Научная статья на тему 'Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния'

Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
74
14
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Т В. Редькина

В статье рассматривается одна из возможностей распространить солитонную теорию на 2+1 мерную ситуацию. Используя операторную структуру Ланса, с одним и тем же оператором рассеяния L построены два дифференциальных уравнения: одно является 1+1 мерным, другое описывает 2+1 мерную функцию. При этом оператор рассеяния L параметрически зависит от дополнительной переменной, дифференцирование по которой входит в оператор А, описывающий динамику собственных функций, но не входит в оператор L.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

THE POSSIBILITY OF CONSTRUCTING SOLITON 1+1 AND 2+1 - DIMENSIONAL EQUATIONS HAVING GENERAL PROBLEM OF DISPERSION

The article considers one of the possibilities to apply the soliton theory to 2+1 dimensional situation. Using Laks's operator structure with the same dispersion operator L, two differential quotations have been formulated: one of them is 1+1dimensional; the other describes 2+1dimensional function. Here the dispersion operator L depends parametrically upon an additional variable, which differentiation enters the operator А, describing the dynamics of eigenfunctions, but doesn't enter the operator L.

Текст научной работы на тему «Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния»

МНТЕН

ВОЗМОЖНОСТЬ ПОСТРОЕНИЯ СОЛИТОННЫХ 1+1 И 2+1 МЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ, ИМЕЮЩИХ ОБЩУЮ ЗАДАЧУ РАССЕЯНИЯ

Т.В. Редькина

THE POSSIBILITY OF CONSTRUCTING SOLITON 1+1 AND 2+1 -DIMENSIONAL EQUATIONS HAVING GENERAL PROBLEM OF DISPERSION

T.V. Redkina

The article considers one of the possibilities to apply the soliton theory to 2+1 - dimensional situation. Using Lake's operator structure with the same dispersion operator L, two differential quotations have been formulated: one of them is 1+1- dimensional; the other describes 2+1- dimensional function. Here the dispersion operator L depends para-metrically upon an additional variable, which differentiation enters the operator А, describing the dynamics of eigenfunctions, but doesn't enter the operator L.

В статье рассматривается одна из возможностей распространитьсолитонную теорию на 2+1 - мерную ситуацию. Используя операторную структуру Лакса, с одним и тем же оператором рассеяния L построены два дифференциальных уравнения: одно является 1+1 - мерным, другое описывает 2+1 - мерную функцию. При этом оператор рассеяния L параметрически зависит от дополнительной переменной, дифференцирование по которой входит в оператор А, описывающий динамику собственных функций, но не входит в оператор L.

УДК 517.95

Совокупность нелинейных уравнений представляется чрезвычайно обширной для того, чтобы можно было надеяться найти общие методы для построения решений этих уравнений и исследования их свойств. Поэтому наибольший интерес с практической точки зрения должны представлять точно интегрируемые уравнения или уравнения, допускающие богатые классы точных решений. Число таких примеров заметно увеличилось именно в XX веке и особенно в последней его половине, во многом благодаря развитию новых математических методов анализа нелинейных систем уравнений в частных производных, и в частности, такому важному и замечательному открытию математической физики как теория солитонов и метод обратной задачи рассеяния.

С момента создания теории солитонов при построении нелинейных уравнений в частных производных часто используется операторная структура изоспектральной деформации или как ее еще называют уравнение Лакса

ц = [ь, л] = ЬЛ - ЛЬ, (1.1) которая при некоторых условиях эквивалентна условию совместности системы

Ьр = ¡р, (р1 = -Л р, (1.2)

(I - собственное значение оператора Ь, р -собственная функция оператора Ь). Система (1.2) допускает применимости метода обратной задачи рассеяния к полученным уравнениям.

Большинство известных солитонных уравнений описывают поведение функций,

Редькина Т.В.

«Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений...»

зависящих от двух пространственно-временных переменных. Попытка распространить солитонную теорию на 2+1, 3+1-мерную ситуацию не привела к заметным успехам. Но интересные результаты можно получить если оператор Ь параметрически зависит от дополнительных переменных, дифференцирование по которым входит в оператор А, но не входят в оператор Ь. Если рассматривать класс функций, зависящих от трех и более переменных, а оператор Ь задает дифференцирование только по переменной х, то следует ожидать, что собственные числа 1(у) не являются постоянными, а удовлетворяют дифференциальным уравнениям. В силу этих уравнений с течением времени возможна их многозначность. Один из примеров был описан Богоявленским О.И. [1] как двумерное взаимодействие волны Римана, распространяющейся по оси у, с длинными волнами, распространяющимися по оси х, в некотором приближении наблюдающиеся в волнах на поверхности моря, а так же при возникновении ударной волны.

Продемонстрируем возможность построения двух уравнений, обладающих одной и той же задачей на собственные значения.

Теорема 1. Уравнение

Ь ~ . а

V =

1 2ак

(1п + — [и, + (ак + Ь К ]+

(

+

ь+

ь

2 л

2ак

(1п и)х

обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

0 I 5

Ь =

' а

, а

- +

+

- а 0 дх

Ь (1п и) 2к ,х

а- + Ды и) х + (а 21 ак 0 ' V 2а

-| а + 2к 1(1пи)х

А =

| 2ак + Ь 0

ь

\

ак

5

дх

+

+

V

к| I и (1п и), 12а 0 2а '

ки V + (1п и),

где v( х,') - произвольная функция.

Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда операторное уравнение Лакса (1.1) с маточными коэффициентами 2x2

|| а11 а12 5 + || и11 и12

= -

Va 21 а22 0 дх V и 21 и22 0

| Ь11 Ь12 5 + 1 V!!

= V Ь 21 Ь 22 0 -

дх V V21 V22 0

удовлетворяет дополнительным условиям

а11 а 22 а,

а12 = 0

а21 = а Ф 0,

Ь12 = 0 Ь21 = ка21 , 2а„к = ри - ^22 , Ь22 = Ь, ^2 = ки 12 , (13)

12 а

V2l = ки21 + — ^ц - V22 + к(и22 - и11)),

где к - коэффициент пропорциональности. Учитывая ограничения, получим операторы:

Ь=

А=

|

а

0 I 5

ч а - а 0

и

+

11

V и21

Л

12

22 0

12ак + Ь 0 ак Ь

+

дх

11

+

кии I

ки21 +:а-(V11 - ^2 + к(и22 - и11))

22

Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого предварительно найдем элементы матричного уравнения Ь, =[Ь, А], используя обозначение

(ак + Ь + — = — и принимая условие

5х д' 52

и12 Ф 0:

а (^'11 - ки11) х +

а , (1.4)

+ — М^ - ки11 - V22 + кип) = и112 2а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к(и11 - и22) - + V22 = = (ак + ^ )(1п М12) х + (1п и12)',

(1.5)

-^11 - к (и11 + и22) + V22) х +1 и21 + ~ (и22 ~ ^ Г

х (v11 - к(и11 - и22) - v22) = и2

(1.6)

5

и

2

и

2

а(У22 -ки22)х +

а (1.7)

+ Т и12(у11 - ки11 - У22 + ^22) = -и22 2 •

С учетом равенства (1.5) определим дополнительные условия так, чтобы

^2 = ^11 + (1П "ПХ , (1.8)

ип = и22 + у^Оп *12)х . (1.9)

Подставим найденные значения в оставшуюся систему (1.3-6)

а 6>11 - ки22 - (ак + Р )(1п и12) х X -

а Г Р )(1 ) (11°)

- 2а и12 2 = и222 +1 а + к Г и ,

2 [2уп - 2ки22 + (1пи12), - (ак + Ь )(1пи12) х ]х -

-(и21 -(а + 2аак ,)(1пи12)х )(1пи12)г = ^,

(111)

аКх + (1п и12 )£х - ки22х ) и122 = -и222. (Ш)

Найдем разность (1.1°) и (1.12):

и22 2 = -|а + 2к^ и12 ), или

и22 =-|а + 2к^ и12)х

при этом функция и11 примет вид

и11 = ^ (1п и12) х . 2к

Функцию и21 можно найти в явном виде, для этого найдем сумму (1.1°) и (1.12)

а(2уп - 2ки22 + (1пип)< - (ак + р)(1пи12)х)х -

- ааи122 =[^а + Р^)(1п и12)х2 ,

выразим (2у11 - 2ки22 )х и подставим в (1.11)

(2У11 - 2ки22 )х = -аТ и122 + \ 1 + р )(1п и12)х2 -

22/х а 2 12 2 [ ка

- (1п и12) х, + (ак + Р )(1п и12) хх.

а ( Р А, \ а2

-1--+ 1 1(1п и12) +--- и12 2 -

2 Ч ак Г 12; хг 2а2 12 2

( (а Ва) ) и21 + Ш/ и12)х )(1пи12) 2 = и212. (Ш)

Приведение подобных слагаемых и умножение на и12 позволяет выделить полную производную

а ( Р п^ч а2

2 [ ак + Ти12)х^и12 + 202и122и12 -

( (а ра V . ) ~ + 1(1п и12) х 2 2ак 0

и21 -1 - +

и122 = и12и21г ,

а ["Г" + 1 |[(1п и12)хи12 I +1 -Ц- | (и122) 2 = (и12и21)

, "42/х"^ + 1 - 1 (и12) г = (М12М2^ г'

2 [ ак ) [ 2ау

выполнив интегрирование по 2, найдем

^ = ^ + ^ и'2)' "'22- (114) В результате остается одно уравнение, связывающее две функции и12 = и и Уп = V

( Р 2 )

(1п и ) хх.

Р (1 ) а ( р р

vx (1пи)х +-7 и 2 + р +

х 2ак 2а2 2 [ 2ак 0

(1.15)

где (ак + р )--1--= — , V - произвольная

дх й

функция. Операторы Лакса, порождающие уравнение (1.14), будут такими, как указано в условии теоремы.

Получим 2+1-мерное дифференциальное уравнение в частных производных из операторного уравнения Лакса (1.1).

Теорема 2. Уравнение а2 к V2

О^х + — (1п и)хх - (1п и)уу =

(2.1)

= 2а(и2 + V*у) + 2к(1п и)У2 - а(1п и)х2

обладает парой Лакса с операторами Ь и А вида

(а 0 ) д

Ь =

(

+

ч а - а у

дх

— (1п и) - а (1п и) 2к у 2

2

а Уа п ч —-и + —— (1п и)

ч 4а2 2ак

у

- — (1п и) у - а (1п и)х 2к у 2 х

и

л

Редькина Т.В.

«Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений.»

12ак 01 5 | у 01 5 А = —+ — +

V0 у05у

V ак 00 5х

(

+

ки

а

ки ((1п и) 2 + У(1п и )у ) V + (1п и ) 2 2а

5 5 5

где ак--1--= —, v(х,')

5х 5' 52

произвольная

функция.

Доказательство. Рассмотрим частный случай, когда оператор Ь не содержит дифференцирования по х и имеет ту же структуру, используемую в первой теореме

Ь =

'а 0 I 5 |и11 и12 Л

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

V а - а у

+

V и21

(2.2)

22 0

12ак 01 5 | У 01 5 А = —+ — +

ч ак 0 )дx V 0 У 05у

+

ки, 2

ки12 + ~ (V11 - V22 + к(и22 - и11)) V2: 2а

(2.3)

где а, а, у, к - произвольные постоянные, Vy, щ - произвольные функции трех переменных х, у и '. Такой выбор операторов

обуславливает равенство нулю коэффициен-

52 52 5 5

тов при дифференциалах —-,-, —, —.

5х 2 5х5у 5х 5у

Выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса. Для этого найдем элементы матричного уравнения Ь, =[Ь, А], используя

_ ,555 обозначение ак--I--= — и принимая во

5х 5, 52

внимание условие и12 Ф 0 :

а 0>11 - ки11) х - Уи11 у +

а (2.4)

+ — и12(У11 - ки11 - V22 + ки22) = и112 , 2а

V— + кип - V11 - ки22 = У(1п и12)у + (1п и12)2 ,

(2.5)

2^22 + V11 - ки11 - ки22)х - Уи21у +

и 21 + (и 22 - и11) 2а

(Vll -кип -V— + ки-) =

= и

212'

а(V22 - ки22)х + Уи22у +

а

(2.6) (2.7)

+ ~ и12 (1 ки11 ^^22 + ки22) = и222 • 2а

С учетом равенства (2.5) определим дополнительные условия так, чтобы

^2 = + (1п и12) 2 , (28)

иц = и22 + у (1п и12)у . (29)

к

Подставим найденные значения в оставшуюся систему (2.4-7)

а(У11х - ки22х - У(1п и12) ху ) - Уи22 у -

- и12) уу =

= ^а (и12 2 + У и12 у ) + и22 2 + к (1п и12 ) у2,

(2.10)

-(>11 - 2ки22 + (1пи12)2 - У(1пи12)у )х - Уи21у -

аУ

и21 (!пи12)у

2ак

а(^'11х + (1п и12)х2 - ки22 х ) + Уи22у

[(1пи12)2 + У(1пи12)у ] = и212 , (2.11)

а

(2.12)

(и12 2 + Уи12у ) = -и222 .

Найдем разность (2.10) и (2.12):

У 2

- аУ(1пи12)ху - 2У122у -1~(1пи12)уу - а(1пи12)х2 =

У/

= 2и—2 + к (1П и12) у2 '■

или

У

+

У

а(1п и12)х + 2и22 +Т (1п и12)у к _

а (1п и12)х + 2и22 + У (1п и12)у к

+

= 0,

что позволяет определить функцию и

22

Уа

и22 =- 2к и12)у - 7(1п и12)х . (213)

V

V

2

+

Выразим ^1х - ки22х из (2.12)

(2.14)

^1х - ки22 х = (и12 2 + У*12 у ) -

1 У

и22 2 - (1п и12) х2 и22 у .

аа

и выполним подстановку найденной функции (2.13)

V11x - ки22х = (и122 + Уи12у ) + ^ и12)У2 -

- 2(1п и12) х2 + Т^к (1п и12) уу + 2 (1п и12) ху . Найденное соотношение (2.14) подставим в (2.11)

22 а , \ Уа п \ У а п л

(и12 2 + ^12 у ) + Ш (1п и12) у2 + Ш (1п и12) уу -

2а2

- У*21у = и212

аУ п \

и21 - (1П и12) у

[(1п иИ) 2 + У (1п иИ) у ]

и умножим все члены на и12

2

а

и12 (и122 + У*12у ) +1Г^и12 (1п и12)у2 +

2ак

2

У а

+ 2аки12(1п и12)уу- Уи12и21 у -

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- и21(и 212 + ^21 у ) +

+ 2ак и12)у (и212 + У*21 у) = и12и21г,

тогда выделяя полные производные, имеем

- [(и!22 )2 + У(и!22 )у ]+ -а [и12 (1п и12 )у ]2 +

4а'

2

У а Г 1

+ ^Т[и12(1пи12)у ]у - У(и12и21)у = (и12и21)2

2ак

или

2

¡¡а

а 2 ¡а /1 \

и12 (--и12(1п и12) - "п"

+ У

2 12 2ак у

2

2 и12 + ——- и12(1п и12) у - и^и.

+

2ак

12 12 у 12 21

в результате можно найти функцию и

21

и21 =

2

а Уа п \

—-и12 + —— (1пи12)у . 4а2 2ак у

(2.15)

Итак, в ходе преобразований систем (2.10-12) из (2.11) наедена функция и21, а из (2.12) - и 22, поэтому осталось единственное уравнение (2.10), связывающее две функции и12 = и и V" = V

а к

аух +-

х2

У

(1п и) хх - 2к (1П и) уу =

(2.16)

=2* (*у+у* у )+2к(1г1 ^ ~ а~(1пи) х2,

где (ак + р )— + — = — .

дх д/ д2

Полученное уравнение в частных производных имеет вид локального закона сохранения, при этом функция V является произвольной и может описывать некоторое возмущение уравнения. При подстановке в (2.2), (2.3) найденные значения v22, ип, и21, и22 из равенств (2.8), (2.9), (2.15), (2.13) получим операторы Лакса, указанные в теореме 2.

Уравнения (1.15) и (2.16) имеют общий оператор рассеяния Ь, а, следовательно, уравнения на собственные значения совпадают формально, но при этом собственное значение оператора Ь в одном случае является постоянным, а во втором представляют собой некоторые функции, зависящие от дополнительной переменной у.

ЛИТЕРАТУРА

1. Богоявленский О. И. Опрокидывающиеся соли-тоны в новых двумерных интегрируемых уравнениях // Изв. АН СССР Сер. матем. -1989. - Т.53. - № 2. - С. 243-258.

Об авторе

Редькина Татьяна Валентиновна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Ставропольского государственного университета. Основные научные интересы лежат в области, связанной с нелинейными уравнениями в частных производных: рассмотрение операторных структур Лакса и уравнения нулевой кривизны, проблемы построения и решения уравнений солитонного типа, применение метода обратной задачи рассеяния, нахождение законов сохранения и др. Автор имеет более 2° публикаций в этой области.

2

2

у

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.