Возмущение оператора Шредингера узким потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 3. № 3 (2011). С. 55-66.

УДК 517.928:517.984

ВОЗМУЩЕНИЕ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА УЗКИМ

ПОТЕНЦИАЛОМ

Р.Р. ГАДЫЛЬШИН, И.Х. ХУСНУЛЛИН

Аннотация. Исследуется дискретный спектр оператора Шредингера на оси, возмущенного потенциалом, зависящим от двух малых параметров, один из которых описывает длину носителя потенциала, а обратное значение второго соответствуют величине потенциала.

Ключевые слова: Оператор Шредингера, возмущение, согласование асимптотический разложений.

1. Введение

В работе рассматривается возмущение дискретного спектра, полуограниченного снизу самосопряженного оператора Шредингера в ¿2(К):

С2

Но := -т^ + ™,

ах2

где № — оператор умножения на локально интегрируемую в К вещественную функцию Ш(х) такую, что

СО

(х)|у(х)|2Сх ^ с> -то (1)

— О

для любых функций у из ¿2(К), для которых этот интеграл существует.

Возмущенный самосопряженный оператор (рассматриваемый также в ¿2(К)) имеет вид:

Нц,£ := — Сх2 + ^ ^ lVe,

где У£ — оператор умножения на функцию V (^), V(£) — вещественная финитная функция из ¿О(К),

^ > 0, 0 < е ^ 1.

Операторы Н0 и Нм>£ понимаются как расширения по Фридрихсу (см., например, [1, Глава VI, § 2]) соответствующих симметричных дифференциальных выражений

С2 С2 / х \

Но = — *3 + Ш(х) н<“ = — ох + Ш(х) + » ¥ У

с со

R.R. Gadyl’shin, I.Kh. Khüsnüllin, Perturbation of the Shrodinger operator by a narrow

POTENTIAL.

© Глдыльшин Р.Р., Хуснуллин И.Х. 2011.

Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ (11-01-00679), Президента России для Ведущих научных школ (НШ-6249.2010.1) и ФЦП (02.740.110612). Работа второго автора поддержана также грантом Президента России для молодых ученых - докторов наук (МД - 453.2010.1).

Поступила 26 августа 2011 г.

А именно, обозначим через (•, •}ь2(к) скалярное произведение в Ь2(К), а через и ^,£ —

квадратичные формы на СО(К), порожденные операторами Н0 и Нм,£:

^о [у] := (HоУ, У)ьт • Ь^,е [у] = (Hv,eУ, У)ьт .

Так как дифференциальные выражения Н0 и Нм,£ симметричны, плотно определены в Ь2(К) и ограничены снизу, то квадратичные формы и ^,£ также симметричны, плотно определены в Ь2(К) и полуограничены снизу, причем, эти формы замыкаемы (см., например, [1, Глава VI, теорема 1.27]). Операторы Н0 и Нм,£ определим как самосопряженные полуограниченные снизу операторы в Ь2(К), ассоциированные с замыканием этих форм (см., например, [1, Глава VI, теорема 2.6]).

В работе исследуется поведение собственных значений оператора Нм,£ при ц,,£ ^ 0.

СО

В случае, когда ^ = £-2, ^ / V(¿) & = 0, аналогичные вопросы исследовались в [2].

-О

2. Формулировка результатов

В следующем разделе будут доказаны следующие два утверждения.

Лемма 1. Собственные значения операторов Н0 (если они существуют) являются простыми.

Лемма 2. Пусть

£^-1 = 0 (1). (2)

Тогда 'К^,£ ^ Н0 при £ ^ 0 в обобщенном смысле.

Из этих двух лемм и [1, Глава IV, Теорема 3.16] вытекает

Теорема 1. Пусть А0 — собственное значение оператора Н0 и выполнено условие (2). Тогда к нему сходится единственное и, к тому же, простое собственное значение Ам,£ оператора Н^,£, а для соответствующего проектора Рм,£ имеет сходимость по норме к проектору Р0, соответствующему собственному значению А0.

Основным содержанием работы является построение полной асимптотики собственного значения Ам,£ при ц,,£ ^ 0. Для этого дополнительно будем предполагать, что V Е СО (К), функция Ш бесконечно дифференцируема в некоторой окрестности нуля (т.е. существует 5 > 0 такое, что Ш Е СО[-5, 5]). Для строгого обоснования асимптотик понадобится более жесткое условие нежели (2). А именно, будем считать, что существует 7 > 0, такое что

£^-1 = О (£7) . (3)

Всюду далее будем обозначать через ф0 нормированную в Ь2(К) собственную функцию

оператора Н0, соответствующую собственному значению А0, и использовать следующее

обозначение:

СО

(#со):= ^ <&.

-О

В работе будет доказана следующая

Теорема 2. Собственное значение Ам,£ оператора Н^,£, сходящееся к А0, имеет асимптотику

О г

А",£ = А0 + ТТ £>-1' А« • (4)

г=1 ¿=1

где

Аи = "0о(0) (V(()). (5)

Если

^0(0) ^СФ = 0, (6)

то

А.,. = 0. (7)

Если

(V («)) = 0, (8)

то

А2,1 = 2^0 (0)^0 (0) (¿V(¿)). (9)

Если

^0(0) = 0, (10)

то

А.+м =0, (11)

Аз,1 =«,(0))2 (Л'(()). (12)

Из теоремы вытекает

Следствие 1. Если имеет место равенство (8), то

Ам,£ = А0 + £2^-1А2,1 + О (£3^-2) ,

где А2,1 определяется равенством (9).

Если имеет место равенство (10), то

А^£ = А0 + £3^-1Аз,1 + О (£4^-2) , где А3,1 определяется равенством (12).

3. Доказательство лемм 1 и 2

Доказательство леммы 1. Допустим, что оператор Н0 имеет две линейно независимые собственные функции у1, у2, соответствующие собственному значению А0. Следовательно,

(У)Ь2(К) = (Ау. - Шу.,^)Ь2(к) (13)

для любой функции V Е Ш2 (К). Обозначим через т определитель Вронского функций у1

и у2:

т := у1у2 - у2у!.

По определению производной обобщенной функции (см., например, [3]), для любой функции Е СО (К) имеем

(т',^) = - (у1у2 - у2у'2 ^) .

Так как у1,у2 Е Ш2(К), то у1у2, у2у' Е Ь1 (К). Поэтому

(т', ^ = - (у 1 у2, ^'^(К) + (у2у 1 У^К) . (14)

Так как у. Е Ш2 (К), то для любой функции СО (К) имеем:

СО О

(у1у2, Л2(щ = У у1 у2= J у2 ((у^У - у'^

-О -О

О

= (у2 ^ (у1^)2)ь2(к) - у' у2

Аналогично,

О

(у1 у2,^ )ь2(Ш) = (у1, (у2^) )ь2(Ш) - J у1 у2

-О

Из последних двух равенств и (14) следует, что

(т , ^) = — (у2, (у1^) )Ь2(Ж) + (у1, (у2^) )Ь2(Ж) .

Из этого равенства и равенства (13) последовательно получаем, что

= - (Ау2 - Шу2,у1^)Ь2(К) + (Ау1 - ШуЬу2^)Ь2(К) = 0.

Откуда следует, что т = С, где С — константа. Но, так как т Е Ь1 (К), то очевидно, что С = 0. Это означает, что у1,у2 -линейно зависимы. Из полученного противоречия следует справедливость леммы 1. □

Доказательство леммы 2. Из определения форм и ()«,£ и функции V следует, что

|(^,£ - ^о)[у]| = V

1

V (Ж) |у(ж)|2^ж

где С > 0 — некоторые фиксированные числа, а > 0 — любое число такое, что suppV(ж) С [-а, а]. Аналогично доказательству неравенства Фридрихса нетрудно доказать следующий его аналог (см., например, [4]):

£а о

J |у|2^ж ^ С1£ У (|у/|2 + |у|2

- £а -о

где С1 — некоторая константа, независящая от у Е СО (К). Следовательно,

О

|(^,£ - М[у]| ^ С2^-1^ (|у/|2 + Ы2)^.

-О

А так как

О О

^о[у] = У |у'|2^ж +! Ш ^у^2^

-О -О

то в силу (1) получаем следующую оценку:

О

|(^,£ - ^о)[у]| ^ - С2^-1^ (Ш(ж) - 1)|у(ж)|2^ж + С2^-1£^о[у]

-О

^С2^-1£ ^|с - 1| У |у(ж)|2^ж + Му]^ .

Так как квадратичные формы и ^,£ плотно определены в Ь2(К), ограничены снизу и замыкаемы, а ^-1£ ^ 0 при £ ^ 0 силу (2), то из последней оценки и [1, Глава VI, теорема 3.6] следует справедливость утверждения доказываемой леммы. □

4. Построение Асимптотик

При построении асимптотик собственного значения Лм,£ и соответствующей собственной функции '0М,£ будет использоваться метод согласования асимптотических разложений [5].

Из теоремы 1 вытекает, что для нормированной в Ь2(К) собственной функции ^м,£, соответствующей собственному значению Лм,£, сходящемуся к Ло, имеет место сходимость ^ ^0 в Ь2(К). Поэтому вне окрестности начала координат (где и сосредоточено возмущение оператора НМ;£) асимптотику (внешние разложения) функции по аналогии с (4) будем искать в виде

ГО i

^ех,±(ж,^,е) =^о(х) + е^-7^(х), х е Е±. (15)

i=l 7=1

Вне окрестности нуля V (X) = 0. А так как и внешние разложения будут использоваться вне окрестности нуля, то в силу определения операторов Нм>£, Н0 получаем следующие уравнения (в обобщенном смысле) для внешних разложений:

Яо^еж>± = Л^еж’±, х е Е±.

Здесь и всюду далее, К± = {х : ±х > 0}. Подставляя в эти уравнения ряды (4) и (15) и собирая коэффициенты при одинаковых степенях е,^, получаем, очевидно, выполненное равенство

Яо^о = Ло^о (16)

и следующие уравнения для остальных коэффициентов внешних разложений:

^ 1 7-1

е>-7 : Яо^± =Л*,7^о + Ло^±/ + ЛР,д^-р,7—д, х е Е±> (17)

р=1 д=1

где г > 1, 1 ^ ^ г. Всюду далее на коэффициенты ^±7 будем накладывать нормиро-

%3

вочные условия:

о СО

J ^-7^о ¿х + J ^+7^о ¿х = 0. (18)

— го о

Решения уравнений (17) рассматриваются в Ш22 1ос (К±) П Ь2(К±). А так как функция Ш бесконечно дифференцируемая в окрестности нуля, то для любых постоянных Лi, 7 решения ^±7 системы рекуррентных уравнений (17) из Ш22 1ос (К±) принадлежат СГО[0, £], СГО[—^, 0], соответственно.

В окрестности начала координат асимптотику (внутреннее разложение) функции ’ £ естественно искать в виде разложения по функциям, зависящим от переменой £ = хе-1, соответствующей длине носителя возмущающего потенциала V (^).

Структура внутреннего разложения ,0т(£,^,е) определяется из следующих соображений. Ряды Тейлора в нуле коэффициентов внешних разложений имеют вид:

^0(х) = Рк0)(х), рк0)(х) = , х ^ 0,

к=0 к (19)

. . Г?/;±Л(к) (0)

^(х)=£ ріг,",±)(х) = —^—хк, х ^ ±0.

к=0

Подставляя в (15) вместо функций *0(х) и (х) их асимптотики в нуле (19) и делая

замену переменной х = £е, получаем, что

ОО СО І

*“.±(х,Ле) = £еЧо(£) + ЕЕе>"^±(£), £е ^±0, (20)

i=l i=l 7=1

где

Ко(£) =Р(0)(£), V*(£) = Е РГ"^Ю, 1 « 3 < г. (21)

4=о

В соответствии с методом согласования асимптотических разложений внутреннее разложение будем искать в виде

СО со i

*“(£, /<, е) = Е еЧо(£) + ЕЕ е>-■7 «« (£), (22)

i=l i=l 7=1

где

Чо(£) = ^.оС^ ’ад(£) = ^¿±(£) £ ^ ±^. (23)

Подставляя ряды (4) и (22) в уравнение

Ям.£ *п = ЛЛ£*™,

заменяя в нем функцию Ш(х) на ее разложение в ряд Тейлора в нуле, переходя к переменной £ = хе-1 и собирая коэффициенты при одинаковых степенях е, д, получаем следующие уравнения для коэффициентов внутреннего разложения:

е : ¿Х° = у2 Ш^-’Ь-‘2)(0) ^-4-2„ Л - г ^ 0 (24)

е : ~-£Т = 2, (г - г - 2)! £ ^ - Л(^—^ ^ 0, (24)

i—2

i -7 ¿2г„'_^ Ш^—*-2)(0).i—4-2 ,

еД : Ж = ^ (г - г - 2)! £ ^ - Ло^-227 +

*=0 i—1 7-1 (25)

+ V(£)г^-2.7-1 I ^ Лр.др-2.7-д, 1 ^ 3 ^ г

р=1 д=1

Для краткости обозначений, здесь и всюду далее, коэффициенты Лр.5, гр.8, индексы которых не соответствуют индексам из (4) и (20), понимаются равными нулю.

Таким образом, согласование асимптотических разложений свелось к доказательству существования постоянных Л^7- таких, что для решений уравнений (17), (18) и уравнений (24), (25) справедливы равенства (23).

В силу определения (21), (19) многочленов ^.о и уравнения (16) функции

-о.о(£) =*>(0), -1.о(£) = *о(0)£, «м(£) = £к, к » 2, (2в)

удовлетворяют (24), (23).

Уравнения (17) для имеют вид:

i—1

Яо*± =Ло*± + ЛМ*о + Е Лр.р*±p.i—p, х е ^ г ^ 1. (27)

р=1

Выведем условие сопряжения для * i в нуле из условий согласования (23). Уравнения (25) и равенства (21), (19) для и имеют вид:

-Ч’" =0, V*(£) = *±Д0), г > 1. (28)

Для функций и е СГО[-^, 0] и и + е СГО[0,£] введем обозначения:

[и](0) := и+(0) - и-(0), [и'](0) := (и+)'(0) - (и")'(0).

Из (28) и условия согласования (23) для последовательно вытекает, что

М(0)=0, г > 1, (29)

гМ(£) =^±(£) = *+(0) = *М(0) := *М(0У г ^ 1. (30)

Уравнения (25) и равенства (21), (19) для и Vi+1 i имеют вид:

(£)г4-„-ь г > 1 (31)

^+1 д(£) = Ш'(0)£ + *+1 ,(0), г » 1. (32)

Учитывая (26) получаем, что функции

5 т

-2.1 (£) =*о(0) / [ V(г)-г-т + а2.1£ + &2.1,

— го —го

(33)

’7+1,7(£) =*7-1,7-1(0) / V(^^т + а7+1,7£ + Ь7+1,7, І ^ 2,

— ГО —ГО

при любых постоянных ар+1.р, Ьр+1.р являются решениями уравнений (31). Из (33) вытекает, что

гi+l,i(£) =^+м£ + ^+М, £ ^ -^, г ^ 1, г2.1(£) =*0(0) ((V(г))£-(^(г)))+ а2.1£ + Ь2.1, £^ (34)

’7+1.7(£) =*7-1.7—1(0) ((V(г))£ - (¿V(г))) + ( )

+ а7+1.7£ + Ь7+1.7, £ ^ 3 ^ 2.

Сравнивая (32) и правые части (34), получаем справедливость следующего утверждения.

Лемма 3. Если выполняются следующие условия сопряжения в нуле

[*1.1](0) = *о(0) (V(г)) , [*7.7](0)= *7-1.7-1(0) (V(г)) , 3 ^ 2, (35)

то существуют постоянные при которых

’2,1(£) — ^2+1(£) =Ь2,1 — *2+1 (0) — *0(0) (^(^)) , £ ^ +^

’2,1(£) — ^2,1(£) =Ь2,1 — *2,1 (0) , £ ^ —TO,

’7+1,7(£) - ^+1,7(£) =Ь7+1,7 - *7+1,7(0) - *7-1,7—1(0) (^(і)) , £ ^ +^ ’7+1,7(£) — ^7+1,7(£) =Ь7+1,7 — *7+1,7(0), £ ^ —то, І ^ 2

Если, к тому же,

[*2,1 ] (0) = - *0(0) (tV(^)) ,

[*7+1,7](0) = - *7-1,7-1(0) (^(і)) , І ^ 2,

то существуют и постоянные Ьі+1,і, при которых

’і+1,і(£) - ^^+1,г(£) = 0, £ ^ ±^

т.е. выполняется (23) для І = і + 1.

Аналогично [4] легко показать справедливость следующего утверждения.

(36)

Лемма 4. Пусть е Ь2(К±), ^+ е СГО[0,£], ^ е СГО[-£, 0] и

0

J ^ *0 -х + J ^+*0 -х = 0.

—го о

Тогда для любых чисел а, в существуют функции и± е Ш221ос (К±) П Ь2(К±), и + е СГО[0,£], и- е СГО[-£,0], являющиеся решениями краевой задачи

Яои± = Лои± + + Л*о, х ^ 0, [и](0) = в, [и'](0) = а,

0 го

J и- *0 -х + J и+*0 -х = 0

—го 0

при

Л = а*о(0) - в*0 (0).

Из леммы вытекает

Следствие 2. Если *о(0) = в = 0, то Л = 0.

Из этой леммы следует, что при Л1.1, определяемом равенством (5),

Лр.р = *о(0) < V(г) > Лр.р, р ^ 2, (38)

где Лрр — некоторые постоянные, существуют функции вида

*±(х) = *0(0) < V(г) > г ^ 1, (39)

удовлетворяющие (27), (29), (35), (18). Найдя *±Дх), окончательно определяем в соответствии (30), добиваемся условия согласования (23) для г^, а в силу леммы 3 находим функции с точностью до произвольных слагаемых ^+^, добиваясь равенства (36)

для '^+1^.

Из (5), (38), (39), (30), в частности, следует, что

если *о(0) (V(г)) = 0, то *±Дх) = гм(£) = Лi.i = 0, г ^ 1. (40)

Перейдем к следующим шагам построения асимптотик. Обозначим

Л±(£) := V*(£) - (*±—1.7)'(0)£ - (0), 1 ^ з ^ г - 1. (41)

В силу уравнения (17) и определений (21), (19), (41) многочленов V*, У;* получаем справедливость следующего утверждения.

Лемма 5. Многочлены Т^±(£) могут зависеть только от Лр.д и (х) при

р ^ 3 - 1,д ^ 3 и удовлетворяют равенствам

(ц±)' (0) = ^(0) = 0 ^ »’<і-'-2) (0),,-,-

¿£2 £* (і - « - 2)!

Г'-2^ - Л0^±2.7+

*=0

і-1 7-1

р=1 д=1

В [4] показана справедливость следующего утверждения.

Лемма 6. Пусть функция / е СГО(К) совпадает с многочленами / ±(£) при £ ^ ±то, а для многочленов Л±(£) справедливы равенства

-2 гЛ±

/ ±, (Л±)'(0)= Л±(0) = 0.

(42)

- 2

Тогда для общего решения уравнения

-2 г -ё

справедливы равенства

г(£)=л-(£) + а£ + Ь £ ^-ТО г(£) =Л+(£) + А£ + В + а£ + Ь, £ ^ +то, где А, В — некоторые константы, зависящие от /, а а, Ь — произвольные постоянные. На следующем шаге в силу лемм 5, 6 находим решения гд+2.д уравнений (25) такие, что

гд+2.д(£) - К;+2.д(£) = (Ад+2.д + ад+2.д - (*+-1.д) (0)) £+

+ Вд+2.д + Ьд+2.д - *++2.д(0), £^

гд+2.д(£) - Кд+2.д(£) = (ад+2.д - (*д+1.д) (0)) £+

+ Ьд+2.д - *+2.д(0), £ ^ -ТО 5 ^ 1,

где Ад+2.д, Вд+2.д — вполне определенные постоянные, которые не зависят от Ар+2.р, Вр+2.р при р > 5, а ад+2.д, Ьд+2.д — произвольные постоянные. Помимо условий сопряжения (37) наложим и условия сопряжения

[* +..„](0) = А,+2.,, 5 > 1. (43)

В силу леммы 4 существуют постоянные Лд+1д и функции *+1д (х), удовлетворяющие (17), (18) при г = д + 1,3 = д и условиям сопряжения (37), (43). Определив *±+1 д(х), последовательно находим Ьд+1.д, ад+1.д, окончательно определяем функции гд+1.д (£), добиваясь равенств гд+1.д(£) = ^+1. д(£) при £ ^ ±то, и функции гд+2.д(£) с точностью до произвольных слагаемых Ьд+2 .д, добиваясь равенств

гд+2.д(£) - ^+2 .д(£) =Вд+2 .д + Ьд+2 .д - *++2 .д(0), £ ^ + ^

гд+2 .д(£) - К+2.д(£) =Ьд+2.д - *-+2 .д(0), £ ^ -ТО д ^ 1

(аналог равенств (36) на предыдущем шагу). И так далее.

В результате получаем справедливость следующей леммы

Лемма 7. Существуют ряды (4), (15), (22) такие, что справедливы равенства (17), (24), (25), (23), где многочлены ^.0(£) и V*(£) определяются равенствами (21), (19). Для коэффициентов этих рядов справедливы равенства (5), (26), (40).

Заметим, что равенства (7) при условии (6) содержатся в (40).

Покажем справедливость равенства (9) при условии (8). В силу леммы 4 имеем:

Л2.1 = [*2.1](0)*0(0) - [*2.1](0)*0(0). (44)

Значение [*2.1](0) определено в (37), а равенство (43) при д =1 имеет вид

[*2.1](0)= А3.„ (45)

причем,

г3.1(£) = (А3.1 + а3.1) £ + В3.1 + Ь3.1, £ ^ + то

гз.1(£) =аз.1£ + Ь3.1, £ ^-то

согласно (42), а г3.1 решение уравнения (25) при г = 3, 3 = 1. Так как г1.1(£) = 0, г1.0(£) = *0(0)£ в силу (40) и (26) соответственно, то уравнение (25) для г3.1 имеет вид

-2г3.1

=*о(0М£)£. (47)

—£2

Следовательно,

5 т

г3д(£) =*0(0) / [ ¿V(г)-г-т + а3д£ + 63.1, (48)

-ГО -ГО

а А3.1 = *0(0) (¿V(г)). Из этого равенства и равенств (37), (45), (44) вытекает равенство (9) при условии (8).

Покажем справедливость равенств (11) при условии (10). Так как — 0 при 3 ^ 0 в силу (40) и равенства г0.0(£) — *0(0) = 0, то с учетом уравнений (31) и следствия 2 справедливость этих равенств вытекает из следующей цепочки:

—2 -ё2

^ [*^+м ](0) = 0 ^ Лi+l.i = 0.

г7.7 — ° 3 ^ 0 ^ —¿2^+1^ — 0, г ^ 1 ^ г^+М(£) — ^+М£ + Ь^+1.'

Осталось показать справедливость равенства (12) при условии (10). В силу леммы 4 имеем:

Л3.1 = -[*3.1](0)*0 (0). (49)

Так как г1.1(£) = 0, а г1.0(£) = *0(0)£ в силу (26), то уравнение (25) для г3.1 опять имеет вид (47). Следовательно, справедливы равенство (48) и (46), где В3.1 = -*0 (0) (г^). Так как [*3.1](0) = В3.1, то из (49) следует равенство (12).

5. Обоснование Асимптотик

Пусть х(х) е СГО(К) — срезающая функция, равная нулю при |х| < 1 и — единице при |х| > 2, (е,д), **(х,е,д) и Лм(£,е,д) - частичные суммы по е до порядка N включи-

тельно рядов (4), (15) и (22), соответственно. Обозначим

(хе Д) :=Х (хе-2) (*+(x,е, Д) + *-(x,е, +

+ (1 - X (хе-Лм (хе-1 ,е, д) .

Из определения Фм следует, что эта функция принадлежит области определения оператора Нм.£ (совпадающей с областью определения оператора Но) и

||ФМ II ¿2 (К) ^ 1, е ^ 0. (50)

Следующая лемма доказывается на основе утверждений леммы 7.

Лемма 8. Справедливо равенство

н^.ефм = Лм , (51)

где

II||ь2(к) = О (е 2 -1 + етМ-^ . (52)

Доказательство. Из определений Фм и Нм.е следует, что

= ^1.м + ^2.м + ^3.м, (53)

где

^1.м(х,е,д) =х (хе-^ (Яо - (*+ (х,е,д) + *-(х,е,д)) ,

^2.М(х,е, д) = (1 - X (хе-^ (ям.£ - Лм (хе-\е, д) ,

, ^ ^ \ —2 / 1 \

^3.м(х,е,д) = - (*+ (х,е,д) + *- (х,е,д) - Лм (хе-1,е,^ —х2X (хе--

- 2-х (*+ (х,е,Д) + *— (х,е,Д) - Лм (хе-1,е,д)) —хХ (хе-2

Из определения ^\.м и равенств (17) следует, что

||^1.м||Ь2(К) = О (ем+1д-м—1) . (54)

Так как носитель функции ^2.м лежит в отрезке [-2е1, 2е1 ], г^-(£) = O(£i—7) при £ ^ ±то (см. (23), (21), (19)), то в силу равенств (24), (25) получаем следующую оценку:

К.« 1кт = О ^е 12-4 (е2 + Д\ +е4 (Д\ ^1 + Дд)) . (55)

Из определений (21), (19) многочленов и равенств (23) также следует, что при х е [-2е 2, - е1 ] и [е 2, 2е1 ] верно дифференцируемое равенство

*+ (х, е, д) + *-(х, е, д) - Лм (хе-1, е, д) =

О ( хм+1 + (х Так как носитель функции ^3.м лежит в [-2е2, -е1 ] и [е2, 2е1 ] и

- / _!\ _1ч —

-х

то из (56) следует оценка

\ м

_ е ' 2

(56)

/ \ ^2 / \

X (же-4) = °(е-1), —X (хе-2) = 0(е-1),

^3,М ІІІ2 (К) = 0 (е 4 (^е 2 + | . (57)

Д,

Из (53), (54), (55), (57) и (3) вытекает оценка (52). □

В силу оценки резольвенты для линейных самосопряженных операторов (см., например, [1, Глава V, § 3]) для решения уравнения (51) имеем:

II ¿2 (К)

||фм II ¿2 (К) ^

Л^.£ - Ам

Из этой оценки, леммы 8 и (50) вытекает равенство

А*6 - Л

N

О (е "2-1 + е^-1^

Отсюда в силу произвола в выборе N получаем, что построенный ряд (4) является полным асимптотическим разложением собственного значения ЛЛ£.

Теорема 2 доказана полностью.

В заключение авторы выражают признательность Д.И. Борисову за полезные замечания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов М.: Мир. 1972.

2. Головатий Ю.Д., Манько С.С. Точні моделi для операторів Шредингера з S' подобніми потенціалами // Україньский математичний вісник. Т. 6, № 2. 2009. С. 173-207.

3. Владимиров В.С., Жаринов В.В. Уравнения математической физики М.: Физматлит, 2004.

4. Хуснуллин И.Х. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера на отрезке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 50, № 4. 2010. С. 679-698.

5. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач М.: Наука, 1989.

Рустем Рашитович Гадыльшин,

Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской рев., 3а,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: gadylshin@yandex.ru

Ильфат Хамзиевич Хуснуллин,

Башкирский государственный педагогический университет им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской рев., 3а,

450000, г. Уфа, Россия E-mail: Khusnullini@yandex.ru