CC BY
17УДК 531.36:531.381
Об устойчивости перманентных вращений Штауде в общем случае геометрии масс твердого тела
О. В. Холостова
Московский авиационный институт (Государственный технический университет)
125871, Россия, Москва, Волоколамское ш., 4 к1ю1о81;оуа oQmail.ru
Получено 10 января 2009 г.
Исследуется устойчивость перманентных вращений вокруг вертикали тяжелого твердого тела с неподвижной точкой (вращений Штауде) в предположении самого общего распределения масс в теле и произвольного расположения точки закрепления. В допустимых областях пятимерного пространства параметров задачи проводится подробный линейный анализ устойчивости. Для каждого набора допустимых значений параметров выписаны необходимые условия устойчивости. В ряде случаев найдены достаточные условия.
Ключевые слова: уравнения Эйлера-Пуассона, перманентные вращения, конус Штауде, устойчивость
O. V. Kholostova
On stability of permanent Staude’s rotations in a general case of a mass
geometry of a rigid body
Stability of permanent rotations around the vertical of a heavy rigid body with the immovable point (Staude’s rotations) is investigated in assumption of a general mass distribution in the body and an arbitrary position of the point of support. In admissible domains of the five-dimensional space of parameters of the problem the detailed linear analysis of stability is carried out. For each set of admissible values of parameters the necessary conditions of stability are received. In a number of cases the sufficient conditions of stability are found.
Keywords: Euler-Poisson’s equations, permanent rotations, cone of Staude, stability
Mathematical Subject Classifications: 70E17, 70H05, 70H14
1. Введение
Задача исследования устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой является классической задачей динамики твердого тела, привлекающей пристальное внимание механиков на протяжении более ста лет. Еще в 1882 г. Н. Е. Жуковский [8] изучал необходимые условия устойчивости вращения тела вокруг вертикально расположенной главной оси инерции, содержащей центр масс, в случаях несимметричного тела и волчка Лагранжа. В случае произвольного распределения масс перманентные вращения могут происходить только вокруг вертикальных осей. Эти вращения были открыты в 1894 г. одновременно Б. К. Млодзеевским [20] и О. Штауде [45] и носят имя последнего. О. Штауде показал, что множество осей перманентных вращений в теле лежит на поверхности конуса с вершиной в неподвижной точке (конуса Штауде) и дал описание допустимых осей вращений как в общем, так и в частных случаях распределения масс.
Исследование устойчивости перманентных вращений тела с неподвижной точкой является сложной многопараметрической задачей. Р. Граммель [44, 7] выдвинул идею обратить постановку задачи и искать не направляющие косинусы осей устойчивых перманентных вращений при заданном распределении масс в теле, а наоборот, задавая ось вращения и моменты инерции тела, определить положения центра масс, соответствующие устойчивым вращениям. Этот же автор провел качественный анализ необходимых условий устойчивости и предложил их геометрическую интерпретацию в общем случае распределения масс в теле и в случае расположения центра масс в главной плоскости инерции, а также подробно исследовал случай, когда центр масс тела находится на главной оси инерции. Необходимые условия устойчивости вращений Штауде в этом последнем случае рассматривались также в работах [43, 18].
Следующий этап исследования рассматриваемой задачи связан с разработкой Н. Г. Чета-евым метода получения достаточных условий устойчивости при помощи связки известных первых интегралов уравнений движения системы [40]. Этим методом найдены достаточные условия устойчивости «спящего» волчка Лагранжа [39], перманентных вращений волчка Ковалевской [26], а также тела, вращающегося вокруг оси, содержащей центр масс [33]. В работе В. В. Румянцева [27] при помощи метода Четаева получены достаточные условия устойчивости для части допустимых осей перманентных вращений при произвольном распределении масс, а также проанализированы наиболее важные частные случаи геометрии масс тела. В этой же работе изучены некоторые достаточные условия неустойчивости путем рассмотрения характеристического уравнения линеаризованных уравнений возмущенного движения. Полученные достаточные условия устойчивости и неустойчивости проиллюстрированы примерами, в которых распределение масс в теле с неподвижной точкой отвечает известным случаям интегрируемости. В статье [28] найдены необходимые, а в работе [30] — совпадающие с ними достаточные условия устойчивости вращений волчка Ковалевской вокруг осей, не совпадающих с главными. Необходимые и достаточные условия устойчивости перманентных вращений Штауде для случаев расположения центра масс тела на главной оси инерции, в главной плоскости инерции или вблизи главной плоскости инерции тела для неподвижной точки исследовались в работах [24, 25].
Развитие КАМ-теории [4, 21] и теории устойчивости гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при резонансах [19] позволило поставить вопрос о проведении нелинейного анализа устойчивости перманентных вращений Штауде. В нелинейной постановке исследуется устойчивость вращений тела для случая, когда центр масс тела находится на одной из гаавных осей инерции, а вращения происходят либо вокруг этой оси [13, 14, 32, 41], либо
вокруг осей, лежащих в главных плоскостях инерции, примыкающих к указанной оси [42]. Получен [13, 32, 42] гамильтониан возмущенного движения; в области выполнения необходимых условий устойчивости проведена, для нерезонансного случая, его нормализация в членах до четвертого порядка включительно. Подробно рассмотрен случай динамически симметричного тела, центр масс которого лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции [13, 14, 41, 42].
Исследование перманентных вращений твердого тела с неподвижной точкой проводилось также при помощи техники топологического описания совместных уровней интегралов энергии и момента, предложенной С.Смейлом [34]. Такой подход, позволяющий выявить число перманентных вращений, их бифуркации и в ряде случаев характер устойчивости, использован в работах [10, 35, 17, 6].
Исследование устойчивости вращений Штауде при некоторых постоянно действующих возмущениях проводится в монографии [31]. В работах [46, 29, 36, 2, 11, 12, 15] рассматривается устойчивость перманентных вращений гиростата. В статьях [5, 22, 16, 38, 23] проводится исследование перманентных вращений твердого тела с неподвижной точкой в центральном ньютоновском гравитационном поле, а в работах [1, 3] — в потенциальном поле сил с произвольной аналитической силовой функцией, зависящей от направляющих косинусов некоторого направления в пространстве.
Данная работа посвящена исследованию устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с неподвижной точкой в предположении самого общего распределения масс в теле и произвольного положения точки закрепления. В допустимых областях пятимерного пространства параметров задачи проводится подробный линейный анализ устойчивости. Для каждого набора допустимых значений параметров выписаны необходимые условия устойчивости. В ряде случаев найдены достаточные условия.
До настоящего времени рассматриваемая задача была решена лишь частично (см. работы [27, 24, 25]), прежде всего из-за наличия в ней большого числа параметров. Предлагаемое полное решение потребовало проведения большого объема аналитических и численных расчетов, а также построения и анализа весьма большого числа графических изображений, что стало возможным благодаря появлению современных мощных компьютерных систем аналитических вычислений.
Результаты данной статьи составляют часть полного исследования устойчивости перманентных вращений Штауде, изложенного в монографии [37]; здесь, помимо подробного линейного анализа, в двух важных частных случаях, когда центр масс тела лежит на главной оси инерции или когда тело динамически симметрично, проводится исчерпывающий нелинейный анализ устойчивости.
2. Постановка задачи. Допустимые дуги
Рассмотрим движение твердого тела, закрепленного в точке О, в однородном поле тяжести. Введем неподвижную систему координат OXУZ, ось OZ которой направлена вертикально вверх, и связанную с телом систему координат Охуг с осями, направленными
О
относительно неподвижной системы зададим при помощи углов Эйлера вводимых
обычным образом.
Движения тела описываются уравнениями Эйлера-Пуассона АШ + <уС ~ B^qr = т9(гоЪ - Усъ),
В(^ + {А-С)гр = тд{хаЪ-zali), (2-1)
С% + (В ~ A^pq = т9(УсЪ ~ xGj2),
dji d^2 dj3
— = П2 - дъ, = ръ -т, -¿¡~ = чъ -ръ-
Здесь m — масса тела, A,B,C — его главные моменты инерции для неподвижной точки. Величины p,q,r; xg, Vg, zg и 7i, 72,7з представляют собой проекции вектора абсолютной угловой скорости тела, радиус-вектора его центра масс G относительно точки O и единичного вектора оси OZ та оси Ox, Oy, Oz соответственно.
Пусть центр масс занимает в теле произвольное положение (и не лежит на главной оси или в главной плоскости инерции для точки O). Направления осей Ox,Oy и Oz выбираем так, чтобы величины xg,Vg и zg были положительными. Считаем также, что все три момента инерции A,B,C различны; для определенности полагаем, что
A > B > C. (2.2)
Существуют стационарные решения p = const q = const r = const 7i = const (i =
= 1, 2, 3) уравнений (1.1), для которых
J- = J- = -¿г = const. (2.3)
Yi 72 7з K 1
Этим решениям отвечают перманентные вращения тела вокруг вертикально расположенных осей, проходящих через его неподвижную точку.
Для последующего исследования удобнее перейти к безразмерным величинам. Геометрию масс тела определяют параметры
An A yG zg /г) д \
а——, /3 — <71 — 2^, (72 ~Xq ' (2-4)
При сделанных предположениях имеем о > 0 02 > 0; параметры айв должны удовлетворять неравенствам
1 < a < в < —^т> (2.5)
а — 1
следующим из неравенств треугольника для моментов инерции и условия (2.2).
Из уравнений (2.1), учитывая постоянство величин p,q,r, и условия (2.3), получим соотношения
в — а 2 1 — в 2 а — 1 2 /о Й\
—^-727зш = (7173 - (7272, ^ 7з71^ =0-271 -73, а ЪЪ^ = Ъ~°1Ъ- (2-6)
Здесь и — угловая скорость перманентного вращения, обезразмеренная при помощи множителя Q, где = \JmgxG/А.
Если теперь умножить каждое из трех уравнений (2.6) соответственно на 1,01 ,02 и сложить их почленно, то получим известное уравнение конуса Штауде
¡З-а (71(1 - /3 )
■ 727з Н---------ъ------7з71
02(1 - а)
ав
в
а
7172 = 0,
(2.7)
которому должны удовлетворять направляющие косинусы 71,72, 7з осей перманентных вращений. К числу очевидных образующих конуса относятся три главные оси инерции тела, прямая ОО, проходящая через центр масс, а также прямая, содержащая точку
5 (хс/А,ус/В,гс/С).
При заданном распределении масс в теле величины 71,72,7з, задающие ось вращения, должны быть выбраны так, чтобы обеспечить неотрицательность величины ш2 в уравнениях (2.6). Из двух полуобразующих, составляющих каждую образующую конуса Штауде, вертикально вверх может быть направлена только одна (кроме исключенного случая, когда ось вращения — главная ось инерции, содержащая центр масс). Соответствующие условию ш2 > 0 полуобразующие конуса Штауде будем называть допустимыми осями перманентных вращений.
Следуя [27], рассмотрим сферу единичного радиуса с началом в неподвижной точ-
О
вые. Каждой допустимой оси перманентного вращения отвечает единственная точка на
одной из сферических кривых, и наоборот. Множества точек пересечения допустимых осей
перманентных вращений с этими кривыми образуют на последних дуги, которые также
будем называть допустимыми. Соответственно, обозначим через х (—х), у (—у), г (-я), д
(—д), в (—в) точки пересечения сферических кривых с полуобразующими Ох (—Ох), Оу
(—Оу), Ог (—Ог), ОО (—ОО, ОБ (—ОБ) конуса Штауде.
При выполнении соотношений (2.5) одна из упомянутых сферических кривых проходит
через точки х, —у, г, в, д, а вторая — через точки у, —г, —в, —д, —х. Условия неотрицатель-ш2
Х <?1_ ^>^2 Х>^2
71 72 ’ 72 7з ’ 71 7з ’
(2.8)
которые и определяют допустимые дуги в рассматриваемом случае.
Анализируя неравенства (2.8) совместно с уравнением (2.7), найдем четыре допустимые дуги (х, —у) (г, д), (у, —г), (—д, —х). Занумеруем их и укажем на каждой из них знаки величин 71,72,73, а также ограничения на параметры 01 и 02: дуга I (х, —у)
72
71 >0, 72 < 0, 73 < 0; 0 < а < <72^;
(г, д)
72 72
71 >0, 72 > 0, 7з > 0; сг2^- < ах <
(2.9)
(у, —г)
72
71 >0, 72 > 0, 7з < 0; 0 < а <
дуга IV (—q, —x)
7i <0, 72 < 0, 7з < 0; ^ < о\ < а2т^-
На рис. 1 изображены описанные сферические кривые; допустимые дуги I IV на этих кривых выделены штриховкой.
3. Гамильтониан возмущенного движения
Наряду с уравнениями (2.1) будем рассматривать также канонические дифференциальные уравнения движения тела.
Кинетическая и потенциальная энергии тела вычисляются по формулам
Введем канонически сопряженные с углами ф, 9, р импульсы рф ,р$ ,pv, обезразмерен-ные при помощи множителя AQ. За независимую переменную примем безразмерное «время» т = Ш.
Гамильтониан исследуемой системы, записанный в безразмерных параметрах (2.4), имеет вид
У
Рис. 1
Т = |(Ар2 + Bq2 + С г2), П = тд(хсъ + УсЪ + <гс7з),
р = p/sin 9 sin р + 9 cos р, q = '(/»sin 9 cos р — 9 sin р, r = ip cos 9 + р,
7i = sin 9 sin р, 72 = sin 9 cos р, 73 = cos 9.
(3.1)
(1 — a) sin р cos р
sin 9
x
x Рв (Рф ~ Pip cos 9) + I (a sin2 p + cos2 p)p2e + 12
+ 2 flPip + Sin V sin 9 + (Ji COS p Sin 9 + (72 cos 9.
Здесь координата / циклическая, поэтому рф = рф0 = const.
(3.2)
Рассматриваемые перманентные вращения тела соответствуют частным решениям
в = в0 = const, ф = ф0 = const, (3.3)
а — 1 . й ■ _ _ и;
а — i . р. ш л
Рв = Рво = —q¡— sm 6*о sm фo cos <p0u>, pv = PVo = ^ cos 60
системы с гамильтонианом (3.2), для которых величина рф0 вычисляется по формуле
рФо =
cos2 фо \ -2а cos2 в0
sin ф0 Н--------------------------^— ) sin во +
в
ш. (3.4)
При этом для заданных значений параметров а, в, ai, &2 величины во,фо,ш, определяющие перманентное вращение, связаны двумя уравнениями
в — i 2 в — а 2 2
—-р— sm (ро Н—cos (ро I sm во cos вош =
= (sin ф0 + ai cos ф0) cos в0 — a2 sin в0, (3.5)
а — i 2
—^— sm во sm ipo cos щш = cos фо — о\ sm ipo ■
Таким образом, в рассматриваемом общем случае геометрии масс тела задача об устойчивости перманентных вращений Штауде является пятипараметрической. Исключим при помощи соотношений (3.5) угловую скорость ш и параметр ai, а величины #0,ф0,а,в и a2 считаем независимыми.
в
ф, ро, pv при фиксированном значении величины рф. Полагая в гамильтониане (3.2)
в = #0 + ХЬ ф = ф0 + Ж2, Рв = РОо + yi, pv = PV0 + У2
и учитывая соотношения (3.3) и (3.4), получим гамильтониан возмущенного движения. Рас-
сматриваемому перманентному вращению отвечает положение равновесия Xj = yj =0 j = = 1, 2) соответствующей ему системы.
Квадратичная относительно величин Xj, yj часть H2 гамильтониана имеет вид
1 2 1 2 1 2 1 2
Я2 = 2а1ж1 + 2Ü2X2 + 2Ü3Vl + 2а4У2 + аъХлУ2 + а&Х2У1 +
+ 07X1X2 + as xiyi + ад Х2У2 + аюУ1У2, (3.6)
(1\ = 2 2 l^2 COs2 ~ /5(oíSÍn2 фо + COS2 фо)][/3(а — l)2 cos4 фо —
— (а — 1)(ав — а — в) cos ф0 — (2в — 1)а] + ш ав (а sin ф0 + cos ф0) —
— а2в2^ sin в0 cos ф0 + a2 cos в0 + sin в0 sin ф0)}, (3.7)
а2 = s*n^° Гш2(а — 1)(а28т2фо — cos^o)sin£?o — а2(8Шфо + о\ совфо)!, а2
2 2 в sin2 в0 + (а cos2 ф0 + sin2 ф0) cos2 в0
аз = a sin фо + cos фо, а^ =--------------------------------------------------,
sin2 в0
а5 = о ш л Icos2 ^o(acos2 фо + sin2 Lpo)[f3(oLsm2 ф0 + cos2 ф0) - а] + a¡5\, ав sin в0 ш(а — 1) 2 2 ав =------^----(asm фо — cos фо^тб^,
cos в0 Г 2 д/ • \
а7 = —— {a p(cos ф0 - о\ sm^oj +
а2в
+ ш2(а2 — 1)[в(аsin2 ф0 + cos2 ф0) — а] sin в0 sinф0 cos ф0},
as = ^—-[/3(a sin2 tpo + cos2 tpo) — a] cos 9o sin </?o cos tpo,
ш(а2 — 1) (а — 1) cos в0 sin ф0 cos ф0
а9 =----------cos 6*0 sm ip0 cos ip0, aí0 =---------------------------—a-.
а sin в0
ai, . . . , ai0 ш ai
исключены при помощи соотношений (3.5).
H2
исследуемое положение равновесия устойчиво. При этом, на основании дополнения Ляпунова к теореме Рауса [9], перманентное вращение Штауде устойчиво и по отношению к
РФ
H2
ское уравнение соответствующей ей линейной системы, имеющее вид
А4 + аА2 + b = 0. (3.8)
Если выполнены условия
а> 0, b> 0, d = а2 — 4b > 0, (3.9)
то корни ±ifii, ±i^2 (^i > ^2 > 0) характеристического уравнения чисто мнимые и положение равновесия Xj = yj = 0 j = 1, 2) системы с гамильтонианом (3.6) устойчиво в линейном приближении. Неравенства (3.9) задают необходимые условия устойчивости вращений Штауде.
4. Допустимые области
Задачу об устойчивости вращений Штауде удобнее рассматривать в следующей (об-
в0, ф0
значения из соответствующих четвертей своих координатных плоскостей, определяемых знаками величин Yi,Y2, Y3 в соотношениях (2.9). Это означает, что дугам I IV соответству-
в0, ф0
#0 € (п/2;п), ф0 € (п/2;п) (I); #0 € (0;п/2), ф0 € (0;п/2) (II) (4.1)
#0 € (п/2;п), ф0 € (0;п/2) (III); #0 € (п/2;п), ф0 € (п;3п/2) (IV)
а, в, a2
которые обеспечили бы устойчивость (или неустойчивость) перманентного вращения для
#0 ф0
ав
a2
ai I IV
получим
a2 > a2 (I), 0 < а2 < a'2 (II), 0 < а2 < a2 (III), а2 > a2/ (IV), (4.2)
/ (в — а) cos #0 // cos #0 ,.
(То = —-г;------:-- -------, (Jo = —:—7—:-----------------------• í 4.0)
2 в(а — 1) sin #0 sin ф0 2 sin #0 sin ф0
Таким образом, исследуемая часть пространства параметров во, фо, а в а2 задается соотношениями (4.1)—(4.3), (2.5). Областям этой части пространства параметров, соответствующим дугам I IV, также присвоим номера I IV.
Опишем способ представления результатов, который будет использован ниже. Для каждой из четырех областей I IV допустимая часть плоскости параметров во,фо разбивается, путем проведения аналитических и численных расчетов, на ряд областей. Для точек (во, фо) каждой области, в свою очередь, в допустимой части плоскости параметров а, в выделяются области с различными условиями устойчивости и неустойчивости перманентных вращений. Эти условия записываются в виде неравенств, определяющих диапазон изменения параметра а2 (в пределах интервалов из (4.2)) с границами — функциями четырех параметров во, фо, а, в. Для точек (во, фо) в пределах одной и той же области плоскости параметров во, фо указанное разбиение плоскости параметров а, в качественно одинаково, при переходе к другим областям — меняется.
5. Достаточные условия устойчивости
Рассмотрим матрицу коэффициентов квадратичной формы И2, описанной в соотношениях (3.6), (3.7). Ее главные диагональные миноры определяются выражениями
(a cos2 фо + sin2 фо) cos2 в0 + в sin2 в0
Ai =---------------;
sin2 в0
a cos2 в0 + в sin2 в0(а sin2 ф0 + cos2 ф0) sin2 в0
U ^Uü 1/0 | f-J Din 1/0 1 ^Dlll MI | tUD MI
A2 =-----------------------------------------—------------— > o, (5.1)
2
. m1 a2 + m0 . «2^2 + n102 + n0
^3 = —гг,—T\ i—^^—:-------------------> ^4 =
а(в — 1)sin 00 cos #0 sin ф^ 4 a (в — 1)sin2 в0 cos2 в0 sin2 ф0’
m1 = —(a — 1)в sin 00 sin3 ф0[а(в sin2 00 + cos2 00) +
+ 3(a — 1)вsin2 00 cos2 ф0], (5.2)
m0 = cos 00[—a(e — a)(e sin2 00 + cos2 00) — ae(a — 1)cos2 ф0 +
+ 3(a — 1)2в2 sin2 00 sin2 ф0 cos2 ф0], n2 = (a — 1)в sin4 00 sin4 ф0п21, n1 = sin 00 cos 00 sin ф0п11,
n0 = (в — a) cos4 00n01, (5.3)
n21 = a(4в — 3) — 3(a — 1)в sin2 в0 sin2 ф0 — 3(в — a) sin2 в0,
n11 = (хв(a — 1) — (a — 1)в[a + 3(a — 1)в]sin2 в0 sin2 ф0 +
+ (в — a)[aв + 3(в — a)] sin2 в0 +
+ 3sin4 в0[в2(a — 1)2 sin4 ф0 — (в — a)2], n01 = a — 3(a — 1)в sin2 в0 sin2 ф0 — 3(в — a) sin2 в0.
При вычислении величин Aj учтены соотношения (3.5).
Из формул (5.1) и критерия Сильвестра следует, что достаточные условия устойчивости перманентных вращений задаются системой двух неравенств
cos в0 sinф0(m102 + m.0) > 0, /1(02)= П2(г1 + n102 + n0 > 0. (5.4)
Из выражения для m1 в (5.2) и условий (4.1) получим, что в областях I, III, IV первое неравенство (5.4) сводится к соотношению
m0
<т2 > сг2, сг2 = -тщ, (5.5)
II
02 < 02. (5.6)
Рассмотрим решение второго неравенства (5.4). Заметим, что старший коэффициент n2 квадратного трех члена /1(02) сохраняет постоянный знак. Действительно, равенство n21 = 0
3в sin2 в0 cos2 ф0
а =---------о-----о---------------------о---- < 1)
3в sin2 в0 cos2 ф0 + 3(в — 1) cos2 в0 + в
противоречащему условию a > 1. А так как при малых значениях sin2 в^ и sin2 ф0 и при в > 1 имееМ n21 > 0, ТО И ДЛЯ всех допусТИМЫХ в0, ф0, a, в в областях I IV получим n2 > 0.
n0 a, в
любых в0, ф0 имеется кривая n01 = 0 Она пересекает границу a = 1 в точке
/3=3sl"2(>o + l>1
3 sin2 в0
и одну из граничных кривых в = ^ми в = a/(a—1), соответственно, в точках с абсциссами a = a1 или a = a2, где
3 sin2 в0 sin2 ф0 + 1 3 sin2 в0 cos2 ф0 + 3 sin2 в0 + 1 „
ai =--------—------5---- >1, а2 =------------------5------5------------ > 1. (5.7)
3 sin2 в0 sin2 ф0 3 sin2 в0 cos2 ф0 + 1
Так как в рассматриваемой области a < 2, то первую из указанных границ кривая n01 = 0 может пересечь при выполнении условия a1 < 2, сводящегося к неравенству
sin2 00 sin2 фо > i, (5.8)
a2 < 2
знак изменен на противоположный.
n01 = 0 a, в
в0, ф0
проиллюстрирован ниже рисунком 3, относящимся к области II. Кривая П1 (рис. За), задаваемая уравнением
sin во sin </?о = ~у=, (5.9)
V3
разделяет плоскость параметров в0, ф0 на области 1 и 2. Для точек (в0,ф0) из областей 1 и 2 кривая n01 = 0 (обозначенная через (2) показана, соответственно, на рис. 3б и рис. Зв
в допустимой части плоскости параметров a, в- В областях К1 и К2 на этих рисунках имеем,
соответственно, n01 > ^ и n01 < 0.
Рассмотрим дискриминант <h = n1 — 4п2«0 квадратного трехчлена в (5.4). Расчеты
a, в
дискриминант di строго положителен при всех 9о,<ро. Исключение составляет единственная точка а = ai (величина ai определена в (5.7)) на граничной кривой в = а, гДе di обращается в нуль, имея в этой точке двойной корень. Таким образом, квадратный трехчлен /i(a2) в (5.4) всегда имеет два вещественных корня. Обо значим их через ст| и ст|*
К < О-
Найдем положение этих корней относительно граничных значений а2 и параметра Ст2, определенных соотношениями (4.3). В областях / и III вычислим
/i (а2) = а(в - 1)(в - a) sin2 во cos2 во sin2 ф0 cos2 ф0 /п,
/и = 3в(а sin2 ф0 + cos2 ф0) sin2 в0 + 3а cos2 в0 — 4@.
Расчеты показывают, что в допустимой части плоскости параметров а, в может существовать кривая /ii = 0. Если эта кривая существует, она пересекает границы в = а
и в = а/(а — 1) в точках с абсциссами а = а^ и а = аз соответственно, где величина а! определена в (5.7), а
3 sin2 в0 sin2 ф0 + 4 cos2 в0 + 1
с^з =-ó-о-о- ^
3(sin2 в0 sin2 ф0 + cos2 в0)
Условиями существования в рассматриваемой области кривой /ц =0 являются неравенства al < 2 ж аз < 2. Как первое (что уже было показано выше), так и второе из них эквивалентно соотношению (5.8).
На рис. 2а, относящемся к области I, условию (5.8) удовлетворяют точки (в0,ф0) из области 1 с границей ni, определенной в (5.9). Отвечающая точкам этой области кривая /ii = 0 (рис. 26), обозначенная через Zi, разбивает плоскость параметров а, в на области и К2- В области «2j где /ii < 0, имеем а| < а2 < а|*, и решением квадратного неравенства в (5.4), с учетом первого условия (4.2), является интервал
а2 > аГ. (5.10)
а б
Рис. 2
В области же кь где /ц > 0, величина Оз лежит вне отрезка [а|; ]. При этом, как
показывают расчеты, в этой области всегда справедливо соотношение > о|*. Поэтому
рассматриваемое неравенство выполняется при всех допустимых а2, определяемых первым неравенством (4.2).
Для точек (во, фо) из области 2 на рис. 2а величина /ц сохраняет постоянный знак (отрицательный) при всех допустимых а и в поэтому выполняется соотношение < о|*,
и второе неравенство (5.4) удовлетворяется при условии (5.10).
а б в
Рис. 3
Рис. 4 соответствует области ///.Точкам (во,фо) из областей 1 и 2 на рис. 4а отвечают рис. 46 и рис. 4в, на которых представлены различные разбиения допустимой части плоскости параметров а и в Границами областей служат кривые ^2 (^01 = 0: С1 (/11 = 0) на рис. 46 и кривая £2 на рис. 4в. В областях к2 та рис. 46 и рис. 4в имеем п0 < 0 /11 < 0, поэтому выполняется соотношение < 0 < о2 < и второе неравенство (5.4) на интервале, определяемом третьим условием (4.2), не удовлетворяется. В областях К1 По > 0, П1 < 0 и /11 < 0, поэтому справедлива оценка 0 < < о2 < о|*, и решением второго
неравенства (5.4) на указанном интервале служит промежуток
0 < о2 < о|. (5.11)
а б в
кк/2
0
п/2 вв п 1 а 2
Рис. 4
Наконец, в области кз та рис. 46 имеем n0 < 0 /ii > 0 и, значит, ст| < 0 < ст|* < а2,
поэтому решение рассматриваемого неравенства записывается в виде
а2>* < а2 < а2. (5.12)
Рассмотрим теперь области II и IV. Нетрудно проверить, что
/i(a2') = ав(а — 1)(в — 1) sin2 в0 cos2 в0 sin2 ф0Д2 > 0,
где величина Д2 определена в соотношениях (5.1).
В описанных выше областях Ki на рис. 36 и рис. 3в (относящихся к области II) имеем
n0 > 0 и ni > 0, поэтому справедлива оценка а| < а|* < 0 < ст2/ и, таким образом, решением
второго неравенства (5.4) является весь интервал допустимых значений Ст2, определяемый вторым условием (4.2). В областях к2 та рис. 36 и рис. 3e n0 < 0 следовательно, а| < 0 <
< а|* < а2/, и решение второго неравенства (5.4) имеет вид
СТ2* < а2 < а2/. (5.13)
Для всех допустимых значений во, фо, а, в из области IV выполняется условие > <|*,
поэтому рассматриваемое неравенство удовлетворяется при всех допустимых значениях <2, определяемых четвертым условием (4.2).
Сопоставляя теперь условия (4.2), решение (5.5) или (5.6) первого неравенства (5.4) и найденные решения второго неравенства, получим следующие выводы о рассматриваемых достаточных условиях устойчивости перманентных вращений.
Область I. Расчеты показывают, что для точек областей 1 и к на рис. 2а и рис. 2бвсе-гда <72 < <2, поэтому достаточные условия ВЫПОЛНЯЮТСЯ при всех ДОИустимых значениях <2 (< 2 > <2). Для точек облает ей 1 и К2, а также для точек области 2 и всех допустимых айв выполнено соотношение <2 < г|*, поэтому достаточные условия (5.5) и (5.10) эквивалентны одному условию (5.10).
Область II. Для точ ек (а, в) из облает ей к на рис. 36 и рис. Зв и всех соответствующих им значений во,фо имеем <2 < 0; для точек же из областей К2 и всех во,фо либо <2 < 0, либо <2 > 0, то при этом 72 < г|*, а значит, условие (5.6) и неравенство (5.13) несовместны. Достаточные условия (5.4) не выполнены.
Область III. В областях К2 на рис. 4 достаточные условия не выполняются, так как второе неравенство (5.4) не имеет решений ни при каких во, фо. В области к3 имеем Г2 < г|*, и условия (5.5) и (5.12) эквивалентны одному неравенству (5.12). В областях к всегда
<2 > <2, поэтому условия (5.5), (5.11) и третье неравенство (4.2) несовместны.
Область IV. Неравенство (5.5) и четвертое условие (4.2), задающие достаточные условия устойчивости, выполняются при всех допустимых значениях параметров во,фо,а, в и всех <2 (<2 > <20, так как в рассматриваемой области всегда 72 < <2/. Таким образом, перманентные вращения Штауде вокруг допустимых осей, проходящих через точки дуги IV, устойчивы. Этот результат получен ранее в статье [27] другим способом, путем построения связки интегралов.
6. Необходимые условия устойчивости
Исследуем теперь необходимые условия устойчивости перманентных вращений для значений параметров, принадлежащих областям І III.
Коэффициенты характеристического уравнения (3.8) линеаризованной системы с гамильтонианом (3.6), (3.7) и его дискриминант, с учетом соотношений (3.5), можно представить в виде
«1
?11
а — —
d —
Ь —
П2^2 + П1СТ2 + По
а2в (в — 1) йіп $0 сой $0 йіп ф0' а (в — 1) йіп2 #0 соя2 #0 эт2 ф0
Р2^2 + Р1^2 + Р0
а4в2(в — 1)2 віп2 $0 сов2 $0 віп2 ф0
— віп #0 віп ф0 «11; «0 — — соя 00«01,
— а2 [а (в — 1)2 + в (3в — 2)] +
+ (в — а)[а2(в — 1)2 + в(в — а) — 2ав2] йіп2 #0 +
+ в2(а — 1)[а2(в — 1) — в(а — 1) — 2а] віп2 #0 віп2 ф0,
— а2 [в(2в — а) — (в — а)] —
— (в — а)[а2 (в — 1) — в (в — а) + 2ав2] йіп2 #0 +
+ в(а — 1)[а2(в — 1)2 — (а — 1)в2 — 2ав] йіп2 #0 віп2 ф0,
(6.1)
величины П2,И1 и по определены формулами (5.3), а
Р2 = ЙШ2 00 ят2 Ф0Р21, Р1 = -2 йт 00 СОЯ 00 вт Ф0Р11, Ро = СОЯ2 0оРО1, Р21 = ¿и - 4а3в3 (а - 1)(в - 1)йт2 00 ят2 Ф0П21,
Р11 = ¿1^01 + 2а3в2(в - 1)пц,
Р01 = ¿01 - 4а3в2 (в - 1)(в - а) соя2 00П01.
(6.2)
Для рассматриваемого случая необходимые условия устойчивости (3.9) сводятся к системе
причем знак «>» в неравенстве (6.3) относится к областям / и III, а знак «<» — к области II.
Заметим, что неравенство (6.4) совпадает со вторым неравенством из достаточных условий (5.4), его решение подробно описано в разделе 4.
Из результатов этого раздела следует, что для значений параметров из области I достаточные условия (5.4) либо всегда выполняются (для точек (00, ф0) из области 1 на рис. 2а и точек (а, в) из области к на рис. 26), либо эти условия сводятся к решению второго неравенства (5.4) и задаются соотношением (5.10) (для точек (00, ф>0) из области 1 на рис. 2а и точек (а, в) из области к2 на рис. 26, а также для точек (00,ф0) из области 2 на
( а, в)
стях нарушается второе неравенство (5.4), а значит, и необходимое условие (6.4), и имеем неустойчивость.
а, в
из областей К2 на рис. 46;в и соответствующих им значений 00, ф0 (относящихся к области III), так как в этих областях второе неравенство (5.4) не выполняется. Для значений же параметров 00,^0 и а, в нз областей 1 и К3 на рис. 4а;6 достаточные условия устойчивости сводятся к решению второго неравенства (5.4) и определяются соотношением (5.12); при нарушении последнего имеем неустойчивость.
Таким образом, исследование необходимых условий устойчивости следует провести в области II и в той части области III, в которой параметры а, в принадлежат областям К1 на рис. 46,в, а пара метры 00, ф0 и 02 принимают любые допустимые в этой области значения. В этих областях достаточные условия (5.4) не выполняются.
/0(02) = ¿102 + ¿0 > 0 (< 0),
/1 (02) = П20| + П102 + П0 > 0,
/2(02) = Р20^ + Р102 + Р0 > 0,
(6.3)
(6.4)
(6.5)
а
б
Рис. 5
Решение неравенства (6.3). Расчеты показывают, что для всех допустимых значений 00, ф0, а, в величина ¿и, определенная в (6.1), положительна, а величина ¿01 может принимать значения разных знаков. При всех 00, ф0 в рассматриваемой части плоскости параметров а, в существует кривая ¿01 = 0, качественный вид которой показан на рис. 5а (кривая £3). В областях 1 и 2 на этом рисунке выполнены соотношения ¿01 < 0 и ¿01 > 0 соответственно.
Учитывая соотношения (4.1), найдем, что в области III неравенство (6.3) сводится к условию
а в области II — к условию 72 < 72.
Определим положение величины (72 относительно граничных допустимых значений ^2 и параметра а2. Имеем
/ а(в — 1) cos 0о ,
Расчеты показывают, что для всех допустимых значений 00, ф0, а, в величина /01 принимает только положительные значения.
В области II старший коэффициент ¿1 функции /0(02) положителен. При этом в об-¿0 > 0 02 полняется. В области 2 ¿0 < 0, а /0(020 > 0 и, следовательно, 02; > 02. Учитывая второе
неравенство (4.2), получаем решение
В области III имеем ¿1 > 0 и /0(02) > 0 и, таким образом, 02 > 02. В области 1 на рис. 5а ¿0 < 0 (т. е. 02 > 0), поэтому решением неравенства (6.3) с учетом третьего условия (4.2) служит интервал
В области 2 на рис. 5а, где ¿0 > 0, 02 < 0, условие (6.3) выполняется для всех допусти-02
Решение неравенства (6.5). Аналитический и численный расчет показал, что для всех допустимых значений параметров 00, ф0, а, в величины Р21 и Р01, определенные в (6.2), а значит, и коэффициенты Р2 и Р0 квадратного трехчлена /2(02) в (6-5), положительны. Дискриминант ^2 этого квадратного трехчлена представляется в виде
При всех 00, ф0 в допустимой части плоскости параметров а, в имеется кривая ^21 =0, показанная на рис. 56 (кривая (4)- В области 1 на рис. 56 ^21 < 0 (т. е. ^2 < 0), и неравенство (6.5) удовлетворяется. В области 2 ^21 > 0 (^2 > 0), и квадратный трехчлен /2(02)
72 > 72, 72
“ ¡3(а - 1) /оь
/о(а2') = а2в(в — 1) cos 0о[(а + 1) + (в — а) sin2 0о + (а — 1) sin2 0о sin2 ф0], /01 = а[(в — а)2 + ав (3в — 2а)] —
— (в — а)[в2 (а — 1) + а(в — а) + 2а2в] sin2 0о +
+ в2(а — 1)[ав(а — 1) + (в — а) — 2а2] sin2 0о sin2 фо.
0 <72 < 72.
(6.6)
72 <72 < 72.
d2 = 4 sin2 0о cos2 0о sin2 фо d21, d21 = Ри — 4p21 Ро1.
имеет два вещественных корня, которые обозначим через (2 И (72 ((72 < (72). Кроме того, как показывают расчеты, во всей области 2 выполнено соотношение pii > 0.
В области II pi < 0, и корн и 72 и 72 положительны. Расчеты показывают, что при этом справедлива оценка (2; > 72. Поэтому решением неравенства (6.5) для значений а и в из области 2 на рис. 5б является, с учетом второго условия (4.2), объединение двух интервалов
В области III имеем Р1 > 0, поэтому оба корня 72 и 02 отрицательны. Значит, для а в 02 > 0
Таким образом, в области III условие (6.5) выполняется для всех допустимых значений параметров 00,ф0, а, в, 02; в области II — для всех допустимых 00,ф0, 02 и точек (а, в) из области 1 на рис. 56, а также для всех 00, ф0, точек (а, в) из области 2 (рис. 56) и значений 02
Решение системы неравенств (6.3)-(6.5). Для определения необходимых условий устойчивости в области II следует рассмотреть совместно решения всех трех неравенств (6.3)-(6.5). Расчеты показывают, что в рассматриваемой части плоскости параметров а, в кривая ¿01 = 0 (£3 на рис. 5а) при всех 00, ф0 находится выше кривой П01 = 0 (£2 на рис. 36,в). В области между кривыми £3 и £2 имеется кривая £5, на которой выполняется соотношение 72 = 02 = 0| *. Она задается уравнением г = 0, где
а величины п.* и определены в соотношениях (5.3) и (6.1).
Возможные случаи расположения кривых £2, Сз и ^5 в допустимой части плоскости параметров а, в представлены на рис. %б,в,г. Указанным рисункам отвечают точки ($о,фо) принадлежащие областям 1а, 16, 2 плоскости параметров #0,ф0 на рис. 6а. Кривая, разделяющая области 1а и 16 на рис. 6а, задается уравнением
В областях «2" на Рис- 6б,в,г имеем неустойчивость, так как нарушается неравенство (6.3). В областях к" решения (6.6) и (5.13) неравенств (6.3) и (6.4) не пересекаются, так как в этих областях 7" < 7| *, и вновь имеем неустойчивость.
В областях к" и к і на рис. 6б,в,г есть интервалы устойчивости. Расчеты показывают, что кривая ^21 = 0 (^4 на рис. 56) всегда располагается выше кривой г = 0 (£5), т-е. находится в области неустойчивости; кривая ^4 на рис. 6б,в,г не изображена.
В областях к" должны одновременно выполняться условия (6.6), (5.13) и (6.7). Учитывая, что в этих областях справедлива оценка
0 < 72 < 72, 72 < 72 < 72.
(6.7)
Г = ¿fno - ¿1 ¿0П1 + ¿2П2,
72 < 0 < 72 < 72 < 72 < 72 < 72 ,
02
'к 'к ^ ^ — 72 <72 < 72,
(6.8)
который и определяет необходимые условия устойчивости в данных областях.
ж/2
в0 -к/2
Рис. 6
В областях К1 должны удовлетворяться соотношения (6.6), (6.7) и второе условие (4.2). Так как в этих областях
о2 < о2 < 0 < сг2 < <г2 < ст2 < о2,
то необходимые условия устойчивости можно записать в виде неравенства
0 < о2 < <г2. (6.9)
Для значений 02 вне интервалов (6.8) и (6.9) в соответствующих областях имеем неустойчивость.
Ранее в работе [27] получена неустойчивость перманентных вращений Штауде на дуге II в окрестности ее граничной точки д, что соответствует значениям параметра о 2 вблизи правой границы ег0 допустимых значений. Оказывается, в большей части области допустимых значений параметров, отвечающих дуге II, имеет место неустойчивость. Исключение составляют достаточно небольшие интервалы изменения параметра 02, отвечающие областям К1 и к2, для которых перманентные вращения устойчивы в линейном приближеНИИ.
В области III условие (6.5) всегда выполняется. При рассмотрении неравенства (6.3) заметим, что в исследуемой части плоскости параметров а, в кривая £з (¿01 = 0) так же, как и для области II, располагается выше кривой £2 (^01 = 0). Поэтому в областях к (рис. 46,в) и соответствующих областях плоскости 0о,фо на рис. 4а неравенство (6.3) выполнено при всех допустимых значениях 02. Решение оставшегося неравенства (6.4) в этих областях задается соотношением (5.11), которое и определяет необходимые условия устойчивости; при его нарушении имеем неустойчивость.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 08-01-00363) и гранта Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ (проект № НШ-2975.2008.1).
б
а
0
в
Список литературы
[1] Анчев А. О перманентных вращениях твердого тела с одной неподвижной точкой и их устойчивости // Прикл. матем. и механ., 1965, т. 29, вып. 2, с. 380-386.
[2] Анчев А. О перманентных вращениях тяжелого гиростата, имеющего неподвижную точку // Прикл. матем. и механ., 1967, т. 31, вып. 1, с. 49-58.
[3] Апыхтин Н.Г. Перманентные вращения и возмущенные движения твердого тела. М: РУДН, 2004. 174 с.
[4] Арнольд В. П., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. М.: УРСС, 2002. 414 с.
[5] Белецкий В. В. Некоторые вопросы движения твердого тела в ньютоновском поле сил // Прикл. матем. и механ., 1957, т. 21, вып. 6, с. 749-758.
[6] Гашененко И. Н. Интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела // НАН Украины, Механ. твердого тела, 2003, вып. 33, с. 20-32.
[7] Граммель Р. Гироскоп, его теория и применения: В 2х тт. М.: Изд-во иностр. лит., 1952.
[8] Жуковский Н.Е. О прочности движения // Собр. соч. M.-JL: ОГИЗ, 1948. Т. 1, с. 67-160.
[9] Карапетян A.B., Румянцев В.В. Устойчивость консервативных и диссипативных систем // Итоги науки и техники. Сер. Общая механика. Т. 6. М.: ВИНИТИ, 1983. 132 с.
[10] Каток С. Б. Бифуркационные множества и интегральные многообразия в задаче о движении тяжелого твердого тела // Уст. матем. наук, 1972, т. 27, №2, с. 126-132.
[11] Ковалев А. М., Киселев А. М. О конусе осей равномерного вращения гиростата // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1972, вып. 4, с. 36-45.
[12] Ковалев А. М., Киселев А. М. Выделение областей устойчивости на конусе осей равномерного вращения гиростата // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1972, вып. 4, с. 46-48.
[13] Ковалев А. М., Савченко А. Я. Устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг главной оси // Прикл. матем. и механ., 1975, т. 39, вып. 4, с. 650-660.
[14] Ковалев А. М., Савченко А. Я. Устойчивость стационарных движений гамильтоновых систем при наличии резонанса четвертого порядка // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1977, вып. 9, с. 40-44.
[15] Ковалев А. М., Чудненко А. Н. Исследование достаточных и необходимых условий устойчивости равномерных вращений гиростата вокруг главной оси // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1982, вып. 14, с. 93-99.
[16] Кузьмин П. А. Стационарные движения и их устойчивость в центральном поле тяготения //
Тр. межвузов. конф. по прикл. теории устойчивости движения и аналит. механ. Казань, 1964,
с. 93-98.
[17] Кузьмина Р. П. О бифуркационном множестве в задаче о движении тяжелого твердого тела с
неподвижной точкой // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела, 1982, №1, с. 3-10.
[18] Магнус К. Гироскоп: Теория и применения. М.: Мир, 1974. 526 с.
[19] Маркеев А. П. Точки либрации в небесной механике и космодинамике. М.: Наука, 1978. 312 с.
[20] Млодзеевский Б. К. О перманентных осях в движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Труды отделения физич. наук Общества любителей естествознания, 1894, т. 7, вып. 1, с. 46-48.
[21] Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973. 168 с.
[22] Пожарицкий Г. К. Об устойчивости перманентных вращений твердого тела с закрепленной точкой, находящегося в центральном поле сил // Прикл. матем. и механ., 1959, т. 23, вып. 4, с. 792-793.
[23] Рубановский В. Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой // Прикл. матем. и механ., 1974, т. 38, вып. 4, с. 616-627.
[24] Рубановский В. Н. О бифуркации и устойчивости стационарных движений систем с известными первыми интегралами // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1975. С. 121-200.
[25] Рубановский В. Н. О бифуркации и устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела в случае, когда его центр масс вблизи главной плоскости инерции // Задачи исследования устойчивости и стабилизации движения. М.: ВЦ РАН, 1982. С. 3-55.
[26] Румянцев В. В. Об устойчивости вращения тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой в случае С. В. Ковалевской // Прикл. матем. и механ., 1954, т. 18, вып. 4, с. 457-458.
[27] Румянцев В. В. Устойчивость перманентных вращений тяжелого твердого тела // Прикл. матем. и механ., 1956, т. 20, вып. 1, с. 51-66.
[28] Румянцев В. В. К устойчивости перманентных вращений твердого тела около неподвижной точки // Прикл. матем. и механ., 1957, т. 21, вып. 3, с. 339-352.
[29] Румянцев В. В. Об устойчивости движения гиростатов // Прикл. матем. и механ., 1961, т. 25, вып. 1, с. 9-16.
[30] Савченко А. Я. Устойчивость равномерных вращений гироскопа С. В. Ковалевской // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1972, вып. 4, с. 48-51.
[31] Савченко А. Я. Устойчивость стационарных движений механических систем. Киев: Наукова думка, 1977. 160 с.
[32] Сергеев B.C. Об устойчивости перманентных вращений тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Прикл. матем. и механ., 1976, т. 40, вып. 3, с. 408-416.
[33] Скимель В. Н. К задачам устойчивости движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки // Прикл. матем. и механ., 1956, т. 20, вып. 1, с. 130-132.
[34] Смейл С. Топология и механика // Уст. матем. наук, 1972, т. 27, №2, с. 77-133.
[35] Татаринов Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки // Вести. Моск. ун-та. Сер. Матем. Механ., 1974, №6, с. 99-105.
[36] Харламов П. В. О равномерных вращениях тела, имеющего неподвижную точку // Прикл. матем. и механ., 1965, т. 29, вып. 2, с. 373-375.
[37] Холостова О. В. Исследование устойчивости перманентных вращений Штауде. М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Инст. компьютерных исследований, 2008. 128 с.
[38] Цодокова Н. С. О перманентных осях вращения гиростата с закрепленной точкой // Прикл. матем. и механ., 1965, т. 29, вып. 6, с. 1104-1107.
[39] Четаев Н.Г. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа // Прикл. матем. и механ., 1954, т. 18, вып. 1, с. 123-124.
[40] Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Наука, 1990. 176 с.
[41] Чудненко А. Н. К устойчивости положения равновесия гамильтоновых систем с двумя степенями свободы при наличии двойного нулевого корня // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1978, вып. 10, с. 54-60.
[42] Чудненко А. Н. Устойчивость равномерных вращений твердого тела вокруг осей, не совпадающих с главными // НАН Украины, Механ. твердого тела, 1979, вып. 11, с. 78-87.
[43] Bottema О. De stabiliteit van de tolbewegingen van Staude // Proc. Koniklijke Nederlandsche Akademie van Wetenschappen, ser. A, vol. 48, pp. 316-325.
[44] Grammel R. Die Stabilität der Staudeschen Kreiselbewegungen // Math. Z., 1920, vol. 6, pp. 124142.
[45] Staude О. Uber permanente Rotationsaxen bei der Bewegung eines schweren Körpers um einen festen Punkt // J. Reine Angew. Math., 1894, vol. 113, no. 4, pp. 318-334.
[46] Volterra V. Sur la théorie des variations des latitudes // Acta Math., 1899, vol. 22, pp. 201-358.
