О возмущении оператора Шредингера на оси узкими потенциалами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том 7. № 4 (2015). С. 25-33.

УДК 517.928.1

О ВОЗМУЩЕНИИ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА НА ОСИ

УЗКИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ

А.Р. БИКМЕТОВ, В.Ф. ВИЛЬДАНОВА, И.Х. ХУСНУЛЛИН

Аннотация. Рассматривается оператор Шредингера на оси с двумя комплекснознач-ными потенциалами, зависящими от двух малых параметров. Один из этих параметров описывает длину носителей потенциалов, а обратная величина второго соответствует максимальным значениям модулей потенциалов. Получено достаточное условие, при котором из края непрерывного спектра возникает собственное значение и построена его асимптотика.

Ключевые слова: оператор Шредингера, возмущение, асимптотика. Mathematics Subject Classification: 35J10, 34E10

1. Постановка задачи и формулировка результатов

Пусть V.(x) и V2(x) — коплекснозначные функции из (R), x., x2 — произвольные числа (x. < x2), параметры 0 < ^ 1 удовлетворяют соотношению

e^-1 = o(1). (1)

В работе рассматривается оператор

- £ + ^ (Ч ^ + Ч ^ Ь x. <Х2

в Ь2 (К) с областью определения Ш22

Хорошо известно (см., например, [1, Глава V]), что оператор Н0 := — —я в Ь2 областью определения Ш22(К) является самосопряженным, его дискретный спектр пуст, непрерывный спектр совпадает с полуосью [0, +то). Так как функции У^ - финитные, то в силу [1, Глава IV, теоремы 1.1, 5.35]) непрерывный спектр оператора совпадает с полуосью [0, +то) (для случая комплекснозначных функций см., например [2]).

В [3]-[6] изучался эффект возникновения собственных значений из границы непрерывного спектра для оператора Н0 + еШ(х), где Ш(х) - достаточно быстро убывающий на бесконечности вещественный потенциал. В [3] был рассмотрен случай, когда функция Ш(ж) удовлетворяет условию |Ш(ж)|(1 + х2)^х < то. Показано, что если Ш^ 0 то оператор Н0 + еШ(х) имеет единственное собственное значение. В [4] рассматривался более широкий класс функций Ш(х), для которых |Ш(х)|(1+х2)^х = то. Рассмотрено три случая, когда Ш(х) при х ^ то ведет себя как —ах-в. Показано, что при 2 < в < 3 результаты

A.R. BlKMETOV, V.F. VlL'DANOVA, I.KH. KHUSNULLIN, ON PERTURBATION OF A SCHRODINGER OPERATOR ON AXIS BY NARROW POTENTIALS.

© Бикметов А.Р., ВильдАновА В.Ф., Хуснуллин И.Х. 2015.

Работа первого автора выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-97024 р_поволжье_а). Работа третьего автора выполнена в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности Минобрнауки России. Поступила 18 август 2015 г.

полученные в [3] остаются в силе. В [5] доказано существование собственного значения оператора Н0(х) в случаях, когда Ш(х) удовлетворяет условиям (ж)|(1 + |ж|)^ж < то и /к Ш(í)dí ^ 0. Так же доказано, что при Ш> 0 собственного значения нет.

В [7] был рассмотрен оператор Н0 — е££, где 0 < е ^ 1, С£ : Ш221ос(К) ^ Ь2(К; Я) -произвольный линейный оператор, удовлетворяющий равномерно по е неравенству

ЦА^кда ^ C|М|^22(д), (3)

для некоторого конечного интервала Я на оси, постоянная C не зависит от е. Ь2(К; Я) -подмножество функций из Ь2(К) с носителями из Я, Ш|гос(К) - множество функций, определенных в пространстве К, сужение которых на любое ограниченное множество Д С К принадлежит Ш22(Д). Получены достаточные условия существования малых собственных значений рассматриваемого оператора. В случае, когда собственные значения имеются, построены их асимптотики.

В [8] изучался эффект возникновения собственных значений из края непрерывного спектра оператора для операторов с узкими потенциалами, частным случаем которых является оператор (2). На основе результатов, полученных в [7] были установлены достаточные условия, при которых из края непрерывного спектра возникает собственное значение в предположении существования числа 7 > 0, такого, что ^-1е1/2 = о(е7).

С другой стороны, из результатов, полученных в [9], [10] при возмущении дискретного спектра оператора Шредингера узкими потенциалами, естественно ожидать, что результаты, полученные в [8] справедливы для более широкого класса параметров е,^, удовлетворяющих условию (1). В настоящей работе на основе подхода, предложенного в [11], показывается справедливость этого предположения, то есть устанавливаются достаточные условия возникновения собственного значения из края непрерывного спектра при условии (1).

Пусть отрезок Я = [а, Ь] таков, что х^- € Я и виррЦ(х) С Я, з = 1, 2. Обозначим

<£> : = /

Основным результатом работы является следующая

Теорема 1. Пусть выполнено условие (1). Тогда если

Ке (<У1> + <У2>) > 0, (4)

то существует единственное и простое собственное значение Л£ оператора Н£ , стремящееся к нулю при е ^ 0. Его асимптотика имеет вид

К» = — 1 (е^1)2 (<У1> + <У2>)2 + О (е3^-3) . (5)

Если

Ке (<У1> + <У2>) < 0, (6)

то оператор Н£,» не имеет собственных значений, стремящееся к нулю при е ^ 0.

2. Вспомогательные утверждения

Легко видеть, что функция

Ш (С ) =1 1С —

является решением уравнения

Ш'(£) = ц(С), з = 1,2.

Так как х1 < х2, то при достаточно малых е виррУЦ) П виррУ^) = 0. Поэтому существуют фиксированные промежутки Я1 С Я и Я2 С Я, такие, что виррЦ() с Qj, 3 = 1, 2 и Я1 П Я2 = 0. Выберем срезающие функции Xj (х), удовлетворяющие следующим условиям: функции Xj (х) равны единице при х € Qj соответственно, нулю при х € Qj и Х1(х)Х2(х) =

Далее, мы следуем подходу, предложенному в [11]. Положим

-£,»(х) := 1 + е2^-1 (Х1(х)Ш^^^ + х2(х)Ш2 (. (8)

Оператор умножения на функцию —£,»(х) обозначим через Ц"£,»:

^»М := -,»(х)а. (9)

Оператор Ц"£,» взаимно однозначно отображает Ь2(К) на себя. Поэтому собственные значения оператора Н£,» совпадают с собственными значениями оператора ЦТ» Н£,»и£,».

Лемма 1. Пусть выполнено условие (1), тогда для оператора и£,» справедливы оценки

|и-;[1]|^ с, х € я, (10)

и-1[1]=1 + О(е^-1), х € Я. (11)

Доказательство. Оценка (10) непосредственно следует из определения функций Xj, Wj и (1), (9). Далее, из (9) следует, что

££[!] = ¿.»М-

Разложими функцию —'£,»(х) в ряд в окрестности нуля:

Й,»(х) = <?£,»(0)+ Й^К 0 <С<^ х € Q,

где

_ 1

Й£,»(х) = — Х1(х)(С1) + Х2(х)Ш2 (С2) + е (х1(х)Ш1 &) + х2(х) Ш2 (£2))),

о = (х — xj)е .

Из определения функции Й£,»(х) следует, что

= — -Ш (х^ (^) + х»(с)^2 (^)) (12)

— (^ (^) + х2(с)Ш2 (^

д = е2^-1( х1 (0)ШЛ + х2(0)ш/ х2

где

В силу (1), (8) и определения функций Xj, Wj справедливы оценки

|д| < 1, I--»(с)| ^ С2,

следовательно, из последних оценок и (12) вытекают

Й,»(0)=1 + О(д) = 1 + О(е2^-1), Й£,»(с) =О(е^-1).

Из последних оценок вытекает справедливость (11). Лемма доказана. □

Лемма 2. Пусть выполнено условие (1), тогда справедливо представление

и^Не,^ = Но + Е^-1^, (13)

где £е,м - дифференциальный оператор второго порядка с ограниченными финитными коэффициентами, удовлетворяющий оценке

ЦА^кда ^ Са11«11^^ (14)

где С3 - не зависит от е.

Доказательство. Из (2) и (9) последовательно получаем

Не,^ = (Но + (VI(6) + ^(Ы)) [1 + Е2^-1 (Х1(х)Ш1 &) + Х2(х)Ш2(Ы) = Це,^[1]Но + (^(6) + ^^2» + Е2^-1 (Х1(х)Но[Ш1(^1)] + Х2(х)Но[Ш2(^2)]^

+е2^-1 £ (ш & )Но[х^- (х)] — 2 пх х (х)] ^х [щ? (е?)]

3 = 1

п п п п \

— 2Ш?(е?) пх [х?(х)] Пх — 2х?(х) пх[Ш(е? )]пх)

+е2^-2( У1(е1)Ш1(е1) + У2(е2)Ш2(е2) + ^(¿1)х2(х)Ш2(£2) + У2(е2)х1(х)Ш1(е1)

В силу (7), определения оператора Но и функций х? из последнего равенства последовательно получаем

(V (е1) + V2(е2)) + Е2^-1 (х1(х)Но[Ш1(е1)] + х2(х)Но[Ш2(е2)]) = (V! (6) + V2(е2)) + Е2^-1 (Но[Ш1(е1)] + Но [Ш^)]) =

(V &) + У2&)) — (V (е1) + У2&)) = о.

Далее, из определения функций х? следует, что

^(бЫх)^) = 0, ^!(£2)х1(х)Ш1(£1) = 0.

С учетом последних равенств получаем, что

2 _! ^^ , „ , „ .г / \ п „ п Т , п

Не,^ =^е,,[1]Но + Е2^-1 £ (щ(£?•)Но[х?(х)] — 2—[х?(х)]—[Щ(е?)]

3=1

п п п п

();

+е2м-2( ^1(е1>Ш1(€1> + ^2(е2>Ш2(е2>

п п п п

2Ш ) пх х(х)] пх— 2х?(х) пх пх)+

Из (9) и последнего равенства вытекает равенство (13), где

L^ =Ue"j[1]eè (W(0)Ho[Xj(x)] - 2[Xj(x)]^W&)] j=i

2Wj ®) dX X (x)]dX - 2Xj(x) dx Wj %)+

+ U.-Hlje^-1 (v"I(ÇI)W'I(ÎI) + V2(£2)W2K2)

Далее, докажем, что оператор удовлетворяет оценке (14). Из (10) следует, что

2

^ ( (w )

'15)

|Le)Mu||L2(R) ( Wj (О)H0 [Xj (x)]u

j=1

d r „ du dx

+ 2 + - 1Ci

Wj & ) ^ [Xj (x)]-

L2(R)

L2(R) +2

+2

d

d

dx (Xj (x)ls W fô )]«

d

du

Xj(x) dx W & %

L2(R)/

L2(R) +

+

'16)

Vi(£i)Wi(£i)u

L2(R)

L (R)

Далее, оценим каждое слагаемое в правой части последнего неравенства. В силу определения функций Xj имеем

Wj & )Ho[Xj (x)] u

L2(R)

Wj(£j)Xj'(x)u ^ Ç|u|L2(Q) ^ С||u||w2(q),

L2(Q)

где Çj = max(|Wj&)x?(x)|)

dd dx [Xj(x) dx W ^

L2(

Xj(x)W%-)u < е-iC5|u|L2(Q)

l2 (Q)

^ е -iÇj ||u||Wf(Q),

где Ç = max(|Xj(x j;)|),

xeQ J J

d

du

W & ' dx X <x)lîx

L2(R)

Wj (0 )Xj (x) dx

L2(Q)

du

dx

L2(Q)

^ C6 ||u||Wf(Q),

где Ç = max(|Wj&)Xj(x)|),

Xj <X' I W <'j ^

i

L2(R)

Xj (x)Wi(Cj ) dx

L2(Q)

^ е Сj

du

dx

L2(Q)

^ e-iCj

7 ||u| W|(Q),

где C7 = maK(|Xj(x j;)|),

xeQ J

V (0 )Wj (0 )u

L2(R)

V(G)Wj)u ^ C8|u|L2(Q) ^ С|u|w22(Q),

L2(Q)

где С| = тах(|Ц(С,-(С,-)|).

Из последних оценок и (16) вытекает оценка (14). Лемма 2 доказана.

□

3. Доказательство теоремы Ведем следующие обозначения

:= / ^Л1]^, mi2/! := / ^

Jr JR

:= + ( ) m<e}i.

|x - t|Le>^[1]dt

Для оператора выполняется неравенство (14), то из теоремы 1 работы [7] следует, что если

= e^-1c. + (e^-1)2c2 + O ((e^-1)3) , c., c2 = const, (18)

то достаточным условием наличия у оператора (H0 — e^-1L£;jU) собственного значения, стремящегося к нулю при e ^ 0, является неравенство

Re(c. + e^-1c2) < 0, (19)

а достаточным условием отсутствия такого собственного значения - неравенство

Re(c. + e^-1c2) > 0. (20)

Если выполнено (19), то оператор (H0 — e^-1L£;jU) имеет единственное и простое собственное значение, стремящееся к нулю. Оно имеет асимптотику

А£)М = — (e^-1ci + (e^-1)2C2)2 + O (c.(e^-1)4 + (e^-1)5) . (21)

Из (15) следует, что

ji Le>M[1]dX =e^ U-1[1] JJ (Wj(0)Ho[Xj(x)] — 2JX[Xj(x)]^Х[Wj(£j)])dx+

+ U-1[1]( V1(£i)Wi(£i) + V2(^2)W2(£2) )dx.

J R

Далее, после замены переменной, получаем оценку

/V» _ /V» . \ / /V» _ /V»

^ Vj W^dx = e ^ Vj(t)Wj(t)dt = O(e).

Из (11) и последней оценки следует оценка

e^-1 / U-1[1](Vi(£i)Wi(£i) + V2(£2)W2(£2))dx = O(e2^-1).

Из (22) и определения оператора Ho следует

e / ( Wj(£j)Ho[Xj(x)] — 2jx[Xj(x)] Jx[Wj(£j)] ) dx

e (—Wj(£j)xj'(x) — 2e-1xj(x)Wj(£j)) dx.

Интегрируя по частям два раза в силу (7) и определения функций х? (х) из последнего равенства последовательно поучаем

' —щ (е? )х"(х) — 2е-1х? (х)ш;(е?)) пх = — / х? (х)? )пх

./К

=е-! / х? (х)щ;/(е? )пх

=е-! / V?(е?)пх = / V?(*)Л.

Из (22), (11), (23) и (24) следует, что

/ £е,м[1]пх = (И) + (У2> + 0(Е^-1). Покажем, что справедлива оценка

тй = о(1).

Из (17) имеем

где

т

(2)

е

|х — *|£е,Л1]п*

пх = £е^[/(х)]пх,

/(х) := / |х — *|£е,Л1]п*.

./К

В силу (25) и определения оператора £е,м при х € ф получаем оценку

|х — ¿|£е,^[1]п*

'Я

|х — [1]п*

^ С

Я

'Я

^ Со

где Ся = тах |х — ¿|, следовательно

|/(х)| ^ Со, х € ф.

Из оценки (16) следует

£е,М[/(х)]пх

¿(/ Щ (е? )х?/(х)/ (х)

.7=1 ^

ш (е? )х? (х)/ /(х)

пх + 2е

1

х? (х)щ;(е?)/(х)

пх+

+ 2

+ Е^-1С1

пх + 2е

^(ы^ы/(х)

1

х? (х)ш;(е?)//(х)

пх

пх +

^>(е2)Ш2(е2)/(х)

пх

В силу финитности х? и V?- и (28) справедливы оценки

ш (е? )х;/(х)/(х)

х? (х)Щ(е?)/(х)

V? (е? )щ (е?)/(х)

пх

пх

пх

Я

Я

Я

ш (е? )х;/(х)/(х) х (х)ш;(е?)/(х) V? (е? )щ (е?)/(х)

пх ^ С1о, пх ^ С11, пх ^ С12.

Из (27) следует, что

//(х) = £е,^[1]п* + / ¿^[1]^.

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

ж

Обозначим

/(1)(х) := х,(х)И%-), /£2)(х) := х,(х)Ш,(С,). В силу (31) верно неравенство

/Р(х)/' (х)

^х +

и

^х.

После замены порядка интегрирования во втором интеграле, последнее неравенство принимает вид

/(,)(х)/'(х)| ^х ^ 2

^х.

(32)

Далее, в силу (25) имеем

/Р(х) / ^,»[1]^

^х =

>Я

/£(,)(х) / ^ДО

^х

^ / |/£(,)(х)

'Я

^ I |/^(х)

'Я

'Я

¿£,»[1]^

^х ^х

^ С

13

'Я

^ С:

14-

Из последнего неравенства и (32) следует, что

/ |/Р(х)/'(х)|Лх ^ 2С14, ./к

а отсюда и из (29), (30) вытекает оценка (26). Из (17), (25), (26) следует

к

е^

1

£,»

2

22

(<У1> + <У2>) + О (е2^

Таким образом, выполнено равенство (18) при

<У1> + <У2>

С1

С2 = О(1).

(33)

Из (19) и (20) следует, что достаточным условием наличия у оператора (Н0 + е^ 1££,») собственного значения, стремящегося к нулю при е ^ 0, является неравенство

Яе(с1 + е^ 1с2) > 0,

а достаточным условием отсутствия такого собственного значения - неравенство

Яе(с1 + е^-1с2) < 0.

(34)

(35)

Далее, из (1) и (33) следует, что при достаточно малых е, ^ знак Ке(с1 + е^-1с2) совпадает со знаком Ке(с1). Следовательно, из (34), (35) и (33) вытекают неравенства (4) и (6). Асимптотика (5) вытекает из (21) и (33).

Х

Х

2

4. Заключительные замечания

Из теоремы 1 работы [7] следует, что, помимо собственного значения, стремящегося к нулю, остальные собственные значения оператора (если они существуют) стремятся к бесконечности при е ^ 0.

Благодарности. Авторы выражают признательность Д.И. Борисову за полезные замечания и Р.Р. Гадыльшину за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Като Т. Теория возмущений линейных операторов Мир, М., 1972.

2. Борисов Д.И., Гадыльшин Р.Р. О спектре периодического оператора с малым локализованным возмущением // Известия АН. Сер. матем. Т. 72, №4. 2008. C. 37-66.

3. B. Simon The bound state of weakly coupled Schrodinger operators in one and two dimensions // Ann. Phys. V. 97. 1976. P. 279-288.

4. R. Blankenbecler, M.L. Goldberger, B. Simon The bound states of weakly coupled long-range one-dimensional quantum Hamiltonians // Ann. Phys. V. 108. 1977. P. 69-78.

5. M. Klaus On the bound state of Schrodinger operators in one dimension, Ann. Phys. V. 108. 1977. P. 288-300.

6. M. Klaus, B. Simon Coupling constant thresholds in nonrelativistic quantum mechanics. I. Short-range two-body case // Ann. Phys. V. 130. 1980. P. 251-281.

7. Гадыльшин Р.Р. О локальных возмущениях оператора Шрёдингера на оси // Теор. и матем. физика. Т. 132, No 1. 2002. C. 97-104.

8. Гадыльшин Р.Р., Хуснуллин И.Х. Оператор Шредингера на оси с потенциалами, зависящими от двух параметров // Алгебра и анализ. Т. 22, №6. 2010. С. 50-66.

9. Гадыльшин Р.Р., Хуснуллин И.Х. Возмущение оператора Шредингера узким потенциалом // Уфимский математический журнал. Т. 3, № 3. 2011. С. 55-66.

10. Хуснуллин И.Х. Возмущенная краевая задача на собственные значения для оператора Шредингера на отрезке // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. Т. 50, № 4. 2010. С. 679-698.

11. Борисов Д.И., Каримов Р.Х., Шарапов Т.Ф. Оценка начальных масштабов для волноводов с некоторыми случайными сингулярными потенциалами // Уфимский математический журнал. Т. 7, № 2. 2015. С. 35-56.

Бикметов Айдар Ренатович, ФГБОУ ВПО БГПУ им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: BikmetovAR@yandex.ru

Вильданова Венера Фидарисовна, ФГБОУ ВПО БГПУ им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: gilvenera@mail.ru

Хуснуллин Ильфат Хамзиевич, ФГБОУ ВПО БГПУ им. М.Акмуллы, ул. Октябрьской революции, 3а, 450000, г. Уфа, Россия E-mail: KhusnullinIKh@mail.ru