Возмущение нелинейного уравнения второго порядка дельта-образным потенциалом Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 30-42.

УДК 517.927.2:517.928

УДК 517.927.2:517.928

ВОЗМУЩЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЕЛЬТА-ОБРАЗНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

Т.Р. ГАДЫЛЫНИН, Ф.Х.МУКМИНОВ

Аннотация. Рассматриваются краевые задачи на ограниченных и неограниченных интервалах / числовой оси для одномерного квазилинейного уравнения второго порядка. Уравнение возмущено дельта-образным потенциалом e-1Q (е-1ж), где Q(£) — финитная функция, 0 < е ^ 1. Среднее значение (Q) может быть и отрицательным, но ограничено снизу (Q) ^ —то- Число то определяется коэффициентами уравнения. Изучается вопрос о скорости стремления решения возмущенной задачи и£ к решению предельной задачи ио при стремлении параметра е к нулю. В случае ограниченного интервала I установлена оценка вида |us(x) — ио (ж)| < Се. Для неограниченного интервала I установлена более слабая оценка |«£(ж) — u0(x)l < Се1/2. Доказательства оценок получены использованием оригинальных срезающих функций в качестве пробных функций. Для простоты рассуждений доказательство существования решений возмущенной и предельной задач проведено методом сжимающих отображений. Недостатком такого подхода, как известно, является требование малости нелинейно-стей, входящих в уравнение. Рассмотрены граничные условия первого, второго и третьего типа.

Ключевые слова: нелинейное уравнение второго порядка, дельта-образный потенциал, малый параметр.

Mathematics Subject Classification: 34Е15

1. Введение

Пусть I — либо конечный интервал (а, Ь), либо полуоси (а, то), (—то,Ь), либо вся ось (—то, то), {0} G I, а < — 1, b > 1, П := I х (—то, то) 0 < е ^ 1. Обозначим через С и С£ отображения из проетранетва W2,(I) в пространство обощенных функций D'(I) следующего вида:

d/ dw\ d

Lu = -— к (x,u) — + —p(x, u) + qi (x, u) + q2(x)u, dx \ dx J dx

С = С + s-1Q(^).

На функции, входящие в С, накладываются следующие условия: k,p,q1 G С 1(П) q2,

Q G С (I) ' '

0 <qo < q2(х) ^ q2, |Q(z)| ^ Q, х G I; 0 < к0 ^ к(х, s), (х, s) G П;

lk(x,s)l ^ к(М), х G I, |s| ^ М, (1)

T.R. Gadylshin, F.Kh. Mukminov, Perturbation of second order nonlinear equations by

delta-like potential.

©Гадылылин Т.P., Мукминов Ф.Х. 2018. Работа поддержана РФФИ (грант 15-01-07920а). Поступила 16 сентября 2017 г.

при любом М > 0,

Не ограничивая общность, можно считать, что р(х, 0) = 0, дг(х, 0) = 0. Действительно,

а а

—р(х,и) + дг(х,и) = — (р(х,и) - р(х, 0)) + р(х, 0) + (дг(х,и) - дг(х, 0)) + дАх, 0), ах ах

и слагаемые р(х, 0)' + дг(х, 0) переносятся в правую часть у равнения Си = f.

Будем считать, что вирр Q С [-1,1], Наложим следующее ограничение на среднее значение функции Q

{Q) := j Q(t)dr > - minjfcc; g0}/4. (2)

-1

To есть среднее значение {Q) может быть и отрицательным.

Нелинейности, входящие в оператор С, предполагаются малыми в следующем смысле. Обозначим

mkq = minjfcc; д0], j = 4mkq, Kg(M) = sup lgs(x,u)l ,

где g(x, s) — произвольная гладкая функция. Положим для некоторого М

А(М) = к0-1 (2(к(М) + д2 + mkq) + Щ М. (3)

Предполагается, что существуют такие постоянные М и ry1 е (0,7), что выполнены неравенства

6КР(2М) + 2Kk(2М)А + 2Kqi (2М) < 71; (4)

(ра(М) - ha)Ha ^ 0, Ра(М) = sup lps(a, s)|; (5)

\s\^M

(pb(M) + hb)Hb > 0, Pb(M) = in^ ЫМ1. (6)

Класс нелинейностей, удовлетворяющих приведенным условиям, достаточно широк. Пусть, например, нелинейности пропорциональны малому параметру ß: к(х, s) = ßk1(x, s) + к(х, 0), к1(х, s) ^ 0,

р(х, s) = ßp(x, s), д1(х, s) = ßg^x, s).

Тогда для констант Липшица справедливы формулы вида КР(М) = ßKp(M), поэтому условия малости будут выполнены при любом достаточно большом М, если выбрать достаточно малое ß. В частности, в случае линейного оператора С, когда ß = 0 число М может быть произвольным,

В случае когда I — конечный интервал (а,Ь), рассмотрим краевую задачу

Сеи£ = f, х е I, 1аи£ = 0, 1ьи£ = 0; (7)

du£ du£

lau£ := hau£(a) — Hak(a,u£(a))——(a), lbu£ := hbu£(b) + Hhk(b,u£(b))——(b),

dx dx

где ha, hb ^ 0 Ha, Hb — либо 0 либо 1, ha + Ha > 0, hb + Hb > 0, Если же I — полуоси

(а, <х>), (—ж, Ь) или вся ось (—то, то), то краевые условия в бесконечно удаленных точках

формально ставятся в виде пределов

lim и(х) = 0,

но фактически они обеспечиваются выбором пространств, в которых ищется решение задачи, В дальнейшем рассматриваются все четыре вида интервалов I, причем, для краткости формулировок, для всех них будем использовать запись (7),

1

Аналогично понимается краевая задача

Сщ = f, х Е /\{0}, (8)

1ащ = 0, 1ьщ = 0, Ц0,ио(0))К}(0) = (Q) ио(0), (9)

где использовано обозначение

{h} (0) := h(+0) - h(-0).

Основной целью работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Пусть I = (а, Ь) конечный интервал и выполнены условия (1), (2), (4) -(6). Тогда для любого f Е L2(I) такого, что ||/||L2(i) ^ /2, для решения и£ краевой задачи (7) справедливо неравенство

Ы - ио\\с(I) < C£, где и0 решение краевой задачи (8), (9).

В случае неограниченного интервала I установлено более слабое утверждение.

Теорема 2. Пусть выполнены условия (1), (2), (4) - (6) . Тогда, для любого f Е L2(I) такого, что \\f \\l2(i) ^ ^iM/2, для решения и£ краевой задачи (7) справедливо неравенство

\К - ио\\с(-1) < Се1, где и0 решение краевой задачи, (8), (9).

Ранее аналогичные результаты (с использованием другой техники) были установлены в работе авторов [1] для полулинейного уравнения с коэффициентом к = к(х), не зависящим от и.

В задаче (8), (9) фактически присутствует оператор Си + 5(х)и, являющийся сингулярным возмущением нелинейного оператора Си. В книге [2] рассмотрен самосопряженный оператор, порождаемый дифференциальным выражением

Н£ = + (е-1х), V Е h(R),

ах2

на вещественой оси, и доказано существование резольвентного предела [2, Theorem 3,2,3]

п - lim(#£ - к2)-1 = (Да - к2)-1,

£^0

где Д„ = - + aS(x), а = fR V(x)dx. В работе [3] рассмотрен самосопряженный оператор порождаемый дифференциальным выражением

а2

- d^ + W(Ж)+ ^-1у (£-1х), V'W Е L^(R),

на вещественой оси, где V имеет ограниченный носитель. Построена полная асимптотика простого собственного значения оператора £ при ^ 0.

В работе [4] рассматриваются краевые задачи па отрезке [a, b] для уравнения Шрё-дингера с потенциалом в виде суммы q(x,^-1x) + e-1Q(e-1x), где q(x,y) является 1-периодичеекой по у функцией, Q(x) есть финитная функция, 0 Е (а,Ь), - малые положительные параметры. На основе комбинации метода усреднения и метода согласования асимптотических разложений построены решения этих краевых задач с точностью до + е).

Известно много результатов, касающихся линейных операторов с сингулярными коэффициентами, В работе [5] дается корректное определение оператора Штурма-Лиувилля

hy = -у"(х)+ и£(х)у(х)

и доказывается существование резольвентного предела в случае, когда и£ ^ и € Ь2 (0,1). В работе [6] эти результаты распространены на линейные операторы высокого (четного) порядка,

В работе [7] в пространстве Ь2([0, то)\Х), X = {х^}°=ь рассматривается оператор Нх,а, порожденный дифференциальным выражением

¿2 ~ 1х,а = — ^Х2 + ^^ (хХ — Х3 ).

3 = 1

Исследуются свойства самосопряженности, полуограниченности снизу и дискретности спектра оператора Нх>а в случае, когда т£{х^ — х^}^ = 0.

В работах [8, 9] рассматриваются возмущения нестационарного уравнения Шредингера потенциалами с малым носителем, В частности, в [8] доказано, что если неотрицательные потенциалы Ут(х) € Ь2(Мга) имеют компактные носители 8т, емкости которых стремятся к нулю при т ^ то, то соответствующие полугруппы стремятся к полугруппе невозмущенного уравнения, В [9] этот результат распространен на более широкий класс потенциалов. Тот факт, что дельтаобразный потенциал аппроксимирует дельта-взаимодействие, принципиально одномерен. Математическое исследование многомерного оператора —А + 5(х) было предпринято в работе [10], из которой следует, что он не может быть однозначно и корректно определен, В работе [11] доказано, в частности, что операторы (—А)5 + Ут(х) резольвентно сходятся к оператору (—А)5 + где Бр — многообразие размерности 1 ^ р ^ п — 1 , если 5 > (п — р)/2 и потенциалы Ут(х) сходятся к 5зр в смысле распределений,

В работе [12] изучаются операторы —А + Ут(х) с потенциалами Ут(х) из некоторого пространства мультипликаторов. Доказано, в частности, что сходимость потенциалов в пространстве мультипликаторов влечет равномерную резольвентную сходимость операторов, Этот результат обобщается в работе [13] на некоторый класс сильно эллиптических операторов высокого порядка.

Отметим еще работу [14], в которой найдено необходимое и достаточное условие ограниченности в соболевском пространстве оператора а^д^В^ + Ь^д^ +сс коэффициентами а^, Ь^ с из пространства распределений.

Разрешимость задачи (7) в случае гладких коэффициентов установлена в работе [15], Если правая часть $ € Ь\(1) только суммируемая, то требуется иная техника, см, например, [16] и имеющиеся там ссылки, К сожалению, нам не удалось найти работы по разрешимости задачи (8), (9), поэтому в следующем параграфе будет доказано существование решений задачи (8), (9) простейшим методом сжимающих отображений. Этот метод вынудил нас ограничиться малыми нелинейностями. Ради полноты изложения, параллельно излагается и разрешимость задачи (7),

2. Разрешимость краевых задач (7) и (8), (9) Для функции т € С(I) рассмотрим следующие билинейные формы на Ш2(1)\

(и, у)ш = ( к(х,т)и'у' + д2(х)иу) ¿х

(и, у)'ш>г = У (к(х, т)и'ь' + (д_2(х) + Г£ 1(((х)) иь^ ¿х + (1 — г) ((} и(0)г;(0)

I

где г = 1 или г = 0,

В силу условий к(х,и) ^ к0 > 0, д2(х) ^ ^ > 0 и (1) очевидны неравенства

ткя Ыш^аР) ^ (и,и)™ ^ СЛи\\щ(а,ЪУ

Следовательно, билинейная форма (u,v)w является скалярным произведением в W2,(I), эквивалентным классическому.

Линейное нормированное пространство W\(с, d) вложено в С[c,d] (см., например, [17, Глава III, § 6]), В частности, ||w||c[од] ^ 1М1ж1(од). Следовательно,

\\u\\c[cA ^Mwi(С4), Уи Е W\(c,d), d - с > 1. (10)

Очевидно, что

и2(0) ^ HlCd) < bA\2wm ^ (mkq)-1(u,u)w, и Е W}(I). (11)

Напомним, что для гладких функций справедливо неравенство Стеклова

d d

j v2dx ^ (d - c)2 j(v')2dx, v(c) = 0.

Обозначим через V гильбертово подпространство

V ={и Е W2,(I)\и(а) = 0}, если I = (а, го) и На = 0,

V ={и Е W2,(I)\u(b) = 0}, если I = (-го,Ь) и Нь = 0,

V ={и Е W2,(I)\и(а) = и(Ь) = 0}, если I = (а,Ь) и На = Нь = 0,

V ={и Е W2,(I)\и(а) = 0}, если I = (а,Ь) и На = 0, но Нъ = 0,

V ={и Е W2,(I)\u(b) = 0}, если I = (a,b) и Нъ = 0, но На = 0, V = W2,(I) в остальных случаях; ||и||у := \M\wi(/).

Лемма 1. Пусть справедливо неравенство (2). Тогда, при достаточно малых £ билинейна,я форма, (u,v)'wr является, скалярным произведением в V, эквивалентным скалярному произведению (u,v)w. При этом, справедливо неравенство

11 МУ ^ (u,u)'w,r. (12)

Доказательство. Установим соотношение

d(u)

J e-1Q(^)и2dx -{Q)u2(0) i

^ 4е1/2Я\\и'\U2(1£)\и\у, и Е V. (13)

Пусть u1,u2,v Е V. Оценим разность

J e-1Q(^)u1vdx - {Q)U2(0)V(0) = (14)

i

/X

e-1Q(-)(rnv - U1(0)^(0))d^ + {Q)(U1 (0) - U2(0))i>(0).

i

Пусть Ie = (-£,£). Очевидны оценки

^ £-1Q\(U1 - m1(0))W + M1(0)(W - w(0))\dx ^

,xs

J £-1Q^)(u1v - U1(0)^(0))dx

I h

1

^ e-1Q(||«1 - U1(0)\L2(Is)\v\L2(Is) + ||ü - v(0)\L2(Is)\U1(0)\L2(Is)) = J.

По неравенству Стеклова и (10)

J ^ ЩиЦ^М^) + \WllL2(Is)l|ul(0)||L2(Is)) < ^ ^Шп^^Му + \W HL^lMy).

Теперь пз (14), при и1 = и2 = у = и следует соотношение (13), а при у = и1 — и2 -неравенство

У £-1Я()иМх — {Я)и2(0)у(0) > (15)

I

> (()у2(0) — 2е^Ши'АыМу + II^кадЫк). Докажем (12), В силу (2), (11), (13), имеем

(и,и)'т,г ^ (и,и)ш + ((()и2(0) — г ¿(и) ^

^ ткдИ2У — ткди2(0)/4 — 4е 1/2Щи'ЦЫ1£)Ци\\у > ъЫу. Последнее неравенство справедливо при достаточно малых е > 0.

Из (11) и (13) следует оценка (и,и)'тг ^ С(и,и)т, завершающая доказательство эквивалентности скалярных произведений (и, у)'ш гъ (и, у)т. □

Положим ка = каНа, Нъ = кьНь. Пусть

(и, :=(и, у)'ш!Г, I = (—ж, ж),

(и, у)ШуГ :=(и, у)'т,г + каио(а)у(а), I = (а, ж),

(и, у)ШуГ :=(и, у)'т,г + кьио(Ь)у(Ь), I = (—ж, Ь),

(и, у)ш>г :=(и, + каи0(а)у(а) + кьи0(Ъ)у(Ъ), I = (а, Ь).

нейная форма (и, у)т,г является скалярным произведением в V эквивалентным исходному скалярному произведению в V. При этом, справедливо неравенство

||и||у ^ (и, и)т,г.

Доказательство легко следует из леммы 1 и неравенства (11). По теореме Рисса (см., например, [17, Глава II, § 3, п. 2]) формула

(и, и)т,г = Р (у), У у е V,

где Р е V' - линейный непрерывный функционал, определяет линейное отображение и = Бт,гР, Бт,г : V' ^ V. Поскольку у ^ (и,и)т,г ^ ЦРЦу< ||и||у, то справедлива

оценка

||и||у = Цв^IV ^Ъ1^||у. (16)

Обобщенные решения нелинейных краевых задач (7) и (8), (9) определяются как функции и£ е V и и0 е V, удовлетворяющие интегральным тождествам

(и£, у)и£,1 = ! /ьЛх — !((гр(х,и£))' + д1(х,и£))у^.х (17)

/ /

(ио , и)и0,о — J — ^((р(х,ио)У + ц_1(х,ио))у&х, (18)

I I

соответственно, при любых у е V.

Заметим, что из (17), (18) и (16) вытекает справедливость следующего утверждения.

Лемма 3. Пусть справедливо неравенство (2). Тогда в линейном случае (т.е., когда к(х,и) = к(х, 0^ р(х,и) = д1(х,и) = 0) краевая задача, (8), (9), а при, достаточно .малых £ и краевая, задача, (7) однозначно разрешимы в №'2(1) и для, их решений справедлива, оценка

||и11 Ш^Ц) ^ СШы1).

Доказательство существования решений нелинейных краевых задач (7) и (8), (9) основано на методе сжимающих отображений.

Лемма 4. Пусть выполнены условия (2), (4). Тогда при любом фиксированном / € Ь2(1) таком, что ^\\ь2(1) ^ /2 краевые задачи, (7) и (8), (9) имеют единственные решения в шаре радиуса М пространства, V. Они, удовлетворяют неравенствам

Ы(х)\\с(I) ^ М, \\щ(х)\\с{1) ^ М. (19)

Доказательство. Зафиксируем / так, чтобы \\f \\ь2(1) ^ ^хМ/2. В пространстве функций из V рассмотрим шар

Вм := [V : \\v\W ^ М},

где М - постоянная из условия малости (4),

Определим оператор И : Вм ^ V', где И действует следующим образом:

[ д

Дад(^) = (/ — —р(х,т) — дх(х,^^))уд.х =

(/у + р(х, т)у' — дх(х, т)у)Дх — р(Ь,т(Ь))у(Ь) + р(а, т(а))у(а).

I

Из (10) следует, что

\\ВМ\У> ^ \\!\ь2(1) + \\р(х,™)\\ь2(1) + \\д\(х,ш)\\Ь2(1) + |р(а,^(а))| + ^Ъ^^. (20)

Оцепим слагаемые в правой части. Так как р Е Сх(П), а т Е С(I) и, в силу (10), \\^(Ж)\\С(Л ^ \\^(ж)\\^ ^ М, то то формуле Лагранжа имеем (р(х, 0) = 0)

\\р(х,1^)\\Ь2(1) = \\ри(х,в(х)ы)-1и\\Ь2(1) ^ КР(М)М.

Аналогично,

\\д1(х,Ш)\\Ь2(1) ^ КЯ1 (М)М.

Далее,

1р(а,ь)(а))1 = 1ри(а,в(а)ь)(а))ь)(а)1 ^ КР(М)М. Учитывая выбор f и условие (4), из (20) получаем

\\Dw\w' ^ ^хМ /2 + 3КР(М )М + К а (М )М ^ ъМ. (21)

Рассмотрим операторы Аг : Вм ^ V, г = 0,1, определяемые формулой и = Аги> = Зш,гБт. Тогда го (16) следует, что \\и||у ^ \\Dw\y ^ М, то есть Аг : Вм ^ Вм. Очевидно, что

(и,у)щг = Бт(ь), У у Е V. (22)

В этих обозначениях краевые задачи (7), (8) приобретают вид и£ = Ахие, и0 = А0и0, соответственно. Следовательно, для доказательства теоремы достаточно показать, что оператор Аг — сжимающий в Вм- Пусть щ = Агух.; и2 = Агу2. Запишем соотношение (22) для щ, и2 и вычтем из первого второе:

(их,у)Ь1,г — (и2 ,у)ь2,г = Оух(у) — БУ2(у).

Дальнейшее доказательство, для определенности, проведем в случае, когда I = (а, ж), На = 1. Рассмотрим развернутую запись этого соотношения

У {у1 (к(х, и1)и'1 — к(х, и2)и'2) + (д2(х) + ге-1((х/еЖ^ — и2)и) dх+

I

+ (1 — г) (О (щ(0) — и2(0)М0) + к(щ(а) — и2(а))у(а) =

= I (,.*)+*(,,*)) — 0 + „(х,,))).,

I

Подставим в это равенство V = щ — и2 и проинтегрируем по частям:

У [ь' (у' к(х,у 1) + (к(х,у 1) — к(х, у2))и'2) + (д2(х) + г£-1О(х/е)) у2](\х+

I

+ (1 — г) (О) у2(0) + Ку2(а) =

= j(у (д1(х, У2) — д1(х, У1)) + (р(х, У1) — р(х, V2))v')dх+

I

+ (р(а, У1(а)) — р(х, У2(а)))у(а). Учитывая (12), приходим к неравенству

ИМ1 ^ КР(2М) [ \у'\ • \У1 — У2^\х + Кр(2М)\у(а)\• \У1(а) — У2(а)\ +

+ Kqi(2М) М ' К - v2ldx + sup Ik(x, У\) - k(x, v2)l \\u2\\v\M\v,

Так как

|k(x, У1) k(x, V2)I ^ K(v 1 - V2)| ^Kk(2М)\\ы - V2\\v, то получаем неравенство

Ji\\v\\v ^ (2KP(2М) + Kk(2М)М + Kqi(2М))\\ы - V2\\v.

Откуда вытекает, что при условии (4) оператор Аг является сжимающим и, следовательно, краевые задачи (7),(8) однозначно разрешимы в шаре Вм- □

Лемма 5. Решение краевой задачи, (7) принадлежит С 1(1). Решение краевой, задачи, (8), (9) принадлежит С(I) П С 1(l \ {0}).

Доказательство. Для доказательства второго пункта введем обозначение 1- = (а, 0) и запишем уравнение (18) при г = 0 для функции v E С^°( 1—

J (k(x,uo)U0v' + q2(x)uov) dx = J vF(щ)dx, i- i-

где F(u) = f - ddaP(x,u) - q1(x,u), F(щ) E P2(^). Это означает, что функция z = k(x,uo)u'0 имеет обобщенную производную z' = q2(x)uo - F(щ) E P2( I-), то есть функция z абсолютно непрерывна на I - и уравнение (8) выполняется почти всюду, щ E С 1( 1-). Получим оценки нормы функций F(щ) = Duo, F(ue) пользуясь неравенством (21):

\\F(щ^^ ^ ЪМ, \\F(ue)\\L2(I) ^ ЪМ.

Отсюда следует оценка

\\z\\c(i-) ^ \\z\\Wi4l_) < k(М)М + ЩМ + ЪМ.

Поэтому

I I u'0 |1 с (I-) < k-1 |1 z |1 C(I-) < к-1(к(М) + q2 + 7l )М = с(М). (23)

Аналогично устанавливается неравенство | | u'011 с(о,ь) ^ c(M). Запишем уравнение (17) при г = 1 для функции v Е С™(1)

У (k(x,u£)(u£)'v' + (q2(x) + £-1Q(-u£v^J dx = J vF(u£)dx. i i

Это означает, что функция z = k(x,u£)(u£)' имеет обобщенную производную z' = q2(x)u£ + e-1Q(x/e)u£ — F(u£) Е L2(I), то есть функция z абсолютно непрерывна па I и уравнение (7) выполняется почти всюду. Функция (u£)' = z/k(x,u£) также абсолютно непрерывна на I. Как и ранее, устанавливается оценка | | z 11 с(а,-£) ^ (к(М) + q2 + 71)М, и из нее получаем, что | | (u£)'| | с(а,-£) ^ с(М), Аналогично, | | (u£)'| | с(£>ъ) ^ с(М). Покажем, что

| | (и£)' | | с (Is) < с(М) + 3k-1QM = ci(M), 11 (u£)' | | L2 {Is) ^ ci(M )V2~S. (24)

Это следует из неравенства

| | e-1Q(x/e)u£| | Llw ^ Q\\u£| | сц£) 11е-111l(is) < 2QM.

Действительно, 11z'11Ll(is) ^ ^/2e(q2 + j1)M + 2QM < 3QM, (при малых е)

/X

z! dx,

откуда выводим неравенства

| | * 11 с(is) < (к(М) + Щ + Ъ)М + 3QM

и (24).

Следствие полностью доказано.

□

3. Доказательство теорем 1,2.

Из (3) следует равенство с(М) + сх(М) = А, тогда из (23), (24) имеем неравенства 1и'01 ^ Д 1(и£)' I ^ А и 1у' I ^ А. Положим V = и£ — щ. Вычтем го (17) соотношение (18) с пробной функцией V вместо V.

(и£,у)^,1 — (щ,г})ио,о = Ои£(и) — Бщ (у).

Запишем последнее в развернутом виде для случая I = (а,Ь)

/ (?)(гО' — к{х,щК) + Ыф + г-^фКУЩ Ь—

— {(^) щ(0)ь(0)+ Иаь(а)ь(а) + %ьу(ь)Ъ(ь) =

= [Ч^) + ^)) — +

После интегрирования по частям в интеграле справа, будем иметь

J[V1 (ь' к(х, и£) + (к(х, и£) — к(х, щ))и'0) + (д2(х)ь + £-1Q(x/£)и£)г>\дх = (25)

I

= J((яАх,и0) — д1(х,и£))ь + (р(х,и£) — р(х,щ))ь'^х + и0(0)^(0) +

I

+ (р(а,и£ (а)) — р(а,щ(а))) ь(а) — каь(а)г}(а).

— (р(Ь,и£(Ь)) — р(Ъ,щ(Ь))) у(Ь) — ¡гьу(Ь)у(Ь).

Проведем некоторые оценки. Ниже пробная функция V будет выбираться так, чтобы выполнялось неравенство ь(х)~и(х) ^ 0, х Е I. Тогда

Ра = (р(а,и£(а)) — р(а,и0(а))) п(а) — каь(а)у(а) = (ри(а, и) — 1га)ь(а)ь(а),

V Е [щ(а),и£(а)]. Поэтому из (5) следует неравенство Ра ^ 0. Аналогично, — (р(Ь,и£(Ь)) — р(Ь,щ(Ь))) у(Ь) — ¡гьу(Ь)у(Ь) ^ 0. Далее,

У ((к(х,и£) — к(х,щ))и'0) | ^ Кк(2М)А^ ф'и^х,

I I

J 1(гр(х,и£) — р(х,щ))ь'^х ^ КР(2М) У |ёх,

I I

У |д1(х,и0) — д1(х,и£)\:ид.х ^ КЯ1 (2М) ^ игз&х.

I I

Теперь из (25) выводим неравенство

У [коЯь' + ((д0 — Кд1 (2М))у + £-^(х/е)и£)Цс1х ^ (26)

I

^ (Кк(2М) А + КР(2М)) I Их + (0)Ц0).

I

Для доказательства теоремы 2 положим в этом соотношении V = V и воспользуемся неравенством (15), Получим

У ( ко — (Кк (2 М) А + КР(2М ))/2)у'2 ах+ (27)

I

+ У ((до — КЯ1 (2М) — (Кк (2М )А + КР(2М ))/2)ю2 Ах ^

I

^ 2 (0) + 2£ ^(¡Ки^'Ц ь2 (1£) \ IУ \ I V + \ | V1 \ \ (1£) \1 щ \ | у).

В силу (2) и (11) имеем неравенство —(Q)^2(0) ^ 11у 11V- Пользуясь (2), (19), получаем из (27)

^\М|у ^ 2в 1/2Щ\|А||^№) + |\М\\у)||V\\у,

откуда следует утверждение теоремы 2,

Приступим к доказательству теоремы 1, Пусть, для определенности, и£(0) ^ ио(0). г;(0) ^ 0."

Положим V = шах(0,^ — ^(0) — Ае). Очевидно, ь(х) = ^(0) + /0 V1 ^ ^ ^(0) + Ае при х Е (—£, е). Поэтому у(х) = 0 при х Е (—е, е). Переопределим у(х) = 0 при х > 0. Из (26) получим неравенство

[ь' + (да — КЯ1 (2 М))ьЩх ^ (28)

^ (Кк(2М) А + КР(2М)) !

1-

Очевидно, что

У \ь'ь\ ^ J ((у')2/2 + ь2/2)&х ^

I- v>v(0)+A£

^ J (у' ь'/2 + V2 + (ь(0) + Ае)2)&х.

-и>'и(0)+Ае

Теперь из (28) выводим неравенство

(

,0 — Кк »' «•>-" >) I V

v>v(0)+As

+ (до — Кк(2М)А — КР(2М) — КЧ1 (2М)) !^¿х ^

-

^ ^Кк(2М)А + Кр(2М) + (2М^ [(ь(0) + Ае)2&х.

-

Поскольку тк1 > 2Кк(2М)А + 2КЯ1 (2М) + 2Кр(2М), то отсюда следует неравенство

Щт N1 Ь(-) ^ т111*11 -) ^ С(ь(0) + Ае)2.

Поэтому у(х) ^ С(0) + Ае\, х Е 1-. Аналогично, полагая V = шах(0, —V — Ае), устанавливаем такое же неравенство для —V (х) и тогда

\ь(х)\ ^ С\и(0) + Ае\, ж Е К. (29)

Конечно, эти неравенства справедливы и па отрезке [0, Ь].

Если 0 ^ ^(0) ^ 2 Ае, то из последнего неравенетва следует оценка (ж)\ < Се. Поэтому далее будем считать, что ^(0) > 2Ае.

Для оценки ^(0) положим теперь V = ш1п(1, шах(0, б1?;)), 9 = (^(0) — Ае)-1. Заметим, что у(х) = у(0) + /0 V1 &х ^ г>(0) — Ае при х Е (—е, е). Поэтому ь(х) = 1 при х Е (—£, е). Очевидно, что V' = в у' при 0 < V < ^(0) — Ае. Установим важное неравенство,

J е-1(<(х/е)и£ш\х — {(<)ио(0)у(0) = ^ е-1<^(х/е)(и£ — щ(0))&с =

I 1с

= У £-1Я(х/е)(щ — и£(0) + г;(0))йс ^ г;(0) « — 2еА(.

1с

Поэтому из (26) получаем соотношение

У [коь'ь' + (да - КЯ1 (2М))уЦС1Х ^ (30)

I

^ (Кк(2М) А + КР(2М)) ! Их - г;(0) {Я) + 2еЩ.

I

Как и ранее, устанавливается оценка

У VИх ^ У в(Ы)2/2 + У2/2)&Х.

I 0<ь<у(0)-Ае

Теперь из (30) получаем

(

- - I ,/,

0<v<v(0)-Ae

+ , „ (Ш) - ) Ах ,

I

^ -V(0) {Q) + leAQ.

Следовательно,

N12С(!) < N1 ^щ.) < -V(0) {Я) + 2еАЯ.

Таким образом, в силу (2)

^ ~А6} = ^ N1) < ^ + К„(2М)) + 2еАЦ,

откуда следует неравенство ■и(О) < Се. Соединяя это с (29), находим, что (х)| < Се.

В случае когда и£(0) < и0(0), следует положить V = —и£ + и0 и повторить приведенные выше рассуждения. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. F.Kh. Mukminov, T.R. Gadvlshin Boundary-value problem for a second-order nonlinear equation with delta-like potential // Proc. Steklov Inst. Math., 292:1 (2016). P. 216-230.

2. S. Albeverio, F. Gesztesv, R. Horgh-Krohn, H. Holder, P. Exner Solvable Models in Quantum Mechanics. A MS Chelsea Publ. 2004. 488 p.

3. Гадылыпин P.P., Хуснуллин И.Х. Возмущение оператора Шредингера узким потенциалом // Уфимский математический журнал, 3:3 (2011) С. 55-66.

4. Гадылыпин Т.Р. Краевые задачи для уравнения Шредингера с быстроосциллирующим и дельта-образным потенциалами // Матем. заметки, 98:6 (2015) С. 842-852.

5. Савчук A.M., Шкаликов А.А. Операторы Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Матем. заметки, 66:6 (1999). С. 897-912.

6. Мирзоев К.А., Шкаликов А.А. Дифференциальные операторы четного порядка с коэффициентами-распределениями // Матем. заметки, 99:56 (2016) С. 788-793.

7. Костенко А.С., Маламуд М.М. Об одномерном операторе Шредингера, с 5-взаимодействиями // Функц. анализ и его прил., 44:2 (2010) С. 87-91.

8. C.N. Friedman Perturbation of the Shrodinquer equation by potentials with small support // J. Functional Analysis,10:3 (1972) P. 346-360.

9. Чуешов И.Д. О возмущении оператора Шредингера потенциалами с м,алым,и, носителями // Матем. заметки, 20:5 (1976) С. 675-680.

10. Березин Ф.А., Фаддеев Л.Д. За,меча,nue о уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом // ДАН СССР, 137:5 (1961) С. 1011 101 !.

11. Фрагела А.К. О возмущении полигармонического оператора с дельтаобразными потенциалами // M а гс.м. сб., 130:3 (1986) С. 386-393.

12. Нейман-заде М.И., Шкаликов А.А. Операторы, Шредингера с сингулярными потенциалами из прост,ранет,в мультипликаторов // Матем. заметки, 66:5 (1999). С. 723-733.

13. МЛ. Neiman-zade and A.A. Shkalikov Strongly Elliptic Operators with Singular Coefficients // Russian Journal of Mathematical Phvsics, 13:1 (2006). P. 70-78.

14. V.G. Maz'va and I.E. Verbitskv Form, Boundedness of the General Second Order Differential Operator // http://www.arxiv.org/math.AP/0411216vl (2004).

15. Вишик M.И. Квазилинейные сильно эллиптические системы дифференциальных уравнений, имеющие дивергентную форму // Тр. МАЮ. 12 (1963). С. 125-184.

16. Кожевникова Л.М. Об энтропийном решении эллиптической задачи в анизотропных пространствах Соболева Орлича // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 57:3 (2017), С. 429-447.

17. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1971. 512 с.

Тимур Руетемович Гадылыпин, УГАТУ, "

ул. Карла Маркса, 12, 450008, г, Уфа, Россия E-mail: [email protected]

Фарит Хамзаевич Мукмииов, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]