CC BY
33
УДК 517.95
нелинейное уравнение в частных производных, обладающее парой лакса
© 2006 г. Т.В. Редькина
The nonlinear equation in the private derivatives, having pair of Lakses, with differential operators which factors look like matrixes 2 x2 is considered. This equation is tested by property Penleve for an opportunity of application of a method of a return problem of dispersion. The decision in the form of Vejershtrass's functions is found.
Проблема интегрируемости нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными практически всегда решается для каждого уравнения отдельно, и ответить положительно или отрицательно на этот вопрос чаще всего невозможно. Если же идти в противоположном направлении, т.е. использовать некоторые структуры, которые заведомо определяют пути интегрирования, то можно получать сразу интегрируемые модели. Такой операторной структурой является уравнение Лакса с алгоритмом решения -методом обратной задачи рассеяния. Его применение возможно только к специально выбранным операторам и весьма небольшому числу нелинейных уравнений. Но структура операторного уравнения Лакса такова, что порождаемые ею нелинейные уравнения обладают специфическими - солитонными свойствами - наличием счетного числа законов сохранения, представлением в билинейной форме Хироты, свойством Пенлеве, преобразованием Бэклунда и др. Прослеживается четкая связь между этими свойствами и наличием у уравнения пары Лакса.
Возникает вопрос, какие свойства сохраняются для уравнений, имеющих представление Лакса, с операторами, не удовлетворяющими всем требованиям метода обратной задачи рассеяния, можно ли использовать стандартные приемы солитонной математики, чтобы интегрировать эти нелинейные уравнения?
Вывод дифференциального уравнения в частных производных с помощью операторного уравнения Лакса
Рассмотрим случай о совместности операторного уравнения Лакса
1{ = [Ь, А] = 1А - А1, (1)
с маточными коэффициентами 2x2 «Ц а121 3 («11 «12 ^
L = \а
021 «22 )дх
A =
ßl
ß2i
ßl2 V +
ßJör
«21 v11 v21
«22 v12 v22
(2)
где %, vu
- произвольные функции двух переменных х и /, причем ыу и vij ограничены при x ^ ±х .
Теорема (о совместности операторного уравнения Лакса с матричными коэффициентами).
Уравнение а2ыхг (1пыхг + ы) = 4 обладает парой
Лакса с операторами Ь и А вида
L =
0 I—+
ajdx ^ (
(
A =
ß 0 0 ß
dx
«11
s-u(x,t)
1
--u
2
2 ---e
au xz
eu(x,t) ^ - u11
eu( x,t)
u (x,t)
где ßd x +dt =d z,
u11 =-J(u +ln uxz) x-
Доказательство. Выберем коэффициенты опера-
дЬ
торов Ь и А в (2) таким образом, чтобы — и [Ь, А] в
дх
операторном уравнении (1) были обыкновенными дифференциальными операторами нулевого порядка, а именно операторами умножения. Для этого необхо-
з2
димо равенство нулю коэффициентов при
д2
дх2 и дх'
а также отсутствие явной зависимости Ь от Наложим ограничения ац = «22 = а, а12 = а21 = 0, Ри = Р22 = в , А2 = Р21 = 0, где а и в - постоянные.
Из оставшихся равенств, не содержащих операторы дифференцирования, выведем уравнение в частных производных, эквивалентное операторному уравнению Лакса
а11х ~Ры11х + ы12v21 - ^2ы21 = ы11, _ а12х ~Ры12х + v12(ы11 -ы22)-ы12(11 -v22)= ы12Г, а21х-Ры21х + ы21 (11 - v22 )-v21(ы11 - ы22 ) = ы21Г, «22х-Ры22х + ы21v12 - v21ы12 = ы22Г. Налагаем дополнительные условия: V!! =-V22 , ы11 = -ы22 . Для краткости записи введем обозначение тогда система примет вид
. + ы>
ßdх +dt = дz,
v11x'
u12v21 - v12u21
*11z>
(3)
• а12х + 2v12ы11 - 2ы12^1 = ы12г, «21х + 2ы21П1 - 2v21ы11 = ы21г. Сохраняя нелинейность системы, наложим дополнительно три условия: ауцх = ^«21,
аvl2x = -2ыllVl2 , аУ21Х = 2ы1^21, при этом очевидно -1 „ .. ..-1
v12 = v21 , а u12 = u21 (3) к виду:
что позволяет свести систему
а
д
z
zx
2
1
u
z
2
2v11 = -(ln u12 )z, 2ип =-a(ln vi2 )x
av11xu12 = v12' «12 = v12u11z •
Первые два равенства определяют функции уп и мп. Введем подстановку и^ = еи( х'г) и найдем остальные
, 1 а и
функдии Уц = - - иг , у12 = -—е ихг ,
а
иц = —— (и + 1пи^-2)х . Подставив найденные значения
функций в последнее уравнение системы, приходим к новому нелинейному уравнению в частных производных, допускающему представление в виде пары Лакса
а2их1 (1п ихг + и) = 4. (4)
Замечание 1. Предполагая, что р(х, г) = ихг (х, г) ф 0 , уравнение (4) можно свести к уравнению второго порядка. Заменяя производную
логарифмической функдии (1п р)хг = РхгР 2РхРг ,
запишем
а2 (Pxzр - PxPz + р3 ) =
)= 4р .
(5)
Применение метода бегущих волн
± ъ.
-1J
J 2 J
eudu
e3« + -4 eu + Ce2u
= J
(7)
Подвергая переменную м некоторым преобразованиям еи + -3С = ф , можно привести подинтегральную
функцию к нормальным формам основных эллиптических интегралов
е3и +Леи + Се2и = !(4ф3 + 8ф + а) =1 , где
а2
4
4
16 4^2 8 16 ^
82 = —2 —C , 8з =—C--2 C - инварианты w •
а2 3 27 3а2
В результате интеграл (7) дает двоякопериодическую эллиптическую функцию Вейерштрасса р(ф), т.е.
4±2bi р ^eu + 3Cj = x±bz -или V+ 2bi р ^ln p + 3cj = x ± bz-£0.
Рассмотрим на примере метода бегущих волн, как редуцируется уравнение (5), полученное с помощью операторного уравнения Лакса. Найдем решение этого уравнения в виде бегущих волн, для этого используем подстановку д = х ± Ьг, — = 1, — = ±Ь ,
дх дх
р( х, г) = еи( х±Ьх) = еи(д). (6)
Тогда (6) перейдет в обыкновенное дифференциальное уравнение, где функция и описывает некоторое решение рассматриваемой модели
а2 (± Ьи" + еи )- 4е_и = 0.
Проинтегрировав один раз, предварительно умножив все члены на и', получим
Ь ,2 и 4 -и
±—(и ) + е +—— е = С, где С - постоянная ин-2 а
тегрирования. Последнее равенство допускает выделение производной функции и в явном виде
3
Полученная связь дает решение уравнения (5) в неявном виде, выраженное через р- функцию Вей-ерштрасса.
Свойство Пенлеве
В 1980 г. Абловиц и Сигур совместно с Рамани предложили тест исследования нелинейных уравнений в частных производных на возможность применения к ним метода обратной задачи рассеяния. Суть этого теста состоит в следующем: если существует точная редукция нелинейного уравнения в частных производных, обладающего свойством Пенлеве, сводящая его к обыкновенному дифференциальному уравнению, то к такому уравнению применим метод обратной задачи рассеяния.
Свойство Пенлеве заключается в отсутствии подвижных критических точек. Последнее означает, что от постоянных интегрирования может зависеть только положение полюсов.
Большинство нелинейных дифференциальных уравнений не обладает этим свойством. Для установления наличия у уравнения (5) подвижных критических точек воспользуемся методом, описанным Абло-вицем, Рамани и Сегуром [1].
Представим функцию р(х, г) уравнения (5) в виде
p( x, z) = 2 an (z)(x + Z( z))n
(8)
n=-N
где ап, £ - функции от г. Определим поведение главной части решения уравнения (5) в окрестности подвижной особенности в точке С,(г). Положив д = х + £(г), оценим степени главной части ряда Лорана
p ~ Г+-,
Pz
a-N - 1, e-N - 2,
' # + Pxz ~ # + ••• •
Подставив в исходное уравнение (5) полученные оценки, имеем единственную возможность -2N - 2 = -3N , откуда N = 2. Если бы N не являлось целым, то получили бы алгебраическую точку ветвления и уравнение (5) не обладало бы свойством Пен-леве.
Выделим главную часть в разложении (8)
Р(х,г) = ( Ь-2(г))2 + JЬ—Zг: + 5«г(г)(х + £(г)) . (9)
(х + ^))2 х + £(г) ,=о Подставим (9) в (5). Получим систему обыкновенных уравнений, которую решаем относительно неизвестных ап и Ьк, выражая их через коэффициенты более низкого порядка:
п = -6:
следовательно, Ь-2 = -2^'(г);
a2(6b-22Z ' (z) - 4b_V ' (z) + Ъ-2) = 0,
п = -5:
4b-2b-1Z (z) + 3 Ъ-2Ъ-1 = 0, тогда
x
а
Ь-1 = 0;
2
п = -4: 6Ь-2а0^ (г) + 3Ь-2а0 = 0, равенство выполняется тождественно, следовательно, 2) -произвольная функция;
п = -3: Ш^С' (2) - 2Ь-2«0 + 2Ь-2«0 + 3Ь-2Я1 = 0, равенство выполняется, если
а(г) = ^ ^ ч (а0(1п Ь-2) '- а0);
2С 00
п = -2:
а2(16Ь-2а2С (г) - 3Ь-2а1 + 3Ь-2а1 + 3Ь-2а2 + 3а2>-2) = 4Ь-2, что дает
(«i (ln¿-2)' - ао - ai);
an+4 =
4аи
(и + 4)(n + 7)а b-2Z'(z)
n+5
(и+4)(и+7)Z(z) 1
(n + 4)(n+7)b-2Z(z)
3 n+2
an+3 -(lnb-2) 'an+3 +-- Ха;ап+2-
п+5 i=0
¿(n+1- 2/)аг {аП+i-i +
г=0
агап-г - j
а2( =-Л-+ 1А! , , (а1(1п Ь-2 ) ' - а0 - а1
5а2^ '(г) Щ (г)
п = -1:
24Ь-2а3^ ' (^) - 4Ь-2а2 + 4Ь^а2 + 3Ь-?2«3 + 6Ь^а0а1 = 0, откуда находим
а1(г) = тт^(а2(1пЬ-2)'- а2)- . 1 , а0а1;
(4^ (г) для п > 0 равенства определяют рекуррентную зависимость между остальными коэффициентами ряда Лорана
+ (п + 2 - г) ап+2-£'(2)}]+2 X
г=0 }=0
В результате функция р(х, г) имеет локальное
разложение, которое может быть записано в виде ряда Лорана с полюсом второго порядка, двумя произвольными функциями от г: ¿"(г), а0 (г), следовательно, свойство Пенлеве для уравнения (5) выполняется.
Литература
1. Абловиц М., Сигур X. Солитоны и метод обратной задачи / Под ред. В.Е. Захарова. М., 1987.
Ставропольский государственный университет
8 июня 2005 г.
