CC BY
15
МНТЕН
ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ СОЛИТОННЫХ 1+1 И 2+1 МЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИМЕЮЩИХ ОБЩУЮ ЗАДАЧУ РАССЕЯНИЯ
Т.В. Редькина
THE POSSIBILITY OF CONSTRUCTING SOLITON 1+1 AND 2+1 -DIMENSIONAL EQUATIONS HAVING GENERAL PROBLEM OF DISPERSION
T.V. Redkina
The article considers one of the possibilities to apply the soliton theory to 2+1 - dimensional situation. Using Lake's operator structure with the same dispersion operator L, two differential quotations have been formulated: one of them is 1+1- dimensional; the other describes 2+1- dimensional function. Here the dispersion operator L depends para-metrically upon an additional variable, which differentiation enters the operator А, describing the dynamics of eigenfunctions, but doesn't enter the operator L.
В статье рассматривается одна из возможностей распространитьсолитонную теорию на 2+1 - мерную ситуацию. Используя операторную структуру Лакса, с одним и тем же оператором рассеяния L построены два дифференциальных уравнения: одно является 1+1 - мерным, другое описывает 2+1 - мерную функцию. При этом оператор рассеяния L параметрически зависит от дополнительной переменной, дифференцирование по которой входит в оператор А, описывающий динамику собственных функций, но не входит в оператор L.
УДК 517.95
Совокупность нелинейных уравнений представляется чрезвычайно обширной для того, чтобы можно было надеяться найти общие методы для построения решений этих уравнений и исследования их свойств. Поэтому наибольший интерес с практической точки зрения должны представлять точно интегрируемые уравнения или уравнения, допускающие богатые классы точных решений. Число таких примеров заметно увеличилось именно в XX веке и особенно в последней его половине, во многом благодаря развитию новых математических методов анализа нелинейных систем уравнений в частных производных, и в частности, такому важному и замечательному открытию математической физики как теория солитонов и метод обратной задачи рассеяния.
С момента создания теории солитонов при построении нелинейных уравнений в частных производных часто используется операторная структура изоспектральной деформации или как ее еще называют уравнение Лакса
ц = [ь, л] = ЬЛ - ЛЬ, (1.1) которая при некоторых условиях эквивалентна условию совместности системы
Ьр = ¡р, (р1 = -Л р, (1.2)
(I - собственное значение оператора Ь, р -собственная функция оператора Ь). Система (1.2) допускает применимости метода обратной задачи рассеяния к полученным уравнениям.
Большинство известных солитонных уравнений описывают поведение функций,
Редькина Т.В.
«Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений...»
зависящих от двух пространственно-временных переменных. Попытка распространить солитонную теорию на 2+1, 3+1-мерную ситуацию не привела к заметным успехам. Но интересные результаты можно получить если оператор Ь параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирование по которым входит в оператор А, но не входят в оператор Ь. Если рассматривать класс функций, зависящих от трех и более переменных, а оператор Ь задает дифференцирование только по переменной х, то следует ожидать, что собственные числа 1(у) не являются постоянными, а удовлетворяют дифференциальным уравнениям. В силу этих уравнений с течением времени возможна их многозначность. Один из примеров был описан Богоявленским О.И. [1] как двумерное взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х, в некотором приближении наблюдающиеся в волнах на поверхности моря, а так же при возникновении ударной волны.
Продемонстрируем возможность построения двух уравнений, обладающих одной и той же задачей на собственные значения.
Теорема 1. Уравнение
Ь ~ . а
V =
1 2ак
(1п + — [и, + (ак + Ь К ]+
2а
(
+
ь+
ь
2 л
2ак
(1п и)х
обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида
0 I 5
Ь =
' а
, а
- +
+
- а 0 дх
Ь (1п и) 2к ,х
а- + Ды и) х + (а 21 ак 0 ' V 2а
-| а + 2к 1(1пи)х
А =
| 2ак + Ь 0
ь
\
ак
5
дх
+
+
V
к| I и (1п и), 12а 0 2а '
ки V + (1п и),
где v( х,') - произвольная функция.
Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда операторное уравнение Лакса (1.1) с маточными коэффициентами 2x2
|| а11 а12 5 + || и11 и12
= -
Va 21 а22 0 дх V и 21 и22 0
| Ь11 Ь12 5 + 1 V!!
= V Ь 21 Ь 22 0 -
дх V V21 V22 0
удовлетворяет дополнительным условиям
а11 а 22 а,
а12 = 0
а21 = а Ф 0,
Ь12 = 0 Ь21 = ка21 , 2а„к = ри - ^22 , Ь22 = Ь, ^2 = ки 12 , (13)
12 а
V2l = ки21 + — ^ц - V22 + к(и22 - и11)),
2а
где к - коэффициент пропорциональности. Учитывая ограничения, получим операторы:
Ь=
А=
|
а
0 I 5
ч а - а 0
и
5х
+
11
V и21
Л
12
22 0
12ак + Ь 0 ак Ь
+
дх
11
+
кии I
ки21 +:а-(V11 - ^2 + к(и22 - и11))
2а
22
Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого предварительно найдем элементы матричного уравнения Ь, =[Ь, А], используя обозначение
(ак + Ь + — = — и принимая условие
5х д' 52
и12 Ф 0:
а (^'11 - ки11) х +
а , (1.4)
+ — М^ - ки11 - V22 + кип) = и112 2а
к(и11 - и22) - + V22 = = (ак + ^ )(1п М12) х + (1п и12)',
(1.5)
-^11 - к (и11 + и22) + V22) х +1 и21 + ~ (и22 ~ ^ Г
х (v11 - к(и11 - и22) - v22) = и2
(1.6)
5
и
2
и
2
а(У22 -ки22)х +
а (1.7)
+ Т и12(у11 - ки11 - У22 + ^22) = -и22 2 •
2а
С учетом равенства (1.5) определим дополнительные условия так, чтобы
^2 = ^11 + (1П "ПХ , (1.8)
ип = и22 + у^Оп *12)х . (1.9)
Подставим найденные значения в оставшуюся систему (1.3-6)
а 6>11 - ки22 - (ак + Р )(1п и12) х X -
а Г Р )(1 ) (11°)
- 2а и12 2 = и222 +1 а + к Г и ,
2 [2уп - 2ки22 + (1пи12), - (ак + Ь )(1пи12) х ]х -
-(и21 -(а + 2аак ,)(1пи12)х )(1пи12)г = ^,
(111)
аКх + (1п и12 )£х - ки22х ) и122 = -и222. (Ш)
2а
Найдем разность (1.1°) и (1.12):
и22 2 = -|а + 2к^ и12 ), или
и22 =-|а + 2к^ и12)х
при этом функция и11 примет вид
и11 = ^ (1п и12) х . 2к
Функцию и21 можно найти в явном виде, для этого найдем сумму (1.1°) и (1.12)
а(2уп - 2ки22 + (1пип)< - (ак + р)(1пи12)х)х -
- ааи122 =[^а + Р^)(1п и12)х2 ,
выразим (2у11 - 2ки22 )х и подставим в (1.11)
(2У11 - 2ки22 )х = -аТ и122 + \ 1 + р )(1п и12)х2 -
22/х а 2 12 2 [ ка
- (1п и12) х, + (ак + Р )(1п и12) хх.
а ( Р А, \ а2
-1--+ 1 1(1п и12) +--- и12 2 -
2 Ч ак Г 12; хг 2а2 12 2
( (а Ва) ) и21 + Ш/ и12)х )(1пи12) 2 = и212. (Ш)
Приведение подобных слагаемых и умножение на и12 позволяет выделить полную производную
а ( Р п^ч а2
2 [ ак + Ти12)х^и12 + 202и122и12 -
( (а ра V . ) ~ + 1(1п и12) х 2 2ак 0
и21 -1 - +
и122 = и12и21г ,
а ["Г" + 1 |[(1п и12)хи12 I +1 -Ц- | (и122) 2 = (и12и21)
, "42/х"^ + 1 - 1 (и12) г = (М12М2^ г'
2 [ ак ) [ 2ау
выполнив интегрирование по 2, найдем
^ = ^ + ^ и'2)' "'22- (114) В результате остается одно уравнение, связывающее две функции и12 = и и Уп = V
( Р 2 )
(1п и ) хх.
Р (1 ) а ( р р
vx (1пи)х +-7 и 2 + р +
х 2ак 2а2 2 [ 2ак 0
(1.15)
где (ак + р )--1--= — , V - произвольная
дх й
функция. Операторы Лакса, порождающие уравнение (1.14), будут такими, как указано в условии теоремы.
Получим 2+1-мерное дифференциальное уравнение в частных производных из операторного уравнения Лакса (1.1).
Теорема 2. Уравнение а2 к V2
О^х + — (1п и)хх - (1п и)уу =
(2.1)
= 2а(и2 + V*у) + 2к(1п и)У2 - а(1п и)х2
обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида
(а 0 ) д
Ь =
(
+
ч а - а у
дх
— (1п и) - а (1п и) 2к у 2
2
а Уа п ч —-и + —— (1п и)
ч 4а2 2ак
у
- — (1п и) у - а (1п и)х 2к у 2 х
и
л
Редькина Т.В.
«Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений.»
12ак 01 5 | у 01 5 А = —+ — +
V0 у05у
V ак 00 5х
(
+
ки
а
ки ((1п и) 2 + У(1п и )у ) V + (1п и ) 2 2а
5 5 5
где ак--1--= —, v(х,')
5х 5' 52
произвольная
функция.
Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда оператор Ь не содержит дифференцирования по х и имеет ту же структуру, используемую в первой теореме
Ь =
'а 0 I 5 |и11 и12 Л
V а - а у
5х
+
V и21
(2.2)
22 0
12ак 01 5 | У 01 5 А = —+ — +
ч ак 0 )дx V 0 У 05у
+
ки, 2
ки12 + ~ (V11 - V22 + к(и22 - и11)) V2: 2а
(2.3)
где а, а, у, к - произвольные постоянные, Vy, щ - произвольные функции трех переменных х, у и '. Такой выбор операторов
обуславливает равенство нулю коэффициен-
52 52 5 5
тов при дифференциалах —-,-, —, —.
5х 2 5х5у 5х 5у
Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого найдем элементы матричного уравнения Ь, =[Ь, А], используя
_ ,555 обозначение ак--I--= — и принимая во
5х 5, 52
внимание условие и12 Ф 0 :
а 0>11 - ки11) х - Уи11 у +
а (2.4)
+ — и12(У11 - ки11 - V22 + ки22) = и112 , 2а
V— + кип - V11 - ки22 = У(1п и12)у + (1п и12)2 ,
(2.5)
2^22 + V11 - ки11 - ки22)х - Уи21у +
и 21 + (и 22 - и11) 2а
(Vll -кип -V— + ки-) =
= и
212'
а(V22 - ки22)х + Уи22у +
а
(2.6) (2.7)
+ ~ и12 (1 ки11 ^^22 + ки22) = и222 • 2а
С учетом равенства (2.5) определим дополнительные условия так, чтобы
^2 = + (1п и12) 2 , (28)
иц = и22 + у (1п и12)у . (29)
к
Подставим найденные значения в оставшуюся систему (2.4-7)
а(У11х - ки22х - У(1п и12) ху ) - Уи22 у -
- и12) уу =
= ^а (и12 2 + У и12 у ) + и22 2 + к (1п и12 ) у2,
(2.10)
-(>11 - 2ки22 + (1пи12)2 - У(1пи12)у )х - Уи21у -
аУ
и21 (!пи12)у
2ак
а(^'11х + (1п и12)х2 - ки22 х ) + Уи22у
[(1пи12)2 + У(1пи12)у ] = и212 , (2.11)
а
(2.12)
(и12 2 + Уи12у ) = -и222 .
2а
Найдем разность (2.10) и (2.12):
У 2
- аУ(1пи12)ху - 2У122у -1~(1пи12)уу - а(1пи12)х2 =
У/
= 2и—2 + к (1П и12) у2 '■
или
У
+
У
а(1п и12)х + 2и22 +Т (1п и12)у к _
а (1п и12)х + 2и22 + У (1п и12)у к
+
= 0,
что позволяет определить функцию и
22
Уа
и22 =- 2к и12)у - 7(1п и12)х . (213)
V
V
2
+
Выразим ^1х - ки22х из (2.12)
(2.14)
^1х - ки22 х = (и12 2 + У*12 у ) -
1 У
и22 2 - (1п и12) х2 и22 у .
аа
и выполним подстановку найденной функции (2.13)
V11x - ки22х = (и122 + Уи12у ) + ^ и12)У2 -
- 2(1п и12) х2 + Т^к (1п и12) уу + 2 (1п и12) ху . Найденное соотношение (2.14) подставим в (2.11)
22 а , \ Уа п \ У а п л
(и12 2 + ^12 у ) + Ш (1п и12) у2 + Ш (1п и12) уу -
2а2
- У*21у = и212
аУ п \
и21 - (1П и12) у
[(1п иИ) 2 + У (1п иИ) у ]
и умножим все члены на и12
2
а
2а
и12 (и122 + У*12у ) +1Г^и12 (1п и12)у2 +
2ак
2
У а
+ 2аки12(1п и12)уу- Уи12и21 у -
- и21(и 212 + ^21 у ) +
+ 2ак и12)у (и212 + У*21 у) = и12и21г,
тогда выделяя полные производные, имеем
- [(и!22 )2 + У(и!22 )у ]+ -а [и12 (1п и12 )у ]2 +
4а'
2
У а Г 1
+ ^Т[и12(1пи12)у ]у - У(и12и21)у = (и12и21)2
2ак
или
2
¡¡а
а 2 ¡а /1 \
и12 (--и12(1п и12) - "п"
4а
+ У
2 12 2ак у
2
2 и12 + ——- и12(1п и12) у - и^и.
+
4а
2ак
12 12 у 12 21
=°
в результате можно найти функцию и
21
и21 =
2
а Уа п \
—-и12 + —— (1пи12)у . 4а2 2ак у
(2.15)
Итак, в ходе преобразований систем (2.10-12) из (2.11) наедена функция и21, а из (2.12) - и 22, поэтому осталось единственное уравнение (2.10), связывающее две функции и12 = и и V" = V
а к
аух +-
х2
У
(1п и) хх - 2к (1П и) уу =
(2.16)
=2* (*у+у* у )+2к(1г1 ^ ~ а~(1пи) х2,
где (ак + р )— + — = — .
дх д/ д2
Полученное уравнение в частных производных имеет вид локального закона сохранения, при этом функция V является произвольной и может описывать некоторое возмущение уравнения. При подстановке в (2.2), (2.3) найденные значения v22, ип, и21, и22 из равенств (2.8), (2.9), (2.15), (2.13) получим операторы Лакса, указанные в теореме 2.
Уравнения (1.15) и (2.16) имеют общий оператор рассеяния Ь, а, следовательно, уравнения на собственные значения совпадают формально, но при этом собственное значение оператора Ь в одном случае является постоянным, а во втором представляют собой некоторые функции, зависящие от дополнительной переменной у.
ЛИТЕРАТУРА
1. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся соли-тоны в новых двумерных интегрируемых уравнениях // Изв. АН СССР Сер. матем. -1989. - Т.53. - № 2. - С. 243-258.
Об авторе
Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета. Основные научные интересы лежат в области, связанной с нелинейными уравнениями в частных производных: рассмотрение операторных структур Лакса и уравнения нулевой кривизны, проблемы построения и решения уравнений солитонного типа, применение метода обратной задачи рассеяния, нахождение законов сохранения и др. Автор имеет более 2° публикаций в этой области.
2
2
у
