеют вид
1TÍ* sin nt
tgY =--2-,
2 cos 00 - cos 200 cos nt
cos 00cos200 _ . ^
cos0 =-^-- + 2sin 00cos00cosnt, //(„4
tg200 0 0 (40)
^ * sin 00 cos 200 sin Wt + sin 200 sin nt cos Wt
tgF =-0-0-0-.
sin 00 cos 200 cos Wt - 2 sin 200 cos nt cos Wt
Выражения (40) свидетельствуют о том, что только за счёт смены знака начального угла нутации при неизменных двух других начальных углах в гироскопе Эйлера возникли движения нерегулярной прецессии. Аналогично выводятся формулы для углов Эйлера - Крылова.
Отметим, что в книге [12] для малых углов Резаля, таких же, как углы Эйлера - Крылова, интегрированием линеаризованных уравнений при соответственных начальных углах получены аналогичные результаты [7 -8], что и в данной работе в случае малых углов, соответствующих нерегулярной прецессии в углах Эйлера.
Математическое моделирование. На рис. 3 - 8 представлены результаты математического моделирования по кинематическим уравнениям Эйлера, которые подтверждают полученные аналитические результаты. На рис.3 и рис.4 представлены графики моделирования процессов изменения углов Эйлера 0, Ф и Эйлера - Крылова соответственно для начальных углов
0(0) = 00; 0(0) = 00 =00; ^0 = Ф0 = У0 = Ф0 = 0, (41)
т.е. соответствующих условиям (20) регулярной прецессии в углах Эйлера. Взаимосвязь углов Эйлера и Эйлера - Крылова установлена в силу равенства соответствующих элементов матриц (9) и (10). Параметры СГЭ
A = 0,1, сН • см • с; c = 0,2, сН • см • с; a = 103рад / с; R = 1570 рад / с; & = [с/А - 1)я = 1.57-103рад / с; (42)
0 0 = - arctan
aA
Rc
= -0.308 рад.
v Rc J
Графики на рис.3 изображают изменение углов Эйлера регулярной прецессии, чего нельзя сказать о графиках рис.4 для углов Эйлера - Крылова. В данном случае по углам y и 0 наблюдаются гармонические колебания с частотой несколько больше 500 Гц, а по углу j - его нарастание. При нанесении более сильного вращательного импульса вокруг оси Ох, при котором a = 4000, > r , при неизменных других условиях (рис. 3 и 4)
характер движения не изменяется (поэтому графики не приведены), но для углов Эйлера имеем:
YMax(0.01) @ 50 рад, 0 = 00 = -0,905 рад = const, F мах (0,01) = -15,7 рад.
Для углов Эйлера - Крылова (рис. 6) амплитуды колебаний по y и 0 равны 0.5рад, частоты - примерно 530 Гц. Угол j - нарастающий с наложенными колебаниями частоты 530 Гц.
Кроме этого, при неизменных параметрах моделирования движений СГЭ по (31), (32) (рис. 3 и 4), но при смене знаков начальных углов нутации на обратный, равный 00 = 00 = 0,308 рад, получены картины движений, показанные на рис.5 и рис.6. По рис.5 в углах Эйлера движение приобрело характер нерегулярной прецессии, а именно по Y и 0 колебательный с частотами немного выше 500 Гц разных амплитуд со смещенными
29
примерно на 0,3 рад центрами колебаний. По углу Ф знак скорости по отношению рис.3 изменился на обратный, и угол стал нарастающим. По углам Эйлера - Крылова движение носит качественно аналогичный характер.
а б
Рис. 3. Моделирование процессов изменения углов Эйлера: а - по углу Ф; б - по углам 0
а
б
Рис. 4. Моделирование процессов изменения углов Эйлера - Крылова:
а - по углам у и в; б - по углуф
а
б
Рис. 5. Моделирование процессов изменения углов Эйлера при смене знаков начальных углов нутации на обратный: а - по углам 0; б - по углу Ф
На рис.7 и 8 представлены результаты моделирования по параметрам СГЭ и движения, соответствующим рис.5 и 6 с единственным отличием: угловая скорость а = 4000рад/ с, а > Я в результате нанесения
«сильного» удара, таким образом, характер движений по углам Эйлера (рис.7) качественно не изменился, количественно центры колебаний раздвинулись по углам ¥ и 0 до 0,45 рад, частоты колебаний возросли до 820 Гц. Угол Ф по-прежнему возрастающий с наложенными колебаниями.
а б
Рис. 6. Моделирование процессов изменения углов Эйлера - Крылова при смене знаков начальных углов нутации на обратный: а - по углам у и в; б - по углу у
О 2x10 3 4x10 3 6x10 3 8x10 3 ^ С О 2x10 3 4x10 3 6x10 3 8x10 3 I, С
а б
Рис. 7. Моделирование процессов изменения углов Эйлера при смене знаков начальных углов нутации на обратный и «сильном» ударе:
а - по углам 0; б - по углу Ф
31
О 2x10 3 4x10 3 6x10 3 8x10 3 t, С 0 4x10 3 8x10 3 t, С
а б
Рис. 8. Моделирование процессов изменения углов Эйлера - Крылова при смене знаков начальных углов нутации на обратный и «сильном» ударе: а - по углам у и в; б - по углу р
В то же время движение в углах Эйлера - Крылова изменилось кардинально (рис.8). Угол y стал монотонно возрастать в направлении действия вращательного импульса, что является новым. Угол в по-прежнему носит колебательный характер с частотой 820 Гц вокруг смещенного центра колебаний, а угол j сменил знак на обратный по отношению к углу j на рис.6.
В результате проведенных исследований установлено, что регулярная прецессия в СГЭ возможна только при начальных углах Эйлера, определяемых известными формулами [2]
Cr /
y 0 = const; jo= 0; cose о = const= .
При любых других начальных углах регулярная прецессия невозможна.
Найдено аналитическое решение задачи о движении СГЭ путём интегрирования дифференциальных кинематических уравнений Пуассона.
Выведены формулы для определения углов Эйлера, а также углов Эйлера - Крылова.
Полученные формулы и математическое моделирование подтвердили, что при отличных от указанных выше начальных углах Эйлера в СГЭ имеет место прецессия, отличная от регулярной.
На основе аналитических решений и результатов математического моделирования показано, что движения, соответствующие регулярной прецессии как в углах Эйлера, так и в углах Эйлера - Крылова, качественно не зависят от величины угловой скорости a, вызванной действием вращательного импульса. В то же время движение нерегулярной прецессии кардинально зависит от a: при большой a > R угол y становится мо-
32
нотонно возрастающим в направлении действия импульса (с наложенной колебательностью), а угол собственного вращения меняет знак своего монотонного вращения (также с наложенной колебательностью) на обратный.
Список литературы
1. Граммель Р. Гироскоп. Его теория и применения. Т. 1. М.: Изд-во иностранной литературы, 1952. 352 с.
2. Магнус К. Гироскоп. Теория и применение. М.: Изд-во «Мир», 1974. 528 с.
3. Бухгольц Н.Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 2. М.; Л.: ГРТТЛ, 1937. 224 с.
4. Кеннон Р. Специальный гироскоп для измерения эффектов общей теории относительности на борту астрономического спутника. Требования к конструкции // Проблемы гироскопии / под ред. Г. Циглера. М.: Изд-во «Мир», 1967. С. 129 - 143.
5. Пешехонов В.Г. Уникальный гироскоп обеспечил проверку общей теории относительности // Гироскопия и навигация. 2007. №4(59). С. 111 - 114.
6. Пешехонов В.Г. Современное состояние и перспективы развития гироскопических систем // Гироскопия и навигация. 2011. №1(72). С. 3 -16.
7. Плотников П.К. К вопросу о влиянии удара на движение гироскопа // Надёжность приборов точной механики: науч. труды Саратов. по-литехн. ин-та. 1972.Вып. 55. С. 53 - 61.
8. Плотников П.К. Измерительные гироскопические системы. Саратов: Изд-во Саратовского университета, 1976. 168 с.
9. Ишлинский А.Ю. Механика гироскопических систем. М.: Изд-во АН СССР,1963. 483 с.
10. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Физматгиз, 1966. 531 с.
11. Журавлёв В.Ф. Основы теоретической механики. М.: Физмат-лит, 2001. 320 с.
12. Николаи Е.Л. Теория гироскопов. М.: ОГИЗ - ГОСТЕХИЗДАТ, 1948. 171 с.
Плотников Петр Колестратович, д-р техн. наук, проф., sstu office@sstu.ru, Россия, Саратов, СГТУ имени Гагарина Ю.А.
ABOUT PROPERTIES OF MOTION OF A SYMMETRIC EULER GYROSCOPE FOR ARBITRARY INITIAL VAL UES OF ANGLES. SOL UTION OF PROBLEM USING ЕРУ KINEMA TIC DIFFERENTIAL POISSONEQUA TIONS
P.K. Plotnikov 33
It is proved that the regular precession in symmetric Euler gyroscope (SEG) is not the unique type of motion, it corresponds only to well-known initial Euler angles slaving between them (formula (П.10) ). For any other initial angles arise movement different from the regular precession. For some changed in relation to them the initial angle are received formulas for irregular precession. In addition to the solutions of the Euler angles obtained the solutions in Euler - Krylov angles. The analytical results are supported by the mathematical modeling. In particular, we find conditions ("whack") when the irregular SEG precession at the Euler-Krylov angles occurs in the direction of the rotational impulse and the sign of the angular velocity of proper rotation is reversed.
Key word: symmetric Euler gyroscope, precession, Euler angles, Poisson equations, rotation, mathematical modeling, nutation, Euler-Krylov angles, angularvelocity, impact, drift.
Plotnikov Petr Kalistratovich, doctor of technical sciences, professor, sstu_office@sstu. ru, Russia, Saratov, Yuri Gagarin Saratov State Technical University
УДК 531.383-11
КОМПЛЕКСНАЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ГИРОСКОПА СО СФЕРИЧЕСКИМ ШАРИКОПОДШИПНИКОВЫМ ПОДВЕСОМ
С.И. Шепилов, В.В. Лихошерст
Рассмотрен комплексный подход к построению математической модели гироскопа со сферическим шарикоподшипниковым подвесом. Модель объединяет механическую и электромеханические системы гироскопа, пригодна для анализа функционирования прибора как единой системы и проектирования контуров управления.
Ключевые слова: математическая модель, гироскоп, шарикоподшипниковый подвес.
Современные требования по повышению точности систем ориентации приводят к необходимости уточнения вычислительных алгоритмов данных систем, замене или модернизации чувствительных элементов. С точки зрения изготовителей гироскопических приборов задача модернизации является наиболее перспективной, так как позволяет на существующей технологической базе осуществлять выпуск наиболее конкурентной продукции. Для потребителей (разработчиков систем ориентации) модернизация гироприбора при сохранении габаритных и установочных размеров с повышением точности показаний позволяет без существенной доработки повышать качество выпускаемых систем.
