Плоские стационарные течения идеальной несжимаемой жидкости Текст научной статьи по специальности «Математика»

НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ ДЛЯ Серия: Математика. Физика. 2011. №5(100). Вып. 22 133 УДК 517.987

ПЛОСКИЕ СТАЦИОНАРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ Ю.П. Вирченко

Белгородский государственный университет, ул. Победы, 85, Белгород, 308015, Россия, e-mail: virchObsu.edu.ru

Аннотация. Изучаются плоские стационарные решения системы уравнений нелинейного переноса, подчиняющиеся дополнительной дифференциальной связи - условию соленои-дальноости. Получено общее решение этой системы уравнений в виде формулы, полностью описывающей многообразие сильных стационарных решений.

Ключевые слова: гидродинамика идеальной жидкости, стационарные течения, условие несжимаемости.

1. Постановка задачи. Гидродинамика идеальной несжимаемой жидкости основана на описании течений посредством векторного поря V : Б х М+ ^ М3, V = (у1,у2,у3) (Б - область в М3) - т.н. эйлерово описание, которое определяет направление течения жидкости в каждой пространственной точке с радиус-вектором х = (х\,х2,х3) в момент времени £ £ М+. Система дифференциальных уравнений, которой подчиняется семейство векторных полей V : Б ^ М3, параметризованное посредством £ £ М+, получается из элементарных соображений, которые основаны на ньютоновском динамическом уравнении для элемента объёма жидкости (см., например, [1]). При условии постоянства плотности р, это уравнение имеет вид

^-=/0М)/р, (1)

где f (х,£) - значение поля внешних сил, действующих на элемент объёма в точке с радиус-вектором х, в момент времени £, Б(-)/Б£ - т.н. полная (субстанциальная) производная, которая описывает малые линейные изменения за время динамического состояния этого элемента,

ьи (х + ь(х, 1)сЫ, I + сЫ) — Пк(х, £) = (;Г’ + о(сЫ).

Она, согласно определению, вычисляется по формуле

Dvj дvj дvj

3 + ^ = 1,2,3

Dt dt dx

к

(по повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается суммирование с к = 1, 2, 3). Таким образом, уравнение (1) в стандартной форме дифференциальных уравнений с частными производными выглядит следующим образом

Vj + VkVfcVj = fj/р, j = 1, 2, 3

(2)

где введены обозначения г, = дг,/ді, Ук(-) = д(-)/дхк.

Дифференциальное уравнение (2) для векторного поля г(х,і) представляет собой систему из трёх уравнений для трёх функций г.,-(х, і), ^ = 1, 2, 3, то есть эта система является определённой. Поэтому может быть поставлена задача об описании многообразия М(Д) всех её решений (сильных) для фиксированной области Д Однако, в гидродинамике идеальной жидкости на решения г(х, і) системы (2) накладывается дополнительное условие следующего вида

которое, с физической точки зрения, выражает условие несжимаемости жидкости. В этом случае для описания течений жидкости необходимы только такие решения Vj (х, £), ] = 1, 2, 3, удовлетворяющие также уравнению (3), которое, следуя механической терминологии, можно трактовать как дифференциальную связь, налагаемую на решения системы (2). Таким образом, требуемые для описания гидродинамических течений векторные поля удовлетворяют расширенной системе уравнений, которая является уже переопределённой, и поэтому описание многообразия М0(Б) = {V € М(Б) : =

0} С М(Б) всех такого рода векторных полей усложняется. При этом важно установить насколько богато многообразие М0(Б), чтобы иметь возможность описывать физически интересные течения жидкости. Следующий пример иллюстрирует то положение, при котором сужение многообразия М(Б) до многообразия М0(Б) может быть очень существенным.

Пример. Рассмотрим так называемые потенциальные течения, для которых существует потенциал Ф(х, £) так, что поле представимо в виде Vj(х, £) = VjФ(х, £), ] = 1, 2, 3. В этом случае из уравнения (2) при fj = 0 следует

с произвольной функцией С(£). Эта функция может быть исключена посредством за-

наверняка, существуют, так как, в частности, разделяя переменные, можно положить

V*ук = 0 ,

(3)

то есть

ф + \ [У,.ф]2 = СЦ)

0

Нетривиальные (отличные от постоянных) решения уравнения

Фо + \ [Уа-Фо]2 = 0,

(4)

Ф0(х, і) = а(і)Ф(х)

где

а

= -2^2 ,

а2(£)

и поэтому

1+\ ао

а'(^)

1 + 2а0^2£

Таким образом, конструируемое решение при а0 > 0 является глобальным (существующим на [0, то)). Функция Ф(х) удовлетворяет уравнению

V*: Ф]2 = 4^2Ф

с богатым многообразием решений. В частности, положив Ф(х) = ^(х^, имеем

^- = ±2иу/4>, ф{хл) = (ф(0) ± сохх)2 ,

V = ±2а(£)^х1б1.

В то же время, если учесть условие несжимаемости, которое, в данном случае, принимает вид ДФ = 0, то, так как ДФ = 0, из (4) следует Д[^Ф]2 = 0 или, что эквивалентно, [V* VIФ]2 = 0 . Это означает, что след квадрата симметричной матрицы V* VIФ, к,/ = 1, 2, 3 равен нулю. Поэтому и сама матрица равна нулю. Откуда ^^Ф = 0 и мы получаем, что все потенциальные поля V* (х, £) = V*Ф из многообразия М0(Д) не зависят от х. Подстановка же этих выражений в исходные уравнения (2) при fj = 0 показывает, что они не зависят также от £.

Рассмотренный пример показывает насколько важно дать ответ на поставленный выше вопрос о структуре многообразия М0(Д). В этой статье мы отвечаем на него в том случае, когда поле v(x,^) является стационарным, то есть не зависит от £. Тогда, система (3) для поля V : К3 ^ К3 принимает вид

V*VkVj = 0 , 3 = 1, 2, 3 . (5)

Более того, мы ограничиваемся только случаем плоских течений, когда v3(x) = 0 и V не зависит от х3.

2. Стационарные решения. Описание многообразия всех решений системы уравнений (3) и (5) при й =2 основано на специальном представлении их пространственных производных в виде произведения вспомогательных функций, которые подчиняются в некотором смысле более простой системе уравнений.

Введём матрицу в согласно формуле

(в)ы = V*VI, к, / = 1, 2 .

Тогда из уравнений (3), (5) следует Лемма 1.

в2 = 0. (6)

□ Уравнение VkVk = 0 означает, что Брв = 0. Применяя операцию дивергенции к векторному уравнению (5), получим

V* ) = ^^1)^^*) + VlVl(Vk V*) = Sp в2 = 0.

Так как для 2х 2-матриц имеет место в = ((Sp в)2 — Sp в2) /2, то уравнение Гамильтона-

Келли [2]

в2 — GSp в + в = 0

матрицы в сводится к (6). I

Лемма 2. Для того чтобы 2х2-матрица в обладала свойством в2 = 0, необходимо и достаточно чтобы она имела вид

в=- (—: --1) • (7)

где и : К2 ^ К, т : К2 ^ К, причём в этой формуле возможны предельные значения и = 0, т = то (либо и = 0, т = 0) так, что ит < то (либо и/т < то).

□ Доказательство достаточности представления (7) получается непосредственным вычислением в2 = 0 с матрицей вида (7).

Пусть ( )

в = и11 и12

в = и21 и22

Тогда представление (7) получается посредством вычисления общего решения системы уравнений

и21 + и12и21 = 0 , и22 + и12и21 = 0 ,

22

откуда и121 = и222, и, кроме того,

ици12 + и12и22 = 0 , —21 — ц + и22и21 = 0 .

При и11 = и22 = и = 0 получаем противоречие, так как из второй пары уравнений следует и12 = и21 = 0 и, следовательно, из первой - и = 0. Если же и = 0, то вторая пара уравнений выполняется тождественно, а из первой следует и21и21 = 0. В этом случае,

либо и12 = и = 0, и21 = 0, либо и21 = и = 0, и12 = 0.

Наконец, при и11 = —и22 = и = 0 вторая пара уравнений выполняется тождественно, а из первой следует и12и21 = —и2. Положив и21 = —ит, получим и21 = и/т. I

Воспользовавшись представлением (7), запишем, согласно определению матрицы в,

V1v1 = и, V2v1 = —ит, (8)

V1v2 = и/т, V2v2 = —и. ( )

Для возможности такого представления необходимо и достаточно, чтобы

V2V1v1 = V2u = —V1uw , V2V1v2 = V2(u/w) = —V1u .

Следовательно, для выполнимости (8) необходимо и достаточно чтобы функции и и ,ш подчинялись системе уравнений

С другой стороны, если имеет место (8), то для выполнимости системы уравнений УгУгУк = 0, к = 1, 2 (при этом уравнение У кУк = 0 удовлетворяется автоматически), необходимо и достаточно, чтобы имело место соотношение

в чём убеждаемся непосредственной подстановкой формул (8) в эту систему. Дифференциальное уравнение согласования (10) приводит к следующему

то есть при г>2 = 0 должно иметь место = 0. Если же ^2 = 0, то и = 0 и ,ш = 0 так, что и/ад < то и это отношение является функцией только от х2. Таким образом, нами доказана

Лемма 3. Все стационарные решения системы уравнений (3), (5) определяются на основе функций и : К2 ^ К и ад : К ^ К, которые удовлетворяют системе (9), в которой функция ад не зависит от х1. В частности, и = w = 0 так, что функция и/ад = 0 не зависит от х1.

Замечание. Система (9) вырожденная, так как она обладает только одним инвариантом Римана (см., например, [3]). В самом деле, записав систему (9) в матричновекторном виде

У1(иад) + У2и =0,

(9)

У1и + У2(и/ад) =0.

^1 = ад^2 ,

(10)

и = Ут = (У1ад)^2 + адУ1^2 = ^2(У1ад) + и ,

где введены 2 х 2-матрицы

приведём подействовав на неё слева матрицей

иад

1

ад —ад

0и

к форме

где

Н

ад —и

0 ад

Так как матрица Н треугольная с совпадающими диагональными элементами, то она имеет единственное собственное значение - инвариант Римана, равное ад-1.

Перейдём теперь к доказательству основного утверждения работы.

Теорема. Многообразие стационарных решений совместной системы уравнений (3) и (5) определяется формулой

V : К ^ К - непрерывно дифференцируемая функция на Е, (а, х) = а1х1 + а2х2 и постоянные векторы а = (а1, а2) и п = (п1, п2) взаимно ортогональны.

□ Достаточность условий, перечисленных в формулировке теоремы, для того чтобы

ряется непосредственной подстановкой выражения (ll) в эту систему. Необходимость

Так как, согласно лемме 3, w не зависит от xi, то из этого уравнения следует, что w не зависит также и от x2. Следовательно w = const. Тогда уравнения системы (9) эквивалентны друг другу и их общим решением является u = V/(ж1 — wx2), где V : R ^ R - произвольная непрерывно дифференцируемая функция. На основе общего вида функции u, из первой пары соотношений (8) получаем v1 = V(x1 — wx2), а из второй пары следует v2 = w-1V(x1 — wx2). Положив a = (1, —w), n = (1, w-1), получаем формулу (11). ■

3. Заключение. Применённый выше при решении задачи метод факторизации -представления производных поля v в форме (8) можно также применить при отыскании нестационарных плоских решений, так как леммы 1 и 2 имеют место в общем случае. Однако, в случае нестационарности сложно учитывать свойство согласованности, аналогичное (10), так как в этом случае оно содержит также частную производную по времени.

Найденный общий вид (11) стационарных плоских течений показывает, что условие несжимаемости очень сильно сужает класс возможных решений. При введении граничных условий прилипания v|dD = 0 оказывается, что ненулевые решения возможны только в прямолинейных каналах с неизменных поперечным сечением. Для таких течений, в частности, известный в гидродинамике закон Бернулли становится бессодержательным.

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика / Л.Д. Ландау. - М.: Наука, 1988. -

Vk(x) = nkV ((a, x)) , k = 1, 2 ,

(11)

пара функций vk(x), k =1, 2, определяемых (11), удовлетворяла системе (3), (5) прове-

Литература

732 с.

2. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. - М.: Наука, 1966. - 576 с.

3. Рождественский Б.Л., Яненко Н.Н. Системы квазилинейных уравнений / Б.Л. Рождественский. - М.: Наука, 1978. - 688 с.

PLANE STATIONARY FLOWS OF IDEAL INCOMPRESSIBLE LIQUID Yu.P. Virchenko

Belgorod State University,

Pobedy St., 85, Belgorod, 308015, Russia, e-mail: virch@bsu.edu.ru

Abstract. Plane stationary solutions of nonlinear translation equation system are studied in the case when they obey to supplementary differential tie, i.e. the solenoidality condition. General solution of this equation system is obtained, i.e. it is found the formula that describes the manifold of strong stationary solutions.

Key words: hydrodynamics of ideal liquid, stationary flows, incompressibility condition.